文档内容
呼和浩特市 2023-2024 学年第一学期高三年级学业质量监测
文科数学
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、座位号涂写在答题卡上.
2.作答时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.
一、选择题：本大题共12小题，在给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合 ， ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】解不等式，得到 ，利用交集概念进行求解.
【详解】 ，
故 .
故选：C
2. 已知复数z满足 ，则 在复平面内对应的点位于（ ）
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
【答案】D
【解析】
【分析】用复数的四则运算法则求出 ，接着求出 ，即可得出共轭复数在复平面内对应的点所在的象限.
【详解】由已知得 ，
则 ，则 在复平面内对应的点位于第四象限，
故选： .
3. 已知直线 、m、n与平面 、 ，下列命题正确的是（ ）
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学科网（北京）股份有限公司A. 若 ， ，则 B. 若 ， ，则
C. 若 ， ，则 D. 若 ， ， ，则
【答案】B
【解析】
【分析】ACD可举出反例；B选项，作出辅助线，由线面平行得到线线平行，进而由线面垂直得到面面垂
直.
【详解】A选项，如图1，满足 ， ，但 不垂直，A错误；
B选项，如图2，因为 ，
所以作平面 ，使得 ，且 ，
则 ，
因为 ，则 ，又 ，故 ，B正确；
C选项，如图3，满足 ， ，但 不平行，C错误；
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学科网（北京）股份有限公司D选项，如图4，满足 ， ， ，但 不平行，D错误.
故选：B
4. 已知 是偶函数，则 的值是（ ）
A. B. C. D. 2
【答案】C
【解析】
【分析】根据题意，由 ，得到 ，结合对数的运算法则，即
可求解.
【详解】由函数 是偶函数，则 ，
可得 ，即 ，
所以 ，解得 .
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学科网（北京）股份有限公司故选：C.
5. 我国古代数学家赵爽创制了一幅“勾股圆方图”，后人称为“赵爽弦图”.他用数形结合的方法给出了勾股定
理的证明，极富创新意识.“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形.如
图，若大正方形的面积是25，小正方形的面积是1，则 （ ）
A. 9 B. 12 C. 15 D. 16
【答案】B
【解析】
【分析】设 ，根据勾股定理求得 ，得出 ，再根据数量积的定义即可得解.
【详解】因为大正方形的面积是25，小正方形的面积是1，所以 ,
设 ，则 ，
在 中， ，即 ，解得 或 （舍去），
所以 ，
易知在正方形 中， ， ， ，
所以 .
故选：B.
6. 函数 的图象可能为（ ）
A. B.
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学科网（北京）股份有限公司C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】首先判断函数的奇偶性，再根据函数在 上函数值的正负情况，利用排除法判断即可.
【详解】函数 的定义域为 ，
又 ，
因此函数 为奇函数，函数图象关于原点对称，BD错误；
当 时， ， ，则 ，
因此 ，C错误，A符合题意.
故选：A
7. 已知等比数列 的首项为1，公比为3，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由定义得到 为首项为 ，公比为9的等比数列，利用求和公式求出答案.
【详解】由题意得 ，
故 为首项为 ，公比为9的等比数列，
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学科网（北京）股份有限公司则 .
故选：D
8. 用模型 拟合一组数据组 ，其中 ，设 ，得
变换后的线性回归方程为 ，则 （ ）
A. B. C. 35 D. 21
【答案】B
【解析】
【分析】求出 ，即 ，得到答案.
【详解】由题意得 ，
故 ，
即 ，
故 ，解得 .
故选：B
9. 已知一个正三棱柱的三视图如下图所示，则该三棱柱的体积为（ ）
A. B. 12 C. D. 16
【答案】A
【解析】
【分析】根据题意，由三视图还原几何体，可得其底面边长，再由三棱柱的体积公式，代入计算，即可得
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学科网（北京）股份有限公司到结果.
详解】
【
由三视图还原几何体如图所示，
则底面正三角形一边上的高为 ，正四棱柱的高为2，
设底面边长 ，则 ，解得 ，
为
所以三棱柱的体积为 .
故选：A
10. 直线 （ ）截圆 所得弦长的最小值是（ ）
A. 2 B. C. 4 D. 6
【答案】C
【解析】
【分析】求出直线过的定点、圆的圆心坐标及半径，再利用圆的性质及弦长公式计算即得.
【详解】依题意，直线 过定点 ，圆 的圆心 ，半径 ，
，即点 在圆 内，当且仅当直线 与直线 垂直时，直线截圆所得弦长最
短，
所以所求最短弦长为 .
故选：C
11. 《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角
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学科网（北京）股份有限公司三角形的三棱锥称之为鳖臑.若三棱锥 为鳖臑， 平面 ， ， ，三
棱锥 的四个顶点都在球O的球面上，则球O的表面积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】将三棱锥 补形为长方体，由勾股定理求出长方体的半径即可，得到表面积.
的
【详解】将三棱锥 补形为长方体，则长方体 外接球即为三棱锥 的外接球，
如图， 的中点即为外接球的球心， 为直径，
由勾股定理得 ，
故半径为 ，球 表面积为 .
的
故选：B
12. 定义在 上的奇函数 满足 ，且当 时， ，则函数
在 上所有零点的和为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
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学科网（北京）股份有限公司【解析】
【分析】推导出函数 是周期为 的周期函数，且函数 的图象关于点 对称，作出函数
在 上的图象以及函数 的图象，数形结合可得出结果.
【详解】因为定义在 上的奇函数 满足 ，
则 ，所以，函数 是周期为 的周期函数，
则 ，故函数 的图象关于点 对称，
当 时， ，
作出函数 在 上的图象以及函数 的图象如下图所示：
由图可知，函数 在 上的图象与函数 的图象共有 个交点，
且这 个交点有三对点关于点 对称，
因此，函数 在 上所有零点的和为 .
故选：B.
【点睛】关键点睛：本题的关键是通过其对称性和奇偶性得到其周期性，再作出两函数图象则得到交点个
数.
二、填空题：本大题共4小题.
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学科网（北京）股份有限公司13. 抛物线 的焦点坐标为___________.
【答案】
【解析】
【分析】根据题意，结合抛物线的几何性质，即可求解.
【详解】由抛物线 ，化为 ，可得 ，解得 ，
所以抛物线 的焦点坐标为 .
故答案为： .
14. 当x、y满足条件 时， 的最小值为__________.
【答案】8
【解析】
【分析】画出可行域和目标函数，由几何意义求出最小值.
【详解】画出可行域及目标函数，如下：阴影部分即为可行域，
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学科网（北京）股份有限公司为直线 与 轴交点的纵坐标，
由几何意义可知，当 过点 时，取得最小值，
联立 ，解得 ，
故 .
故答案为：8
15. 已知等差数列 是递增数列，且满足 ， ，令 ，且 ，
则数列 的前 项和为__________.
【答案】
【解析】
【分析】设等差数列 的公差为 ，根据题意，列出方程组求得 ，进而求得
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学科网（北京）股份有限公司，得到 ，结合裂项法求和，即可求解.
【详解】设等差数列 的公差为 ，
因为 ， ，可得 其中 ，
解得 ，所以 ，所以 ，
可得 ，
设数列 的前 项和为 ，则
.
故答案为： .
16. 已知双曲线 ： （ ， ）的左右焦点分别为 、 ，过 的直线 与双曲线
交于 、 两点（ 在第一象限， 在第四象限），若 ，则该双曲线的离心率
为______.
【答案】 ##
【解析】
【分析】由已知条件设 由双曲线的定义得 再由勾股定理得 ，从而得 ，
即可求出离心率.
【详解】因为 ，设 ，
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学科网（北京）股份有限公司由双曲线的定义得： 所以 故
， ，又因为 ，所以 ，
所以 ,即 ， .
所以双曲线的离心率 .
故答案为： .
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17-21题为必考题，每个学生都
必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.
（一）必考题
17. 2023年秋末冬初，某市发生了一次流感疾病，某医疗团队为研究本地的流感疾病与当地居民生活习惯
（良好、不够良好）的关系，在已患该疾病的病例中随机调查了100人（称为病例组），同时在未患该疾
病的人群中随机调查了100人（称为对照组），得到如下数据：
良 不够良
好 好
病 例
25 75
组
对 照
45 55
组
（1）分别估计病例组和对照组中生活习惯为良好的概率；
（2）能否有99%的把握认为感染此次流感疾病与生活习惯有关？
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学科网（北京）股份有限公司附：
0.050 0.010 0.001
3.841 6.635 10.828
【答案】（1）0.45
（2）有
【解析】
【分析】（1）根据病例组生活习惯为良好的频率 ，对照组为生活习惯为良好的频率 ，然后估计
生活习惯为良好的概率从而可求解.
（2）根据题意分别可知 ， ， ， 从而求出 ，从而求解.
【小问1详解】
由调查数据，病例组为生活习惯为良好的频率 ，
因此病例组为生活习惯为良好的概率的估计值为 ，
对照组为生活习惯为良好的频率 ，
因此对照组为生活习惯为良好的概率的估计值为 .
【小问2详解】
由题意可知 ，
所以 ，
因为 ，
所以有 的把我说患有该疾病与生活习惯有关.
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学科网（北京）股份有限公司18. 在 中，内角A，B，C所对边分别为a，b，c.已知 ， .
（1）若 ，求角A；
（2）若 的面积 ，求边c.
【答案】（1）
（2） 或
【解析】
【分析】（1）利用正弦定理求解；
.
（2）利用面积公式和余弦定理求解
【小问1详解】
∵ ，则 ，∴ ，
由正弦定理得 ，即 ，解得 ，
又∵ ，∴ ，∴ .
【小问2详解】
∵ ，∴ ，∴ ，
∴ ，
当 时，由余弦定理得 ， ，
当 时，由余弦定理得 ， ，
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学科网（北京）股份有限公司所以 或 .
19. 如图1，在直角梯形ABCD中， ， ， ，E是AD的中点，
O是AC与BE的交点.将 沿BE折起到如图2中 的位置，得到四棱锥 .
图1 图2
（1）证明： ；
（2）当平面 平面 时，求三棱锥 的体积.
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）由折叠前的图象可得 ，则在折叠后有 、 ，结合线面垂直的
判定定理与线面垂直的性质定理即可得；
（2）结合面面垂直的性质定理与锥体体积公式计算即可得.
【小问1详解】
在图1中，连接 ,
∵ ， ，E是AD的中点，
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学科网（北京）股份有限公司所以四边形 是正方形，∴ ,
∴在图2中， ， ，
又 ， 、 平面 ，
∴ 平面 .
又 ，且 ，∴四边形 是平行四边形，
∴ ，∴ 平面 ，
又∵ 平面 ，∴ ；
【小问2详解】
∵平面 平面 ，平面 平面 ，
， 平面 ，
∴ 平面 ，
又∵ ， ，
∴ .
20. 已知椭圆 ： 的焦距为2，点 在椭圆C上，A、B分别为椭圆的左、右顶
点.
（1）求椭圆C的方程；
（2）若点P是椭圆C上第二象限内的点，点Q在直线 上，且 ， ，求
的面积.
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学科网（北京）股份有限公司【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据焦距和点 得到方程组，求出 ， ，得到椭圆方程；
（2）设 ， ，根据垂直关系和相等关系得到方程组，求出 ，结合P是椭圆上第二
象限内一点，求出 ，进而得到 ，从而求出三角形面积.
【小问1详解】
由椭圆C的焦距为2，故 ，则 ，
又椭圆C经过点 ，代入C得 ，解得 ， ，
所以椭圆C的方程为 .
【小问2详解】
由题： ， ，设 ， ，显然 ， ， ，
∵ ，则点P满足： ①
又∵ ，
∴ ②
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学科网（北京）股份有限公司联立①②得 ，解得 ，
又点P在第二象限，且满足 ，
∴ ， ，
∴
把 ， ，代入①得 ，
∴
又∵ ，∴ ，直线 方程为： ，
∴点Q到直线AP的距离 ，
∴ .
21. 已知函数 .
（1）若 ，讨论函数 的单调性；
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学科网（北京）股份有限公司（2）若 ， ，求 的取值范围.
【答案】（1）答案见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）利用导数，分类讨论，求函数 的单调区间；
（2） 等于函数 在区间 上的最大值与最小值之差，由 的单调性求
，再利用导数通过单调性得取值范围.
【小问1详解】
由题意可知： 的定义域为 ，
，
①当 时， 恒成立， 在 上单调递增；
②当 时，
当 或 时， ， 在 和 上单调递增；
当 时， ， 在 上单调递减；
故当 时， 在 上单调递增；
当 时， 在 和 上单调递增， 在 上单调递减；
【小问2详解】
因为 ， 等于函数 在区间 上的最大值与最小值之差，
由（1）可知：当 ，即 时， 在 上单调递减，在 上单调递增，
故 ，
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学科网（北京）股份有限公司又 ， .
故当 时， ， ， ；
当 时， ， ，
即： .
当 时， ， 在 上单调递减，
此时 ，即 ；
当 时， ， 在 上单调递增，
此时 ，即 .
综上所述：
所以， 的取值范围是 .
【点睛】方法点睛：
导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．
注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问
题处理．
（二）选考题
[选修4-4：坐标系与参数方程]
22. 在直角坐标系 中，曲线 的参数方程为 （ ），曲线 的参数方程为
（ 为参数）.
（1）求曲线 的普通方程；
（2）若 ， ，在曲线 上任取一点 ，求 的面积.
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学科网（北京）股份有限公司【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用 可消去参数 可得 ；
（2）求出 的普通方程和直线 的方程可知两直线平行，利用平行线间的距离公式可得 ，易
知 ，即可求出面积.
【小问1详解】
由 的参数方程为 （ ），
消去 可得 的普通方程为 ；
【小问2详解】
易知 的普通方程为 ，
直线 的斜率为 ，
直线 的方程为 ，即 ，
可知直线 与 平行，
则 上任意一点 到直线 的距离 ，
又 ，
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学科网（北京）股份有限公司所以 .
[选修4-5：不等式选讲]
23. 已知函数 .
（1）求不等式 的解集；
（2）将函数 的图象与直线 围成图形的面积记为 ，若正数 、 、 满足 ，求
证： .
【答案】（1）
（2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）不等式 等价于 ，两边平方进行求解即可.
（ 2 ） 分 类 讨 论 去 绝 对 值 ， 画 出 的 图 象 ， 即 可 得 到 的 值 ， 再 由
利用基本不等式即可证明.
【小问1详解】
由 可得 ，
即 ，解得 .
所以不等式的解集为 .
【小问2详解】
，其函数图象如下图，
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学科网（北京）股份有限公司由图可知： ，又因为 、 、 均为正数，
则 （当且仅当 时，等号成立）
即 ，即 .
第24页/共24页
学科网（北京）股份有限公司
