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让更多的孩子得到更好的教育
中考总复习：圆综合复习—巩固练习（提高）
【巩固练习】
一、选择题
1．已知两圆的半径分别是4和6，圆心距为7，则这两圆的位置关系是( )
A．相交 B．外切 C．外离 D．内含
2．如图，等腰梯形ABCD内接于半圆D，且AB＝1，BC＝2，则OA＝( )
A． B． C． D．
3．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，BC＝4 cm，以点C为圆心，以2 cm的长为半径作圆，则⊙C
与AB的位置关系是( )
A．相离 B．相切 C．相交 D．相切或相交
第2题 第3题 第5题
4．已知圆O、圆O 的半径不相等，圆O 的半径长为3，若圆O 上的点A满足AO＝3，则圆O 与圆O 的位置
1 2 1 2 1 1 2
关系是( )
A．相交或相切 B．相切或相离 C．相交或内含 D．相切或内含
5．如图所示，在圆O内有折线OABC，其中OA＝8，AB＝2，∠A＝∠B＝60°，则BC的长为( )
A．19 B．16 C．18 D．20
6．如图，MN是半径为0.5的⊙O的直径，点A在⊙O上，∠AMN＝30°，B为AN弧的中点，P是直径MN上一
动点，则PA+PB的最小值为( )
A． B． C．1 D．2
二、填空题
7．如图，分别以A，B为圆心，线段AB的长为半径的两个圆相交于C，D两点，则∠CAD的度数为_______．
8．如图，现有圆心角为90°的一个扇形纸片，该扇形的半径是50cm．小红同学为了在圣诞节联欢晚会上
表演节目，她打算剪去部分扇形纸片后，利用剩下的纸片制作成一个底面半径为10cm的圆锥形纸帽(接
缝处不重叠)，那么被剪去的扇形纸片的圆心角应该是________度．
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第7题 第8题 第9题
9．如图，AB⊥BC，AB＝BC＝2 cm， 与 关于点O中心对称，则AB、BC、 、 所围成的面积是
________cm2．
10．如图，以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB是小圆的切线，C为切点，若两圆的半径分别为3 cm
和5 cm，则AB的长为________cm．
11．将半径为4 cm的半圆围成一个圆锥，在圆锥内接一个圆柱(如图所示)，当圆柱的侧面的面积最大时，
圆柱的底面半径是________cm．
第10题 第11题 第12题
12．如图，已知A、B两点的坐标分别为 、(0，2)，P是△AOB外接圆上的一点，且∠AOP＝45°，则
点P的坐标为________．
三、解答题
13．已知：如图，在△ABC中，D是AB边上一点，圆O过D、B、C三点，∠DOC＝2∠ACD＝90°．
(1)求证：直线AC是圆O的切线；
(2)如果ÐACB＝75°，圆O的半径为2，求BD的长．
14．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，斜边AC的垂直平分线交BC于点D，交AC于点E，连接BE．
(1)若BE是△DEC外接圆的切线，求∠C的大小；
(2)当AB＝1，BC＝2时，求△DEC外接圆的半径．
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15．如图，⊙O是△ABC的外接圆，FH是⊙O的切线，切点为F，FH∥BC，连接AF交BC于E，∠ABC的平分线
BD交AF于D，连接BF．
(1)证明：AF平分∠BAC；
(2)证明：BF＝FD；
(3)若EF＝4，DE＝3，求AD的长．
16. 如图，已知：AC是⊙O的直径，PA⊥AC，连接OP，弦CB∥OP，直线PB交直线AC于D，BD＝2PA．
(1)证明：直线PB是⊙O的切线；
(2)探究线段PO与线段BC之间的数量关系，并加以证明；
(3)求sin∠OPA的值．
【答案与解析】
一、选择题
1.【答案】A ；
【解析】因为6-4＜7＜6+4，所以两圆相交．
2.【答案】A ；
【解析】作BE⊥AD，CF⊥AD，垂足分别是E，F，连接BD，
则AE＝DF，∠ABD＝90°，EF＝BC＝2，
设AE＝x，则AD＝2+2x．
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由△ABE∽△ADB可得 ，
即 ，解得 ．
∴ AD＝2+2x＝1+ ，则 ．
3.【答案】B ；
【解析】如图，过C作CD⊥AB于D，
在Rt△CBD中，BC＝4cm，∠B＝30°，
∴ CD＝ BC＝ (cm)．
又⊙C的半径为2cm，
∴ d＝r．
∴ 直线AB与⊙C相似．
4.【答案】A ；
【解析】因为AO＝3，所以点A在圆O 上，又因为点A在圆O 上，
1 1 2
所以圆O 与圆O 的位置关系是相交或相切．
1 2
5.【答案】D ；
【解析】延长AO交BC于D点，过O作OE⊥BD于E．
∵ ∠A＝∠B＝60°，∴ ∠ADB＝60°．
∴ △DAB是等边三角形，BD＝AB＝12．
在Rt△ODE中，OD＝12-8＝4，∠ODE＝60°，
∴ DE＝OD·cos 60°＝ ，∴ BE＝10，故BC＝2BE＝2×10＝20．
6.【答案】A；
【解析】过B作BB′⊥MN交⊙O于B′，连接AB′交MN于P，此时PA+PB＝AB′最小．
连AO并延长交⊙O于C，连接CB′，在Rt△ACB′中，AC＝1，∠C＝ ，
∴ ．
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二、填空题
7．【答案】120°；
【解析】连接BC，BD，则△ABC与△ABD都是等边三角形，故∠CAB＝∠DAB＝60°，
所以∠CAD＝60°+60°＝120°．
8．【答案】18 ；
【解析】设被剪去的扇形纸片的圆心角为θ度，
则由题意 ．
∴ θ＝18．
9．【答案】2 ；
【解析】连接AC，因为 与 关于点O中心对称，所以A，O，C三点共线， ，
所以所求圆形的面积＝△ABC的面积 (cm2)．
10．【答案】8 ；
【解析】连接OC，OA，则OC垂直平分AB，由勾股定理知 ，
所以AB＝2AC＝8．
11．【答案】1 ；
【解析】如图是几何体的轴截面，由题意得OD＝OA＝4，2πCD＝4π，
∴ CD＝2．
则 ．
设EF＝x，EC＝y，由△OEF∽△OCD得 ，
∴ ．
∴ ．
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∴ 当x＝1时，S有最大值 ．
12．【答案】 ；
【解析】在Rt△OAB中， ．
∴ ∠ABO＝60°．
连接AP，如图．则∠APO＝∠ABO＝60°．
过A作AC⊥OP，如图．在Rt△AOC中，由 ，
∠AOC＝45°，可求出OC＝AC＝ ，在Rt△ACP中求出PC＝ ．
∴ ．
过P作PE⊥OA，在Rt△OPE中求出 ，
∴ ．
三、解答题
13.【答案与解析】
(1)证明：∵ OD＝OC，∠DOC＝90°，
∴ ∠ODC＝∠OCD＝45°．
∵ ∠DOC＝2∠ACD＝90°，
∴ ∠ACD＝45°．
∴ ∠ACD+∠OCD＝∠OCA＝90°．
∵ 点C在⊙O上，
∴ 直线AC是⊙O的切线．
(2)解：∵ OD＝OC＝2，∠DOC＝90°，
∴ ．
∵ ∠ACB＝75°，∠ACD＝45°，
∴ ∠BCD＝30°．
作DE⊥BC于点E，如图．
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∴ ∠DEC＝90°，
∴ ．
∵ ∠B＝∠ACO＝45°，∴ DB＝ DE＝2．
14.【答案与解析】
(1)∵ DE垂直平分AC，∴ ∠DEC＝90°．
∴ DC为△DEC外接圆的直径．
∴ DC的中点O即为圆心．
连接OE，又知BE是⊙O的切线，
∴ ∠EBO+∠BOE＝90°．
在Rt△ABC中，E是斜边AC的中点，
∴ BE＝EC．
∴ ∠EBC＝∠C．
又∵ ∠BOE＝2∠C，∴ ∠C+2∠C＝90°．
∴ ∠C＝30°．
(2)在Rt△ABC中， ，
∴ ．
∵ ∠ABC＝∠DEC＝90°，∴ △ABC∽△DEC．
∴ ．∴ ．
∴ △DEC外接圆的半径为 ．
15.【答案与解析】
(1)证明：连接OF ．
∵ FH是⊙O的切线，
∴ OF⊥FH．
∵ FH∥BC，
∴ OF垂直平分BC．
∴ ．
∴ AF平分∠BAC．
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(2)证明：由(1)及题设条件可知
∠1＝∠2，∠4＝∠3，∠5＝∠2，
∴ ∠1+∠4＝∠2+∠3．
∴ ∠1+∠4＝∠5+∠3，即∠FDB＝FBD．
∴ BF＝FD．
(3)解：在△BFE和△AFB中，
∵ ∠5＝∠2＝∠1，∠F＝∠F，
∴ △BFE∽△AFB．
∴ ，
∴ ，
∴ ．
16.【答案与解析】
(1)证明：连接OB．
∵ BC∥OP，
∴ ∠BCO＝∠POA，∠CBO＝∠POB．
又∵ OC＝OB，∴ ∠BCO＝∠CBO．
∴ ∠POB＝∠POA．
又∵ PO＝PO，OB＝OA，
∴ △POB≌△POA．
∴ ∠PBO＝∠PAO＝90°．
∴ PB是⊙O的切线．
(2)解：2PO＝3BC．(写PO＝ BC亦可)
证明：∵ △POB≌△POA，∴ PB＝PA．
∵ BD＝2PA，∴ BD＝2PB．
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∵ BC∥PO，∴ △DBC∽△DPO．
∴ ，
∴ 2PO＝3BC．
(3)解：∵ △DBC∽△DPO，
∴ ，即 ，
∴ DC＝2OC．
设OA＝x，PA＝y，则OD＝3x，OB＝x，BD＝2y．
在Rt△OBD中，由勾股定理，得(3x)2＝x2+(2y)2，即2x2＝y2．
∵ x＞0，y＞0，
∴ ， ．
∴ ．
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