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高三数学期末试题
一、选择题（每题5分，共计40分）
1、已知集合 ，集合 ，则 ( )
A. B. C. D.
2、中国古代数学名著《算法统宗》中有这样一个问题:“三百七十八里关,初行健步不为难,次日脚痛减一半,六朝才得到
其关,要见次日行数里,请公仔细算相还”.其意思为:“有一个人走378里路,第一天健步行走,从第二天起因脚痛每天走的
路程为前一天的一半,走了6天后到达目的地”,则走的路程少于30里开始于( )
A.第三天 B.第四天 C.第五天 D.第六天
3、已知关于x的不等式 的解集为 ，则 的最大值是( )
A. B. C. D.
4、已知三棱锥 的外接球半径为R，且 外接圆的面积为 ，若三棱锥 体积的最大值为 ，
则该球的体积为( )
A. B. C. D.
5、已知函数 若方程 恰有三个不同的实数解a，b，c( )，则 的取值
范围是( ).
(e1,2) [e,2]
A. B. C. D.
7．若直线 与曲线 恰有两个交点，则实数k的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
8．定义在 上的函数 满足 ， （若 ，则 ，c为常数），
则下列说法错误的是（ ）
学科网（北京）股份有限公司A． B． 在 取得极小值，极小值为
C． 只有一个零点 D．若 在 上恒成立，则
二、选择题：本题共 3 小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．
全部选对得6分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分．
9．已知 ， 为实数，则下列不等式正确的是
a b
A． B． C． + >2 D．
a3 >b3 ac2 >bc2 b a a−sina<b−sinb
10．设函数 的最小正零点为 ，则（ ）
A． 的图象过定点
B． 的最小正周期为
C． 是等比数列
D． 的前10项和为
11．在 年巴黎奥运会艺术体操项目集体全能决赛中，中国队以 分的成绩夺得金牌，这是中国
艺术体操队在奥运会上获得的第一枚金牌．艺术体操的绳操和带操可以舞出类似四角花瓣的图案，它
可看作由抛物线 绕其顶点分别逆时针旋转 、 、 后所得三条曲线与 围成的
（如图阴影区域）， 、 为 与其中两条曲线的交点，若 ，则（ ）
A．开口向上的抛物线的方程为
学科网（北京）股份有限公司B．
C．直线 截第一象限花瓣的弦长最大值为
D．阴影区域的面积不大于
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12．已知命题：“ ， ”为真命题，则 的取值为 .
13．已知 是定义在 上的可导函数，若 ，则 .
14．二项式 的展开式中，x的系数为 .
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（13分）已知 ，其中 ．
(1)若函数 在 处的切线与 轴平行，求 的值；
(2)求 的极值点；
16．（15分）已知向量 ， ，函数 .
(1)求 的单调递减区间；
(2)将 的图象向左平移 个单位，再将图象上各点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），得
到函数 的图象.若函数 ， 的图象与 的图象有三个交点且交点的横坐标成等
比数列，求 的值.
17.（15分）《九章算术》是我国古代数学名著，它在几何学中的研究比西方早1000多年，在《九章
学科网（北京）股份有限公司算术》中，将底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱称为堑堵（qiandu）；阳马指底面为矩形，
一侧棱垂直于底面的四棱锥，鳖臑（bienao）指四个面均为直角三角形的四面体.如图，三棱柱
， 平面 ，四棱锥 为阳马，且 ， 分别是 ， 的中点.
（1）求证： 平面 ；
（2）在线段 上是否存在点 ，使得 平面 ？若存在，求出 的值；若不存在，请说明理由.
18.（17分）已知函数 .
(1)讨论 的单调性；
(2)证明：当 时， .
19．在平面直角坐标系 中，已知直线 与椭圆 交于点A，B（A在x轴上方），且
．设点A在x轴上的射影为N，三角形ABN的面积为2（如图1）．
（1）求椭圆的方程；
（2）设平行于AB的直线与椭圆相交，其弦的中点为Q．
①求证：直线OQ的斜率为定值；
②设直线OQ与椭圆相交于两点C，D（D在x轴的上方），点P为椭圆上异于A，B，C，D一点，直线PA交CD于
点E，PC交AB于点F，如图2，求证： 为定值．
学科网（北京）股份有限公司DBDDA BBB 9AC 10ACD 11BCD
12． 13．1 14．20
15．【详解】（1）函数 的定义域为 ， ，
因为函数 在 处的切线与x轴平行，所以 ，解得 ．
（2）函数 的定义域为 ，
．
令 得 或 ，
所以当 ，即 时，
的解集为 ， 的解集为 ，
所以函数 在区间 和 上严格减，在区间 上严格增，
是函数 的极大值点， 是函数 的极小值点；
当 ，即 时， 在区间 上恒成立，此时函数 在区间 上严格减，无极
值点；
当 ，即 时， 的解集为 ， 的解集为 ，所以函数
在区间 和 上严格减，在区间 上严格增， 是函数 的极小值点，
是函数 的极大值点；
学科网（北京）股份有限公司综上，当 时， 是函数 的极大值点， 是函数 的极小值点；
当 时，函数 在区间 上严格减，无极值点；
当 时， 是函数 的极小值点， 是函数 的极大值点．
16.【详解】（1） ，
，
令 ， ，则 ， ，
所以 的单调递减区间为 ， ；
（2）将 的图象向左平移 个单位后，得到 ，
再将得到的图象的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变）后，得到 ，
函数 ， 的图象与 的图象有 三个交点坐标分别为
， ， 且 ，则由已知结合图象的对称性，有 ，解得 ，
∴ .
17【详解】（1）取 中点 ，连接 ， ，在 中，因为 ， 分别是 ， 中点，所以
，且 ，在平行四边形 中，因为 是 的中点，
学科网（北京）股份有限公司所以 ，且 ，所以 ，且 ，
所以四边形 是平行四边形，所以 ，
又因为 平面 ， 平面 ，所以 平面 .
（2）在线段 上存在点 ，使得 平面 ，取 的中点 ，连 ，连 ，
因为 平面 ， 平面 ， 平面 ，所以 ， ，在 中，因为
， 分别是 ， 中点，所以 ，
又由（1）知 ，所以 ， ，由 得 平面 ，
故当点 是线段 的中点时， 平面 .此时， .
18【详解】（1） ，定义域为 ，
则 ，
①当 时， 在 上单调递增；
②当 时，
当 时， ， 在 上单调递增；
当 时， 在 上单调递减.
综上，①当 时， 在 上单调递增，
②当 时， 在 上单调递增，在 上单调递减.
（2）当 时，要证 ，只需证 ，
学科网（北京）股份有限公司由（1）得， ，
即证 恒成立.
令 ，则
当 时， 单调递增，
当 时， 单调递减，
的最大值为 ，即 .
恒成立，原命题得证.
19．（1）由题意知，可设 ，可得 ，
即 ，所以 ，故 ，即 ，
又椭圆经过 ，即 ，解得 ，
所以椭圆的方程为 .
（2）设平行于AB的直线方程为 ，且 ，
①联立 ，设 ， ，得到 ，
所以 ， ，故直线OQ的斜率为 （定值）.
②由题意可知 ， ， ，
学科网（北京）股份有限公司联立 ，得 ， ，
设 ，直线斜率存在时，直线 ，
联立 ，得 ，
直线 ，联立 ，
得 ，则 ，
，
所以
因为 ，所以 ，代
入上式得：
.
当斜率不存在时结果仍然成立，故 为定值．
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