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让更多的孩子得到更好的教育
中考总复习：特殊三角形—知识讲解（提高）
撰稿：赵炜 审稿：杜少波
【考纲要求】
【高清课堂：等腰三角形与直角三角形 考纲要求】
1．了解等腰三角形、等边三角形、直角三角形的概念，会识别这三种图形；理解等腰三角形、等边三角形、
直角三角形的性质和判定．
2. 能用等腰三角形、等边三角形、直角三角形的性质和判定解决简单问题．
3. 会运用等腰三角形、等边三角形、直角三角形的知识解决有关问题．
【知识网络】
【考点梳理】
考点一、等腰三角形
1.等腰三角形：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形.
2．性质：
(1)具有三角形的一切性质；
(2)两底角相等(等边对等角)；
(3)顶角的平分线，底边中线，底边上的高互相重合(三线合一)；
(4)等边三角形的各角都相等，且都等于60°．
要点诠释：等边三角形中高线，中线，角平分线三线合一，共有三条.
3．判定：
(1)如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等(等角对等边)；
(2)三个角都相等的三角形是等边三角形；
(3)有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形．
要点诠释：
(1)腰、底、顶角、底角是等腰三角形特有的概念；
(2)等边三角形是特殊的等腰三角形．
考点二、直角三角形
1.直角三角形：有一个角是直角的三角形叫做直角三角形．
2．性质：
(1)直角三角形中两锐角互余；
(2)直角三角形中，30°锐角所对的直角边等于斜边的一半；
(3)在直角三角形中，如果有一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角等于30°；
(4)勾股定理：直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方；
(5)勾股定理逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形；
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(6)直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半.
要点诠释：
（1）直角三角形中，S = ch= ab，其中a、b为两直角边，c为斜边，h为斜边上的高；
Rt△ABC
（2）圆内接三角形，当一条边为直径时，该三角形是直角三角形．
3．判定：
(1)两内角互余的三角形是直角三角形；
(2)一条边上的中线等于该边的一半，则这条边所对的角是直角，这个三角形是直角三角形；
(3)如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，则这个三角形是直角三角形，第三边为斜边．
【典型例题】
类型一、等腰三角形
1．六边形ABCDEF的每个内角都为120°,且AB=1，BC=9，CD=6，DE=8.求六边形ABCDEF的周长．
【思路点拨】考虑到每个内角为120°,则每个外角均为60°,可通过构造等边三角形来求边长及面积．
【答案与解析】
延长BC、ED交于M，DE、AF交于N，FA、CB交于P．
∵∠EDC=∠DCB=120° ∴∠DCM=∠CDM=60°，
∴△MDC为等边三角形∠M=60°，
同理△BAP，△EFN均为等边三角形．
∠M=∠N=60° ∴△MNP为等边三角形，
MD=MC=6，PB=PA=1，
NE=NF=EF，
MP=6+9+1=16=MN=NP，
EF=NF=NE=MN-ME=16-（6+8）=2．
FA=NP-NF-PA=16-1-2=13，
∴周长为1+9+6+8+2+13=39．
【总结升华】考点是多边形外角和内角的关系.
举一反三：
【变式】把腰长为1的等腰直角三角形折叠两次后，得到的一个小三角形的周长是________．
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【答案】 .
2．已知: 如图, 菱形ABCD中, E、F分别是CB、CD上的点，BE=DF．
(1)求证:AE=AF．
(2)若AE垂直平分BC，AF垂直平分CD，求证：△AEF为等边三角形．
【思路点拨】菱形的定义和性质.
【答案与解析】
(1)∵四边形ABCD是菱形， ∴AB=AD,∠B=∠D ，
又∵BE=DF，∴ ≌ ．
∴AE=AF．
(2)连接AC, ∵AE垂直平分BC，AF垂直平分CD，
∴AB=AC=AD，
∵AB=BC=CD=DA ,
∴△ABC和△ACD都是等边三角形．
∴ , ．
∴ ．
又∵AE=AF ∴ 是等边三角形．
【总结升华】此题涉及到三角形全等的判定与性质，等边三角形的判定与性质.
举一反三：【高清课堂：等腰三角形与直角三角形 例4】
【变式】如图，△ABC为等边三角形，延长BC到D，延长BA到E，使AE=BD，连接CE、DE. 求证：
CE=DE.
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【答案】延长BD到F，使DF＝BC，连接EF，
∵等边△ABC，
∴AB＝BC＝AC，∠B＝60．
∵BF＝BD+DF，BE＝AB+AE，AE＝BD，BC＝DF，
∴BF＝BE，
∴等边△BEF，
∴EF＝BE，∠F＝∠B，
∴△BCE≌△FDE（SAS）．
∴CE＝DE．
类型二、直角三角形
3．△ABC和△ECD都是等腰直角三角形， ，D为AB边上一点．
求证：(1)△ACE≌△BCD； (2) ．
【思路点拨】判定两个三角形全等时，首先要根据条件判断运用哪个判定定理.
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【答案与解析】(1) ∵ ，
∴ ，
即 ．
∵ ，
∴ △BCD≌△ACE．
(2) ∵ ，
∴ ．
∵ △BCD≌△ACE，
∴ ，
∴ ．
∴ ．
【总结升华】该题涉及到的知识点有全等三角形的判定及勾股定理.
4．如图，△ACD和△BCE都是等腰直角三角形，∠ACD＝∠BCE＝90°，AE交DC于F，BD分别交CE，AE
于点G、H.试猜测线段AE和BD的位置和数量关系，并说明理由．
【思路点拨】△ACD和△BCE都是等腰直角三角形,为证明全等提供了等线段的条件.
【答案与解析】猜测 AE＝BD，AE⊥BD.
理由如下：
∵∠ACD＝∠BCE＝90°，
∴∠ACD＋∠DCE＝∠BCE＋∠DCE，即∠ACE＝∠DCB．
∵△ACD和△BCE都是等腰直角三角形，
∴AC＝CD，CE＝CB．
∴△ACE≌△DCB（SAS）．
∴AE＝BD，∠CAE＝∠CDB．
∵∠AFC＝∠DFH，
∴∠DHF＝∠ACD＝90°，
∴AE⊥BD．
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【总结升华】两条线段的关系包括数量关系和位置关系两种.
举一反三：
【变式】 .以等腰三角形AOB的斜边为直角边向外作第2个等腰直角三角形ABA ，再以等腰直角三角形
1
ABA 的斜边为直角边向外作第3个等腰直角三角形ABB，……，如此作下去，若OA=OB=1，则第n个等腰
1 1 1
直角三角形的面积S=________.
n
【答案】 .
类型三、综合运用
5 .（2012•牡丹江）如图①，△ABC中．AB=AC，P为底边BC上一点，PE⊥AB，PF⊥AC，CH⊥AB，垂足分别
为E、F、H．易证PE+PF=CH．证明过程如下：
如图①，连接AP．
∵PE⊥AB，PF⊥AC，CH⊥AB，
∴ = AB•PE， = AC•PF， = AB•CH．
又∵ ，
∴ AB•PE+ AC•PF= AB•CH．∵AB=AC，∴PE+PF=CH．
（1）如图②，P为BC延长线上的点时，其它条件不变，PE、PF、CH又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，
并加以证明：
（2）填空：若∠A=30°，△ABC的面积为49，点P在直线BC上，且P到直线AC的距离为PF，当PF=3时，则
AB边上的高CH=______.点P到AB边的距离PE=________.
【思路点拨】运用面积证明可使问题简便，（2）中分情况讨论是解题的关键．
【答案与解析】
（1）如图②，PE=PF+CH．证明如下：
∵PE⊥AB，PF⊥AC，CH⊥AB，
∴ = AB•PE， = AC•PF， = AB•CH，
∵ = + ，
∴ AB•PE= AC•PF+ AB•CH，
又∵AB=AC，
∴PE=PF+CH；
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（2）∵在△ACH中，∠A=30°，
∴AC=2CH．
∵ = AB•CH，AB=AC，
∴ ×2CH•CH=49，
∴CH=7．
分两种情况：
①P为底边BC上一点，如图①．
∵PE+PF=CH，
∴PE=CH-PF=7-3=4；
②P为BC延长线上的点时，如图②．
∵PE=PF+CH，
∴PE=3+7=10．
故答案为7；4或10．
【总结升华】本题考查了等腰三角形的性质与三角形的面积，难度适中.
6．在△ＡＢＣ中，AC=BC， ，点D为AC的中点．
（1）如图1，E为线段DC上任意一点，将线段DE绕点D逆时针旋转90°得到线段DF，连结CF，过点F作
，交直线AB于点H．判断FH与FC的数量关系并加以证明．
（2）如图2，若E为线段DC的延长线上任意一点，（1）中的其他条件不变，你在（1）中得出的结论是否发生
改变，直接写出你的结论，不必证明．
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【思路点拨】根据条件判断FH=FC,要证FH=FC一般就要证三角形全等.
【答案与解析】（1）FH与 FC的数量关系是： ．
延长 交 于点G，
由题意，知 ∠EDF=∠ACB=90°，DE=DF．
∴DG∥CB．
∵点D为AC的中点，
∴点G为AB的中点，且 ．
∴DG为 的中位线．
∴ ．
∵AC=BC，
∴DC=DG．
∴DC- DE =DG- DF．
即EC =FG．
∵∠EDF =90°， ，
∴∠1+∠CFD =90°，∠2+∠CFD=90°．
∴∠1 =∠2．
∵ 与 都是等腰直角三角形，
∴∠DEF =∠DGA = 45°．
∴∠CEF =∠FGH = 135°．
∴△CEF ≌△FGH．
∴ FH=FC．
（2）FH与FC仍然相等．
【总结升华】对于特殊三角形的判定及性质要记住并能灵活运用，注重积累解题思路和运用数学思想和方
法解决问题的能力和培养.
举一反三：
【高清课堂：等腰三角形与直角三角形 例7】
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【变式】如图， △ABC和△CDE均为等腰直角三角形，点B,C,D在一条直线上，点M是AE的中点，下
BC
列结论：①tan∠AEC= ; ②S +S ≥S ; ③BM⊥DM;④BM=DM.正确结论的个数是（
⊿ABC ⊿CDE ⊿ACE
CD
）A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
A
M
E
B C D
【答案】D.
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