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2025-2026 学年高二数学上学期第一次月考卷 03
（江苏专用）
（时间：120分钟 满分：150分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，
用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
4．测试范围：苏教版2019选择性必修第一册第1章~第2章。
5．难度系数：0.65。
第一部分（选择题 共58分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要
求的。
1．经过两点 的直线 的倾斜角为 ，则 的值为（ ）
A. -2 B. 1 C. 3 D. 4
1.【答案】B
【解析】经过两点 的直线 的斜率为 ，
又直线 的倾斜角为 ，所以 ，解得 .
故选：B.
2． “ ”是“直线 和直线 平行”的（ ）
A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件
C. 充要条件 D. 既非充分也非必要条件
2.【答案】A
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学科网（北京）股份有限公司【解析】当 时，两直线分别为： ， ，
两直线斜率相等，则平行且不重合．
若两直线平行且不重合，则
或 ，
综上所述， 是两直线平行的充分不必要条件．
故选：A
3．若点 在圆 外，则实数 的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
3.【答案】C
【解析】由 ，
化为标准方程可得： ，
则 ，即 ，①
又 在圆外，可得： ，解得： 或 ，②
由①②取交集可知，实数 的取值范围是 ，
故选：C.
4．已知直线 ， ，则过 和 的交点且与直线 垂直的直线
方程为（ ）
A. B.
C. D.
4.【答案】D
【解析】由 ， ，联立方程可得：
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学科网（北京）股份有限公司又直线 斜率为 ，
所以要求直线斜率为 ，故直线方程为 ，即 .
故选：D
5．在平面直角坐标系 中，已知点 ，动点 满足 ，则动点 的轨迹与圆
的位置关系是（ ）
A. 外离 B. 外切 C. 相交 D. 内切
5.【答案】C
【解析】由 ，得 ，
则 ，整理得 ，
表示圆心为 ，半径为 的圆，
圆 的圆心为 为圆心，半径 ，
两圆的圆心距为 ，满足 ，
所以两个圆相交.
故选：C.
6．若直线 被圆 截得的弦长为定值，则实数 的值
为（ ）
A. B. 0 C. 1 D. 2
6.【答案】C
【解析】圆 的圆心为 ，半径为 ，
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学科网（北京）股份有限公司要使弦长为定值，则需圆心到直线的距离为定值，
即 为定值，所以 .
故选：C
7．设直线 ， 一束光线从原点 出发沿射线 向直线 射出， 经
反射后与 轴交于点 ， 再次经 轴反射后与 轴交于点 . 若 ， 则 的值
为（ ）
A. B. C. D.
7.【答案】B
【解析】
如图，设点 关于直线 的对称点为 ，
则 得 ，即 ，
由题意知 与直线 不平行，故 ，
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学科网（北京）股份有限公司由 ，得 ，即 ，
故直线 斜率为 ，
的
直线 的直线方程为： ，
令 得 ，故 ，
令 得 ，故由对称性可得 ，
由 得 ，即 ，
解得 ，得 或 ，
若 ，则第二次反射后光线不会与 轴相交，故不符合条件．
故 ，
故选：B.
8．已知曲线 ： 是双纽线，则下列结论正确的是（ ）
A. 曲线 的图象不关于原点对称
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学科网（北京）股份有限公司B. 曲线 经过4个整点（横、纵坐标均为整数的点）
C. 若直线 与曲线 只有一个交点，则实数 的取值范围为
D. 曲线 上任意一点到坐标原点 的距离都不超过3
8.【答案】D
【解析】对于A，结合曲线 ： ，将 代入，
方程不变，即曲线 的图象关于原点对称，A错误；
对于B，令 ，则 ，解得 ，
令 ，则 ，解得 ，
令 ，则 ，解得 ，
故曲线 经过的整点只能是 ，B错误；
对于C，直线 与曲线 ： 必有公共点 ，
因此若直线 与曲线 只有一个交点，则 只有一个解 ，
即 只有一个解为 ，即 时， 无解，
故 ，即实数 的取值范围为 ，C错误，
对于D，由 ，可得 ， 时取等号，
则曲线 上任意一点到坐标原点 的距离为 ，即都不超过3，D正确，
故选：D
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部
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学科网（北京）股份有限公司选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．下列结论正确的有（ ）
A. 直线 恒过定点
B. 直线 的倾斜角的取值范围是
C. 经过点 ， 的直线方程均可用 表示
D. 直线 和 都经过点 ，则过两点 ， 的
直线方程为
9.【答案】ACD
【解析】对于A，直线 ，即 ，直线恒过定点 ，故A正确；
对于B，直线 的斜率 ，设直线的倾斜角为 ，则
,所以 ，故B错误；
对于C，经过点 ， 的直线方程均可用 表示，故
C正确；
对于D，直线 和 都经过点 ，则
所以点 ， 的直线方程为 上，故D正确.
故选：ACD.
10．已知圆 与圆 ，则（ ）
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学科网（北京）股份有限公司A. 过点 作圆 的切线只有 条，则
B. 若圆 与圆 有且只有 条公切线，则
C. 当 时，两圆的一条公切线方程为
D. 当 时，两圆的公共弦长为
10.【答案】AC
【解析】圆 的标准方程为 ，圆心 ，半径为 ，
圆C :(x−2) 2+(y−m) 2=4(m>0)的圆心为 ，半径为 ，
2
对于A选项，若点 作圆 的切线只有 条，则圆心 的圆心在圆 上，
则有 ，因为 ，解得 ，A对；
对于B选项，若圆 与圆 有且只有 条公切线，则两圆相交，
且 ，
由题意可得 ，即 ，
因为 ，解得 ，B错；
对于C选项，当 时，圆 的方程为 ，圆心为 ，半径为 ，
圆心 到直线 的距离为 ，
圆心 到直线 的距离为 ，
故当 时，两圆的一条公切线方程为 ，C对；
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学科网（北京）股份有限公司对于D选项，当 时，由B选项可知，两圆相交，
将两圆方程作差可得 ，此时，两圆的相交弦所在直线的方程为 ，
圆心 到直线 的距离为 ，
所以，两圆的公共弦长为 ，D错.
故选：AC.
11．数学美的表现形式不同于自然美或艺术美那样直观，它蕴藏于特有的抽象概念、公式符号、推理论证、
思维方法等之中，揭示了规律性，是一种科学的真实美，曲线 就是一条形状优
美的曲线，则（ ）
A. 曲线C上两点间距离的最大值为
B. 若点 在曲线 内部（不含边界），则
C. 若曲线C与直线 有公共点，则
D. 若曲线C与圆 有公共点，则
11.【答案】ABC
【解析】当 时，曲线 ，圆心 ，半径
当 时，曲线 ，圆心 ，半径
当 时，曲线 ，圆心 ，半径
当 时，曲线 ，圆心 ，半径
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学科网（北京）股份有限公司曲线 如图所示：
曲线 上两点间距离的最大值为 ，A选项正确.
如图直线 ： ，则 在线段 上， ， ，∴ ，B选项正确；
曲线C与直线 有公共点，则圆心 、 到直线的距离小于或等于半径，则
，则 或者 ，则 ，
∴ ，C选项正确.
原点到圆上的点最小距离 ，最大距离 ，故 ，
D选项错误.
故选：ABC
第二部分（非选择题 共92分）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．在平面直角坐标系 中，点 在直线 上，当 最小时， 点的坐标为______.
12.【答案】
【解析】易知，当 垂直于直线 时， 取得最小值，
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学科网（北京）股份有限公司此时 ， 所在直线方程为 ，
联立 解得 ，即 .
故答案为：
13．瑞士著名数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心位于同一直线上．这条直线被后
人称为三角形的“欧拉线”．在平面直角坐标系中作 ， ，点 ，点 ，且其
“欧拉线”与圆 相切，则 的“欧拉线”方程为________， 的最大值是
________．
13.【答案】 7
【解析】 ，由题意可得 的欧拉线为 的中垂线，
由 ， 可得 的中点为 ，且 ，
线段 的中垂线方程为 ，即 ，
因为 表示圆上的点 与 连线的斜率，设 ，则 ，即 ，
所以 ，即 ，解得 ，
所以 的最大值为 ，故D正确；
故答案为： 7
14．已知点A，B为圆 上两动点，且 ，点P为直线 上动点，
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学科网（北京）股份有限公司则 的最小值为________．
14.【答案】
【解析】设 的中点为 ，则 ，且 ，
，所以 点在以 为圆心，半径为 的圆上.
，
要求 的最小值，则需求 的最小值，
O(0,0)到直线 的距离为 ，
所以 的最小值为 ，
所以 的最小值为 .
故答案为：
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
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学科网（北京）股份有限公司15．（13分）
已知直线 ， .
（1）若坐标原点O到直线m的距离为 ，求a的值；
（2）当 时，直线l过m与n的交点，且它在两坐标轴上的截距相反，求直线l的方程.
15．（13分）
【解析】（1）设原点O到直线m的距离为 ，
则 ，解得 或 ；
（2）由 解得 ，即m与n的交点为 .
当直线l过原点时，此时直线斜率为 ，
所以直线l的方程为 ；
当直线l不过原点时，设l的方程为 ，
将 代入得 ，
所以直线l的方程为 .
故满足条件的直线l的方程为 或 .
16．（15分）
已知 ： 及经过点 的直线 .
（1）当 平分 时，求直线 的方程；
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学科网（北京）股份有限公司（2）当 与 相切时，求直线 的方程.
16．（15分）
【解析】（1）由题意，当 平分 时，即直线l过圆心C时.
圆 的圆心为 ，半径 ，
则直线 的斜率为 ，
所以 的方程为 ，即 .
（2）当斜率不存在时，直线 的方程为 ，
圆心 到 的距离为2，等于半径，符合题意；
当斜率存在时，设直线 的方程为 ，即 ，
则 ，解得 ，
所以 的方程为 ；
所以直线 的方程为 或 .
17．（15分）
已知圆 ，点 ， 为坐标原点.
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学科网（北京）股份有限公司（1）若 ，求圆 过 点的切线方程；
（2）若直线 与圆 交于 ， 两点，且 ，求 的值；
的
（3）若圆 上存在点 ，满足 ，求 取值范围.
17．（15分）
【解析】（1）当 时，圆 的圆心 ，半径 ，
而点 到直线 的距离为2，因此圆 过 点的切线斜率存在，设方程为 ，
则 ，解得 或 ，
所以所求切线方程为 或 .
（2）由 消去 得 ， ，
设 ，则 ，
由 ，得 ，则 ，
整理得 ，则 ，即 ，解得 ，满足 ，
所以 .
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学科网（北京）股份有限公司（3）设点 ，由 ，得 ，
整理得 ，即 ，因此点 的轨迹是以点 为圆心，2为半径的
圆，
依题意，圆 与圆 有公共点，即 ，则 ，
整理得 ，解得 ，
所以 的取值范围是 .
18．（17分）
如图，将一块直角三角形木板 置于平面直角坐标系中，已知 ， ，点
是三角形木板内一点，现因三角形木板中阴影部分受到损坏，要把损坏部分锯掉，可用经过
点P的任一直线 将三角形木板锯成 ，设直线 的斜率为k.
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学科网（北京）股份有限公司（1）用k表示出直线 的方程，并求出M、N的坐标；
（2）求锯成的 的面积的最小值.
18．（17分）
【解析】（1）设直线 ，
因为直线 过点 ，所以 ，即 ，
所以 ，
又因为 ， ，易得直线 ，直线 ，
联立 ，解得 ；联立 ，解得 ，
故 ， .
（2）因为 ， ，所以 ，所以 ，
因为 ，
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学科网（北京）股份有限公司设M到直线 的距离为d，则 ，
所以
，
当且仅当 ，即 时，等号成立，
所以S的最小值为 .
19．（17分）
已知圆 与直线 相切于点 ，圆心 在 轴上.
（1）求圆 的标准方程；
（2）若直线 与圆 交于 两点，当 时，求
实数 的值；
（3）过点 且不与 轴重合的直线与圆 相交于 两点， 为坐标原点，直线 分别与直
线 相交于 两点，记 的面积为 ，求 的最大值.
19．（17分）
【解析】（1）由题可知，设圆的方程为 ，
由直线 与圆相切于点 ，
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学科网（北京）股份有限公司得 ，解得 ，
所以圆的方程为 ；
（2）设圆心到直线 的距离为 ，
因为 ，所以 ，
所以 ，
解得 ；
（3）由题意知， ，
设直线 的斜率为 ，
则直线 的方程为 ，
由 ，得 ，
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学科网（北京）股份有限公司解得 或 ，
则点 的坐标为 ，
又直线 的斜率为 ，
同理可得：点 的坐标为 ，
由题可知： ，
，
又 ，
同理 ， ，
当且仅当 时等号成立，
的最大值为 .
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学科网（北京）股份有限公司
