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高 三 二 轮 检 测
数学试题参考答案及评分标准
2025.04
一、选择题：
题 号
1 2 3 4 5 6 7 8
答 案
B C D A D D C B
二、选择题：
题 号
9 10 11
答 案
ABD ACD ABD
三、填空题：
4 2
12.-160 13. 14.6
3
四、解答题：
（ 分）
15. 13
解： m n
∵ ⊥
B C C A ………………………………………………… 分
∴sin cos - 2cos sin = 0 2
即 C B A
cos (sin - 2sin ) =0
在钝角三角形ABC中 C
∵ ,cos ≠0
B A
∴sin = 2sin
由正弦定理，b a ……………………………………………………………… 分
= 2 4
（） c a
1 ∵ = 2 ,
a b c a a a
2 2 2 2 2 2
C + - + 4 - 2
∴cos = ab = a
2
2 4
3 ……………………………………………………………………… 分
= 6
4
（） b a
2 ∵ = 2
S 1 ab C a 2 C 3 a 2
∴ = sin = sin =
2 2
C 3 ……………………………………………………………… 分
∴sin = 8
2
C
∵ ∈(0,π)
C π或2π ……………………………………………………………… 分
∴ = 9
3 3
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1 8
{#{QQABRQQ54go4kBSACB5KR0lSC0mQkIKhJaoEwUCYqAQDgRFAFIA=}#}当C 2π时，
=
3
c
2
a
2
b
2
ab C 1b
2
b
2
1b
2
= + - 2 cos = + +
4 2
7b
2
=
4
c
7 ………………………………………………………………… 分
∴ b = 10
2
当C π时，
=
3
b
2
c
2
a
2
b
2
ab C b
2
1b
2
= + - 2 cos = + -
4 2
3b
2
…………………………………………………………………… 分
= 11
4
此时，a c b
2 2 2
+ =
B π，不合题意………………………………………………………… 分
∴ = 12
2
c
综上， 7 ……………………………………………………………… 分
b = 13
2
（ 分）
16. 15
（）证明：连接AC交BD于点O
1 ,
四边形ABCD为菱形
∵
AC BD
∴ ⊥
又平面A'BD 平面ABCD，平面A'BD 平面ABCD BDAC 平面ABCD
⊥ ⋂ = , ⊂
AC 平面ABD …………………………………………………………… 分
∴ ⊥ ′ 2
在四棱柱ABCD ABCD 中，EF分别为AA CC 中点
∵ - ′ ′ ′ ′ , ′, ′
AE CF，AE CF
∴ ∥ =
四边形ACFE为平行四边形
∴
EF AC…………………………………………………………………… 分
∴ ∥ 4
EF 平面ABD …………………………………………………………… 分
∴ ⊥ ′ 5
EF 平面BEF
∵ ⊂
平面BEF 平面ABD …………………………………………………… 分
∴ ⊥ ′ 6
（）由题意，O为ACBD中点
2 ,
ABD ABD都是正三角形，且BD
∵△ ,△ ′ = 2
AO BD AO AO
∴ ′ ⊥ , ′ = = 3
平面ABD 平面ABCD 平面ABD 平面
∵ ′ ⊥ , ′ ⋂
ABCD BD AO 平面ABD
= , ′ ⊂ ′
AO 平面ABCD
∴ ′ ⊥
以O为原点OAOBOA 所在直线分别为
∴ , , , ′
x轴y轴z轴，建立如图所示的空间直角坐标
, ,
系 ……………………………………… 分
8
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{#{QQABRQQ54go4kBSACB5KR0lSC0mQkIKhJaoEwUCYqAQDgRFAFIA=}#}则A B A C C
( 3,0,0), (0,1,0), ′(0,0, 3 ), (- 3,0,0), ′(-2 3,0, 3 ),
E 3 3 F 3 3 3 ………………………………………… 分
( ,0, ), (- ,0, ) 9
2 2 2 2
BE 3 3 EF
∴ =( , - 1, ), =(-2 3,0,0)
2 2
设平面BEF的一个法向量为n xyz
=( , , )
ì
ìn BE ï 3 x y 3 z
则í ·= 0，即í - + = 0
în EF ï 2 2
· = 0 î x
-2 3 = 0
x 令z 得y
∴ = 0, = 2, = 3
n …………………………………………………………… 分
∴ =(0, 3,2), 11
又BC ………………………………………………… 分
′=(-2 3, - 1, 3 ) 12
| |
| | BC n
n BC ′⋅ 3 21……………………………… 分
∴ cos , ′ = | BC ||n| = = 14
7 ×4 28
直线BC与平面BEF所成角的正弦值为 21 …………………………… 分
∴ ′ 15
28
（ 分）
17. 15
解： f x 1 ωx 3 ωx ωx
∵ ( )= - sin2 + cos2 + sin2
2 2
1 ωx 3 ωx
= sin2 + cos2
2 2
ωx π ω …………………………………………………… 分
= sin(2 + ), >0 2
3
f x 最小正周期T 2π
∵ ( ) = ω = π
2
ω ………………………………………………………………………… 分
∴ = 1 3
f x x π ………………………………………………………… 分
∴ ( )= sin(2 + ) 4
3
（） f x x π
1 ∵ ′( )= 2cos(2 + )
3
切线斜率k f ……………………………………………………… 分
∴ = ′(0)= 1 5
f 3 切点为 3
∵ (0)= , (0, )
2 2
切线方程为y x 3 ……………………………………………………… 分
∴ = + 6
2
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{#{QQABRQQ54go4kBSACB5KR0lSC0mQkIKhJaoEwUCYqAQDgRFAFIA=}#}é ù
（） g x 在ê πú上单调递减
2 ∵ ( ) ë0, û
2
é ù
g x 在ê πú上恒成立
∴ ′( )≤0 ë0, û
2
é ù
即 x ê πú g x ax x π …………………………… 分
∀ ∈ë0, û, ′( )= 2 - 1+ 2cos(2 + )≤0 7
2 3
g π a
∵ ′( )= π - 2≤0
2
a 2…………………………………………………………………………… 分
∴ ≤ 8
π
g x 4 x x π …………………………………………… 分
∴ ′( )≤ + 2cos(2 + )- 1 9
π 3
é ù
设h x 4 x x π x ê πú
( )= + 2cos(2 + )- 1, ∈ë0, û
π 3 2
h x 4 x π
∴ ′( )= - 4sin(2 + )
π 3
é ù
x ê π ú时y x π 单调递增
∵ ∈ë0, û , = sin(2 + )
12 3
é ù
h x 在ê π ú上单调递减h x h 4 ……………… 分
∴ ′( ) ë0, û , ′( )≤ ′(0) = - 2 3 <0 10
12 π
é ù
x ê π πú时y x π 单调递减
∵ ∈ë , û , = sin(2 + )
12 2 3
é ù
h x 在ê π πú上单调递增
∴ ′( ) ë , û
12 2
h π 4 ，h π 4
∵ ′( )= - 4<0 ′( )= + 2 3 >0
12 π 2 π
存在唯一x π 使得h x
∴ 0 ∈(0, ), ′( 0)= 0
2
当x x 时 h x h x 单调递减当x x π 时 h x h x 单调递增
∴ ∈[0, 0] , ′( )<0, ( ) ; ∈[ 0, ] , ′( )>0, ( )
2
…………………………………………………………………………………… 分
12
又 h h π
∵ (0)= 0, ( )= 2 - 1+ 1= 0
2
h x …………………………………………………………………… 分
∴ ( )max = 0 14
x π g x h x
∴∀ ∈[0, ], ′( )≤ ( )≤0
2
综上，a 2 ……………………………………………………………… 分
∈(-∞, ] 15
π
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4 8
{#{QQABRQQ54go4kBSACB5KR0lSC0mQkIKhJaoEwUCYqAQDgRFAFIA=}#}（ 分）
18. 17
解：（）a a 即 前两次点数之和为 设为事件A
1 1 + 2 = 7 “ 7”,
样本空间 { a a | a a { } }
∵ Ω = ( 1, 2) 1, 2 ∈ 1,2,3,4,5,6
n ………………………………………………………… 分
∴ (Ω)= 6×6= 36 1
∵7= 1+ 6= 2 + 5= 3+ 4
{ }
A
∴ = (1,6),(2,5),(3,4),(4,3),(5,2),(6,1)
n A …………………………………………………………………… 分
∴ ( )= 6 2
n A
P A ( ) 6 1
∴ ( )= n = =
(Ω) 36 6
即a a 的概率为1 …………………………………………………… 分
1 + 2 = 7 3
6
（）（）方法 ：（注：方法 中，m 时P 每对两个给 分，不计顺序）
2 i 1 1 = 2,3⋯7 m 1
当m 时，由（），P 1
=2 1 2=
6
当m 时，
=3 7= 1+ 1+ 5= 1+ 2 + 4= 1+ 3+ 3= 2 + 2 + 3
P 3+ 6 + 3+ 3 1 3 …………………………………………… 分
∴ 3 = 3 = 15×( ) 4
6 6
当m 时，
=4 7= 1+ 1+ 1+ 4= 1+ 1+ 2 + 3= 1+ 2 + 2 + 2
P 4 + 12 + 4 1 4
∴ 4 = 4 = 20×( )
6 6
当m 时，
=5 7= 1+ 1+ 1+ 1+ 3= 1+ 1+ 1+ 2 + 2
P 5+ 10 1 5 ………………………………………………… 分
∴ 5 = 5 = 15×( ) 5
6 6
当m 时，
=6 7= 1+ 1+ 1+ 1+ 1+ 2
P 6 1 6
∴ 6 = 6 = 6×( )
6 6
当m 时，P 1 1 7 …………………………………………………… 分
=7 7 = 7 =( ) 6
6 6
方法 2 ：由隔板法知P m= Cm 6 -1 ( 1 ) m , m = 2,3…7 …………………………… 6 分
6
7
∴∑m
=2
P m= C 1 6 ⋅( 1
6
) 2 + C 2 6 ⋅( 1
6
) 3 + C 3 6 ⋅( 1
6
) 4 + C 4 6 ⋅( 1
6
) 5 + C 5 6 ⋅( 1
6
) 6 + C 6 6 ⋅( 1
6
) 7
1 C 0 1 0 C 1 1 C 6 1 6 1
= ( 6 ⋅( ) + 6 ⋅ + …+ 6 ⋅( ) )-
6 6 6 6 6
1 1 6 1
= ×(1+ ) -
6 6 6
6
7 1 ………………………………………………………………… 分
= - 9
7
6 6
互质 t r互质
∵6,7 , ,
t r
6 7
∴ = 7 , = 6
b 76 67 …………………………………………… 分
∴ = log1 + log6 = -6 + 7= 1 10
7
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{#{QQABRQQ54go4kBSACB5KR0lSC0mQkIKhJaoEwUCYqAQDgRFAFIA=}#}（）证明 c 2
ii :∵ 1 = ,
3
c c 2 4
∴ 2 = 1 =
9
S S c c c c
∵ n +1 - n = 2 1 + 2 2 + …+ 2n = n +1
当n 时c c c c
∴ ≥2 , 2 1 + 2 2 + …+ 2n -1 = n
c c c …………………………………………………………… 分
∴ n +1 - n = 2n 12
c c c c c
∴ n +1 = 2n + n = n( n + 1)
c c c c
1 n n2 n +1 - n 1 1 n …………………… 分
c = c = c c = c c = c - c , ≥2 15
n + 1 n +1 n n +1 n n +1 n n +1
n
1 1 1 1
∴∑i
=2
c
i + 1
= c
2 + 1
+ c
3 + 1
+ …+ c
n + 1
1 1 1 1 1 1
= c - c + c - c + …+ c - c
n n
2 3 3 4 +1
1 1 …………………………………………………… 分
= c - c 16
n
2 +1
c
∵ n +1>0
n
1 1 1 1 9 ………………………………………… 分
∴∑i
=2
c
i + 1
= c
2
- c
n +1
< c
2
=
4
17
（ 分）
19. 17
解：（）设P xy 则x
1 ( , ), ≠±2
y y
k k …………………………………………………… 分
∴ AP = x , BP = x 1
+ 2 - 2
y y y
2
k k 3
∴ AP ⋅ BP = x ⋅ x = x = -
2
+ 2 - 2 - 4 4
y x x ……………………………………………… 分
2 2
∴4 + 3( - 4)= 0, ≠±2, 3
x y
2 2
即 x
+ = 1, ≠±2
4 3
x y
2 2
E的方程为 x …………………………………………… 分
∴ + = 1( ≠±2) 4
4 3
（）（）设C x y D x y
2 i ( 1, 1), ( 2, 2)
由已知，l斜率不为 ，设l的方程为x ny
0 = + 1
ìx y
2 2
ï
由í + = 1
ï4 3
îx ny
= + 1
得 n y ny ………………………………………………… 分
2 2
(3 + 4) + 6 - 9= 0 5
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{#{QQABRQQ54go4kBSACB5KR0lSC0mQkIKhJaoEwUCYqAQDgRFAFIA=}#}n
y y 6 y y 9
∴ 1 + 2 = - n 2 , 1 2 = - n 2
3 + 4 3 + 4
n
2
x x n y y 8 ，x x ny ny 4(1- 3 )
∴ 1 + 2 = ( 1 + 2)+ 2 = n 2 1 2 =( 1 + 1)( 2 + 1)= n 2
3 + 4 3 + 4
………………………………………………………………………………… 分
6
y y
设k k 1 k k 2
1= AC = x , 2 = AD = x
1 + 2 2 + 2
由题意，k k
1 >0, 2 <0
y y
k k 1 2 -9
∴ 1 2 = x x x x = n 2 n 2
1 2 + 2( 1 + 2)+ 4 4(1- 3 )+ 16 + 4(3 + 4)
-9 1 …………………………………………………………… 分
= = - 7
36 4
由题意，k k k k 3
BC ⋅ AC = BC ⋅ 1 = -
4
k k k k k
∴ BC ⋅ 1 = 3 1 ⋅ AD , 1 ≠0
k k 即k k
∴ BC = 3 AD, BN = 3 AN
y y
N N y
∴ x = 3x , N ≠0
N - 2 N + 2
x x
∴3( N - 2)= N + 2
x 即N在直线x 上
∴ N = 4, = 4
同理，M在定直线x 上 ……………………………………………………… 分
=4 8
直线AC的方程为y k x ，直线AD的方程为y k x
∵ = 1( + 2) = 2( + 2)
由x 得y k 同理y k …………………………………………… 分
= 4, M= 6 1, N = 6 2 9
|MN| | y y | k k
∴ = M - N = 6( 1 - 2)
k k
≥12 1 ⋅(- 2) = 6
当且仅当k 1 k 1时取
1 = , 2 = - “= ”
2 2
|MN|最小值为 ………………………………………………………… 分
∴ 6 10
（）证明 直线AC与直线x 相交于点GBG中点为H
ii :∵ = 2 ,
y y
G 4 1 H 2 1 …………………………………………… 分
∴ (2,x ), (2,x ) 11
1 + 2 1 + 2
设 HQB α CQB β
∠ = ,∠ =
当β π时
≠ ,
2
y y
k y 2 1 α k 1 β …………………………… 分
QH = H = x = tan , CQ = x = tan 12
1 + 2 1 - 1
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{#{QQABRQQ54go4kBSACB5KR0lSC0mQkIKhJaoEwUCYqAQDgRFAFIA=}#}y
4 1
α x
α 2tan 1 + 2
∴tan2 = α = y
2 2
1- tan 4 1
1- x
2
( 1 + 2)
y x
4 1( 1 + 2)
= x y
2 2
( 1 + 2) - 4 1
y x
4 1( 1 + 2)
= x x
2 2
( 1 + 2) + 3( 1 - 4)
y
4 1
= x x
1 + 2 + 3( 1 - 2)
y
1
= x
1 - 1
β
= tan
由题意，β β π α π
∈(0,π), ≠ , ∈(0, )
2 2
α β …………………………………………………………………… 分
∴2 = 14
当β π时 α π 也满足 α β ………………………………………… 分
= , = , 2 = 15
2 4
故QH平分 TQB
∠
BT QH
∵ ⊥
QH为BT中垂线
∴ ,
| | | |
TQ BQ 即T在圆Q x y 上 ……………………… 分
2 2
∴ = = 1, :( - 1) + = 1 16
又 THQ BHQ
△ =△
TH QT
∴ ⊥
TH与定圆Q x y 相切 ……………………………………… 分
2 2
∴ :( - 1) + = 1 17
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8
S
8
{#{QQABRQQ54go4kBSACB5KR0lSC0mQkIKhJaoEwUCYqAQDgRFAFIA=}#}
