文档内容
2026 届高三暑假作业暨开学模拟检测
数学
(本试卷共4页，时量120分钟，满分150分)
一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，
只有一项是符合题目要求的)
1. 已知函数f(x)=ln(ax+2)在区间(1,2)上单调递减，则实数a的取值范围是 ( )
A. a<0 B. -1≤a<0 C. -10,fx 在(0,+∞)上单调递增，且f0 =0，因为b>1⇒
lnb>0⇒flnb >0
所以f(2a)=2f(lnb)>f(lnb)，所以2a>lnb，即b2(ea-a-1)，所以f(2a)=2f(lnb)>2f(a)，所以a 6，∴a>b，
2c 4lg3lg2 4lg3lg2 4lg3lg2
= = < =1
2b (lg3+lg2)2 lg23+lg22+2lg3lg2 2lg3lg2+2lg3lg2
又c，b都大于0，∴cS =-4,S
1 2 n
不是单调递增的，
所以“数列a
n
为递增数列”不能推出“数列S
n
为递增数列”，必要性不成立；
所以“数列S
n
为递增数列”是“数列a
n
为递增数列”的既不充分也不必要条件．
故选：D．
8. 已知四面体ABCD的顶点均在半径为 5的同一球面上，且AB=2CD=4，则该四面体体
积的最大值为 ( )
A. 2 2 B. 3 C. 4 D. 3 2
【答案】C
【详解】因为AB=2CD=4，四面体ABCD外接球的半径为 5，设球心为O，设E为AB的中点，F
为CD的中点，
则球心O到AB的中点E的距离OE= 5 2-22=1，
球心O到CD的中点F的距离OF= 5 2-12=2；1 1 1
所以V =V +V ≤ S ⋅CF+ S ⋅DF= S ⋅CD，
ABCD C-ABF D-ABF 3 △ABF 3 △ABF 3 △ABF
1 1
S ≤ AB⋅EF≤ AB⋅(OE+OF)，
△ABF 2 2
1
所以V ≤ AB⋅CD⋅(OE+OF)，又OE=1，OF=2，
ABCD 6
1
所以V ≤ ×2×4×1+2
ABCD 6
=4，当且仅当AB与CD垂直，且均与EF垂直时取等号．
故选：C
二、选择题(本大题共3个小题，每小题6分，共18分.在每个小题给出的选项中，
有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分)
9. 过点P(2，2)作圆C：(x+2)2+(y+2)2=r2(r>0)的两条切线，切点分别为A，B，下列结
论正确的是 ( )
A. 00)的圆心为(-2，-2)，半径为r，
当点P在圆C外时，才可以作2条切线，
所以PC = 2+2 2+2+2 2=4 2>r，即02或x<0时，x-1<-1或x-1>1，故此时sin(3x+2)=x-1无解，
下面考虑 0,2 上方程sin(3x+2)=x-1的解的个数，
设sx =sin3x+2 -x+1，其中sx =3cos3x+2 -1，
π
设θ∈0, 3
1
且cosθ= ，则sx 3
2π-θ-2 2π+θ-2
=0的解为x = ，x = ， 1 3 2 3
而s0 =3cos2-1<0，
故当00，
故sx 在0,x 1 ，x 2 ,2 上为减函数，在x 1 ,x 2 x 3 ,2 上为增函数，
而s0 =sin2+1>0，x 2 >1且s1 =sin5<0，
9
s
5
37 4 7π 37 5π 37 4 3 4
=sin - ，而 < < ，故sin - > - >0，
5 5 3 5 2 5 5 2 5
9
故s
5
>0，s2 =sin8-1<0，
故sx 在 0,2 有3个不同的实数根，故A错误；
y=2x-1
对于B，由
sinx+2y
π
2+ +2kπ
2
可得sin(5x-2)=1，故x= ,k∈Z，
=2x-y 5
对sin(x+2y)=2x-y两边求关于x的导数，
则cos(x+2y)1+2y =2-y，
π
2+ +2kπ
2
故当x= ,k∈Z时，有cos(5x-2)1+2y
5
=0=2-y，
π
2+ +2kπ
2
当x= ,k∈Z，y=2，而直线y=2x-1的斜率为2，
5
故曲线C与直线y=2x-1相切，故B正确.
对于C，取x=π，考虑sin(π+2y)=2π-y即方程y-sin2y=2π的解的个数，
设sx =x-sin2x-2π，则s5
7π
=5-sin10-2π<0，s
4
7π π
= -2π+1=- +1>0，
4 4
9π
s
4
π
= -1<0，s3π
4
=π>0，
故sx 至少有两个零点，故y-sin2y=2π有两个不同的解，
故y 不是关于x 的函数，故C错误；
0 0
对于D，ux =sin(x+2y)-2x+y，则ux =cos(x+2y)-2<0，故ux 为R的减函数，且当x→+∞时，ux →-∞，当x→-∞时，ux →+∞，
故对任意y∈R，方程sin(x+2y)-2x+y=0即sin(x+2y)=2x-y有唯一解，
故x 是关于y 的函数，故D正确；
0 0
故选：BD.
11. 已知曲线C:x-2 x+y2=0，下列结论正确的是 ( )
A. 曲线C关于直线x=1对称
B. 曲线C上恰好有4个整点(即横，纵坐标均是整数的点)
C. 曲线C上存在一点P，使得P到点(1,0)的距离小于1
D. 曲线C所围成区域的面积大于4
【答案】BD
【详解】方法一：x-2 x+y2=0，代入2-x,y 则2-x-2 2-x+y2≠0，即曲线C不 关于x=
1对称，
( x-1)2+y2=1，整点(0,0)，(1,1)，(1,-1)，(4,0)共4个，B对．
设P1+2cosθ+cos2θ,sinθ ，M(1,0),PM= 2cosθ+cos2θ 2+sin2θ=
cos2θcosθ+1 cosθ+3 +1≥1，C错．
如图S =4，∴曲线C所围成区域的面积大于4，D对，
△OBA
方法二：对于A，∵P(0,0)在曲线C上，P关于x=1的对称点P(2,0)，而2-2 2+0≠0∴P(2,0)
不在曲线C上，
∴曲线C不关于直线x=1对称，A错．
对于B，由2 x-x≥0⇒0≤x≤4，当x=0时，y=0；当x=1时，y=±1；
当x=2时，y2=2 2-2∉Z，舍；当x=3时，也舍，当x=4时，y=0
∴曲线C上恰有4个整点(0,0),(1,±1)及(4,0)，B正确．
对于C，设P(x,y)为曲线上的点，∴x-2 x+y2=0，
∴P到(1,0)的距离d= (x-1)2+y2= (x-1)2+2 x-x= x2-3x+2 x+1=
x( x-1)2( x+2)+1≥1，C错．
对于D，曲线C关于x轴对称，考察曲线C在第一象限与x轴围成的面积，P(x,y)为曲线C第一象
限上任一点，M(1,1)在曲线上，
A(0,0)，B(4,0)也在曲线上，且0≤x≤1时，
y2-x2=2 x-x-x2= x(1- x)(2+x+ x)≥0⇒y≥x，当且仅当x=0或1时取“=”，
P始终在y=x上方，即在直线MA上方；
1 1 1
且12S =2×
围 △MAB 2
×4=4，D正确，
故选：BD．
三、填空题(本题共3小题，每小题5分，共15分)
12. 已知5x2y2+y4=1(x,y∈R)，则x2+y2的最小值是 ．
4
【答案】
5
【详解】∵5x2y2+y4=1
1-y4
∴y≠0且x2=
5y2
1-y4 1 4y2 1 4y2 4 1 4y2 3
∴x2+y2= +y2= + ≥2 ⋅ = ，当且仅当 = ，即x2= ,y2=
5y2 5y2 5 5y2 5 5 5y2 5 10
1
时取等号.
2
4
∴x2+y2的最小值为 .
5
4
故答案为： .
5
13. 写出与圆x2+y2=1和(x-3)2+(y-4)2=16都相切的一条直线的方程 ．
3 5 7 25
【答案】y=- x+ 或y= x- 或x=-1
4 4 24 24
【详解】[方法一]：
显然直线的斜率不为0，不妨设直线方程为x+by+c=0，
|c| |3+4b+c|
于是 =1， =4.
1+b2 1+b2
故c2=1+b2①，|3+4b+c|=|4c|.于是3+4b+c=4c或3+4b+c=-4c，
24 4
再结合①解得 b
c
=
=
0
1
或 b
c
=
=
-
- 2
7
5
或 b
c
=
=-
3
5
，
7 3
所以直线方程有三条，分别为x+1=0，7x-24y-25=0，3x+4y-5=0.
(填一条即可)
[方法二]：
设圆x2+y2=1的圆心O(0,0)，半径为r =1，
1
圆(x-3)2+(y-4)2=16的圆心C(3,4)，半径r =4，
2
则|OC|=5=r +r ，因此两圆外切，
1 2由图像可知，共有三条直线符合条件，显然x+1=0符合题意；
又由方程(x-3)2+(y-4)2=16和x2+y2=1相减可得方程3x+4y-5=0，
即为过两圆公共切点的切线方程，
又易知两圆圆心所在直线OC的方程为4x-3y=0，
4
直线OC与直线x+1=0的交点为-1,-
3
，
4
k-
4 3
设过该点的直线为y+ =k(x+1)，则
3
7
=1，解得k= ，
k2+1 24
从而该切线的方程为7x-24y-25=0.(填一条即可)
[方法三]：
圆x2+y2=1的圆心为O0,0 ，半径为1，
圆(x-3)2+(y-4)2=16的圆心O 为(3,4)，半径为4，
1
两圆圆心距为 32+42=5，等于两圆半径之和，故两圆外切，
如图，
4 3 3
当切线为l时，因为k = ，所以k =- ，设方程为y=- x+t(t>0)
OO 1 3 l 4 4
|t| 5 3 5
O到l的距离d= =1，解得t= ，所以l的方程为y=- x+ ，
9 4 4 4
1+
16
当切线为m时，设直线方程为kx+y+p=0，其中p>0，k<0，
p
由题意
=1
1+k2 3k+4+p
=4 ，解得
k
p
=
=
-
2
2
5
4
2
7
4 ，y= 2 7 4 x- 2 2 5 4
1+k2
当切线为n时，易知切线方程为x=-1，3 5 7 25
故答案为：y=- x+ 或y= x- 或x=-1.
4 4 24 24
14. 若实数x，y满足(x+ x2+4)(y+ y2+4)=4，则x2+2y的最小值为 ．
【答案】-1.
【详解】由题意，实数x，y满足(x+ x2+4)(y+ y2+4)=4，
可得(x+ x2+4),2,(y+ y2+4)构成成等比数列，
x+ x2+4= 2 x2+4= 2 -x 设公比为q，则 q ，整理得 q
y+ y2+4=2q
2 x= 1 -q q ，解得 ，
1
y2+4=(2q-y)2 y=q-
q
可得y=-x，所以x2+2y=x2-2x=(x-1)2-1≥-1，
故x2+2y的最小值为-1．
故答案为：-1．
四、解答题(本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
1
15. 已知函数f(x)=lnx+λ -x
x
(λ∈R).
(1)当x>1时，不等式fx
<0恒成立，求λ的最小值；
1
(2)设数列a = n∈N*
n n
a
，其前n项和为S ，证明：S -S + n >ln2.
n 2n n 4
1
【答案】(1) ；(2)证明见解析.
2
1
【详解】(1)因为f(x)=lnx+λ -x
x
-λx2+x-λ
(λ∈R)，故可得f(x)=
x2
1
当λ≥ 时，方程-λx2+x-λ=0的Δ=1-4λ2≤0，
2
故因式-λx2+x-λ在区间(1,+∞)恒为负数，
故x>1时，fx <0恒成立，故fx 单调递减，
又f1 =0，故fx <0在x>1时恒成立，满足题意；
1
当0<λ< 时，方程-λx2+x-λ=0有两个不相等的实数根，
2
1- 1-4λ2 1+ 1-4λ2
且x = <10在区间1,x 2 恒成立，此时fx 单调递增；
又f1 =0，故fx >0在1,x 2 恒成立，不满足题意；
1
当λ≤0时，f(x)=lnx+λ -x
x
≥lnx，
函数y=lnx在1,+∞ 恒为正值，故fx >0在1,+∞ 恒成立，不满足题意.
1
综上所述，λ∈ ,+∞
2
，
1
故λ的最小值为 .
2
1 1
(2)由(1)可知，当x>1时，lnx<- -x
2 x
(x+1)(x-1)
=
2x
1
若n∈N*，ln1+
n
1
1+
n
<
+1
1
⋅ 1+
n
-1
1 21+
n
2n+1
= ，
2n(n+1)1 1
即ln(n+1)-lnn< + 恒成立，
2n 2(n+1)
1 1
把n换成n+1，可得ln[(1+n)+1]-ln(n+1)< + 成立，
2(n+1) 2[(n+1)+1]
1 1
即ln(n+2)-ln(n+1)< + ，
2(n+1) 2(n+2)
1 1
以此类推，ln(n+3)-ln(n+2)< +
2(n+2) 2(n+3)
⋯⋯
1 1
ln2n-ln(2n-1)< + ，
2(2n-1) 4n
1 1 1 1 1
累加可得ln2n-lnn=ln2< + + +⋯+ + .
2n n+1 n+2 2n-1 4n
1 1 1 1
又S -S = + +⋯+ + ，
2n n n+1 n+2 2n-1 2n
a
故S -S + n >ln2.即证.
2n n 4
【点睛】本题考查利用导数由恒成立问题求参数范围，涉及利用导数证明不等式，属综合困难题.
16. 如图，在四棱锥P-ABCD中，△PAD是以AD为斜边的等腰直角三角形，BC⎳AD，AB
⊥AD，AD=2AB=2BC=2，PC= 2，E,F分别为PD,BE的中点.
(1)证明：P,A,C,F四点共面；
(2)求直线DF与平面PAC所成角的正弦值.
【答案】(1)证明见解析；
4 10
(2)
15
小问1详解】
如图：取AD中点O，连接OP，OC.
因为△APD是以AD为斜边的等腰直角三角形，所以OP⊥AD；
又四边形ABCD是直角梯形，且AB⊥AD，AD=2AB=2BC=2，
所以四边形ABCO为正方形，所以OC⊥AD；
在△PCD中，OP=OC=1，PC= 2，由OP2+OC2=PC2得：OC⊥OP.
所以OP，OC，OD两两垂直.
以O为原点，建立如图空间直角坐标系：则P0,0,1 ，A0,-1,0 ，B1,-1,0 ，C1,0,0 ，D0,1,0 ，
1 1
因为E为PD中点，所以E0, ,
2 2
1 1 1
，因为F为BE中点，所以F ,- ,
2 4 4
，
1 1 1
则OF= ,- ,
2 4 4
，OC=1,0,0
,OA=0,-1,0
,OP=0,0,1 ，
1 1 1
所以OF= OC+ OA+ OP.
2 4 4
1 1 1
因为 + + =1，所以P,A,C,F四点共面.
2 4 4
【小问2详解】
1 5 1
因为DF= ,- ,
2 4 4
，PA=0,-1,-1
，PC=1,0,-1 ，
设平面PAC的法向量为n=x,y,z ，
n⊥PA x,y,z 则 ⇒
n⊥PC
⋅0,-1,-1 =0
x,y,z ⋅1,0,-1
⇒ y+z=0 ，取n =1,-1,1
=0 x-z=0
，
设直线DF与平面PAC所成的角为θ，
则sinθ=cosDF,n
DF⋅n
=
DF ⋅n
1 5 1
+ +
2 4 4 4 10
= = .
1 25 1 15 + + × 3
4 16 16
17. 某公司邀请棋手与该公司研制的一款机器人进行象棋比赛，规则如下：棋手的初始分为
200，每局比赛，棋手胜加100分；平局不得分；棋手负减100分．当棋手总分为0时，挑战失
败，比赛终止；当棋手总分为300时，挑战成功，比赛终止；否则比赛继续．已知每局比赛棋
1 1 1
手胜、平、负的概率分别为 、 、 ，且各局比赛相互独立.
4 4 2
(1)求两局后比赛终止的概率；
(2)在3局后比赛终止的条件下，求棋手挑战成功的概率；
(3)在挑战过程中，棋手每胜1局，获奖5千元．记nn≥10
局后比赛终止且棋手获奖1万
元的概率为Pn
，求Pn
的最大值．
5
【答案】(1)
16
3
(2)
11
261
(3)
217
【小问1详解】
设每局比赛甲胜为事件A，每局比赛甲平为事件B，每局比赛甲负为事件Ci∈N*
i i i
，设“两局后比赛终止”为事件M，
因为棋手与机器人比赛2局，所以棋手可能得0分或300分比赛终止．
(i)当棋手得分为0分，则2局均负，即C C ；
1 2
(ii)当棋手得分为300分，则2局先平后胜，即B A ．
1 2
因为C 1 C 2 、B 1 A 2 互斥，所以PM =PC 1 C 2 +B 1 A 2 =PC 1 C 2 +PB 1 A 2
=PC 1 PC 2 +PB 1 PA 2
1
= 2
2 1
+ 4
2 5
= ． 16
5
所以两局后比赛终止的概率为 ．
16
【小问2详解】
设“3局后比赛终止”为事件D，“3局后棋手挑战成功”为事件E．
因为PD =PB 1 B 2 A 3 +B 1 C 2 C 3 +C 1 A 2 A 3 +C 1 B 2 C 3
1
=
4
3 1 1
+ ×
4 2
2 1 1
+ ×
2 4
2 1 1 1 11
+ × × = ，
2 4 2 64
PE =PB 1 B 2 A 3 +C 1 A 2 A 3
1
= 4
3 1 1
+ × 2 4
2 3
= ． 64
所以在3局后比赛终止的条件下，棋手挑战成功的概率为
PED
PDE
=
PD
PE
=
PD
3
64 3
= = ．
11 11
64
3
所以在3局后比赛终止的条件下，棋手挑战成功的概率为 ．
11
【小问3详解】
因为n局获奖励1万元，说明甲共胜2局．
(i)当棋手第n局以0分比赛终止，说明前n-1局中有3负2胜，且是“负胜负胜负”的顺序，其余均
为平局，共有C5 种，
n-1
(ii)当棋手第n局以300分比赛终止，说明前n-1局中有1负1胜，且是先负后胜的顺序，其余均为
平局，共有C2 种，
n-1
则“nn≥10 局后比赛终止且棋手获得1万元奖励”的概率
Pn
1
=C5 n-1 2
4 1
4
n-4 1
+C2 n-1 2
1
4
n-1 C2 +8C5
= n-1 n-1 ，n≥10 22n-1 ．
Pn+1
所以
Pn
C2+8C5
= n n ．
4C2 +32C5 n-1 n-1
C n 2+8C n 5-4C n 2 -1 -32C n 5 -1 =C n 2-4C n 2 -1 +8C n 5-4C n 5 -1
n-1
=
8-3n n-1
+
2
n-2 n-3 n-4 20-3n
15
因为n≥10，所以C2+8C5-4C2 -32C5 <0，
n n n-1 n-1
Pn+1
所以
Pn
<1，所以Pn 单调递减，
所以当n=10时，Pn 取最大值为P10
261
= ．
217
18. 正方体ABCD-A B C D 的棱长为4，E、F分别为A D ,C B 中点，CG=3GC ．
1 1 1 1 1 1 1 1 1(1)求证：GF⊥平面FBE；
(2)求平面FBE与平面EBG夹角的余弦值；
(3)求三棱锥D-FBE的体积．
【答案】(1)证明见解析
4
(2)
5
32
(3)
3
【小问1详解】
法一、 正方形BCC B 中，
1 1
C G 1 FB
由条件易知tan∠C FG= 1 = = 1 =tan∠B BF，所以∠C FG=∠B BF，
1 C F 2 BB 1 1 1
1 1
π
则∠B FB+∠B BF= =∠C FG+∠B FB，
1 1 2 1 1
故∠BFG=π-∠C 1 FG+∠B 1 FB
π
= ，即FG⊥BF， 2
在正方体中，易知D C ⊥平面BCC B ，且EF⎳D C ，
1 1 1 1 1 1
所以EF⊥平面BCC B ，
1 1
又FG⊂平面BCC B ，∴EF⊥FG，
1 1
∵EF∩BF=F,EF、BF⊂平面BEF，∴GF⊥平面BEF；
法二、如图以D为中心建立空间直角坐标系，
则B4,4,0 ,E2,0,4 ,F2,4,4 ,G0,4,3 ，
所以EF=0,4,0
,EB=2,4,-4
,FG=-2,0,-1 ，
设m=a,b,c 是平面BEF的一个法向量，
m⋅EF=4b=0
则 ，令a=2，则b=0,c=1，所以m=2,0,1
m⋅EB=2a+4b-4c=0
，
易知FG=-m，则FG也是平面BEF的一个法向量，∴GF⊥平面BEF；
【小问2详解】
同上法二建立的空间直角坐标系，
所以EG=-2,4,-1
,BG=-4,0,3 ，
由(1)知FG是平面BEF的一个法向量，
设平面BEG的一个法向量为n=x,y,z
n⋅EG=-2x+4y-z=0
，所以 ，
n⋅BG=-4x+3z=0
令x=6，则z=8,y=5，即n=6,5,8 ，
设平面BEF与平面BEG的夹角为α，
则cosα= cosFG,n
FG⋅n
=
FG ⋅n
20 4
= = ；
5× 125 5
【小问3详解】
由(1)知EF⊥平面BCC B ，FB⊂平面BCC B ，∴EF⊥FB，
1 1 1 1
1 1
易知S = EF⋅BF= ×4× 42+22=4 5，
△BEF 2 2
又DE=2,0,4
DE⋅FG
，则D到平面BEF的距离为d=
FG
8
= ，
5
1 1 8 32
由棱锥的体积公式知：V = d×S = × ×4 5= .
D-BEF 3 △BEF 3 5 3
19. 已知函数fx =x-1 lnx，
(1)已知函数fx =x-1 lnx的图象与函数gx 的图象关于直线 x=-1对称，试求gx ；
(2)证明fx
≥0；
(3)设x 是fx
0
=x+1的根，则证明：曲线y=lnx在点Ax ,lnx
0 0
处的切线也是曲线y=
e x的切线.
【答案】(1)gx =-3-x ln-2-x ,(x<-2).
(2)证明见解析 (3)证明见解析
【小问1详解】
因为fx 的图象与gx 的图象关于直线 x=-1对称，所以 f-1-x =g-1+x .
又因为 f-1-x = -1-x -1 ln-1-x =-2-x ln-1-x ，
所以g-1+x =-2-x ln-1-x ，
令t=-1+x，则 x=t+1，
所以gt = -2-t+1 ln -1-t+1 =-3-t ln-2-t ，
因此gx =-3-x ln-2-x ,(x<-2).
【小问2详解】
证明：
解法1：当 x≥1时，x-1≥0且 lnx≥0，此时 fx =x-1 lnx≥0；
当00，
故综上fx ≥0.
解法2：fx
1
=lnx+1- ，令φx
x
1
=lnx+1- ，φx
x
1 1
= + >0在0,+∞
x x 2
上恒成立，
故φx 在0,+∞ 上单调递增，即fx 在0,+∞ 上单调递增，因此当0
