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哈师大附中 2023 级高三上 10 月月考数学试卷
总分150分 时间120分钟
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，满分40分.每小题给出的备选答案中，只有一个是
符合题意的.
1. 已知集合 ， ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】先求出集合 的补集，然后求出 的不等式的解集，最后根据交集的概念进行求解即可.
【详解】因为集合 ，所以 .
因为 ，解不等式得 .
因为 ，所以 .
所以 .
故选：C.
2. 函数 的最小正周期为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用公式直接计算即可.
【详解】由题意可知 ，
所以函数 的最小正周期为：
，
故选：B.
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学科网（北京）股份有限公司3. 是 的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】利用指数函数的性质分别判断充分性和必要性.
【详解】若 ，则 ，故充分性成立；
若 ，如 ，则 ，故必要性不成立，
故 是 的充分不必要条件.
.
故选：A
4. 已知 ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据题意，平方求得 ，结合诱导公式，即可求解.
【详解】由 ，平方可得 ，
解得 ，即 ，又由 .
故选：B.
5. 非零向量 ， 满足 ，若向量 与向量 垂直，则 与 的夹角为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
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学科网（北京）股份有限公司【分析】利用平面向量的数量积的定义及运算律求解即可.
【详解】由题意，得 ，则 ，
则 ，
又 ，所以 ，
则 ，解得 ，
所以 与 的夹角为 .
故选：C
6. 已知 ， ， ，则a，b，c的大小关系是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
化简 ，根据指数函数、对数函数的性质借助中间值0和1比较可得．
【详解】 ，
，
，
所以 .
故选：C．
【点睛】方法点睛：比较指数式大小时，常常化为同底数的幂，利用指数函数性质比较，或化为同指数的
幂，利用幂函数性质比较，比较对数式大小，常常化为同底数的对数，利用对数函数性质比较，如果不能
化为同底数或同指数，或不同类型的数常常借助中间值如0或1比较大小
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学科网（北京）股份有限公司7. 若 是定义在 上的奇函数，且 ，则 的值为（ ）
A. 1 B. 2 C. 0 D. -1
【答案】C
【解析】
【分析】根据函数是奇函数结合已知得出周期为4，再应用周期结合赋值法得出函数值.
【详解】因为 是定义在 上的奇函数，所以 且 ，
又因为 ，所以 ，所以 ，
所以函数 的周期为4，
因为 ，令 ，所以 ，
则 ；
故选：C.
8. 已知函数 的值域与函数 的值域相同，则实数 的取值
范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】先利用导数求出函数 的值域，再根据条件列不等式，解得结果.
【详解】因为 ， ，定义域为 .
所以 .
当 时， ，即 在 上单调递增，
当 时， ，即 在 上单调递减，
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学科网（北京）股份有限公司所以当 时， 取得最大值为 .
当 ，所以函数 的值域为 .
要使函数 的值域为 ,
则 ，解得 ，
故选：D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，满分18分.每小题给出的备选答案中，有多个选项
是符合题意的.全部选对得6分，部分选对得部分分，选错或不选得0分.
9. 已知函数 ，则（）
A. 有三个零点
B. 有两个极值点
C. 点 是曲线 的对称中心
D. 曲线 有两条过点 的切线
【答案】BCD
【解析】
【分析】利用导数研究 的单调性、极值及零点存在定理可判断A；利用极值点的定义可判断B，利
用奇函数的性质及图象平移可判断C；利用导数几何意义求解可判断D．
【详解】对于B，由题， ，
令 ，得 或 ；令 ，得 ，
所以 在 上单调递增，在 上单调递减，
所以 是极值点，故B正确；
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学科网（北京）股份有限公司对于A，由B可知 的极大值 ，极小值 ，
因为 在 单调递增，且 ，
所以函数 在定义域上有且仅有两个零点，故A错误；
对于C，令 ，该函数的定义域为R，
则 是奇函数， 是 的对称中心，
将 图的象向下移动2个单位得到 的图象，
所以点 是曲线 的对称中心，故C正确；
对于D，设切点为 ，则切线的斜率为 ，
切线的方程为 ，
代入 ，可得 ，
整理得 ，即 即
并解得： 或
则过点 的切线方程有两条，D正确．
故选： ．
10. 已知函数 的部分图象如图所示，则（ ）
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学科网（北京）股份有限公司A.
B.
C. 的图象关于点 中心对称
D. 将 图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数 的
图象
【答案】ACD
【解析】
【分析】利用题给图象结合正弦函数的性质得出 和 值，求出函数表达式，进而根据正弦函数的对称性
及伸缩变换逐个判断即可.
【详解】由图象可知， ，
由周期公式 ，选项A正确；
因为图象经过点 ，代入函数得： ，
所以 ，
因为 ，所以 ，即 ，故B错误；
因为 ，
所以 的图象关于点 对称，故C正确；
将 图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），
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学科网（北京）股份有限公司可得 ，故D正确.
故选：ACD.
11. 在 中，若 ，则（ ）
A. B. 的最大值为
C. D.
【答案】BCD
【解析】
【分析】对于选项A：先将 的左右两边角化边，整理得解；对于选项B：由
解出 ，用余弦定理的变形公式求出 ，再使用基本不等式
得到 ，从而得到 的最大值；对于选项C：先将 的左边进行角化边，代
入 ，得到 ，再将这个等式的左右两边进行边化角，得到
，将 转化为 ，使用两角和的正弦公式即可得解；对于选项
D：先将 的左边进行角化边，代入 ，得到 ，再将这
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学科网（北京）股份有限公司个等式的左右两边进行边化角，得到 ，将其变形为 ，将
等号左边的分子 转化为 ，使用两角和的正弦公式和同角关系式即可得解.
【详解】对于选项A：
， ，
，
， ， 选项A错误；
对于选项B： ， ，
，
是 的内角， ， 的最大角为 ， 选项B正确；
对于选项C： ， ， ，
又 ， ， ，
，
，
，
，
， 选项C正确；
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学科网（北京）股份有限公司对于选项D： ， ， ，
又 ， ， ，
， ， ，
， ， ，
选项D正确.
故选：BCD.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，满分15分.
12. 已知向量 ， ，若 ，则实数 _____.
【答案】
【解析】
【分析】由 ，列出等式求解即可.
【详解】由 可得： ，
即
故答案为：
13. 已知 ，则 _________．
【答案】
【解析】
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学科网（北京）股份有限公司【分析】利用两角和得正弦公式 ，
结合已知条件化弦为切即可求解.
【详解】 ①，
又 ②，
则① ②得：
.
故答案为： .
14. 如图，在 中， ，D，E是线段 上的两个点， 为正三角形，
，则 ______．
【答案】 ##
【解析】
【分析】根据题意设 ，可证 ，得到 ，继而得到
，由余弦定理可求 ，再利用正弦定理可得 ，然后求 即可．
【详解】设 ，则 ，
又 为正三角形，所以 ，
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学科网（北京）股份有限公司则 ，又 ，
所以 ，则 ，
故 ，则 ，即 ，所以 ，即 ，
所以 ，
，即 ，
在 中， ，即 ，
解得 ，又 ，则 为锐角，
所以 ．
故答案为： ．
四、解答题：本题共5小题，满分77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知函数 .
（1）求函数 的对称轴方程及单调增区间；
（2）求函数 在区间 上的值域.
【答案】（1）对称轴为 ， ，单调递增区间为 ，
（2）
【解析】
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学科网（北京）股份有限公司【分析】（1）化简得到 ，整体法求解对称轴方程和单调递增区间；
（2）令 ，得到 ，根据函数 的单调性求出最值即可求出值域.
【小问1详解】
，
令 ， ，解得 ， ，
所以 的对称轴方程 ， ，
， ，则 ， ，
所以 的单调递增区间是 ， .
【小问2详解】
令 ，由 得 ，
函数 在 上单调递增，在 上单调递减，
所以 ， .
所以函数 在区间 上的值域为 .
16. 近年来，我国高度重视扶贫开发工作，各级政府坚决贯彻落实中央扶贫工作重大决策部署，在各个贫
困县全力推进定点扶贫各项工作，取得了积极成效.某贫困县为了响应国家精准扶贫的号召，组织村民集体
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学科网（北京）股份有限公司承包了一块土地若干年，已知土地的使用面积以及相应的管理时间的关系如下表所示：
土地使用面
积 （单位： 1 2 3 4 5
亩）
管理时间
（单位： 8 10 13 25 24
月）
并调查了某村300名村民参与管理的意愿，得到的部分数据如下表所示：
参与管理
合计
愿意 不愿意
男性村民 150 50
女性村民 50
合计
（1）若管理时间 与土地使用面积 之间具有较强的线性相关性，且回归直线方程 ，求 ，
并预测土地使用面积为6亩时，管理时间为多少月？
（2）在答题卡中补全 列联表，并依据小概率值 的独立性检验，判断村民的性别与参与管
理的意愿是否具有相关性？
参考公式： ，
其中 .临界值表：
0.100 0.050 0.025 0.010 0.001
2.706 3.841 5.024 6.635 10.828
【答案】（1） ，30.1；
（2）列联表见解析，具有相关性.
【解析】
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学科网（北京）股份有限公司【分析】（1）先求出样本中心点，再代入求出 ，再根据回归直线代入预测即可；
（2）先根据已知条件补充 列联表，再计算 ，最后与临界值比较即可求解判断.
【小问1详解】
依题意： ， ，
又 ，则有 ，且 ，
当 时， ，
故预测管理时间为30.1个月.
【小问2详解】
依题意，完善表格如下：
愿意参与管理 不愿意参与管理 总计
男性村民 150 50 200
女性村民 50 50 100
总计 200 100 300
零假设 ：村民的性别与参与管理的意愿无关，
计算得 的观测值为
，
依据小概率值 的独立性检验，我们推断 不成立，认为村民的性别与参与管理的意愿具有相关
性，此推断犯错误的概率不超过0.001.
17. 若 的内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，且 ，
， 是边 上一点.
（1）求 外接圆的半径；
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学科网（北京）股份有限公司的
（2）若 是 平分线，且 的周长为15，求线段 的长；
（3）若 ，且 ，求 的面积.
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）由正弦定理边角互化和三角恒等变换求得 ，根据 即可求得外接圆的半径；
（2）先由题设及余弦定理求得 与 ，再根据平分线条件利用底面积法得到
即可求得 ；
（3）将 两边平方，结合余弦定理求得 ，即可求得面积.
【小问1详解】
由题意知 ，由正弦定理得 ，
即 ，
因为 ，
所以 ，
因为 ，所以 ，
所以 ，即 ，
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学科网（北京）股份有限公司因为 ，所以 ，所以 ， ，
令 外接圆的半径为 ，
根据正弦定理可得 ，即
【小问2详解】
由（1）知 ，
在 中，由余弦定理得 ，
所以 ，即 ，
∵ 的周长为15， ，∴ ，
所以 ，解得 ，
因为 ，
因为 是 的平分线，
所以
即 ，解得
【小问3详解】
因为 ，
所以 ，
又 ，所以 ，即
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学科网（北京）股份有限公司又 ，
解得
所以 .
18. 在 中，已知角 、 、 的对边分别为 、 、 ，且 .
（1）求角 大小；
（2）求证： ；
（3）设 为 的内心，求 的最小值.
【答案】（1）
（2）证明见解析 （3）
【解析】
【分析】（1）根据题设，结合三角形的面积公式、余弦定理即可求解；
（2）由 结合基本不等式即可求证；
（3）设 的内切圆 的半径为 ，由等面积法可得 ，进而得到 ，
进 而 化 简 得 到 ， 结 合 （ 2 ） 中 结 论 ， 即 可 得 到
，再根据基本不等式即可求解.
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学科网（北京）股份有限公司【
小问1详解】
由 ，
则 ，
根据余弦定理得 ，即 ，
由 ，则 .
【小问2详解】
由（1）知， ，则有 ，
又 ，当且仅当 时等号成立，
所以 ，解得 ，所以 ，当且仅当 取到等号，
【小问3详解】
设 的内切圆 的半径为 ，
由等面积法可得 ，故 ，
所以 ，故
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学科网（北京）股份有限公司，
当且仅当 时等号成立，
所以 的最小值为 .
19. 已知函数 ．（注： 是自然对数的底数）．
（1）当 时，求曲线 在点 处的切线方程；
（2）当 时，函数 在区间 内有唯一的极值点 ．
①求实数 的取值范围；
②求证： 在区间 内有唯一的零点 ，且 ．
【答案】（1）
（2）① ；②证明见解析
【解析】
【分析】（1）由导数的几何意义，求切点处的切线方程；
（2）利用导数研究单调性得到极值的个数，利用函数单调性并通过构造新函数比较零点和极值点的大小
关系.
【小问1详解】
当 时， ， ，
切线的斜率 ，又 ，所以切点为 ，
所以，切线方程为
【小问2详解】
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学科网（北京）股份有限公司①.函数 ， ，
（ⅰ）当 时，当 时， ， ， ，则 在 上单
调递增，没有极值点，不合题意，舍去；
（ⅱ）当 时，设 ，则 在 上恒成立，所以
在 上递增，即 在 上递增，
又 ， ，所以 在 上有唯一零点 ，
当 时， ，函数 单调递减；
当 时， ，函数 单调递增，
所以函数 在区间 内有唯一极值点，符合题意，
综上， 的取值范围是 ．
②.由①知 ，当 时， ，
当 时， ，函数 单调递减；
当 时， ，函数 单调递增；
所以 时， ，则 ，
又因为 ，所以 在 上有唯一零点 ，
即 在 上有唯一零点 ．
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学科网（北京）股份有限公司因为 ，
由①知 ，所以 ，
则
，
设 ， ，
则 ，
， ，所以
在 为单调递增，又 ，所以 ，
又 时， ，所以 ．
所以 ．
由前面讨论知 ， ， 在 单调递增，
所以 ．
【点睛】思路点睛：
1. 导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．
注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问
题处理．
2.利用导数解决含参函数的单调性问题时，一般将其转化为不等式恒成立问题，解题过程中要注意分类讨
论和数形结合思想的应用.
3.证明不等式，构造一个适当的函数，利用它的单调性进行解题，是一种常用技巧，许多问题，如果运用
这种思想去解决，往往能获得简洁明快的思路，有着非凡的功效.
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学科网（北京）股份有限公司
