文档内容
高三数学考试参考答案
题序 ! # $ % & ’ ( " ) !* !! !# !$ !%
"!#槡$$"
答案 + , - , + - . . +,- ., +.- /(’!!***
"槡&#$$
评分细则%
&!’第!!"题#凡与答案不符的均不得分!
&#’第)!!!题#全部选对的得’分#部分选对的得部分分#有选错的不得分!"第!*题每选对一
个得$分#第)#!!题每选对一个得#分$
&$’第!#!!%题#凡与答案不符的均不得分!"第!$题答对第一空得#分#答对第二空得$分$
!!+!!解析"本题考查抛物线的焦点#考查数学运算的核心素养!
) " )$
由#"0)#得"0 #所以抛物线##0)$的焦点坐标为 *# !
# %
#!,!!解析"本题考查函数求值#考查数学运算的核心素养!
由题意得%"#$0#1!0$#所以%"$$0#%"#$0’!
$!-!!解析"本题考查样本数据的方差#考查逻辑推理与数据分析的核心素养!
在三组数据中#易知第一组数据的离散程度最小#第三组数据的离散程度最大#所以&##&##&#!
$ # !
%!,!!解析"本题考查直线与圆的位置关系#考查逻辑推理的核心素养!
$#/%*/#$ %*
由题意得’"*#!$#则’到(的距离)0 0 #*#所以直线(与圆’的位置关系
槡"槡&$#1## $
为相离!
&!+!!解析"本题考查向量的线性运算与数量积#考查直观想象与数学运算的核心素养!
由题图可得!0#"/###$0##1$"#所以!($0"#"/##$("##1$"$0’"#/%##/##("
!
0’/%/#2!2!2 0!!
#
’!-!!解析"本题考查函数的奇偶性与极值点#考查数学运算与逻辑推理的核心素养!
当##*时#%+"#$0##/#/’0"#1#$"#/$$!当*%#%$时#%+"#$%*#当##$时#
%+"#$#*#所以%"#$的极小值点为$!因为%"#$是奇函数#所以%"#$的图象关于原点对称#
故%"#$的极大值点为/$!
(!.!!解析"本题考查正弦定理的应用#考查逻辑推理与直观想象的核心素养!
设,-0,’0##则-’0槡##!在&-.’中#’-.’0!"*3/$*3/!&30
-. -’ 456’-’.
!$&3#由正弦定理 0 #得-.0 (-’0##
456’-’. 456’-.’ 456’-.’
所以’-,.0’-.,!又’,-.0%&3/!&30$*3#所以’-,.0
!
"!"*3/$*3$0(&3!
#
!高三数学"参考答案!第!!!!!页#共"页$% !!
!"#$%%!&
书书书"!.!!解析"本题考查正方体的截面和简单几何体的体积#考查空间想象能力与应用意识!
如图#取,/ 的中点0#连接,/ #-1#-’#10#’0!易证
! ! ! ! !
,/(-’#10(,/ #则10(-’#所以1#0#-#’ 四点共面!
! ! ! ! !
当平面-10’ 与水平面平行时#容器可盛的水最多!易得几何体
!
--’21,0是三棱台#设 ,-03#则4 03$#
! ! ! ,-’/2,!-!’!/!
! "! ! ! ! $ (
4 0 3 3#1 3#1槡3#( 3# 0 3$#所以这个
--!’!21,!0 $ # " # " #%
(
3$
#% !(
容器最多可盛原来水的!/ 0 !
3$ #%
)!+,-!!解析"本题考查集合中元素的互异性和交集#考查分类讨论的数学思想!
由题意得-0)$#%*!当30$时#,)-0)$*!当30%时#,)-0)%*!当3*$且3*%时#
,)-0+!
!*!.,!!解析"本题考查数列的递推公式和等差数列的性质#考查数学运算与逻辑推理的核心
素养!
# 51! 5
当50!时##3/3033#得30 #+错误!由"51!$3/53 033 #得 / 0!#
! # ! # # $ 5 51! 551! 3 3
51! 5
)5* ! 5
所以数列 是首项为 0##公差为!的等差数列#.正确!由 0#15/!051!#得
3 3 3
5 ! 5
5 ! ! # !**
30 0 #所以)3*是递增数列#,正确!6 033+3 0 2 2+2 0
5 51! ! 5 !** ! # !** # $ !*!
!1
5
! !
% #-错误!
!*! !**
!!!+.-!!解析"本题以图形的新定义为背景考查组合#考查直观想象与逻辑推理的核心素养
及创新意识!
三棱柱有’个顶点和)条边#+正确!平面内的&个定点"任意三点不共线$两两相连#共有
,#0!*条线段#去掉其中的$条线段#可得这样的"&#($图共有,$ 0!#*个#.正确!%个顶
& !*
点两两相连#共有,#0’条线段#与#轴相交的共有,!,!0%条线段#所以这样的"%#%$图
% # #
共有,#,#0’个#,错误!"个顶点两两相连共有,#0#"条线段#与平面.$7相交的共有
% # "
,!,!0!’条线段#所以这样的""#!#$图共有,!*,#0()#*个#-正确!
% % !# !’
!#!/(!!解析"本题考查复数的实部#考查数学运算的核心素养!
由题意得5"$1(5$0/(1$5#所以5"$1(5$的实部为/(!
!$!’!!***!!解析"本题考查函数的实际应用#考查应用意识!
由题意得878"***1878!#&***0878""2!!#&2!*"$0878!*)0)80&%#得80’!当
60!"时#’78#0!"#得78#0$#得#0!***!
!%!"!#槡$$""槡&#$$!!解析"本题考查双曲线的离心率#考查逻辑推理与数学运算的核心
素养!
由双曲线的对称性可得$90$0$:0$#则$90$1$:0$0$:0$1$:0$0’3!不妨假
# ! # # ! #
"
设:在第一象限#则$:0$/$:0$0#3#得$:0$0%3#$:0$0#3!易得’:00 % #
! # ! # ! # #
!高三数学"参考答案!第!!!!#页#共"页$% !!
!"#$%%!&$:0$#1$:0$#/$00$#
则’0:0 或’:00 为钝角#所以9:4’0:0 0 ! # ! # %*或
! # # ! ! # #$:0$$:0$
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$00$#1$:0$#/$:0$#
9:4’:000 ! # # ! %*#
# ! #$00$$:0$
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得!’3#1%3#/%;#%*或%;#1%3#/!’3#%*#得<0 #槡&或<0 %槡$!又<#!#%31#3##;#
3 3
所以’的离心率的取值范围为"!#槡$$""槡&#$$!
!&!!解析"本题考查直线与椭圆的位置关系#考查数学运算的核心素养!
-;#0%/#0##
解%"!$设=的焦距为#;#则,#30槡$(#>#++++++++++++++++++$分
.3#0>#1;##
)3#0$#
得 ++++++++++++++++++++++++++++++++&分
>#0!#
##
所以=的方程为 1$#0!!++++++++++++++++++++++++’分
$
!
"#$设,"##$$#-"##$$!由题意得(%$0 "#/!$!++++++++++++(分
! ! # # #
- !
$0 "#/!$#
#
由, 得(##/’#/)0*#++++++++++++++++++++)分
##
1$#0!#
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#1#0 #
得,! # ( +++++++++++++++++++++++++!!分
)
##0/ #
.! # (
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所以$,-$0槡!1 槡"#1#$#/%## 0 2槡1%2 0 !+++!$分
# ! # ! # # %) ( (
评分细则%
第"#$问还可以这样解答%
设,"##$$#-"##$$!
! ! # #
!
由题意得(%$0 "#/!$#即#0#$1!!+++++++++++++++++++(分
#
-#0#$1!#
由,## 得($#1%$/#0*#+++++++++++++++++++++)分
1$#0!#
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-!0!’1%2(2##*#
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#
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!高三数学"参考答案!第!!!!$页#共"页$% !!
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所以$,-$0槡!1##槡"$1$$#/%$$ 0槡&2槡1%2 0 !+++++!$分
! # ! # %) ( (
!’!!解析"本题考查线线垂直的证明和面面角#考查空间想象能力!
"!$证明%如图#取,/的中点.#连接.:#.1!++++++++++++++++!分
;侧面:,/是正三角形#<:./,/! +++++++++++++++++++#分
"
由题意得./01’#./(1’#’,/’0 #<四边形./’1是矩形#<,//.1!+%分
#
;:.).10.#:.0平面:.1#.10平面:.1#<,//平面:.1!++++++’分
;:10平面:.1#<,//:1! ++++++++++++++++++++++(分
"#$解%;平面:,//底面,-’/#平面:,/)底面,-’/0,/#:././#<:./平面
,-’/!+++++++++++++++++++++++++++++++++"分
设,-0#!以.为原点#.1#./#.:所在直线分别为#轴,$轴,7轴#建立如图所示的空
间直角坐标系#
221 221
则:"*#*#槡$$#-"##/!#*$#’"##!#*$#:-0"##/!#/槡$$#-’0"*###*$!+++!*分
221
)%(:-0##/$/槡$70*#
设平面:-’的法向量为%0"##$#7$#则 取#0槡$#则$0*#70##
221
%(-’0#$0*#
则%0"槡$#*##$!+++++++++++++++++++!#分
易得平面:,/的一个法向量为&0"!#*#*$#++++++!$分
&(% 槡#!
<平面:,/与平面:-’夹角的余弦值为 0 !++
$&$$%$ (
+++++++++++++++++++++++++!&分
评分细则%
&!’第"!$问中#未写-:.0平面:.1#.10平面:.1.#不扣分!
&#’第"#$问还可以这样解答%
取,/的中点.#连接.:#.1#
如图#过点:作平行于,/的直线(#则(0平面:,/! ++"分
;,/(-’#<((-’#<(0平面:-’#<平面:,/)平面:-’0(!
++++++++++++++++++++++++!*分
;:./,/#:1/,/#<:./(#:1/(#<平面:,/与平面
:-’的夹角为’.:1!++++++++++++++++!!分
;平面:,//底面,-’/#平面:,/)底面,-’/0,/#:./
./#<:./平面,-’/#<:./.1!+++++++++++++++++++!#分
设,-0###则:.0槡$##:10槡:.#1.1#0槡(##+++++++++++++!$分
:. 槡#! 槡#!
<9:4’.:10 0 #即平面:,/与平面:-’夹角的余弦值为 ! +++!&分
:1 ( (
!(!!解析"本题考查导数在研究函数中的应用#考查逻辑推理与数学建模的核心素养!
"!$解%由题意得%"!$0##+++++++++++++++++++++++++!分
!
%+"#$0/#76#/ /!# +++++++++++++++++++++++++#分
#
!高三数学"参考答案!第!!!!%页#共"页$% !!
!"#$%%!&则%+"!$0/##++++++++++++++++++++++++++++++$分
所以曲线$0%"#$在点"!#%"!$$处的切线方程为$/#0/#"#/!$#即##1$/%0*!
+++++++++++++++++++++++++++++++++++%分
"#$证明%由题意得%"#$的定义域为"*#1=$!
! /##1!
设%+"#$的导函数为%?"#$#由%+"#$0/#76#/ /!#得%?"#$0 ! ++&分
# ##
!
当*%#% 时#%?"#$#*#%+"#$单调递增#++++++++++++++++++’分
#
!
当## 时#%?"#$%*#%+"#$单调递减#+++++++++++++++++++(分
#
"!$
则%+"#$ 0%+ 0#76#/$%*# ++++++++++++++++++++"分
>?@ #
所以%+"#$%*#则%"#$在"*#1=$上单调递减!+++++++++++++++)分
76#
"$$解%由76#/3##/3#%*#得3# 在"*#1=$上恒成立!
##1#
76# #1!/"##1!$76#
设函数@"#$0 #则@+"#$0 !++++++++++++!*分
##1# "##1#$#
由"#$可知%"#$0#1!/"##1!$76#在"*#1=$上单调递减!
%"!$0##*#%"#$0$/&76#%*#设%"#$的零点为##则#3"!##$!++++++!!分
* *
#1!
由%"#$0#1!/"##1!$76#0*#得76#0 * !+++++++++++!#分
* * * * * ##1!
*
当*%#%# 时#%"#$#*#@"#$单调递增#当### 时#%"#$%*#@"#$单调递减#+++
* *
++++++++++++++++++++++++++++++++++!$分
则@"#$ 0@"#$0
76#
* 0
#
*
1!
0
!
3
"!
#
!$
!++++!%分
>?@ * ##1# "##1#$"##1!$ ###1# !* $
* * * * * * *
76# !
因为3# 在"*#1=$上恒成立#所以34 #则整数3的最小值为!!++++!&分
##1# $
评分细则%
&!’第"!$问中#曲线$0%"#$在点"!#%"!$$处的切线方程写成-$0/##1%.不扣分!
&#’第"$$问还可以这样解答%
!
设函数@"#$076#/3##/3##@"#$的定义域为"*#1=$#则@+"#$0 /#3#/3!++
#
++++++++++++++++++++++++++++++++++!*分
因为@"#$%*恒成立#所以@"!$0*/3/3%*#得3#*!+++++++++++!!分
! "##/!$"#1!$
令30!#则@+"#$0 /##/!0/ !+++++++++++++!#分
# #
! !
当*%#% 时#@+"#$#*#@"#$单调递增#当## 时#@+"#$%*#@"#$单调递减#+++
# #
++++++++++++++++++++++++++++++++++!$分
"!$ ! ! ! $
则@"#$ 0@ 076 / / 0/76#/ %*#+++++++++++++!%分
>?@ # # % # %
!高三数学"参考答案!第!!!!&页#共"页$% !!
!"#$%%!&所以当30!时#关于#的不等式76#/3##/3#%*恒成立!故整数3的最小值为!! +
++++++++++++++++++++++++++++++++++!&分
!"!!解析"本题考查三角函数的性质和恒等变换#考查逻辑推理与数学运算的核心素养!
/" "$ "0
解%"!$由题意得@"#$0456##/ 1 0456##!+++++++++++++!分
’ $
"
令##0 18""83!$#++++++++++++++++++++++++++#分
#
" 8" " 8"
得#0 1 "83!$#所以曲线$0@"#$的对称轴方程为#0 1 "83!$! ++$分
% # % #
" " $" " ("
"#$由 1#8"5##1 5 1#8""83!$#得 18"5#5 18""83!$#++++%分
# $ # !# !#
/" (" 0
所以%"#$的单调递减区间为 18"# 18" "83!$!++++++++++++&分
!# !#
" " " "
由/ 1#8"5##5 1#8""83!$#得/ 18"5#5 18""83!$#+++’分
# ! # ! ! % ! % ! !
/ " " 0
所以@"#$的单调递增区间为 / 18"# 18" "83!$!++++++++++(分
% ! % ! !
" " " "
由/A%#A1 #得A#/ #则/A% %#A1 ! +++++++++++++"分
# ’ ’ #
/ "0 / "0
因为%"#$在 /A##A1 上单调递减#@"#$在 /A##A1 上单调递增#
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A#/ #
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所以,/A4 # ++++++++++++++++++++++++++++)分
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" "
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" " " " "0
得/ %A5/ #即A的取值范围为 / #/ !+++++++++++++!*分
’ " ’ "
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"$$由@"#"$1@ " 0*#得456%"1456$"0*#即456%"0456"$"1"$#
#
则%"0$"1"1#8"或%"1$"1"0"1#8""83!$#++++++++++++++!!分
#8"
得"0"1#8"或"0 "83!$!++++++++++++++++++++++!#分
(
#" %" ’"
由"3"*#"$#得"0 或 或 # +++++++++++++++++++++!$分
( ( (
"" #" %" ’"$
456 9:4 19:4 19:4
#" %" ’" ( ( ( (
则9:4"19:4"19:4"09:4 19:4 19:4 0
! # $ ( ( ( "
456
(
" #" " %" " ’"
456 9:4 1456 9:4 1456 9:4
( ( ( ( ( (
0 +++++++++++++++++!%分
"
456
(
!高三数学"参考答案!第!!!!’页#共"页$% !!
!"#$%%!&!/ "" #"$ "" #"$ "" %"$ "" %"$ "" ’"$ "" ’"$0
456 1 1456 / 1456 1 1456 / 1456 1 1456 /
# ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( (
0
"
456
(
++++++++++++++++++++++++++++++++++!’分
!" $" " &" $" &"$ ! "
456 /456 1456 /456 1456"/456 / 456
# ( ( ( ( ( # ( !
0 0 0/ !++++!(分
" " #
456 456
( (
评分细则%
" "
第"#$问中#A的取值范围写成-/ %A5/ .不扣分!
’ "
!)!!解析"本题考查离散型随机变量的数字特征与数列的综合应用#考查逻辑推理的核心素养
及创新意识!
$ !
"!$解%由题意得:"B 0$$0:"B 0%$0 0 # ++++++++++++++!分
! ! ’ #
$ % (
所以:"B 0%$0 :"B 0$$1 :"B 0%$0 !++++++++++++++$分
# ’ ! ’ ! !#
"#$证明%每次操作后盒中球的总个数始终是’!++++++++++++++++%分
第51!次操作后盒中有$1A个白球的情况有两种%
#第5次操作后盒中有$1A个白球#即盒中有$1A个白球,$/A个黑球#第51!次取
$1A
出的是白球#其发生的概率为:"B 0$1A$2 !+++++++++++++&分
5 ’
$第5次操作后盒中有#1A个白球#即盒中有#1A个白球,%/A个黑球#第51!次取
%/A
出的是黑球#其发生的概率为:"B 0#1A$2 !+++++++++++++’分
5 ’
$1A %/A
所以当54$时#:"B 0$1A$0 :"B 0$1A$1 :"B 0#1A$"A0!###$$!
51! ’ 5 ’ 5
+++++++++++++++++++++++++++++++++++(分
"$$解%由"!$可知:"B 0&$0:"B 0’$0*#:"B 0’$0*#
! ! #
1"B$0$:"B0$$1%:"B0%$0$:"B0$$1%:"B0%$1&:"B0&$1’:"B0’$!
! ! ! ! ! ! !
1"B $0$:"B 0$$1%:"B 0%$1&:"B 0&$0$:"B 0$$1%:"B 0%$1&:"B 0
# # # # # # #
&$1’:"B 0’$!+++++++++++++++++++++++++++++"分
#
当54$时#B 的可能取值为$#%#&#’#
5
则1"B $0$:"B 0$$1%:"B 0%$1&:"B 0&$1’:"B 0’$!+++++++)分
5 5 5 5 5
当54$时#B 的可能取值为$#%#&#’!
51!
! # !
:"B 0$$0 :"B 0$$#由"#$得:"B 0%$0 :"B 0%$1 :"B 0$$#
51! # 5 51! $ 5 # 5
& ! !
:"B 0&$0 :"B 0&$1 :"B 0%$#:"B 0’$0:"B 0’$1 :"B 0&$#+
51! ’ 5 $ 5 51! 5 ’ 5
++++++++++++++++++++++++++++++++++!*分
当50!或#时#上述%个等式也成立#+++++++++++++++++++!!分
!高三数学"参考答案!第!!!!(页#共"页$% !!
!"#$%%!&则1"B $0$:"B 0$$1%:"B 0%$1&:"B 0&$1’:"B 0’$
51! 51! 51! 51! 51!
! /# ! 0 /& ! 0
0$2 :"B0$$1% :"B 0%$1 :"B 0$$1& :"B 0&$1 :"B 0%$1
# 5 $ 5 # 5 ’ 5 $ 5
/ ! 0 ( !$ $!
’:"B0’$1 :"B0&$0 :"B0$$1 :"B0%$1 :"B0&$1’:"B0’$++
5 ’ 5 # 5 $ 5 ’ 5 5
++++++++++++++++++++++++++++++++++!#分
&
0 /$:"B 0$$1%:"B 0%$1&:"B 0&$1’:"B 0’$01:"B 0$$1:"B 0%$1
’ 5 5 5 5 5 5
&
:"B 0&$1:"B 0’$0 1"B $1!!+++++++++++++++++++!&分
5 5 ’ 5
& &
由1"B $0 1"B $1!#得1"B $/’0 /1"B $/’0#
51! ’ 5 51! ’ 5
& &
所以)1"B $/’*是首项为1"B $/’0/ #公比为 的等比数列! ++++++!’分
5 ! # ’
&"&$5/! &"&$5/!
故1"B $/’0/ #得1"B $0’/ !+++++++++++!(分
5 # ’ 5 # ’
评分细则%
$ %
&!’第"!$问中#得到-:"B 0%$0 :"B 0$$1 :"B 0%$.#但结果计算错误#扣!分!
# ’ ! ’ !
&#’第"#$问还可以这样证明%
# !
当A0!时#:"B 0%$0 :"B 0%$1 :"B 0$$#++++++++++++&分
51! $ 5 # 5
& !
当A0#时#:"B 0&$0 :"B 0&$1 :"B 0%$#++++++++++++’分
51! ’ 5 $ 5
!
当A0$时#:"B 0’$0:"B 0’$1 :"B 0&$#
51! 5 ’ 5
$1A %/A
所以当54$时#:"B 0$1A$0 :"B 0$1A$1 :"B 0#1A$"A0!###$$!
51! ’ 5 ’ 5
+++++++++++++++++++++++++++++++++++(分
!高三数学"参考答案!第!!!!"页#共"页$% !!
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