文档内容
成都石室中学 2022-2023 年度下期高 2024 届零诊模拟
数学试题（理科）
（总分：150分，时间：120分钟 ）
第Ⅰ卷（共60分）
一、选择题（本题共12道小题，每小题5分，共60分）
1. 若复数 满足 ，其中i为虚数单位，则 （ ）
A. 2 B. C. D. 3
2. 在某校高中篮球联赛中，某班甲、乙两名篮球运动员在8场比赛中的单场得分用茎叶图表示（如图一），
茎叶图中甲的得分有部分数据丢失，但甲得分的折线图（如图二）完好，则下列结论正确的是（ ）
A. 甲得分的极差是18 B. 乙得分的中位数是16.5
C. 甲得分更稳定 D. 甲的单场平均得分比乙低
3. 某老师为了了解数学学习成绩得分y（单位：分）与每天数学学习时间x（单位：分钟）是否存在线性关
系，搜集了 100 组数据 ，并据此求得 y 关于 x 的线性回归方程为
.若一位同学每天数学学习时间约80分钟，则可估计这位同学数学成绩为（ ）
A. 106 B. 122 C. 136 D. 140
4. 利用随机模拟方法可估计无理数 的数值，为此设计右图所示的程序框图，其中rand表示产生区间
(0,1)上的随机数, 是 与 的比值，执行此程序框图，输出结果 的值趋近于A. B. C. D.
5. 已知命题p： ，命题q：直线 与抛物线 有两个公共点，则p是q的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
6. 运动会上，有6名选手参加100米比赛，观众甲猜测：4道或5道的选手得第一名；观众乙猜：3道的选
手不可能得第一名；观众丙猜测：1，2，6道中的一位选手得第一名；观众丁猜测：4，5，6道的选手都不
可能得第一名．比赛后发现没有并列名次，且甲、乙、丙、丁中只有1人猜对比赛结果，此人是
A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁
7. 已知函数 ,则 的图像大致为（ ）
A. B. C. D.
8. 某四面体的三视图如图所示，正视图，俯视图都是腰长为2的等腰直角三角形，侧视图是边长为2的正
方形，则此四面体的四个面中面积最大的为A. B. C. 4 D.
9. 若过点 的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线 的距离为( )
A. B. C. D.
10. 已知双曲线 的左、右焦点分别为 ， ，左、右顶点分别为M，N，点P在
C的渐近线上， ， ，则双曲线的C的渐近线方程为（ ）
A. B. C. D.
11. 若函数 存在两个极值点 和 ，则 取值范围为（ ）
A. B. C. D.
12. 在正方体 中， 分别为棱 的中点，动点 平面 ，
，则下列说法错误的是（ ）
的
A. 外接球面积为 B. 直线 平面
C. 正方体被平面 截得的截面为正六边形 D. 点 的轨迹长度为
第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（本题共4道小题，每小题5分，共20分）
13. 设命题 ，若 是假命题，则实数 的取值范围是__________.
14. 在同一平面直角坐标系 中，曲线 所对应的图形经过伸缩变换 得到图形.点 在曲线 上，则点 到直线 的距离的最小值为____________.
15. 已知函数 定义域为 ，其导函数是 .有 ，则关于 的不
的
等式 的解集为_________.
16. 已知抛物线 ： 的焦点为 ，经过抛物线上一点 ，作斜率为 的直线交 的准线于点 ，
为准线上异于 的一点，当 时， ______．
三、解答题（本题共6道小题，22题10分，其余各题12分，共70分）
17. 已知函数 其中 为常数，设 为自然对数的底数.
（1）当 时，求曲线 在点 处的切线方程；
（2）是否存在实数 ，使得 在区间 上的最大值为 ？若存在，求出求 的值，若不存在，请
说明理由.
18. 今年是中国共青团建团100周年，我校组织了1000名高中同学进行团的知识竞赛.成绩分成6组：
， ， ， ， ， ，得到如图所示的频率分布直方图.若图
中未知的数据a，b，c成等差数列，成绩落在 内的人数为400.
（1）求出直方图中a，b，c的值；
（2）估计中位数（精确到0.1）和平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值代替）；（3）在区间 内的学生中通过分层抽样抽取了5人，现从5人中再随机抽取两人进行现场知识答
辩，求抽取两人中恰好有1人得分在区间 内的事件概率.
19. 如图所示，四棱柱 中，底面 是以 为底边的等腰梯形，且
.（I）求证：平面 平面 ；
（Ⅱ）若 ，求直线AB与平面 所成角的正弦值.
20. “工艺折纸”是一种把纸张折成各种不同形状物品的艺术活动，在我国源远流长.某些折纸活动蕴含丰富
的数学内容，例如：用一张圆形纸片，按如下步骤折纸（如图）：
步骤1：设圆心是 ，在圆内异于圆心处取一点，标记为 ；
步骤2：把纸片折叠，使圆周正好通过点 ；
步骤3：把纸片展开，并留下一道折痕；
步骤4：不停重复步骤2和3，就能得到越来越多的折痕.
已知这些折痕所围成的图形是一个椭圆.若取半径为6的圆形纸片，设定点 到圆心 的距离为4，按上述
方法折纸.以点 、 所在的直线为 轴，线段 中点为原点建立平面直角坐标系.
（1）求折痕围成的椭圆的标准方程；
（2）若过点 且不与 轴垂直的直线 与椭圆 交于 ， 两点，在 轴的正半轴上是否存在定点
，使得直线 ， 斜率之积为定值？若存在，求出该定点和定值；若不存在，请说明理由.
21. 设函数 .
（1）求 的最值；（2）令 ， 图象上有一点列 ，若直线
的的斜率为 ，证明： .
22. 在直角坐标系 中，直线 的参数方程为 ( 为参数)，直线 的参数方程
( 为参数).若直线 的交点为 ，当 变化时，点 的轨迹是曲线 .
（1）求曲线 的普通方程；
（2）以坐标原点为极点， 轴正半轴为极轴且取相同的单位长度建立极坐标系，点 是曲线 两动点，
，求 面积的最大值.
