文档内容
（在此卷上答题无效）
2023～2024 学年福州市高三年级 4 月份质量检测
数 学 试 题
（完卷时间 120 分钟； 满分 150 分）
友情提示： 请将所有答案填写到答题卡上！请不要错位、越界答题！
一、单项选择题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分.在每小题给出的四个
选项中，只有一项是符合题目要求的.
ì 1 ü
1. 已知集合M =í x 0ý ，则 M =
î x+1 „þ ð R
{ } { } { } { }
A. x x<- 1 B. x x - 1 C. x x>- 1 D. x x - 1
„ …
a b
2. 设a,bÎ R，则“ab<0”是“
0”的
a b
A．充分不必要条件 B ．必要不充分条件
C．充要条件 D ．既不充分也不必要条件
3. 等轴双曲线经过点(3,1- ) ，则其焦点到渐近线的距离为
A．2 2 B．2 C．4 D． 2
π 1
4. 若sin(a + )= ，则sin2a =
4 4
15 15 7 7
A．- B． C．- D．
8 8 8 8
5. 已知非零复数z满足 z-=1 - z i ，则 z =
z
A．1 B．- 1 C．i D．- i
6. (1)- (1x25)+ x 4的展开式中x2的系数为
A．- 14 B．- 6 C．34 D．74
{ }
7. 数列 a 共有5项，前三项成等差数列，且公差为d，后三项成等比数列，且公比为q.
n
若第2项等于2，第1项与第4项的和等于10，第3项与第5项的和等于30，则 d - q=
A．1 B．2 C．3 D．4
8. 四棱锥EA- BCD 的顶点均在球O的球面上，底面 ABCD为矩形，平面BEC ^ 平面
ABCD，BC = 5 ，CDC=E =1，BE=2，则O到平面ADE的距离为
1 1 2 5
A． B． C． D．
3 4 4 8二、多项选择题：本题共 3小题，每小题 6分，共 18分.在每小题给出的四个
选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得 6分，部分选对的得部分分，
有选错的得 0分.
9. 在一次射击比赛中，甲、乙两名选手的射击环数如下表，则下列说法正确的是
甲 乙
87 90 96 91 86 90 86 92 87 95
A．甲选手射击环数的极差大于乙选手射击环数的极差
B．甲选手射击环数的平均数等于乙选手射击环数的平均数
C．甲选手射击环数的方差大于乙选手射击环数的方差
D．甲选手射击环数的第75百分位数大于乙选手射击环数的第75百分位数
10. 已知函数 fx ( )=sin ( x2 +j ) 满足 fx æöæ ç÷fç π += ö ÷x - π ，且 f() π >(f π)，则
èøè 3 ø 3 2
1 1
A．sinj = B ．sinj =-
2 2
C．yf=x ( ) 的图象关于点( 13 π,0) 对称 D． f ( x ) 在区间( π ,π)单调递减
12 2
11. 已知函数 fx(a)(xe=e)+e- +xexx - x - 恰有三个零点xx, x, ，且xx< x< ，则
12 3 12 3
A．xx++x = 0 B ．实数a的取值范围为(0,1]
12 3
C．ax +1>0 D ．ax +a>1
1 3
三、填空题：本大题共 3小题，每小题 5分，共 15分.
12. 若向量a=(3,4- ) 在向量b=(2- ,1) 上的投影向量为lb，则l等于__________.
π
13. 倾斜角为 的直线经过抛物线C：y2 =12x的焦点F，且与C交于A，B两点，Q为线段
3
AB的中点，P为C上一点，则 PFP+Q 的最小值为__________.
D
1
14. 如图，六面体ABCDAC D 的一个面ABCD是边长为2的正方
11 1 C
1
形，AAC,CDD, 均垂直于平面ABCD，且AA =1，CC =2，
11 1 1 1
则该六面体的体积等于__________，表面积等于_________. A 1 D
C
A B四、解答题：本大题共 5 小题，共 77 分.解答应写出文字说明、证明过程或演
算步骤.
15. （13分）
已知数列{a }满足a =2，aa= n+2 （n 2）.
n 1 n n- 1 …
（1）求数列{a }的通项公式；
n
1
（2）记数列{ }的前n项和为S ，证明：S <1.
a n n
n
16. （15分）
甲企业生产线上生产的零件尺寸的误差X 服从正态分布N(0,0.22)，规定XÎ - (0.2,0.2)
的零件为优等品，XÎ - (0.6,0.6) 的零件为合格品．
（1）从该生产线上随机抽取100个零件，估计抽到合格品但非优等品的个数（精确到
整数）；
（2）乙企业拟向甲企业购买这批零件，先对该批零件进行质量抽检，检测的方案是：
从这批零件中任取2个作检测，若这2个零件都是优等品，则通过检测；若这2个零件中恰
有1个为优等品，1个为合格品但非优等品，则再从这批零件中任取1个作检测，若为优等
品，则通过检测；其余情况都不通过检测.求这批零件通过检测时，检测了2个零件的概率
（精确到0.01）.
（ 附 ： 若 随 机 变 量 xm~(sN, ) 2 ， 则 P()m0s.-<6x<8m+27s= ，
P(2m2s-<)x0 >1(a0) b 上（左、右端点除外）的一个动点，F(,-0c) ，F (c,0)
a2 b2 1 2
分别是E的左、右焦点．
a2 |PF |
（1）设点P到直线l:x= 的距离为d，证明 2 为定值，并求出这个定值；
c d
（2）△PFF 的重心与内心（内切圆的圆心）分别为G，I，已知直线IG垂直于x轴．
1 2
（ⅰ）求椭圆E的离心率；
（ⅱ）若椭圆E的长轴长为6，求△PFF 被直线IG分成两个部分的图形面积之比的取
1 2
值范围．
19. （17分）
记集合Llxkxbxx=D={ f+x(Î"Î$Îl)x(x)|D,(f)x()l,,x(=)( ) R 且 } ，集合
fx(x),0D0Î 0 „
Tlxkxbxx=D={ f+x(Î"Î$Îl)x(x)|D,(f)x()l,,x(=)( ) R 且 } .若lx( )Î L ，
fx(x),0D0Î 0 … fx(x),DÎ
则称直线yl=x( )为函数 f(x)在D上的“最佳上界线”；若lx( )Î T ，则称直线yl=x( )
fx(x),DÎ
为函数 f(x)在D上的“最佳下界线”.
（1）已知函数 fx(x)=-x +2 ，lx(k)x = +1 .若lx( )ÎL ，求k的值；
0 0(), fx x Î R
（2）已知g()xe = 1x + .
（ⅰ）证明：直线yl=x( )是曲线yg=x( )的一条切线的充要条件是直线yl=x( )是函数
g(x)在R上的“最佳下界线”；
（ⅱ）若h(x)ln=(1) x - ，直接写出集合L T 中元素的个数（无需证明）.
hx()x,g(1x,)Î+(x¥), I Î R
