浙江强基联盟2023学年第一学期高三年级10月联考数学(1)_2023年10月_0210月合集_2024届浙江强基联盟第一学期高三年级10月联考_浙江强基联盟2024届第一学期高三年级10月联考数学

绝密★启用前
浙江强基联盟 2023 学年第一学期高三年级
10 月联考数学学科试题
命题人：宁波鄞州高级中学 朱俊波 审题人：平阳鳌江中学 蔡继大
金华市外国语学校 代云龙 武义第三中学 邓浩 温州育英实验学校 朱 益
本试卷分为第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，全卷满分150分，考试时间120分钟.
考生须知：1.答题前，务必核对答题卡上条形码中信息是否与本人一致.
2.选择题用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，
再选涂其他答案编号.
3.非选择题用0.5毫米黑色签字笔在答题卡上书写，在试卷上作答无效.
第Ⅰ卷(选择题共60分)
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符
合题目要求的.
1.设集合
数学 第1页（共2页） 24-63C
A =  x x 2 − 6 x + 8  0  , B =  x − 1  x  3  ，下列属于 A B 的元素是 ( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
2.若复数 z = 2
2
−
+
a i
i
是纯虚数，则实数 a = ( )
A. 2 B. 4 C. − 2 D.−4
x2 y2
3.已知双曲线C: − =1(a0,b0)的离心率为
a2 b2
5 ，则渐近线方程是 ( )
A． y = 
1
2
x B．y=2x C．y= 3x D． y = 
3
3
x
4.已知向量a=(2,4),b=(1,x)，若 ( a + b ) / / ( a − 2 b ) ，则 a  b = ( )
A. 1 0 B. 10 C. 8 D.2 2
5.若函数 f ( x ) =
 3 a
a
x
x
+
+
6 , x
a , x


2
2
是单调递增函数，则实数 a 可取的一个值是( )
A. 3 B. 4
A.
C.5 D.6
6.近期浙江大学、复旦大学、南京大学三所学校发布了2024年冬令营招生简章，现有甲、乙、丙、
丁四位同学报名，每位同学只能选一所大学，每所大学至少有一名同学报名，且甲同学不报南京大
学，则不同的报名方法共有( )
1 6 种 B. 2 0 种 C. 2 4 种 D. 2 8 种
7.已知函数 f ( x ) = 1 + c o s 4 x + 2 s in 2 x ， x   0 , a 
 5
的值域为 2, ，则实数  
 2
a 的取值范围为( )
A．
 π
6
,
π
2
  π π
B． , C．  
12 2 1 2
,
6
   
D．
 5
1
π
2
, π

a,ab
8.定义maxa,b= .若数列
b,ab
 a
n
 的前 n 项和为S =n2 +(20+)n ( R,nN*)，数列
n
 b
n

满足 b
1
= 2 , 2 n + 1 ( b
n + 1
− b
n
) = b
n
b
n + 1
，令 c
n
= m a x  a
n
, b
n
 ，且 c
n
 c
3
恒成立，则实数的取值范围是( )
A.−4,−3 B.−3,−2 C.

−
2
3
, −
1
2

D.

− 3 , −
2
3

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要
求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9.已知m,n是两条不重合的直线， , 是两个不重合的平面，下列命题正确的是( )
A.若m//,m//,n//,n//，则 / /   B.若 m / / n , m / / , n   ⊥ ，则  ⊥
C.若 m n , m , n   ⊥   ，则  ⊥ D.若 m / / n , m , n   ⊥ ⊥ ，则 / /  
10.下列说法正确的是( )
A.若随机变量 X 服从二项分布 B ( 6 , p ) ，且 E ( X ) = 2 ，则 D ( X ) =
2
3
B.随机事件 A ， B 相互独立，满足 P ( A B ) = 5
9
， P ( A B ) = 2
9
2 ，则P(B)=
5
C.若 P ( A B ) = P ( B A ) =
2
3
, P ( A ) =
1
2
1
，则P(B)=
2
D.设随机变量 X 服从正态分布 N ( 3 , ) , P ( X 5 ) 0 .8   = ，则 P ( 1  X  3 ) = 0 .3
11.已知抛物线E:y2 =4x上的两个不同的点 A ( x
1
, y
1
) , B ( x
2
, y
2
) 关于直线 x = k y + 4 对称，直线 A B
与x轴交于点C(x ,0)，下列说法正确的是( )
0
A. E 的焦点坐标为 ( 1 , 0 ) B.x +x 是定值 C.xx 是定值 D.x (−2,2)
1 2 1 2 0
12.已知定义在 R
1 
上的函数 f (2x−2)的图象关于直线x=1对称，函数 f  x+1 的图象关于点
2 
(2,0)中心对称，则下列说法正确的是( )
A. f (x)= f (−x) B.8是函数 f (x)的一个周期
C. f (2)=0 D. f (1+x)+ f (1−x)=0第Ⅱ卷(非选择题共90分)
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13.过圆
数学 第2页（共2页） 24-63C
x 2 + y 2 = 1 上点 P

−
2
2
,
2
2 
的切线方程为
14.
 1
2 x
− x
 8
展开式中含 x 2 项的系数是
15.已知 s in x
4
1
3
, x ( 0 , )



+

=  ，则sin2x=
16.设a,b,c为正数， a  b ，且 a , b 为一元二次方程ax2 −3bx+c=0的两个实根，则
4
b
c
+ b ( a
1
− b ) 的
最小值为
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸.
17.(10分)已知锐角 △ A B C 的内角 A , B , C 的对边分别为 a , b , c ，且满足bsinC+csinB= 3b
(Ⅰ)求 C ;
(Ⅱ)若 c = 2 , △ A B C 面积为 3，求 △ A B C 的周长.
18.(12分)已知等差数列  a
n
 的前 n 项和为S ，且满足
n
3 S
4
= 2 ( a
5
+ a
8
) , a
3
= 3 a
1
+ 2 ， n  N * .
(Ⅰ)求数列  a
n
 的通项公式;
(Ⅱ)若 b
n
=

−
1
2
 n − 1
，令 c
n
= a
n
b
n
，数列  c
n
 的前n项和为 T
n
，求 T
n
的取值范围.
19.(12 分)如图，已知四棱锥 P − A B C D ， △ P A D 是边长为 4 的等边三角形，满足AB=2BC=4，
AB⊥BC， B C / / A D .
(Ⅰ)求证： P C ⊥ A D ;
(Ⅱ)若 P D 与平面 A B C D 所成的角为
4
20.(12分)已知函数 f (x)=lnx−ax2 +(1−2a)x.(aR)
(Ⅰ)若

，求二面角P−CD−A的余弦值.
a = 1 时，求函数 f ( x ) 的单调区间;
(Ⅱ)当 0  a 
1
2
时，求证： f ( x ) 
1
2 a
− a − 1 .
21.(12分)如图所示，已知椭圆 E : x
a
2
2
+ y
b
2
2
= 1 ( a  b  0 ) 过点 M ( 2 2 , 2 ) ，且满足 a = 2 b ， O 为坐标
原点，平行于 O M 的直线交椭圆 E 于两个不同的点 A , B .
(Ⅰ)求椭圆 E 的方程;
(Ⅱ)直线AM 与x轴交于点C.证明  B M C 的内角平分线所在直线与x轴垂直.
22.(12 分)甲口袋中装有 2 个红球和 1 个黑球，乙口袋中装有 1 个红球和 2 个黑球.现从甲、乙两口袋
中各任取一个球交换放入另一口袋，称为 1 次球交换的操作，重复 n 次这样的操作，记甲口袋中红
球个数为X .
n
(Ⅰ)求 P ( X
1
= 1 ) ;
P
(Ⅱ)求X 的概率分布列并求出E(X );
2 2
1
(Ⅲ)证明：E(X )=1+ E(X )( n2,nN*) .
n+1 3 n
A D
B C
B
y
O
A
M
C
x