重庆市缙云教育联盟2023-2024学年高三上学期8月月考数学答案(1)_2023年8月_028月合集_2024届重庆市缙云教育联盟高三8月联考

★秘密·2023年8月25日16：00前 重庆市 2023-2024 学年（上）8 月月度质量检测 高三数学答案及评分标准 2023.08 【命题单位：重庆缙云教育联盟】 1．D 2．A 3．B 4．B 5．D lnx1 lnx1 6．B【分析】将问题转化为 f(x)0即k  在(0,e]上恒成立，利用导数求出函数g(x) 在(0,e] x x 上的最大值即可求得k的范围.  π 7．B【分析】化简得到cosBcos2A，从而得到2AB，得到C π3A，A0, ，利用正弦定理得到  3 ACBC 1 ACBC  ，从而得到 的取值范围. AB 2cosA1 AB 8．A【分析】对应函数求导，利用奇偶性定义判断 f(x)为偶函数，根据有唯一零点知 f(0)0，构造法有 a 32(a 3)，应用等比数列定义写出通项公式并求对应项. n1 n 9．BCD 10．ABD 11．AD【分析】对于AB，对𝑔(𝑥)求导后，结合(𝑥−1) 𝑓′(𝑥)−𝑓(𝑥) ≥0可求出𝑔(𝑥)的单调区间和极值，进行 判断，对于C，求出𝑔(𝑥)的最小值分析判断，对于D，由𝑔(𝑥)在(1,+∞)上单调递增分析判断. 12．ABC【分析】用古典概型的计算公式判断𝐴,𝐵；由独立性检验可判断𝐶,𝐷. 13． 19 14． 6π 15．2 16．①③④ 17． （1）由 𝑠𝑖𝑛𝐴 𝑠𝑖𝑛𝐶 = 𝑐−𝑏得(𝑠𝑖𝑛𝐴 + 𝑠𝑖𝑛𝐶)(𝑐−𝑎)=𝑠𝑖𝑛𝐵(𝑐−𝑏)， 𝑠𝑖𝑛𝐵 𝑐−𝑎 利用正弦定理可得(𝑎+𝑐)(𝑐−𝑎)=𝑏(𝑐−𝑏)，化为𝑐2+𝑏2−𝑎2=𝑏𝑐， 高三数学答案 第 1 页 共 7 页 学科网（北京）股份有限公司所以由余弦定理得𝑐𝑜𝑠𝐴=𝑐2 𝑏2−𝑎2 = 1，∵𝐴∈(0,𝜋)，∴𝐴= 𝜋 . 2𝑏𝑐 2 3 （2）由余弦定理可得12=𝑎2=𝑏2+𝑐2−2𝑏𝑐𝑐𝑜𝑠𝐴=𝑏2+𝑐2−𝑏𝑐=(𝑏+𝑐)2−3𝑏𝑐=36−3𝑏𝑐， 所以𝑏𝑐=8，所以𝑆 = 1 𝑏𝑐𝑠𝑖𝑛𝐴= 1 ×8× 3=2 3. △𝐴𝐵𝐶 2 2 2 18． （1）已知𝑎 +𝑆 =4①，当𝑛=1时，2𝑎 =4，解得a 2， 𝑛 𝑛 1 1 当𝑛≥2时，𝑎 +𝑆 =4②，①−②得：a a a 0， 𝑛−1 𝑛−1 n n1 n 因为a 0，整理得 𝑎 𝑛 = 1，所以𝑎 =𝑎 ⋅21−𝑛=22−𝑛； n 𝑎 𝑛−1 2 𝑛 1 （2）由，𝑏 =log 𝑎 可得𝑏 =log 22−𝑛=2−𝑛，由于 𝑛 2 𝑛 𝑛 2 1 = 1 = 1 = 1 1 − 1 ， 𝑏 2𝑛−1 ⋅𝑏 2𝑛+1 [2−(2𝑛−1)][2−(2𝑛 1)] (2𝑛−3)(2𝑛−1) 2 2𝑛−3 2𝑛−1 所以𝑇 = 1 −1−1+1− 1 +…+ 1 − 1 = 1 −1− 1 =− 𝑛 . 𝑛 2 3 2𝑛−3 2𝑛−1 2 2𝑛−1 2𝑛−1 19． （1）由题意，每位选手成功闯过两关的概率为1 × 1 = 1，易知𝑋 4 取1,2,3,4，则𝑃(𝑋 4 =1)= 1− 1 0 × 1 = 2 2 4 4 4 1，𝑃(𝑋 4 =2)= 1− 1 × 1 = 3，𝑃(𝑋 4 =3)= 1− 1 2 × 1 = 9，𝑃(𝑋 4 =4)= 3 3 = 27， 4 4 4 16 4 4 64 4 64 因此𝑋 的分布列为 4 𝑋 1 2 3 4 4 1 3 9 27 𝑃 4 16 64 64 （2）（i）𝑌 =𝑘(1≤𝑘≤𝑛−1,𝑘∈𝑁∗)时，第𝑘人必答对第二题， 𝑛 𝑘+1 若前面k1人都没有一人答对第一题，其概率为𝑝′ = 1 ， 𝑘 2 𝑘+1 𝑘+1 若前面k1人有一人答对第一题，其概率为𝑝″ =𝐶1 1 =(𝑘−1) 1 ， 𝑘 𝑘−1 2 2 𝑘+1 故𝑃(𝑌 𝑛 =𝑘)=𝑝′ 𝑘 +𝑝″ 𝑘 =𝑘 1 . 2 𝑛−1 当𝑌 𝑛 =𝑛时，若前面𝑛−1人都没有一人答对第一题，其概率为𝑝′ 𝑛 = 1 ， 2 𝑛 若前面𝑛−1人有一人答对第一题，其概率为𝑝″ =(𝑛−1) 1 ， 𝑛 2 高三数学答案 第 2 页 共 7 页 学科网（北京）股份有限公司𝑛 故𝑃(𝑌 𝑛 =𝑛)=𝑝′ 𝑛 +𝑝″ 𝑛 =(𝑛+1) 1 . 2 Y 的分布列为： n Y 1 2 3 … n1 𝑛 n 𝑃 1 2 2× 1 3 3× 1 4 … (𝑛−1)× 1 ( 𝑛 𝑛+1)× 1 𝑛   2 2 2 2 2 𝑘+1 𝑛 （ii）由（i）知𝐸(𝑌 )=∑𝑛−1𝑘2 1 +𝑛(𝑛+1) 1 (𝑛∈𝑁∗,𝑛≥2). 𝑛 𝑘=1 2 2 𝑛+1 𝑛+1 𝑛 𝑛+1 𝐸(𝑌 )−𝐸(𝑌 )=𝑛2 1 +(𝑛+1)(𝑛+2) 1 −𝑛(𝑛+1) 1 =(𝑛+2) 1 >0， 𝑛+1 𝑛 2 2 2 2 故EY 2 EY 3 EY 4 EY 5   EY n   ，又𝐸(𝑌 2 )= 7 4 ， 故𝐸(𝑌 𝑛 )=𝐸(𝑌 2 )+[𝐸(𝑌 3 )−𝐸(𝑌 2 )]+[𝐸(𝑌 4 )−𝐸(𝑌 3 )]+⋯+[𝐸(𝑌 𝑛 )−𝐸(𝑌 𝑛−1 )]， 所以𝐸(𝑌 𝑛 )= 7 +4× 1 3 +5× 1 4 +⋯+𝑛 1 𝑛−1 +(𝑛+1) 1 𝑛 ，① 4 2 2 2 2 1 𝐸(𝑌 𝑛 )= 7 +4× 1 4 +⋯+𝑛 1 𝑛−1 +𝑛 1 𝑛 +(𝑛+1) 1 𝑛+1 ，② 2 8 2 2 2 2 ②－①，1 𝐸(𝑌 𝑛 )= 11 + 1 4 + 1 5 +⋯+ 1 𝑛 −(𝑛+1) 1 𝑛+1 = 3 − 𝑛 3 1 𝑛 <3 2 8 2 2 2 2 2 2 2 故𝐸(𝑌 2 )<𝐸(𝑌 3 )<𝐸(𝑌 4 )<𝐸(𝑌 5 )<⋯<𝐸(𝑌 𝑛 )<⋯<3. 20． （1）设𝐴𝐶∩𝐵𝐷=𝑂，则𝑂为𝐴𝐶,𝐵𝐷的中点，连接𝑃𝑂， 因为𝐴𝐵𝐶𝐷为菱形，则𝐴𝐶⊥𝐵𝐷， 又因为𝑃𝐷=𝑃𝐵，且𝑂为𝐵𝐷的中点，则𝑃𝑂⊥𝐵𝐷， 𝐴𝐶∩𝑃𝑂=𝑂，𝐴𝐶,𝑃𝑂⊂平面𝑃𝐴𝐶，所以𝐵𝐷⊥平面𝑃𝐴𝐶， 且𝑃𝐶⊂平面𝑃𝐴𝐶，则𝐵𝐷⊥𝑃𝐶， 又因为𝐵𝐷∥平面𝐴𝑀𝐻𝑁，𝐵𝐷⊂平面𝑃𝐵𝐷，平面𝐴𝑀𝐻𝑁∩平面𝑃𝐵𝐷=𝑀𝑁， 可得𝐵𝐷∥𝑀𝑁，所以𝑀𝑁⊥𝑃𝐶. （2）因为𝑃𝐴=𝑃𝐶，且𝑂为𝐴𝐶的中点，则𝑃𝑂⊥𝐴𝐶， 且𝑃𝑂⊥𝐵𝐷，𝐴𝐶∩𝐵𝐷=𝑂，𝐴𝐶,𝐵𝐷⊂平面𝐴𝐵𝐶𝐷，所以𝑃𝑂⊥平面𝐴𝐵𝐶𝐷， 可知𝑃𝐴与平面𝐴𝐵𝐶𝐷所成的角为∠𝑃𝐴𝐶=60°，即△𝑃𝐴𝐶为等边三角形， 设𝐴𝐻∩𝑃𝑂=𝐺，则𝐺∈𝐴𝐻,𝐺∈𝑃𝑂，且𝐴𝐻⊂平面𝐴𝑀𝐻𝑁，𝑃𝑂⊂平面𝑃𝐵𝐷， 高三数学答案 第 3 页 共 7 页 学科网（北京）股份有限公司可得𝐺∈平面𝐴𝑀𝐻𝑁，𝐺∈平面𝑃𝐵𝐷， 且平面𝐴𝑀𝐻𝑁∩平面𝑃𝐵𝐷=𝑀𝑁，所以𝐺∈𝑀𝑁，即𝐴𝐻,𝑃𝑂,𝑀𝑁交于一点𝐺， 因为H为𝑃𝐶的中点，则𝐺为△𝑃𝐴𝐶的重心， 且𝐵𝐷∥𝑀𝑁，则𝑃𝑀 = 𝑃𝑁 = 𝑃𝐺 = 2， 𝑃𝐵 𝑃𝐷 𝑃𝑂 3 设𝐴𝐵=2，则𝑃𝐴=𝑃𝐶=2 3,𝑂𝐴=𝑂𝐶= 1 𝐴𝐶= 3,𝑂𝐵=𝑂𝐷=1,𝑂𝑃=3， 2 如图，以OA,OB,OP分别为𝑥,𝑦,𝑧轴，建立空间直角坐标系， 则𝐴( 3,0,0),𝑃(0,0,3),𝑀 0, 2 ,1 ,𝑁 0,− 2 ,1 ， 3 3 uuur uuur uuur  2   4    可得AM  3, ,1,NM 0, ,0,AP  3,0,3 ，  3   3  2 𝑛⋅𝐴𝑀=− 3𝑥 + 𝑦 +𝑧 =0 1 1 1 设平面AMN的法向量𝑛=(𝑥 ,𝑦 ,𝑧 )，则 3 ， 1 1 1 4 𝑛⋅𝑁𝑀= 𝑦 =0 1 3 令𝑥 =1，则𝑦 =0,𝑧 = 3，可得𝑛=(1,0, 3)， 1 1 1 2 𝑚⋅𝐴𝑀=− 3𝑥 + 𝑦 +𝑧 =0 设平面𝑃𝐴𝑀的法向量𝑚=(𝑥 ,𝑦 ,𝑧 )，则 2 3 2 2 ， 2 2 2 𝑚⋅𝐴𝑃=− 3𝑥 +3𝑧 =0 2 2 ur   令𝑥 = 3，则y 3,z 1，可得m 3,3,1 ， 2 1 2 r ur r ur nm 2 3 39 可得cos n,m  r ur   ， n  m 2 13 13 所以平面𝑃𝐴𝑀与平面AMN所成的锐二面角的余弦值 39. 13 21． （1）由于|𝑀𝐹 |−|𝑀𝐹 |=2<|𝐹 𝐹 |=4，符合双曲线的定义， 1 2 1 2 于是2𝑎=2,2𝑐=4，即𝑎=1,𝑐=2， 高三数学答案 第 4 页 共 7 页 学科网（北京）股份有限公司故𝑏= 3，注意到|𝑀𝐹 |−|𝑀𝐹 |=2，且焦点在𝑥轴上， 1 2 故曲线的方程为𝑥2−𝑦2 =1(𝑥>0) 3 （2）若过𝐹 (2,0)的直线与𝐶交于𝑃,𝑄两点，则斜率不会是0，否则和右支只有一个交点， 2 设该直线为xmy2，和双曲线联立可得(3m21)y212my90， 则𝛥=144𝑚2−36(3𝑚2−1)=36(𝑚2+1)>0，故𝑦 +𝑦 =− 12𝑚 ,𝑦 𝑦 = 9 ， 1 2 3𝑚2−1 1 2 3𝑚2−1 y 设𝑃(𝑥 ,𝑦 ),𝑄(𝑥 ,𝑦 )，则𝐴𝑃方程可写作：y 1 (x1)，𝐵𝑄的方程可写作：𝑦= 𝑦 1 (𝑥−1)， 1 1 2 2 x 1 𝑥 2 −1 1 y y 联立AP,BQ的方程可得， 1 (x1) 2 (x1)，整理可得，𝑥= 𝑦 1 −𝑦 2 −𝑦 1 𝑥 2 −𝑦 2 𝑥 1， x 1 x 1 𝑦 1 𝑥 2 −𝑦 2 𝑥 1 −𝑦 1 −𝑦 2 1 2 则𝑥− 1 = 3𝑦 1 −𝑦 2 −3𝑦 1 𝑥 2 −𝑦 2 𝑥 1， 2 2(𝑦 1 𝑥 2 −𝑦 2 𝑥 1 −𝑦 1 −𝑦 2 ) 利用𝑃,𝑄在直线xmy2上， 于是3𝑦 −𝑦 −3𝑦 𝑥 −𝑦 𝑥 =3𝑦 −𝑦 −3𝑦 (𝑚𝑦 +2)−𝑦 (𝑚𝑦 +2)=−4𝑚𝑦 𝑦 −3(𝑦 +𝑦 )， 1 2 1 2 2 1 1 2 1 2 2 1 1 2 1 2 于是−4𝑚𝑦 𝑦 −3(𝑦 +𝑦 )=−4𝑚× 9 −3× − 12𝑚 = −36𝑚 36𝑚 =0，故𝑥− 1 =0， 1 2 1 2 3𝑚2−1 3𝑚2−1 3𝑚2−1 2 即𝑥= 1，故交点R一定落在𝑥= 1上. 2 2 22． （1）当𝑡=1时，𝐹(𝑥)=𝑒𝑥+𝑙𝑛 1 −1+𝑙𝑛 𝑥 2 =𝑒𝑥−1+𝑙𝑛𝑒−2𝑥=𝑒𝑥−2𝑥−1(𝑥>−2)； 𝑥 2 𝑒2𝑥 ∵𝐹(𝑥)定义域为(−2,+∞)，𝐹′(𝑥)=𝑒𝑥−2， ∴当𝑥∈(−2,𝑙𝑛2)时，𝐹′(𝑥)<0；当𝑥∈(𝑙𝑛2,+∞)时，𝐹′(𝑥)>0； ∴𝐹(𝑥)在(−2,𝑙𝑛2)上单调递减，在(𝑙𝑛2,+∞)上单调递增. 𝑡 （2）若𝑥+2<0，即𝑥<−2，由 >0得：t0， 𝑥 2 高三数学答案 第 5 页 共 7 页 学科网（北京）股份有限公司则当𝑥=−2+𝑡时，𝑚(−2+𝑡)=𝑡𝑒−2+𝑡+𝑙𝑛1=𝑡𝑒−2+𝑡<0，则𝑚(𝑥)>2不恒成立， ∴𝑡>0且𝑚(𝑥)定义域为(−2,+∞)； 由𝑚(𝑥)>2恒成立可得：𝑡⋅𝑒𝑥+𝑙𝑛𝑡−𝑙𝑛(𝑥+2)>2， ∴𝑒𝑥+𝑙𝑛𝑡+𝑥+𝑙𝑛𝑡>𝑙𝑛(𝑥+2)+𝑥+2=𝑒𝑙𝑛(𝑥+2)+𝑙𝑛(𝑥+2)， 令𝑔(𝑥)=𝑒𝑥+𝑥，则𝑔(𝑥+ 𝑙𝑛𝑡)>𝑔 𝑙𝑛(𝑥+2) ， ∵𝑦=𝑒𝑥与𝑦=𝑥均为单调递增函数，∴𝑔(𝑥)为单调递增函数， ∴𝑥+𝑙𝑛𝑡>𝑙𝑛(𝑥+2)，∴𝑙𝑛𝑡>𝑙𝑛(𝑥+2)−𝑥； 令ℎ(𝑥)=𝑙𝑛(𝑥+2)−𝑥，则ℎ′(𝑥)= 1 −1=− 𝑥 1 ， 𝑥 2 𝑥 2 ∴当𝑥∈(−2,−1)时，ℎ′(𝑥)>0；当𝑥∈(−1,+∞)时，ℎ′(𝑥)<0； hx在(−2,−1)上单调递增，在1,上单调递减，∴ℎ(𝑥)(−1) ， 𝑚𝑎𝑥 ∴𝑙𝑛𝑡>1，解得：𝑡>𝑒，即实数𝑡的取值范围为(𝑒,+∞). 高三数学答案 第 6 页 共 7 页 学科网（北京）股份有限公司高三数学答案 第 7 页 共 7 页 学科网（北京）股份有限公司