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3.1.1 椭圆
思维导图
常见考法考点一 椭圆的定义
【例1】（1）（2020·上海徐汇.高二期末）已知 ､ 是定点， .若动点 满足
，则动点 的轨迹是（ ）
A．直线 B．线段 C．圆 D．椭圆
（2）（2019·宁波市第四中学高二期中）设 是椭圆 上的点．若 是椭圆的两个焦点，则
等于( )
A．4 B．5 C．8 D．10
【答案】（1）B（2）D
【解析】（1）对于在平面内，若动点 到 、 两点的距离之和等于6，而6正好等于两定点 、
的距离，则动点 的轨迹是以 ， 为端点的线段．故选：B．
（2）因为椭圆的方程为 ，所以 ，由椭圆的的定义知 ，
故选D．
椭圆是在平面内定义的，所以“平面内”这一条件不能忽视．
定义中到两定点的距离之和是常数，而不能是变量．
常数(2a)必须大于两定点间的距离，否则轨迹不是椭圆，这是判断曲线是否为椭圆的限制条件．
【一隅三反】
1．（2020·河南省鲁山县第一高级中学高二月考）若椭圆 上一点Ｐ到左焦点的距离为５，则
其到右焦点的距离为（ ）
A．５ B．３ C．２ D．１
【答案】D
【解析】由题意a=3,P点到右焦点的距离为2a-5=12．（2020·东城.北京五十五中高二月考）若椭圆 上一点 到其焦点 的距离为6，则 到
另一焦点 的距离为( )
A．4 B．194 C．94 D．14
【答案】D
【解析】依题意 ，且 .故选：D
3.下列命题是真命题的是________．(将所有真命题的序号都填上)
①已知定点F(－1,0)，F(1,0)，则满足|PF|＋|PF|＝的点P的轨迹为椭圆；
1 2 1 2
②已知定点F(－2,0)，F(2,0)，则满足|PF|＋|PF|＝4的点P的轨迹为线段；
1 2 1 2
③到定点F(－3,0)，F(3,0)的距离相等的点的轨迹为椭圆．
1 2
【答案】 ②
【解析】 ①<2，故点P的轨迹不存在；②因为|PF|＋|PF|＝|FF|＝4，所以点P的轨迹是线段FF；③
1 2 1 2 1 2
到定点F(－3，0)，F(3,0)的距离相等的点的轨迹是线段FF 的垂直平分线(y轴)．
1 2 1 2
考点二 椭圆定义的运用
【例2-1】（1）（2019·福建高二期末）如果 表示焦点在 轴上的椭圆，那么实数 的取值范
围是（ ）
A． B． C． D．
（2）（2019·江苏省苏州实验中学高二期中）方程 表示椭圆，则实数 的取值范围（ ）
A． B． C． D． 且
【答案】（1）A（2）D
【解析】（1） 转化为椭圆的标准方程，得 ，因为 表示焦点在 轴上的椭圆，所以 ，解得 .所以实数 的取值范围是 .选A.
（2）方程 表示椭圆，若焦点在x轴上， ；若焦点在y轴上， .
综上：实数 的取值范围是 且 故选：D
把方程写成椭圆的标准方程形式，得到 形式，要想表示
（1）焦点在 轴上的椭圆，必须要满足 ，解这个不等式就可求出实数 的取值范围．
（2）焦点在x轴上的椭圆，必须要满足A>B>0，解这个不等式就可求出实数 的取值范围．
（3）椭圆，必须要满足 解这个不等式就可求出实数 的取值范围
【一隅三反】
1．（2020·广东高三月考（文））“ ”是“方程 表示椭圆”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】因为方程 表示椭圆的充要条件是 ，即 且 ，故
“ ”是“方程 表示椭圆”的必要而不充分条件.故选：B.
2．（2017·浙江东阳.高二期中）如果方程 表示焦点在x轴上的椭圆，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． 或 D． 或
【答案】D
【解析】 椭圆的焦点在 轴上， ，解得 或 ，故选D.
3．（2019·北京北师大实验中学高二期中）若方程 表示焦点在 轴上的椭圆，则 的取值
范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为方程 表示椭圆，故： ，且 ；
又该椭圆的焦点在 轴上，故只需 ，解得 .故选：D.
【例2-2】（1）（2018·黑龙江哈尔滨三中高二期中（文））已知 的顶点 ， 在椭圆
上，顶点 是椭圆的一个焦点，且椭圆的另一个焦点在 上，则 的周长是（ ）
A． B． C． D．
（2）（2019·广西田阳高中））已知 是椭圆 上一点， 为椭圆的两焦点，且
，则 面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】（1）C【解析】（1） 的顶点 ， 在椭圆 上，顶点 是椭圆的一个焦点，且椭圆的另一个
焦点在 上，由椭圆的定义可得： 的周长是 ．故选：C．
（2）由椭圆的标准方程可得：a＝5，b＝3，∴c＝4，
设|PF|＝t，|PF|＝t，所以根据椭圆的定义可得：t+t＝10①，
1 1 2 2 1 2
在△FPF 中，∠FPF＝60°，
1 2 1 2
所以根据余弦定理可得：|PF|2+|PF|2﹣2|PF||PF|cos60°＝|FF|2＝（2c）2＝64，
1 2 1 2 1 2
整理可得：t2+t2﹣tt＝64，②把①两边平方得t2+t2+2t•t＝100，③
1 2 12 1 2 1 2
所以③﹣②得tt＝12，
12
∴ ∠FPF＝3 ．故选A．
1 2
【一隅三反】
1．（2019·黑龙江哈尔滨市第六中学校高二月考（文））已知点 分别是椭圆 的左、右焦
点,点 在此椭圆上,则 的周长等于（ ）
A．20 B．16 C．18 D．14
【答案】C
【解析】根据椭圆方程可知 ，根据椭圆的定义可知， 的周长为 ，
故选C.
x2 y2
2．（2018·湖南高二期中（理））已知E、F分别为椭圆 + =1的左、右焦点，倾斜角为60∘的直线l
25 9
过点E，且与椭圆交于A，B两点，则△FAB的周长为( )
A．10 B．12 C．16 D．20
【答案】Dx2 y2
【解析】椭圆 + =1，可得a=5，
25 9
三角形AF B的周长=|AF |+|BF |+|AB|，|AB|=|AF |+|BF |，
2 2 2 1 1
所以：周长=|AF |+|AF |+|BF |+|BF |，
1 2 1 2
由椭圆的第一定义，|AF |+|AF |=|BF |+|BF |=2a=10，所以，周长=4a=20．故选：D．
1 2 1 2
3．已知P是椭圆 上的一点，F，F 是椭圆的两个焦点，且∠FPF＝60°，则△FPF 的面积是
1 2 1 2 1 2
______．
【答案】
【解析】∵|PF|＋|PF|＝4， ，又∵∠FPF＝60°，
1 2 1 2
由余弦定理可得|FF|2＝|PF|2＋|PF|2－2|PF|·|PF|cos60°
1 2 1 2 1 2
12＝(|PF|＋|PF|)2－2|PF|·|PF|－|PF|·|PF|，∴ ，
1 2 1 2 1 2
∴ .
考点三 椭圆的标准方程
【例3】（2020·四川内江,高二期末）分别求适合下列条件的方程：
（1）焦点在 轴上，长轴长为 ，焦距为 的椭圆标准方程；
（2）与椭圆 具有相同的离心率且过点 的椭圆的标准方程
（3）已知椭圆的两个焦点的坐标分别是 ， ，并且经过点 ，则此椭圆的标准方程
【答案】（1） ；（2） 或 （3）【解析】（1）由已知条件可得 ，可得 ， ，
因此，所求椭圆的标准方程为 ；
（2）易知椭圆 的离心率 ．
当所求椭圆的焦点在x轴上时，可设椭圆的方程为 ，
把点 代入方程，得 ．
又 ，解得 ， ，所以所求椭圆的方程为 ．
当所求椭圆的焦点在y轴上时，同理可设椭圆的方程为 ，
把点 代入方程，得 ．
又 ，解得 ， ，所以所求椭圆的方程为 ．
（2）因设椭圆的标准方程为 ，因为点 在椭圆上，
所以 ，所以椭圆的标准方程为 ．此椭圆的标准方程是
或 .根据焦点位置分类讨论，再根据离心率以及点在椭圆上列方程组解得 ， ，即得结果.
【一隅三反】
1．（2019·全国高二课时练习）求满足下列条件的椭圆的标准方程：
(1)焦点在y轴上，焦距是4，且经过点M(3,2)；
(2)c∶a＝5∶13，且椭圆上一点到两焦点的距离的和为26.
（3）已知椭圆 的中心在原点，焦点在坐标轴上，且经过两点 和
【答案】(1) (2) 或 （3）
【解析】(1)由焦距是4，可得c＝2，且焦点坐标为(0，－2)，(0,2)．由椭圆的定义知，
，所以a＝4，所以b2＝a2－c2＝16－4＝12.又焦点在y轴上，
所以椭圆的标准方程为 .
(2)由题意知，2a＝26，即a＝13，又因为c∶a＝5∶13，所以c＝5，所以b2＝a2－c2＝132－52＝144，
因为焦点所在的坐标轴不确定，所以椭圆的标准方程为 或 .
（2）设椭圆的方程为 ．
将A，B两点坐标代入方程，得 ，解得 ，故所求椭圆的方程为 ．
考点四 离心率
【例4】（1）（2020·武威第八中学高二期末（理））已知椭圆 ： 的一个焦点为
，则 的离心率为 。
（2）（2019·江西南昌十中高二期中（文））过椭圆的右焦点 作椭圆长轴的垂线交椭圆于 两点，为椭圆的左焦点，若 为正三角形，则椭圆的离心率为
【答案】（1） （2）
【解析】（1）根据题意，可知 ，因为 ，所以 ，即 ，
所以椭圆 的离心率为 .
（2）根据题意，如图所示，
可得 为正三角形，可得在 中，有 ，
点 在椭圆上，由椭圆的定义可得 ，
则该椭圆的离心率
1．椭圆的离心率的求法：
(1)直接求a，c后求e，或利用e＝，求出后求e.
(2)将条件转化为关于a，b，c的关系式，利用b2＝a2－c2消去b.等式两边同除以a2或a4构造关于(e)的
方程求e.
2．求离心率范围时，常需根据条件或椭圆的范围建立不等式关系，通过解不等式求解，注意最后要与
区间(0,1)取交集．
【一隅三反】1．（2020·江苏淮安.高二期中）已知椭圆 的上顶点为 ，右顶点为 ，若过原点
作 的垂线交椭圆的右准线于点 ，点 到 轴的距离为 ，则此椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由题可知，椭圆 的焦点在 轴上，
则 ，所以 ，
由于点 在椭圆的右准线 上，且 到 轴的距离为 ，
则 ，所以 ，
由题得， ，则 ，
即 ，则有 ，即 ，
而 ，所以 ，
整理得： ，则 ，即 ，
解得： ，
即椭圆的离心率为 .故选：C.
2．（2019·历下.山东师范大学附中）椭圆 的短轴长为6，焦点 到长轴的一个端点的距离等于9，则椭
圆 的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】设椭圆 的短轴长为 ，长轴长为 ，焦距为 ，
则 ，即 ； 或 ，
若 ，①
∵ ，
∴ ，②
由①②得： ， ，
∴椭圆 的离心率 ；
若 ，③
∵ ，
∴ ，④
由③④得： ， ，不符合题意，舍去，
故椭圆 的离心率为 .
故选：C.
3．（2019·内蒙古通辽实验中学高二月考）椭圆 与直线 交于A，B两点，过原点与线段AB中点的直线的斜率为 ，则椭圆的离心率为( )
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由 ，消去 得， ，
设 ，中点为 ，
则
，
即离心率 ，故选B.
4．（2018·海林市朝鲜族中学高三课时练习）设椭圆C： 的左、右焦点分别为 、
，P是C上的点， ⊥ ，
∠ = ，则C的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由题意可设|PF|＝m，结合条件可知|PF|＝2m，|FF|＝ m， 故离心率e＝
2 1 1 2
选D.
