文档文本内容
3.2.1 单调性与最大（小）值
一、选择题
1．（2017·佛山市高明区第一中学高一课时练习）函数 的递增区间依次是(
)
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
函数 ，该函数的单调递增区间为 ；
二次函数： 开口向下，对称轴为 ，该函数的单调递增区间为 ；
本题选择C选项.
2．（2017·佛山市高明区第一中学高一课时练习）在区间(0，＋∞)上不是增函数的函数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】A 选项在 上是增函数；B 选项在 是减函数，在 是增函数；C 选项在
是减函数；D 选项 在 是减函数，在
是增函数；故选C.
3．（2017·全国高一课时练习）设函数f(x)的定义域为R，有下列四个命题：
(1)若存在常数M，使得对任意的x∈R，有f(x)≤M，则M是函数f(x)的最大值
(2)若存在x∈R，使得对任意的x∈R，且x≠x，有f(x)<f(x)，则f(x)是函数f(x)的最大值
0 0 0 0
(3)若存在x∈R，使得对任意的x∈R，有f(x)<f(x)，则f(x)是函数f(x)的最大值
0 0 0(4)若存在x∈R，使得对任意的x∈R，有f(x)≤f(x)，则f(x)是函数f(x)的最大值
0 0 0
这些命题中，正确命题的个数是( )
A．0 B．1
C．2 D．3
【答案】C
【解析】若存在常数 ，使得对任意的 ，有 ，则有可能取不到，不一定是最大值，所以
(2)，(4)是正确的.
故选C.
4．（2017·全国高一课时练习）设c<0，f(x)是区间[a，b]上的减函数，下列命题中正确的是( )
A．f(x)在区间[a，b]上有最小值f(a) B．f(x)＋c在[a，b]上有最小值f(a)＋c
C．f(x)－c在[a，b]上有最小值f(a)－c D．cf(x)在[a，b]上有最小值cf(a)
【答案】D
【解析】因为f(x)是区间[a，b]上的减函数，所以f(x)在区间[a，b]上有最大值f(a)，f(x)＋c在[a，b]
上有最大值f(a)＋c，f(x)－c在[a，b]上有最大值f(a)－c，cf(x)在[a，b]上有最小值cf(a)，所以选
D.
5．（2017·全国高一课时练习）若函数y＝ 在区间[2，4]上的最小值为5，则k的值为( )
A．5 B．8
C．20 D．无法确定
【答案】C
【解析】∴ 或 ∴k＝20.选C.
6．（2017·全国高一课时练习）函数y＝x－ 在[1，2]上的最大值为( )
A．0 B．
C．2 D．3
【答案】B
【解析】y＝x－ 在[1，2]上单调递增，所以当x=2时，取最大值为 ，选B.
二、填空题
7．（2018·全国高一课时练习）如图表示某人的体重与年龄的关系：
①体重随年龄的增长而增加；
②25岁之后体重不变；
③体重增加最快的是15岁至25岁；
④体重增加最快的是15岁之前．
上述判断正确的是__________．(填序号)
【答案】④
【解析】根据函数图像,体重有递增,也有递减的年龄段,故①错误. 岁以后,体重还是有增有减的,故②
错误.增长最快的在 岁,故③错误, ④正确.
8．（2017·全国高一课时练习）函数f(x)＝|x－3|的单调递增区间是_______，单调递减区间是________．
【答案】 [3，＋∞) (－∞，3]
【解析】
，其图象如图所示，则 的单调递增区间是 ，单调递减区间是
．
9．（2017·全国高一课时练习）已知函数f(x)＝4x2－mx＋5在区间[－2，＋∞)上是增函数，则
f(1)________．
【答案】≥25【解析】由 的对称轴是直线 ，可知 在 上递增，由题设知只需
，所以 .
10．（2017·全国高一课时练习）若f(x)在R上是减函数，则f(－1)________f(a2＋1)(填“>”或“<”
或“≥”或“≤”)．
【答案】>
【解析】∵f(x)在R上是减函数，
∴对任意x，x，若x<x均有f(x)>f(x)．
1 2 1 2 1 2
又∵－1<a2＋1，
∴f(－1)>f(a2＋1)．
三、解答题
11．（2017·佛山市高明区第一中学高一课时练习）已知函数 ， ∈[0,2]，用定义证明函
数的单调性，并求函数的最大值和最小值．
【答案】证明见解析；最小值是 ，最大值是
【解析】解：设 ，则
.
由 ，
得 ，
所以 ，即 ，
故f(x)在区间 上是增函数.因此，函数 在区间[0,2]的左端点取得最小值，右端点取得最大值，即最小值是
，最大值是 .
12．（2019·全国高一课时练习）已知一元二次函数 ．
（1）写出该函数的顶点坐标；
（2）如果该函数在区间 上的最小值为 ，求实数 的值.
【答案】（1） ；（2） 或 .
【解析】（1）由二次函数顶点的坐标公式，
顶点横坐标 ，顶点纵坐标 .
所以抛物线的顶点坐标为 ；
（2）二次函数图象开口向上，对称轴为 ，在区间 上的最小值，分情况：
①当 时，即当 时，二次函数在区间 上随着 的增大而增大，
该函数在 处取得最小值，即 ，
解得 ，又 ，所以 ；
②当 时，即当 时，二次函数在区间 上随着 的增大而减小，在区间 上随
着 的增大而增大，该函数在 处取得最小值，即 ，解得 ，舍去；
③当 时，即当 时，二次函数在区间 上随着 的增大而减小，
该函数在 处取得最小值，即 ，
解得 ，又 ，解的 .
综上， 或 .
