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专题 13 统计概率专题（数学文化）
一、单选题
1．（2021春·河北沧州·高一统考期末）洛书古称龟书，传说有神鱼出于洛水，其甲壳上有此图案，由表示
1-9的圈点组成，数字结构是戴九履一，左三右七，二四为肩，六八为足，以五居中，五方白圈皆阳数，
四隅黑点为阴数，即九宫图，如图，在5个阳数中随机选取3个，则3个数的和为15的概率为（
）
A． B． C． D．
2．（2022秋·全国·高三兴国中学校联考阶段练习）我国古代学者余道安在他著的《海潮图序》一书中说：
“潮之涨落，海非增减，盖月之所临，则之往从之”．哲学家王充在《论衡》中写道：“涛之起也，随月
盛衰．”指出了潮汐跟月亮有关系．到了17世纪80年代，英国科学家牛顿发现了万有引力定律之后，提
出了潮汐是由于月亮和太阳对海水的吸引力引起的假设，科学地解释了产生潮汐的原因．船只在涨潮时驶
进航道，靠近码头；卸货后，在落潮时返回海洋．下图是某港口某天记录的时刻（x轴）与水深（y轴）关
系的散点图，若某货船需要的安全水深为5米，则下列说法正确的是（ ）A．该船在凌晨3点零6分驶入航道，靠近码头，9点18分返回海洋或15点30分驶入航道，靠近码头，21
点42分返回海洋
B．该船这一天能进入航道，靠近码头的时间可以是0时到凌晨6点12分或12时24分到18点36分
C．海水涨落潮周期是12小时
D．该船最多在码头停留时间不能超过6小时
3．（2022·江西赣州·高三校考阶段练习）2022年是香港回归祖国25周年，香港是一座高度繁荣的国际大
都市，有着东方之珠的美誉，同时香港的区徽也带上了香港特有的浪漫.香港特别行政区区徽，呈圆形，位
于徽面内圆中央的动态紫荆花图案为白色，由五片花瓣组成，每片花瓣中均有一颗红色五角星及一条红色
花蕊镶在其间，香港特别行政区区徽代表祖国，白色紫荆花代表香港，紫荆花红旗寓意香港是祖国不可分
离的一部分，并将在祖国怀抱中兴旺发达.花蕊上的五星象征香港同胞热爱祖国，采用红、白不同颜色，象
征“一国两制”.其中紫荆花外辅助圆直径为区徽直径的 ，现从区徽内任取一点，则该点取自紫荆花外辅
助圆内的概率为（ ）
A． B． C． D．4．（2022春·新疆乌鲁木齐·高一乌鲁木齐101中学校考期末）概率论起源于16-17世纪对赌博问题的研究，
概率的要义在17世纪中叶由法国数学家帕斯卡与费马的讨论才明确．当时有个叫梅罗骑士因赌注分配的问
题写信求教于帕斯卡．背景：“甲乙两人赌注共有144收金，赌局分为五局三胜制，谁先赢得3局，即可
获得全部赌注，现已知在甲获得2局胜乙获得1局胜利时，因某种原因赌局被中止了，给甲乙俩人怎样分
配赌注才合理"，已知甲乙每局获胜的概率均为0.5，且每局输赢相互独立．你认为乙应该获得多少妆金才
合理（ ）
A．24 B．36 C．48 D．72
5．（2022·全国·高三专题练习）Poisson分布是统计学里常见的离散型概率分布，由法国数学家西莫恩·德
尼·泊松首次提出，Poisson分布的概率分布列为 ，其中 为自然对数的底数，
是Poisson分布的均值．当二项分布的n很大 而p很小 时，Poisson分布可作为二项分
布的近似．假设每个大肠杆菌基因组含有10000个核苷酸对，采用 紫外线照射大肠杆菌时，每个
核苷酸对产生嘧啶二体的概率均为0.0003，已知该菌株基因组有一个嘧啶二体就致死，则致死率是（
）
A． B． C． D．
6．（2022春·广东茂名·高一统考期末）2021年是中国共产党成立100周年，为了庆祝建党100周年，激发
青少年学生的爱国、爱党热情，引导青少年学生深入地了解党的光辉历史，加强爱国主义教育，甲、乙两
所学校均计划于2021年7月组织师生参加“观看一部红色电影”活动．据了解，《1921》、《革命者》、
《红船》、《三湾改编》等多部电影将陆续上映．甲、乙两校分别从这4部电影中任选一部电影观看，则
甲、乙两校选择不同电影观看的概率是（ ）
A． B． C． D．
7．（2022春·河南·高二统考期末）“霍姆斯马车理论”是指各种资源都得到最合理配置和使用的一种理论．
一个富有效率的团队不需要每一个人都是最有能力的，而在于每个人的能力都能得到最合理的使用和发挥．
某科研团队共有 名研究人员，编号分别为 ，要均分成甲、乙两个科研小组，其中 号研究员
组合在一起， 号研究员组合在一起，其余研究员随意搭配就能达到最佳效果，那么达到最佳效果的不
同的分组方式共有（ ）．A． 种 B． 种 C． 种 D． 种
8．（2022春·江西宜春·高二统考期末）在数学史上记载了众多科学家根据生活中的一些数学问题制作了许
多经典的数学模型，如研究随机现象规律的“高尔顿钉板”模型.某游乐场根据“高尔顿钉板”模型，仿作
了一款如图的游戏机，玩家投入一枚游戏币后，机器从上方随机放下一颗半径适当的小球，假设小球从最
上层3个缝隙落下的概率都相等，小球第一次与第2层的一障碍物随机（图中圆点）碰撞且碰撞下落过程
中等可能地从左边或右边继续下落，于是又碰到下一层的一障碍物，如此继续下去，最后落入编号①，②，
…，⑧的槽内.设小球落入编号②的槽内概率为 ，落入编号⑥的槽内概率为 ，则（ ）
A． B． C． D． ， 大小关系不定
9．（2022·全国·高三专题练习）南丁格尔玫瑰图是由近代护理学和护士教育创始人南丁格尔（Florence
Nightingale 1820-1910）设计的，图中每个扇形圆心角都是相等的，半径长短表示数量大小．某机构统计
了近几年中国知识付费用户数量（单位：亿人次），并绘制成南丁格尔玫瑰图如下，根据此图，下列说法
错误的是（ ）A．2015年至2022年，知识付费用户数量逐年增加
B．2016年至2022年，知识付费用户数量逐年增加量2018年最多
C．2022年知识付费用户数量超过2015年知识付费用户数量的10倍
D．2016年至2022年，知识付费用户数量的逐年增加量逐年递增
10．（2021秋·山东临沂·高二统考开学考试）算盘是我国古代一项伟大的发明，是一类重要的计算工具.下
图是一把算盘的初始状态，自右向左，分别表示个位、十位、百位、千位……，上面一粒珠子（简称上
珠）代表5，下面一粒珠子（简称下珠）代表1，五粒下珠的大小等于同组一粒上珠的大小.例如，个位拨
动一粒上珠、十位拨动一粒下珠至梁上，表示数字15.现将算盘的个位、十位、百位、千位分别随机拨动
一粒珠子至梁上，设事件 “表示的四位数含2个数字5”，则 （ ）
A． B． C． D．
11．（2022·高二课时练习）由于用具简单，趣味性强，象棋成为流行极为广泛的棋艺活动．某棋局的一部
分如图所示，若不考虑这部分以外棋子的影响，且“马”和“炮”不动，“兵”只能往前走或左右走，每
次只能走一格，从“兵”吃掉“马”的最短路线中随机选择一条路线，则能顺带吃掉“炮”的可能路线有
（ ）A． 条 B． 条 C． 条 D． 条
12．（2022秋·山东济宁·高二校考阶段练习）据史书记载，古代的算筹是由一根根同样长短和粗细的小棍
制成，如图所示，据《孙子算经》记载，算筹记数法则是：凡算之法，先识其位，一纵十横，百立千僵，
千十相望，万百相当.即在算筹计数法中，表示多位数时，个位用纵式，十位用横式，百位用纵式，千位用
横式，以此类推.例如 表示62， 表示26，现有5根算筹，据此表示方式表示两位数（算筹不剩
余且个位不为0），则这个两位数大于30的概率为（ ）
A． B． C． D．
13．（2022秋·浙江·高二浙江省衢州第一中学校联考开学考试）魔方又叫鲁比克方块（Rubk'sCube），是
由匈牙利建筑学教授暨雕塑家鲁比克･艾尔内于1974年发明的机械益智玩具，与华容道､独立钻石棋一起被
国外智力专家并称为智力游戏界的三大不可思议.三阶魔方可以看作是将一个各面上均涂有颜色的正方体的
棱三等分，然后沿等分线把正方体切开所得，现将三阶魔方中1面有色的小正方体称为中心方块，2面有
色的小正方体称为边缘方块，3面有色的小正方体称为边角方块，若从所有的小正方体中任取一个，恰好
抽到中心方块的概率为（ ）
A． B． C． D．14．（2022·全国·高三专题练习）“回文联”是对联中的一种，既可顺读，也可倒读．比如，一副描绘厦
门鼓浪屿景色的回文联：雾锁山头山锁雾，天连水尾水连天．由此定义“回文数”，n为自然数，且n的
各位数字反向排列所得自然数 与n相等，这样的n称为“回文数”，如：1221，2413142．则所有5位数
中是“回文数”且各位数字不全相同的共有（ ）
A．648个 B．720个 C．810个 D．891个
15．（2022春·江苏扬州·高二统考期末）托马斯·贝叶斯（Thomas Bayes）在研究“逆向概率”的问题中得
到了一个公式： ，这个公式被称为贝叶斯公式（贝叶斯定理），其中
称为 的全概率.假设甲袋中有3个白球和3个红球，乙袋中有2个白球和2个红球.现从
甲袋中任取2个球放入乙袋，再从乙袋中任取2个球.已知从乙袋中取出的是2个红球，则从甲袋中取出的
也是2个红球的概率为（ ）
A． B． C． D．
16．（2023·全国·高三专题练习）花窗是一种在窗洞中用镂空图案进行装饰的建筑结构，这是中国古代建
筑中常见的美化形式，既具备实用功能，又带有装饰效果．如图所示是一个花窗图案，点E，F，G，H分
别为AB，BC，CD，DA上的三等分点；点P，M，N，O分别为EF，FG，GH，HE上的三等分点；同样，
点Q，R，S，T分别为PM，MN，NO，OP上的三等分点．若在大正方形中随机取一点，则该点取自阴影
部分的概率为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题17．（2022·全国·高三专题练习）端午节，又称端阳节、龙舟节、天中节等，与春节、清明节、中秋节并
称为中国四大传统节日．扒龙舟与食粽是端午节的两大礼俗，这两大礼俗在中国自古传承，至今不辍．在
一个袋中装有大小一样的 个豆沙粽， 个咸肉粽，现从中任取 个粽子，设取出的 个粽子中咸肉粽的个
数为 ，则下列结论正确的是（ ）
A． B．随机变量 服从二项分布
C．随机变量 服从超几何分布 D．
18．（2022·全国·高三专题练习）“世界杂交水稻之父”袁隆平发明了“三系法”籼型杂交水稻，成功研
究出“两系法”杂交水稻，创建了超级杂交稻技术体系．某水稻种植研究所调查某地杂交水稻的株高，得
出株高（单位：cm）服从正态分布，其分布密度函数 ， ，则
（ ）
A．该地杂交水稻的平均株高为100cm
B．该地杂交水稻株高的方差为10
C．该地杂交水稻株高在120cm以上的数量和株高在80cm以下的数量一样多
D．随机测量该地的一株杂交水稻，其株高在 和在 的概率一样大
19．（2022秋·广东广州·高三广州市第十七中学校考阶段练习）为了解决传统的3D人脸识别方法中存在
的问题，科学家提出了一种基于视频分块聚类的格拉斯曼流形自动识别系统．规定：某区域内的 个点
的深度 的均值为 ，标准偏差为 ，深度 的点
视为孤立点．则根据下表中某区域内8个点的数据，下列结论正确的是（ ）
15.1 15.2 15.3 15.4 15.5 15.4 15.4 13.4
15.1 14.2 14.3 14.4 14.5 15.4 14.4 15.4
20 12 13 15 16 14 12 18A． B． C． 不是孤立点 D． 是孤立点
20．（2022·全国·高三专题练习）传说古希腊数学家阿基米德的墓碑上刻着一个圆柱，圆柱内有一个内切
球，这个球的直径恰好与圆柱的高相等.这是因为阿基米德认为这个“圆柱容球”是他最为得意的发现，于
是留下遗言：他死后，墓碑上要刻上一个“圆柱容球”的几何图形.设圆柱的体积与球的体积之比为 ，圆
柱的表面积与球的表面积之比为 ，若 ，则（ ）
A． 的展开式中的常数项是
B． 的展开式中的各项系数之和为
C． 的展开式中的二项式系数最大值是
D． ，其中 为虚数单位
21．（2022·高二课时练习）中国南北朝时期的著作《孙子算经》中，对同余除法有较深的研究．设
为整数，若 和 被 除得的余数相同，则称 和 对模 同余，记为 ．若
， ，则 的值可以是（ ）
A． B． C． D．
22．（2022·全国·高三专题练习）根据中国古代重要的数学著作《孙子算经》记载，我国古代诸侯的等级
自低到高分为：男、子、伯、侯、公五个等级，现有每个级别的诸侯各一人，君王要把50处领地全部分给
5位诸侯，要求每位诸侯都分到领地且级别每高一级就多分 处（ 为正整数），按这种分法，下列结论
正确的是（ ）A．为“男”的诸侯分到的领地不大于6处的概率是
B．为“子”的诸侯分到的领地不小于6处的概率是
C．为“伯”的诸侯分到的领地恰好为10处的概率是1
D．为“公”的诸侯恰好分到16处领地的概率是
23．（2022秋·辽宁铁岭·高二昌图县第一高级中学校考阶段练习）我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详
解九章算法》给出了著名的杨辉三角，在杨辉三角（左图）中，除1以外的每一个数都等于它“肩上”两
个数的和，第n行所有数之和为 ；右图是英国生物学家高尔顿设计的模型高尔顿板，在一块木板上钉着
若干排相互平行且相互错开的圆柱形钉子，钉子之间留有空隙作为通道，让一个小球从高尔顿板上方的入
口落下，小球在下落的过程中与钉子碰撞，且等可能向左或向右滚下，最后掉到下方的某一球槽内，如图，
小球从高尔顿板第1行的第一个缝隙落下的概率是 ，第二个缝隙落下的概率是 ；从第2行第一个缝隙
落下的概率是 ，第二个缝腺落下的概率是 ，第三个缝隙落下的概率是 ，小球从第n行第m个缝隙落
下的概率可以由杨辉三角快速算出，那么小球从第6行某个缝隙落下的概率可能为（ ）
A． B． C． D．
三、填空题
24．（2022秋·江西·高三校联考开学考试）中国的“五岳”是指在中国境内的五座名山：东岳泰山、西岳
华山、南岳衡山、北岳恒山、中岳嵩山，坐落于东、西、南、北、中五个方位．在甲决定从嵩山、泰山、华山、庐山、黄山这5座名山中，选择2座名山在2022年国庆期间前去旅游，则甲至少选中一座属于“五
岳”的名山的概率为______（用数字作答）．
25．（2022·高一课时练习）我国古代数学名著《数书九章》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来
米1534石．验得米内夹谷，抽样取米一把，数得254粒内夹谷28粒，则这批米内夹谷约为______石．
（精确到整数）
26．（2022·全国·高三专题练习）我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化.每一“重卦”由从下到
上排列的6个爻组成，爻分为阳爻“ ”和阴爻“ ”，如图就是一重卦.如果某重卦中恰有3
个阴爻，则该重卦可以有___________种.(用数字作答)
27．（2021秋·陕西榆林·高二校考阶段练习）在信息论中，设某随机事件发生的概率为 ，称 为该
随机事件的自信息．若随机抛一枚均匀的硬币1次，则“正面朝上”这一事件的自信息为__________．
28．（2022·高二单元测试）公元前 世纪，古希腊毕达哥拉斯学派已经知道五种正多面体，即正四面体、
正六面体、正八面体、正十二面体、正二十面体．后来，柏拉图学派的泰阿泰德（Theaetetus）证明出正多
面体总共只有上述五种．如图就是五种正多面体的图形．现有 张分别画有上述五种多面体的不同卡片
（除画有的图形不同外没有差别），若从这 张不同的卡片中任取 张，则没有取到画有“正四面体”卡
片的概率为____________．
29．（2022·全国·高三专题练习）太极图是以黑白两个鱼形纹组成的圆形图案，展现了一种相互转化，相
对统一的形式美．按照太极图的构图方法，在如图所示的平面直角坐标系中，圆O被函数y＝3sin x的图象分割为两个对称的鱼形图案，其中小圆的半径均为1，现在大圆内随机取一点，则此点取自阴影部分
的概率为________．
30．（2021·高二课时练习）《数术记遗》是《算经十书》中的一部，相传是汉末徐岳所著，该书主要记述
了积算（即筹算)、太乙、两仪、三才、五行、八卦、九宫、运筹、了知、成数、把头、龟算、珠算、计数
种计算器械的使用方法，某研究性学习小组有甲、乙、丙、丁、戊五人.该小组搜集两仪、三才、五行、
八卦、九宫 种计算器械的资料.每人搜集一种，每种资料都要有人搜集，其中甲乙不搜集两仪，丙丁不搜
集三才，戊不搜集八卦和九宫，则不同的分配方案的种数____.(用数字填写答案）
31．（2021·全国·高三专题练习）明朝著名易学家来知德创立了以太极图解释一年、一日之象的图式，一
年气象图将二十四节气配以太极图，说明一年之气象.他认为“万古之人事，一年之气象也，春作夏长秋收
冬藏，一年不过如此”.下图是来氏太极图，其大圆半径为6，大圆内部的同心小圆半径为2，两圆之间的
图案是对称的，若在大圆内随机取一点，则该点落在空白区域的概率为__________.
32．（2021春·江苏·高二专题练习）早在宋代，我国著名学者沈括编著的《梦溪笔谈》中，就有对排列组
合问题的研究：在一个 的棋盘中，布局4颗相同的棋子，且每一行只有1颗棋子，则不同的棋局总数
为______．
33．（2021春·黑龙江哈尔滨·高二哈九中校考阶段练习）圣宋元宝，是中国古代钱币之一，宋徽宗赵估建中靖国元年（公元101年）始铸，是仁宗“皇宋通宝”之后又一种不以年号命名的非年号钱，种类主要有
小平和折二两种．小明同学珍藏有小平钱2枚，折二钱3枚，现随机抽取2枚赠好友，则赠送的两枚为不
同种类的概率为_________．
34．（2021秋·陕西榆林·高二陕西省神木中学校考阶段练习）嫦娥五号的成功发射，实现了中国航天史上
的五个“首次”，某中学为此举行了“讲好航天故事”演讲比赛.若将报名的30位同学编号为01，
02，…，30，利用下面的随机数表来决定他们的出场顺序，选取方法是：从随机数表第1行的第5列和第
6列数字开始，由左到右依次选取两个数字，重复的跳过.则选出来的第2个个体的编号为______.
45 67 32 12 12 31 02 01 04 52 15 20 01 12 51 29
32 04 92 34 49 35 82 00 36 23 48 69 69 38 74 81
35．（2022秋·浙江·高二浙江省衢州第一中学校联考开学考试）我国古代数学专著《九章算术》中有一衰
分问题：今有北乡八千一百人，西乡七千四百八十八人，南乡六千九百一十二人，凡三乡，发役二百五十
人，则北乡遣___________人.
36．（2022春·江苏扬州·高二扬州中学校考阶段练习）考古发现，在埃及金字塔内有一组神秘的数字
142857，因为 ， ，……所以这组数字又叫走马灯数．该组数字还有
如下规律： ， ，……若从 这 个数字中任意取出 个数字构成一
个三位数 ，则 的结果恰好是剩下3个数字构成的一个三位数的概率为______．
37．（2022·全国·高三专题练习）三分损益法是古代中国发明制定音律时所用的生律法.三分损益包含“三
分损一"“三分益一"两层含义，三分损一是指将原有长度作3等分而减去其1份，即原有长度 生得
长度；而三分益一则是指将原有长度作3等分而增添其1份，即原有长度 生得长度，两种方法可以
交替运用､连续运用，各音律就得以辗转相生，假设能发出第一个基准音的乐器的长度为243，每次损益的
概率为 ，则经过5次三分损益得到的乐器的长度为128的概率为___________.
38．（2023·上海·高三专题练习）“田忌赛马”的故事千古流传，故事大意是：在古代齐国，马匹按奔跑的速度分为上、中、下三等.一天，齐王找田忌赛马，两人都从上、中、下三等马中各派出一匹马，每匹马
都各赛一局，采取三局两胜制.已知田忌每个等次的马，比齐王同等次的马慢，但比齐王较低等次的马快.
若田忌事先打探到齐王第一场比赛会派出上等马，田忌为使自己获胜的概率最大，采取了相应的策略，则
其获胜的概率最大为_________.
39．（2022春·河南驻马店·高二新蔡县第一高级中学校考阶段练习）数学家波利亚说：“为了得到一个方
程，我们必须把同一个量以两种不同的方法表示出来，即将一个量算两次，从而建立相等关系”这就是算
两次原理，又称为富比尼原理．由等式 利用算两次原理可得
____．
40．（2022春·云南昭通·高二校联考期末）二项式定理，又称牛顿二项式定理，由艾萨度克·牛顿于1664
年、1665年间提出，据考证，我国至迟在11世纪，北宋数学家贾宪就已经知道了二项式系数法则.在
的二项式展开式中， 的系数为______.
四、解答题
41．（2022春·湖北十堰·高二丹江口市第一中学校考阶段练习）飞天梦永不失重，科学梦张力无限．“天
宫课堂”是我国推出的全球首个太空科普教育活动，2022年3月23日15时40分，“天宫课堂”第二课如
约而至，航天员王亚平在翟志刚、叶光富的协助下，成功演示了太空“冰雪”、液桥演示、水油分离、太
空抛物等实验，激发了青少年学生追梦航天的飞天梦、科学梦．受“天宫课堂”启发，某学生分别在实验
室的正常环境、失重环境下进行某项实验，其中正常环境下试验100次，成功40次；失重环境下试验10
次，失败3次．
(1)用频率估计概率，求该同学在失重环境下实验成功的概率；
(2)请根据题中信息完成下面的列联表，并判断是否有95%的把握认为该实验成败与选择的实验环境有关．
成功次数 失败次数 合计
正常环境
失重环境
合计附： ，其中 ．
0.10 0.05 0.010 0.005 0.001
2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
42．（2022·江苏南通·统考模拟预测） 篮球诞生美国马萨诸塞州的春田学院．1891年，春田学院的体育教
师加拿大人詹姆斯奈史密斯博士（James Naismith）为了对付冬季寒冷的气温，让学生们能够在室内有限的
空间里继续进行有趣的传球训练．现有甲、乙、丙3名同学在某次传球的训练中，球从甲开始，等可能地
随机传向另外2人中的1人，接球者接到球后再等可能地随机传向另外2人中的1人，如此不停地传下去，
假设传出的球都能接住．记第n次传球之前球在甲手里的概率为pn，第n次传球之前球在乙手里的概率为
qn，显然p=1，q=0．
1 1
(1)求p＋2q 的值；
3 3
(2)比较p，q 的大小．
8 8
