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4.3.2 等比数列的前n项和（2）
一、单选题
1．各项均为正数的等比数列 的前项和为 ，若 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由等比数列的性质可得 成等比数列，
则 ，解得 ，
由 ， ，即 ，
故选D.
2．数列 的前 项和为 ，若 ，则 等于（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】B
【解析】因为 ，
所以 ，
故选B．
3．数列 ， ， ，…， ，…的前n项和为（ ）
A． B． C． D．【答案】B
【解析】∵
∴
=
= =
故选B．
4．数列{a}的通项公式a＝ ，若{a}前n项和为24，则n为（ ）
n n n
A．25 B．576 C．624 D．625
【答案】C
【解析】a＝ ＝－( )，
n
前n项和S＝－[(1－ )＋( － )]＋…＋( )]＝ －1＝24，
n
故n＝624.
故选C.
5．数列{a}的通项公式 ，其前n项和为S，则S 等于（ ）
n n 2012
A．1006 B．2012 C．503 D．0
【答案】A
【解析】依题意，故选A
6．如果执行右面的框图，输入 ，则输出的数等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】当 时，该程序框图所表示的算法功能为：，
故选D.
7．设 ，其中 每一个的值都是0或2这两个值中的某一个，则 一定
不属于（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由题意，当 都取 时， 取最小值 ；所以排除A；
当 ， 都取 时， ，所以排除BD；
故选C.
8．已知数列 满足 ，数列 的前 项和为 ，则
（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为 ，
所以 ，
两式作差，可得 ，即 ，又当 时， ，即 满足 ，因此 ；
所以 ；
因为数列 的前 项和为 ，
所以 ，
因此 .
故选B
9．已知数列 前 项和为 ，满足 （ 为常数），且 ，设函数
，记 ，则数列 的前17项和为（ ）
A． B． C．11 D．17
【答案】D
【解析】因为 ，
由 ，得 ，
数列 为等差数列；
，
.则数列 的前17项和为 .
故选D．
10．设数列{a}的前n项和为S，且a＝1，a＋a ＝ (n ＝1,2,3，…)，则S ＝（ ）
n n 1 n n＋1 2n＋1
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】依据递推公式的特征，可以分项求和，
则S ＝a＋(a＋a)＋(a＋a)＋…＋(a ＋a )＝1＋ ．
2n＋1 1 2 3 4 5 2n 2n＋1
故选B.
11．设 是以 为首项， 为公差的等差数列， 是 为首项， 为公比的等比数列，记
，则 中不超过 的项的个数为（ ）
A．8 B．9 C．10 D．11
【答案】C
【解析】由题意可得 ， ，所以， ，
则 ，
所以，数列 单调递增，
因为 ， ，则 ，
则使得不等式 成立的最大正整数 的值为 .
因此，数列 中不超过 的项的个数为 .
故选C.12．已知数列 ， 的前 项和分别为 ， ，且 ， ，
，若 恒成立，则 的最小值为（ ）
A． B． C．49 D．
【答案】B
【解析】当 时， ，解得 .当 时，由 ，得
，两式相减并化简得 ，由于 ，所以
，故 是首项为 ，公差为 的等差数列，所以 .则
，故
，
由于 是单调递增数列， ， .
故 的最小值为 ，
故选B.
二、填空题13．一个数列的前n项和 ，则 ______．
【答案】1
【解析】当 时， ；
当 时， ；
当 时， ；
所以 .
故填1.
14．设数列 的通项公式为 ，该数列的前 项和为 ，则 ______.
【答案】
【解析】 ， .
，又 ，
两式相加得 ，
因此， .
故填 .
15．已知函数 ，则 的值为
_____．
【答案】
【解析】当 ，
即 时，有 ，即当 时，恒有 ， 则
，
所以 .
故填
16． __________．
【答案】
【解析】 ，
.
故填 .
17．数列{a}满足a＋a ＝ (n∈N*)，且a＝1，S 是数列{a}的前n项和，则S ＝________.
n n n＋1 1 n n 21
【答案】6【解析】由 ，∴ ，则 ，
，∴ ，
故填6.
18．已知 表示不超过 的最大整数，例如: .在数列 中， ，
记 为数列 的前 项和，则 __________．
【答案】
【解析】当1≤n≤9时， =0；
当10≤n≤99时， =1，此区间所有项的和为90.
当100≤n≤999时， =2，此区间所有项的和为900×2=1800.
当1000≤n≤2018时， =3，此区间所有项的和为3×1019=3057.
所以 90+1800+3057=4947.
故填4947
三、解答题
19．在公差为2的等差数列 中， ， ， 成等比数列.
（1）求 的通项公式；
（2）求数列 的前 项和 .
【解析】（1）∵ 的公差为 ,∴ , .
∵ , , 成等比数列,
∴ ,
解得 ,
从而 .
（2）由（1）得 ,
.
20．已知正项数列 满足： ，其中 为 的前 项和.
（1）求数列 通项公式.
（2）设 ，求数列 前 项和 .
【解析】（1）令 ，得 ，且 ，解得 .
当 时， ，即 ，
整理得 ， ， ，所以数列 是首项为3，公差为2的等差数列，
故 .
（2）由（Ⅰ）知： ，
.
21．数列 的前 项和为 ， ， ．
（1）求数列 的通项 ；
（2）求数列 的前 项和 ．
【解析】（1） ，
， ．
又 ，
数列 是首项为 ，公比为 的等比数列， ．
当 时， ，
；
（2） ，
当 时， ；
当 时， ，…………①
，………………………②得：
．
．
又 也满足上式，
．
22．已知等比数列 的各项均为正数， 成等差数列，且满足 ，数列 的前 项
和 ， ，且 .
（1）求数列 和 的通项公式；
（2）设 ，求数列 的前 项和 .
（3）设 ， ， 的前 项和 ，求证： .
【解析】（1）因为 ，所以 ，
，解得
所以 ，
当 时， ，即 ，∴ 是首项为1的常数列，
∴ ；
（2）
当 为偶数时，
当 为奇数时，
（3）
