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《一元二次函数、方程和不等式》综合测试卷
一、单选题
1．（2020·安徽蚌埠·高三其他（文））设集合 ， ，则 （
）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
，∴ ．
故选：D．
2．（2020·全国高一课时练习）若 是一元二次方程 的两个根，则 的值为（
）
A． B． C．3 D．
【答案】B
【解析】
，故方程必有两根，
又根据二次方程根与系数的关系，可得 ，
所以 .
故选：B.
3．（2020·陕西西安·高三二模（理））已知 ， 为非零实数，且 ，则下列命题成立的是（
）
A． B．C． D．
【答案】B
【解析】
对于选项A,令 , 时, ,故A不正确；
对于选项C, ,故C不正确；
对于选项D,令 , 时, ,故D不正确；
对于选项B, ,则
故选：B
4．（2020·全国高一课时练习）已知 ，则 有
A．最大值 B．最小值 C．最大值1 D．最小值1
【答案】D
【解析】
当且仅当 即 时取等号，
故选： ．
5．（2019·宁波市第四中学高二期中）已知 ，则“ ”是“ ”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A
【解析】
当 时， ，当且仅当 ，即 时取等号，
当 时，可得 或 ，得 或 ，
所以“ ”是“ ”的充分不必要条件，
故选：A
6．（2020·全国高一课时练习）若方程 只有正根，则m的取值范围是（ ）
A． 或 B．
C． D．
【答案】B
【解析】
方程 只有正根，则
当 ，即 时，
当 时，方程为 时， ，符合题意；
当 时，方程为 时， 不符合题意.
故 成立；
当 ，解得 或 ，
则 ，解得 .
综上得 .故选B.
7．（2020·荆州市北门中学高一期末）若 ，则下列不等式：① ；② ；③
；④ 中，正确的不等式是（ ）
A．①④ B．②③ C．①② D．③④
【答案】A
【解析】
由于 ，所以 ，由此可知：
① ，所以①正确.
② ，所以②错误.
③错误.
④由于 ，所以 ，有基本不等式得 ，所以④正确.
综上所述，正确不等式的序号是①④.
故选：A
8．（2020·浙江高一课时练习）“关于x的不等式 的解集为R”的一个必要不充分条件是
( )
A． B．
C． D． 或
【答案】C
【解析】
因为关于 的不等式 的解集为 ，所以函数 的图象始终落在 轴的上方，
即 ，解得 ，
因为要找其必要不充分条件，从而得到 是对应集合的真子集，
对比可得C选项满足条件，
故选C.
9．（2020·全国高一课时练习）将一根铁丝切割成三段，做一个面积为 ，形状为直角三角形的框架，
在下列4种长度的铁丝中，选用最合理共用且浪费最少的是( )
A．6.5m B．6.8m C．7m D．7.2m
【答案】C
【解析】
设直角三角形的框架的两条直角边为x，y（x＞0，y＞0）
则xy＝4，
此时三角形框架的周长C为：
x+y+ ＝x+y+
∵x+y≥2 ＝4
∴C＝x+y+ ≥4+2 ≈6.83
故用7米的铁丝最合适．
故选C．
10．（2020·浙江高一单元测试）已知不等式 对任意实数 、 恒成立，则实数 的
最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】.
若 ，则 ，从而 无最小值，不合乎题意；
若 ，则 ， .
①当 时， 无最小值，不合乎题意；
②当 时， ，则 不恒成立；
③当 时， ，
当且仅当 时，等号成立.
所以， ，解得 ，因此，实数 的最小值为 .
故选：C.
二、多选题
11．（2020·南京市秦淮中学高二期末）已知命题 ，则命题成立的一个必要不充分条件是（
）
A． B． C． D．
【答案】BD
【解析】
由 ，
选项A为命题 的充要条件，选项B为 的必要不充分条件，
选项C为 的既不充分也不必要条件，
选项D为 的必要不充分条件，
故选：BD.
12．（2019·山东莒县·高二期中）已知 ，关于 的一元二次不等式 的解集中有且仅有
3个整数，则 的值可以是（ ）.
A．6 B．7 C．8 D．9
【答案】ABC
【解析】
设 ，其图像为开口向上，对称轴是 的抛物线，如图所示.
若关于 的一元二次不等式 的解集中有且仅有3个整数，因为对称轴为 ,则
解得 ，.
又 ，故 可以为6，7，8.
故选:ABC
13．（2020·湖南高新技术产业园区·衡阳市一中高二期末）（多选）若 ，则下列不等式中一定不
成立的是（ ）A． B． C． D．
【答案】AD
【解析】
，则 ， 一定不成立；
，当 时， ，故 可能成立；
，故 恒成立； ，故
一定不成立.
故选AD.
14．（2020·浙江高一单元测试）已知 且 ，那么下列不等式中，恒成立的有（ ）．
A． B． C． D．
【答案】ABC
【解析】
， (当且仅当 时取得等号)．所以选项A正确
由选项A有 ，设 ，则 在 上单调递减.
所以 ，所以选项B正确(当且仅当 时取得等号)，
．所以选项C正确.
（当且仅当 时等号成立），所
以选项D不正确．
故A，B，C正确
故选：ABC
三、填空题
15．（2020·荆州市北门中学高一期末）不等式 的解集是________.
【答案】
【解析】
原不等式可化为 即 ，所以 ，
故 ，所以原不等式的解集为 .
故答案为： .
16．（2020·全国高一课时练习）设 ， ，那么 的取值范围是________．
【答案】
【解析】
因为 ， ，所以 ， ，
∴ .
故答案为： .
17．（2020·全国高一课时练习）设a>0，b>0，给出下列不等式：
①a2＋1>a；② ；
③(a＋b) ≥4；④a2＋9>6a.
其中恒成立的是________.(填序号)
【答案】①②③
【解析】
解析由于a2＋1－a＝ ，故①恒成立；
由于a＋ ≥2，b＋ ≥2，
∴ ，当且仅当a＝b＝1时，等号成立，故②恒成立；
由于a＋b≥2 ， ，
故(a＋b) ≥4，当且仅当a＝b时，等号成立，故③恒成立；
当a＝3时，a2＋9＝6a，故④不恒成立.
综上，恒成立的是①②③.
故答案为：①②③四、双空题
18．（2020·浙江瓯海·温州中学高三一模）《九章算术》中记载了“今有共买豕，人出一百，盈一百；人
出九十，适足．问人数、豕价各几何？”.其意思是“若干个人合买一头猪，若每人出100，则会剩下
100；若每人出90，则不多也不少．问人数、猪价各多少？”.设 分别为人数、猪价，则 ___，
___.
【答案】10 900
【解析】
由题意可得 ，解得 .
故答案为10 900
19．（2020·山东高三其他）已知正实数 满足 ，则 的最小值是__________，此时
_________.
【答案】9
【解析】
由 可得 ，
由 ，得 ，
所以 ，
因为 ，所以 ，当且仅当 时等号成立.
故答案为：9； .
20．（2020·曲靖市第二中学（文））已知x>0，y>0，且x+2y=xy，若x+2y>m2+2m恒成立，则xy的最小值为_____，实数m的取值范围为_____.
【答案】8
【解析】
∵x>0，y>0，x+2y=xy，
∴ 1，
∴1 ，
∴xy≥8，当且仅当x=4，y=2时取等号，
∴x+2y= 8(当x=2y时，等号成立)，
∴m2+2m<8，解得﹣4<m<2.
故答案为：8；(﹣4，2)
21．（2020·山东威海·高三一模）为满足人民群众便利消费、安全消费、放心消费的需求，某社区农贸市
场管理部门规划建造总面积为 的新型生鲜销售市场．市场内设蔬菜水果类和肉食水产类店面共80
间．每间蔬菜水果类店面的建造面积为 ，月租费为 万元；每间肉食水产店面的建造面积为 ，
月租费为0.8万元．全部店面的建造面积不低于总面积的80%，又不能超过总面积的85%．①两类店面间
数的建造方案为_________种．②市场建成后所有店面全部租出，为保证任何一种建设方案平均每间店面
月租费不低于每间蔬菜水果类店面月租费的90%，则 的最大值为_________万元．
【答案】16 1
【解析】
设蔬菜水果类和肉食水产类店分别为 ,
（1）由题意知， ，
化简得： ，
又 ，所以 ，
解得： ，
共 种；
（2）由题意知 ，
，
，
，
，
即 的最大值为1万元，
故答案为：16；1
五、解答题
22．（2020·全国高一课时练习）（1）已知 ，求 的最小值．并求此时 的值；
（2）设 ，求函数 的最大值；
（3）已知 ，求 的最小值；
（4）已知 ， ，且 ，求 的最小值；
【答案】（1）当 时， 取得最小值 ；（2） ；（3）6；（4）
【解析】（1）因为 ，所以 ，当且仅当 ，即 时取等号；故当 时，
取得最小值 ；
（2） ， ．
．
当且仅当 ，即 时，等号成立．
，
函数 的最大值为 ．
（3） ，
，当且仅当 时取等号，即 时，
的最小值为 ，
（4） ， ， ， ．
当且仅当 时，上式等号成立，又 ， ， 时， ．
点睛：利用基本不等式求函数最值是高考考查的重点内容，对不符合基本不等式形式的应首先变形，然后必须满
足三个条件：一正、二定、三相等．同时注意灵活运用“1”的代换．
23．（2020·全国高一课时练习）已知 ， 都是正数.求证：
；
【答案】 证明见解析； 证明见解析.
【解析】
证明：由 ， 都是正实数，可得 （当且仅当 时取得等号）；
证明：由基本不等式可知
，（当且仅当 时取得等号）.
24．（2020·全国高一课时练习）日常生活中，在一杯含有 克糖的 克糖水中，再加入 克糖，则这杯糖
水变甜了.请根据这一事实提炼出一道不等式，并加以证明.
【答案】 ， ， ，证明见解析
【解析】
由题知：原来糖水的浓度为 ，
加入 克糖后的浓度为 ， ， .
因为这杯糖水变甜了，所以 ，
整理得： ， ， .因为 ，
又因为 ， ，所以 ， ， ，
所以 ，即证 .
25．（2020·全国高一课时练习）如图是在北京召开的第24界国际数学家大会的会标，会标是根据中国古
代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去象一个风车，代表中国人民热情好客．你能在这个图
案中找出一些相等关系或不等关系吗？（教师引导学生从面积的关系去找相等关系或不等关系）．
【答案】a2＋b2≥2ab.
【解析】
如图，设大正方形四个角上的直角三角形的两个直角边分别为 ，
则大正方形的面积为 ，
四个矩形的面积和为 ，
显然，大正方形的面积大于等于四个矩形的面积和，
所以
所以a2＋b2≥2ab.
26．（2020·浙江高一课时练习）已知关于x的不等式 ．（1）若不等式的解集是 或 ，求k的值．
（2）若不等式的解集是 ，求k的值．
（3）若不等式的解集是R，求k的取值范围．
（4）若不等式的解集是 ，求k的取值范围．
【答案】（1） ；（2） ；（3） ；（4） ．
【解析】
（1）由不等式的解集为 或 可知 ，
且 与 是方程 的两根， ，解得 ．
（2）由不等式的解集为 可知 ，解得 ．
（3）依题意知 解得 ．
（4）依题意知 解得 ．
27．（2020·宁夏兴庆·银川一中高一期末）解关于 的不等式 .
【答案】当 时，不等式的解集为 ；
当 时，不等式的解集为 或 ；
当 时，不等式的解集为 ；
当 时，不等式的解集为 ；当 时，不等式的解集为 .
【解析】
原不等式可化为 ，即 ，
①当 时，原不等式化为 ，解得 ，
②当 时，原不等式化为 ，
解得 或 ，
③当 时，原不等式化为 .
当 ，即 时，解得 ；
当 ，即 时，解得 满足题意；
当 ，即 时，解得 .
综上所述，当 时，不等式的解集为 ；
当 时，不等式的解集为 或 ；
当 时，不等式的解集为 ；
当 时，不等式的解集为 ；
当 时，不等式的解集为 .
