2013 年广东省初中毕业生学业考试
数学试题（含答案全解全析）
(满分120分 时间100分钟)
第Ⅰ卷(选择题,共 30 分)
一、选择题(本大题10小题,每小题3分,共30分)在每小题列出的四个选项中,只有一个是正
确的.
1.2的相反数是( )
1 1
A.- B. C.-2 D.2
2 2
2.下列四个几何体中,俯视图为四边形的是( )
3.据报道,2013年第一季度,广东省实现地区生产总值约1 260 000 000 000元,用科学记数法表
示为( )
A.0.126×1012元 B.1.26×1012元
C.1.26×1011元 D.12.6×1011元
4.已知实数a、b,若a>b,则下列结论正确的是( )
a b
A.a-5<b-5 B.2+a<2+b C. < D.3a>3b
3 3
5.数据1、2、5、3、5、3、3的中位数是( )
A.1 B.2 C.3 D.5
6.如图,AC∥DF,AB∥EF,点D、E分别在AB、AC上,若∠2=50°,则∠1 的大小是( )
A.30° B.40° C.50° D.60°
7.下列等式正确的是( )
A.(-1)-3=1 B.(-4)0=1
C.(-2)2×(-2)3=-26 D.(-5)4÷(-5)2=-52
8.不等式5x-1>2x+5的解集在数轴上表示正确的是( )
9.下列图形中,不是轴对称图形的是( )k
10.已知k<0<k,则函数y=kx-1和y= 2 的图象大致是( )
1 2 1
x
第Ⅱ卷(非选择题,共 90 分)
二、填空题(本大题6小题,每小题4分,共24分)
11.分解因式:x2-9= .
a2
12.若实数a、b满足|a+2|+√b-4=0,则 = .
b
13.一个六边形的内角和是 .
14.在Rt△ABC中,∠ABC=90°,AB=3,BC=4,则sin A= .
15.如图,将一张直角三角形纸片ABC沿中位线DE剪开后,在平面上将△BDE绕着CB的中点
D逆时针旋转180°,点E到了点E'位置,则四边形ACE'E的形状是 .
16.如图,三个小正方形的边长都为1,则图中阴影部分面积的和是 (结果保留π).
三、解答题(一)(本大题3小题,每小题5分,共15分)
{ x= y+1,①
17.解方程组
2x+ y=8.②
18.从三个代数式:①a2-2ab+b2,②3a-3b,③a2-b2中任意选择两个代数式构造成分式,然后进行化
简,并求当a=6,b=3时该分式的值.19.如图,已知▱ABCD.
(1)作图:延长BC,并在BC的延长线上截取线段CE,使得CE=BC(用尺规作图法,保留作图痕
迹,不要求写作法);
(2)在(1)的条件下,连结AE,交CD于点F,求证:△AFD≌△EFC.
四、解答题(二)(本大题3小题,每小题8分,共24分)
20.某校教导处为了解该校七年级同学对排球、乒乓球、羽毛球、篮球和足球五种球类运动
项目的喜爱情况(每位同学必须且只能选择最喜爱的一项运动项目),进行了随机抽样调查,并
将调查结果统计后绘制成了如图所示的不完整的统计图表.
(1)请你补全下列样本人数分布表和条形统计图;
(2)若七年级学生总人数为920人,请你估计七年级学生喜爱羽毛球运动项目的人数.
样本人数分布表
类别 人数 百分比
排球 3 6%
乒乓球 14 28%
羽毛球 15
篮球 20%
足球 8 16%
合计 100%21.雅安地震牵动着全国人民的心,某单位开展了“一方有难,八方支援”赈灾捐款活动.第一
天收到捐款10 000元,第三天收到捐款12 100元.
(1)如果第二天、第三天收到捐款的增长率相同,求捐款增长率;
(2)按照(1)中收到捐款的增长速度,第四天该单位能收到多少捐款?
22.如图,矩形ABCD中,以对角线BD为一边构造一个矩形BDEF,使得另一边EF过原矩形的
顶点C.
(1)设Rt△CBD的面积为S,Rt△BFC的面积为S,Rt△DCE的面积为S,则S
1 2 3 1
S+S (用“>”“=”“<”填空);
2 3
(2)写出图中的三对相似三角形,并选择其中一对进行证明.五、解答题(三)(本大题3小题,每小题9分,共27分)
23.已知二次函数y=x2-2mx+m2-1.
(1)当二次函数的图象经过坐标原点O(0,0)时,求二次函数的解析式;
(2)如图,当m=2时,该抛物线与y轴交于点C,顶点为D,求C、D两点的坐标;
(3)在(2)的条件下,x轴上是否存在一点P,使得PC+PD最短?若P点存在,求出P点的坐标;若P
点不存在,请说明理由.
24.如图,☉O是Rt△ABC的外接圆,∠ABC=90°,弦BD=BA,AB=12,BC=5,BE⊥DC交DC的延
长线于点E.
(1)求证:∠BCA=∠BAD;
(2)求DE的长;
(3)求证:BE是☉O的切线.
25.有一副直角三角板,在三角板ABC中,∠BAC=90°,AB=AC=6,在三角板DEF中,
∠FDE=90°,DF=4,DE=4√3.将这副直角三角板按如图①所示位置摆放,点B与点F重合,直角边BA与FD在同一条直线上,现固定三角板ABC,将三角板DEF沿射线BA方向平行移动,当
点F运动到点A时停止运动.
(1)如图②,当三角板DEF运动到点D与点A重合时,设EF与BC交于点M,则∠EMC=
度;
(2)如图③,在三角板DEF运动过程中,当EF经过点C时,求FC的长;
(3)在三角板DEF运动过程中,设BF=x,两块三角板重叠部分的面积为y,求y与x的函数解析
式,并求出对应的x的取值范围.
图① 图②
图③
答案全解全析：
1.C 由a的相反数是-a得2的相反数是-2,故选C.
2.D 由三视图定义知,只有D项中几何体的俯视图是四边形,故选D.
3.B 1 260 000 000 000=1.26×1012.
4.D ∵a>b,∴a-5>b-5,故A项错误;
∵a>b,∴2+a>2+b,故B项错误;
a b
∵a>b,3>0,∴ > ,故C项错误;
3 3
∵a>b,3>0,∴3a>3b,故D项正确.故选D.
5.C 先将数据按从小到大的顺序排列:1、2、3、3、3、5、5,所以这7个数的中位数为3,
故选C.
6.C ∵AC∥DF,∴∠1=∠A.∵AB∥EF,∴∠2=∠A,∴∠1=∠2,∵∠2=50°,∴∠1=50°,故选
C.
1
7.B A项,(-1)-3= =-1.
(-1)3
B项,(-4)0=1.C项,(-2)2×(-2)3=(-2)5=-25.
D项,(-5)4÷(-5)2=(-5)2=52.故选B.
8.A ∵5x-1>2x+5,∴3x>6,∴x>2.故选A.
9.C 由轴对称图形的定义知选C.
10.A ∵k<0,∴直线y=kx-1经过第二、三、四象限;
1 1
k
∵k>0,∴双曲线y= 2在第一、三象限.故选A.
2
x
11.答案 (x+3)(x-3)
解析 由平方差公式得x2-9=x2-32=(x+3)(x-3).
12.答案 1
a2 (-2)2
解析 ∵|a+2|+√b-4=0,∴a+2=0,b-4=0,∴a=-2,b=4,∴ = =1.
b 4
13.答案 720°
解析 ∵n边形的内角和为180°·(n-2),
∴六边形的内角和为180°×(6-2)=720°.
4
14.答案
5
解析 ∵AB=3,BC=4,∠ABC=90°,
4
∴AC=√AB2+BC2=√32+42=5,∴sin A= .
5
15.答案 平行四边形
1
解析 ∵DE为Rt△ABC的中位线,∴DE CA.
2
∵△BDE绕着CB的中点D逆时针旋转180°得到△CDE',
∴E、D、E'三点共线,DE=DE',∴EE'AC.
∴四边形ACE'E的形状是平行四边形.
评析 此题考查三角形的中位线的性质及平行四边形的判定.3π
16.答案
8
解析 如图所示,
Rt△ABC中,AB=AC=1,∴∠ABC=45°,
Rt△BDE中,∠DBE+∠BDE=90°,∠ABC+∠DBE+∠BDE=135°,
135·π·12 3
∴S = = π.
阴影部分 360 8
评析 此题考查图形中阴影部分的面积的计算.
17.解析 把①代入②,得2(y+1)+y=8,(1分)
2y+2+y=8,(2分)
3y=6,y=2.(3分)
把y=2代入①,得x=3,(4分)
{x=3,
∴原方程组的解是 (5分)
y=2.
18.解析 若选择a2-2ab+b2和3a-3b两个代数式构造成分式,
a2-2ab+b2
则 (1分)
3a-3b
(a-b)2 a-b
= = ,(4分)
3(a-b) 3
a-b 6-3
当a=6,b=3时,原式= = =1.(5分)
3 3
3a-3b 3(a-b) 3
或 = = ,(4分)
a2-2ab+b2 (a-b)2 a-b
3 3
当a=6,b=3时,原式= = =1.(5分)
a-b 6-3
19.解析 (1)作图正确(实线、虚线均可).结论:线段CE即为所求.(2分)
(考生没有结论,但作图正确给满分)
(2)证明:∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AD∥BC,AD=BC,
∴∠CEF=∠DAF,(3分)
∵CE=BC,∴AD=CE,(4分)
又∵∠CFE=∠DFA,
∴△AFD≌△EFC.(5分)
评析 此题主要考查学生尺规作图能力和演绎推理能力.
20.解析 (1)30%;10;50.(3分)
(5分)
(2)920×30%=276(人).(7分)
答:估计七年级学生最喜爱羽毛球运动项目的人数为276人.(8分)
21.解析 (1)设捐款增长率为x,(1分)
根据题意,得10 000(1+x)2=12 100,(2分)
解得x=0.1,x=-2.1(不合题意,舍去),(4分)
1 2∴x=0.1=10%.(5分)
答:捐款增长率为10%.(6分)
(2)12 100×(1+0.1)=13 310(元).(7分)
答:第四天该单位能收到13 310元捐款.(8分)
评析 此题考查一元二次方程的应用.增长率或减少率的基本模型为a(1±x)2=b(a>0,b>0).
要注意解的取舍:增长率为负数要舍去,减少率超过100%要舍去.
22.解析 (1)=.(2分)
(2)△BFC∽△CED,△EDC∽△CBD,△BFC∽△DCB.(5分)
(只要能够正确写出三对相似三角形都相应给分,写出全等的一对三角形也一样给分,每写正
确一对给1分)选择△EDC∽△CBD来证明.
(用其他相似三角形来进行证明,只要证明过程正确相应给分)证明:∵四边形ABCD是矩形,
∴∠DCB=90°,
∴∠DBC+∠BDC=90°.
∵四边形BDEF是矩形,∴∠CDE+∠BDC=90°,
∴∠DBC=∠CDE.(7分)
∵∠DCB=∠CED,∴△EDC∽△CBD.(8分)
23.解析 (1)∵二次函数图象经过坐标原点O(0,0),
∴m2-1=0,∴m=±1.(1分)
∴二次函数的解析式为y=x2-2x或y=x2+2x.(3分)
(2)当m=2时,y=x2-2mx+m2-1
=x2-4x+3=(x-2)2-1.(4分)
∴D(2,-1),(5分)
当x=0时,y=3,∴C(0,3).(6分)
(3)存在.(7分)
根据“两点之间,线段最短”知,当点P是直线CD与x轴的交点时,PC+PD=CD最短.设直线CD的解析式为y=kx+b(k、b为常数,k≠0),
{2k+b=-1,
则有
b=3,
{k=-2,
∴ (8分)
b=3.
3
∴y=-2x+3,当y=0时,x= ,
2
∴P(3 ).(9分)
,0
2
评析 第(1)问考查二次函数解析式的求法;
第(2)问考查顶点坐标及抛物线与y轴交点坐标的计算.
第(3)问考查“线段和最短”.
24.解析 (1)证明:∵BD=BA,∴∠BDA=∠BAD,(1分)
∵∠BCA=∠BDA,∴∠BCA=∠BAD.(2分)
(2)在Rt△ABC中,
AC= = =13,(3分)
√AB2+BC2 √122+52
∵BE⊥DC,∴∠DEB=90°.
∵∠ABC=90°,∴∠DEB=∠ABC,
∵∠BAC=∠BDC,
∴△DEB∽△ABC,(4分)
DE BD DE 12
∴ = ,∴ = ,
AB AC 12 13144
∴DE= .(6分)
13
(3)证明:连结BO,∵∠ABC=90°,
∴AC是☉O的直径,∴∠ADC=90°,
∴∠BAD+∠BCD=180°,
∴∠BCO+∠BCD=180°.
∵OB=OC,∴∠BCO=∠CBO,∴∠CBO+∠BCD=180°,
∴OB∥DE,∴∠DEB+∠EBO=180°.(8分)
∵∠DEB=90°,∴∠OBE=90°,∴EB⊥OB.(9分)
∵OB是☉O的半径,∴BE是☉O的切线.
评析 第(1)问考查圆、三角形中线段与角的关系转化;
第(2)问考查圆中的相似三角形的判定及性质;
第(3)问考查切线的判定,方法是“连半径,证垂直”.
25.解析 (1)15.(2分)
AC
(2)如题图③,在Rt△AFC中,AC=6,∠ACF=30°,cos 30°= ,(3分)
FC
√3 6
∴ = ,∴FC=4√3.(5分)
2 FC
1 1
(3)(i)当x=0时,y= DF2= ×42=8.
2 2
当0<x<2时,如图a.设BC分别与DE、FE的交点为M、N,图a
作NG⊥BA于点G,设GF=a,
在Rt△GFN中,∠GFN=60°,∴NG=√3a,
在Rt△GBN中,∠GBN=45°,∴NG=GB,
x √3+1
∴√3a=a+x,∴a= = x.
√3-1 2
∵BF=x,DF=4,∴BD=4+x.
在Rt△BDM中,∠DBM=45°, ∴DM=4+x.
1 1
∴y=S =S -S = BD·DM- BF·NG
四边形DFNM △BDM △BFN
2 2
=1(x+4)(x+4)-1x[√3(√3+1) ]
x
2 2 2
√3+1
=- x2+4x+8.(6分)
4
√3+1
(ii)∴当0≤x<2时,y=- x2+4x+8.
4
当2≤x<6-2√3时,如图b,
图b
设BC与FE的交点为N,
作NG⊥BA于点G,设GF=a,在Rt△GFN中,∠GFN=60°,∴NG=√3a.
在Rt△GBN中,∠GBN=45°,∴NG=GB.
x √3+1
∴√3a=a+x,∴a= = x,
√3-1 2
1 1
∴y=S =S -S = AB·AC- BF·NG
四边形ACNF △ABC △BFN
2 2
=1×6×6-1x[√3(√3+1) ]=-3+√3x2+18.(7分)
x
2 2 2 4
(iii)当6-2√3≤x<6时,如图c,设AC与FE的交点为P,
图c
在Rt△AFP中,∠AFP=60°,∴AP=√3(6-x),
1 1
∴y=S = AF·AP= ·(6-x)·√3(6-x)
△APF
2 2
√3
= (x-6)2,(8分)
2
当x=6时,重叠部分的面积为0,即y=0.
√3
∴当6-2√3≤x≤6时,y= (x-6)2.
2
综上所述,
-√3-1
当0≤x<2时,y= x2+4x+8;
4
-3-√3
当2≤x<6-2√3时,y= x2+18;
4
√3
当6-2√3≤x≤6时,y= (x-6)2.(9分)
2评析 此题考查学生综合运用三角形、锐角三角函数等知识分析问题,解决问题的能力.要
求学生在三角形平移变换的过程中,理清变化的量、不变的量,恰当分类讨论,合理选用面积
的计算方法,化动为静,化抽象为直观.
