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2020年广州市初中毕业生学业考试
(满分:150分 考试时间:120分钟)
第一部分 选择题(共30分)
一、选择题(本大题共10小题,每小题3分,满分30分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.广州市作为国家公交都市建设示范城市,市内公共交通日均客运量已达15 233 000人次.将15 233 000用科学记数法表示应为 ( )
A.152.33×105 B.15.233×106
C.1.523 3×107 D.0.152 33×108
2.某校饭堂随机抽取了100名学生,对他们最喜欢的套餐种类进行问卷调查后(每人选一种),绘制了如图的条形统计图,根据图中的信息,学生最喜欢的套餐种类是( )
A.套餐一 B.套餐二
C.套餐三 D.套餐四
3.下列运算正确的是 ( )
A.√a+√b=√a+b B.2√a×3√a=6√a
C.x5·x6=x30 D.(x2)5=x10
4.△ABC中,点D,E分别是△ABC的边AB,AC的中点,连接DE,若∠C=68°,则∠AED= ( )
A.22° B.68° C.96° D.112°
5.对于如图所示的圆锥,下列说法正确的是 ( )
A.该圆锥的主视图是轴对称图形
B.该圆锥的主视图是中心对称图形
C.该圆锥的主视图既是轴对称图形,又是中心对称图形
D.该圆锥的主视图既不是轴对称图形,又不是中心对称图形
6.一次函数y=-3x+1的图象过点(x,y),(x+1,y),(x+2,y),则 ( )
1 1 1 2 1 3
A.y<y<y B.y<y<y
1 2 3 3 2 1
C.y<y<y D.y<y<y
2 1 3 3 1 2
4
7.如图,Rt△ABC中,∠C=90°,AB=5,cos A= ,以点B为圆心,r为半径作☉B,当r=3时,☉B与AC的位置关系是 ( )
5
A.相离 B.相切 C.相交 D.无法确定
8.往直径为52 cm的圆柱形容器内装入一些水以后,截面如图所示,若水面宽AB=48 cm,则水的最大深度为 ( )A.8 cm B.10 cm
C.16 cm D.20 cm
9.直线y=x+a不经过第二象限,则关于x的方程ax2+2x+1=0实数解的个数是 ( )
A.0个 B.1个
C.2个 D.1个或2个
10.如图,矩形ABCD的对角线AC,BD交于点O,AB=6,BC=8,过点O作OE⊥AC,交AD于点E,过点E作EF⊥BD,垂足为F,则OE+EF的值为( )
48 32
A. B.
5 5
24 12
C. D.
5 5
第二部分 非选择题(共120分)
二、填空题(本大题共6小题,每小题3分,满分18分)
11.已知∠A=100°,则∠A的补角等于 °.
12.计算: - = .
√20 √5
x 3
13.方程 = 的解是 .
x+1 2x+2
14.如图,点A的坐标为(1,3),点B在x轴上,把△OAB沿x轴向右平移到△ECD,若四边形ABDC的面积为9,则点C的坐标为 .
15.如图,正方形ABCD中,△ABC绕点A逆时针旋转到△AB'C',AB',AC'分别交对角线BD于点E,F,若AE=4,则EF·ED的值为 .
16.对某条线段的长度进行了3次测量,得到3个结果(单位:mm)9.9,10.1,10.0,若用a作为这条线段长度的近似值,当a= mm时,(a-9.9)2+(a-10.1)2+(a-10.0)2最小.对另一条线段的长度进行了n次测量,得到n个结果(单位:mm)x,x,…,x,若
1 2 n
用x作为这条线段长度的近似值,当x= mm 时,(x-x)2+(x-x)2+…+(x-x)2最小.
1 2 n
三、解答题(本大题共9小题,满分102分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17.(本小题满分9分)
{2x-1≥x+2,
解不等式组:
x+5<4x-1.18.(本小题满分9分)
如图,AB=AD,∠BAC=∠DAC=25°,∠D=80°.求∠BCA的度数.
19.(本小题满分10分)
k k2 16
已知反比例函数y= 的图象分别位于第二、第四象限,化简: - +√(k+1)2-4k.
x k-4 k-4
20.(本小题满分10分)
为了更好地解决养老问题,某服务中心引入优质社会资源为甲,乙两个社区共30名老人提供居家养老服务,收集得到这30名老人的年龄(单位:岁)如下:
甲社区 67 68 73 75 76 78 80 82 83 84 85 85 90 92 95
乙社区 66 69 72 74 75 78 80 81 85 85 88 89 91 96 98
根据以上信息解答下列问题:
(1)求甲社区老人年龄的中位数和众数;
(2)现从两个社区年龄在70岁以下的4名老人中随机抽取2名了解居家养老服务情况,求这2名老人恰好来自同一个社区的概率.21.(本小题满分12分)
k
如图,平面直角坐标系xOy中, ▱OABC的边OC在x轴上,对角线AC,OB交于点M,函数y= (x>0)的图象经过点A(3,4)和点M.
x
(1)求k的值和点M的坐标;
(2)求▱OABC的周长.
22.(本小题满分12分)
粤港澳大湾区自动驾驶产业联盟积极推进自动驾驶出租车应用落地工作,无人化是自动驾驶的终极目标.某公交集团拟在今明两年共投资9 000万元改装260辆无人驾驶出租车投放市场.今年每辆无人驾驶出租车的改装费用是50万元,预计明年每辆
无人驾驶出租车的改装费用可下降50%.
(1)求明年每辆无人驾驶出租车的预计改装费用是多少万元;
(2)求明年改装的无人驾驶出租车是多少辆.
23.(本小题满分12分)
如图,△ABD中,∠ABD=∠ADB.
(1)作点A关于BD的对称点C;(要求:尺规作图,不写作法,保留作图痕迹)
(2)在(1)所作的图中,连接BC,DC,连接AC,交BD于点O.①求证:四边形ABCD是菱形;
13
②取BC的中点E,连接OE,若OE= ,BD=10.求点E到AD的距离.
2
24.(本小题满分14分)
如图,☉O为等边△ABC的外接圆,半径为2,点D在劣弧 上运动(不与点A,B重合),连接DA,DB,DC.
AB
⏜
(1)求证:DC是∠ADB的平分线;
(2)四边形ADBC的面积S是线段DC的长x的函数吗?如果是,求出函数解析式;如果不是,请说明理由;
(3)若点M,N分别在线段CA,CB上运动(不含端点),经过探究发现,点D运动到每一个确定的位置,△DMN的周长有最小值t,随着点D的运动,t的值会发生变化,求所有t值中的最大值.
25.(本小题满分14分)
3
平面直角坐标系xOy中,抛物线G:y=ax2+bx+c(0<a<12)过点A(1,c-5a),B(x,3),C(x,3),顶点D不在第一象限,线段BC上有一点E,设△OBE的面积为S,△OCE的面积为S,S=S+ .
1 2 1 2 1 2
2
(1)用含a的式子表示b;
(2)求点E的坐标;
6
(3)若直线DE与抛物线G的另一个交点F的横坐标为 +3,求y=ax2+bx+c在1<x<6时的取值范围(用含a的式子表示).
a
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2020年广州市初中毕业生学业考试(参考答案)
一、选择题
答案速查
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10C A D B A B B C D C
1.C 15 233 000=1.523 3×107,故选C.
2.A 由题中条形统计图可得选套餐一的学生有50人,选套餐二的学生有15人,选套餐三的学生有10人,选套餐四的学生有25人.其中选套餐一的学生人数最多,故选A.
3.D A.√a+√b≠√a+b,故A选项错误;
B.2√a×3√a=6a≠6√a,故B选项错误;
C.x5·x6=x5+6=x11≠x30,故C选项错误;
D.(x2)5=x2×5=x10,故D选项正确.故选D.
4.B ∵点D,E分别为AB,AC的中点,
∴DE是△ABC的中位线,∴DE∥BC.
∴∠AED=∠C=68°.故选B.
5.A ∵圆锥的主视图是等腰三角形,等腰三角形是轴对称图形,不是中心对称图形,∴该圆锥的主视图是轴对称图形.故选A.
6.B 将点(x,y),(x+1,y),(x+2,y)代入y=-3x+1中,得y=-3x+1,y=-3(x+1)+1=-3x-2,y=-3(x+2)+1=-3x-5.
1 1 1 2 1 3 1 1 2 1 1 3 1 1
∵y-y=-3x+1-(-3x-2)=3,y-y=-3x-2-(-3x-5)=3,∴y<y,y<y,∴y<y<y.故选B.
1 2 1 1 2 3 1 1 2 1 3 2 3 2 1
AC 4
7.B ∵∠C=90°,AB=5,cos A= = ,
AB 5
4
∴AC=AB·cos A=5× =4,
5
∴BC= = =3.
√AB2-AC2 √52-42
∵r=3,∴☉B与AC的位置关系是相切.故选B.
8.C 过点O作OC⊥AB于点C,延长OC交☉O于点D,连接OA.
∵OC⊥AB,AB=48 cm,
1
∴AC= AB=24 cm.
2
1
∵OA= ×52=26 cm,
2
∴在Rt△OAC中,OC= = =10 cm,
√OA2-AC2 √262-242
∴CD=OD-OC=26-10=16(cm).即水的最大深度为16 cm.故选C.
9.D ∵直线y=x+a不经过第二象限,∴a≤0.
当a=0时,方程为2x+1=0,只有一个实数解;
当a<0时,方程ax2+2x+1=0为一元二次方程,Δ=4-4a>0,
∴方程有两个解.
故方程有1个解或2个解.故选D.
10.C ∵四边形ABCD为矩形,
∴∠ABC=90°,AD∥BC,OA=OD,
∴AC= = =10,
√AB2+BC2 √62+82
AB 6 3
∴sin∠ACB= = = .
AC 10 5
∵AD∥BC,OA=OD,
∴∠ODA=∠DAO=∠ACB.
3
∴sin∠ODA=sin∠DAO=sin∠ACB= .
53 3
在Rt△AOE和Rt△DEF中,OE=AE·sin∠OAD= AE,EF=DE·sin∠ODA= DE,
5 5
3 3 3 3 3 24
∴OE+EF= AE+ DE= (AE+DE)= AD= ×8= .故选C.
5 5 5 5 5 5
二、填空题
11. 答案 80
解析 ∵∠A=100°,∴∠A的补角为180°-100°=80°,故答案为80.
12. 答案 √5
解析 √20-√5=2√5-√5=√5.故答案为√5.
3
13. 答案 x=
2
x 3 3 3
解析 = 两边同乘(x+1),得x= .经检验,x= 是原方程的解.
x+1 2(x+1) 2 2
14. 答案 (4,3)
解析 ∵△CED由△AOB向右平移所得,点A的坐标为(1,3),
∴点C的纵坐标为3.
易知四边形ABDC为平行四边形,∴S =3BD=9,
四边形ABDC
∴BD=3,∴AC=BD=3.
∴点C的坐标为(4,3).
15. 答案 16
解析 ∵四边形ABCD为正方形,∴∠BAC=∠ADB=45°.
∵△AB'C'由△ABC旋转所得,
∴∠B'AC'=∠BAC=45°.
∴∠EAF=∠ADE=45°.
又∵∠AEF=∠DEA,∴△AEF∽△DEA,
EF AE
∴ = ,∴EF·DE=EA2,∵AE=4,∴EF·ED=EA2=16.
EA DE
x +x +…+x
16. 答案 10.0; 1 2 n
n
解析 令y=(a-9.9)2+(a-10.1)2+(a-10.0)2=3a2-60a+9.92+102+10.12,是关于a的二次函数,
-60
∴当a=- =10时,原式最小.
2×3
x +x +…+x
同理可知,当x= 1 2 n 时,(x-x)2+(x-x)2+…+(x-x)2最小.
1 2 n
n
三、解答题
{2x-1≥x+2,①
17. 解析
x+5<4x-1,②
由①得2x-x≥2+1,∴x≥3.
由②得x-4x<-1-5,-3x<-6,∴x>2.
∴不等式组的解集为x≥3.
18. 解析 ∵∠DAC=25°,∠D=80°,
∴∠DCA=180°-∠DAC-∠D=180°-25°-80°=75°.
{
AB=AD,
在△ABC和△ADC中,∵ ∠BAC=∠DAC,
AC=AC,
∴△ABC≌△ADC(SAS).∴∠BCA=∠DCA=75°.
k
19. 解析 ∵反比例函数y= 的图象分别位于第二、第四象限,∴k<0.
xk2-16 (k+4)(k-4)
∴原式= +√k2+2k+1-4k= +√k2-2k+1
k-4 k-4
=k+4+ =k+4+(-k+1)=5.
√(k-1)2
20. 解析 (1)由题表可知甲社区15名老人的年龄是按从小到大的顺序排列的,排在最中间的数是82,所以中位数为82.
85出现两次,出现的次数最多,所以众数是85.
(2)设甲社区年龄在70岁以下的老人为A,A,乙社区年龄在70岁以下的老人为B,B,画树状图如下:
1 2 1 2
共12种等可能的结果,其中这2名老人恰好来自同一个社区的有4种结果,
4 1
则P(这2名老人恰好来自同一个社区)= = .
12 3
k
21. 解析 (1)将A(3,4)代入y= 中,得k=12.
x
设点C(a,0),∵M为AC的中点,∴M(a+3 ).
,2
2
12
12
将M的坐标代入y= 中,得a+3=2,∴a=9,∴M(6,2).
x
2
(2)∵四边形OABC是平行四边形,∴AB=OC,OA=BC.
由(1)知C(9,0),∴OC=9,
∴OC=AB=9.
∵A(3,4),∴OA= =5,
√32+42
∴OA=BC=5,∴C =(9+5)×2=28.
▱OABC
22. 解析 (1)50×(1-50%)=25(万元).
答:明年每辆无人驾驶出租车的预计改装费用是25万元.
(2)设明年改装的无人驾驶出租车是x辆,则今年改装(260-x)辆.
依题意得25x+50(260-x)=9 000,
解得x=160.
答:明年改装的无人驾驶出租车是160辆.
23. 解析 (1)如图即为所求作的对称点C.
(2)①证明:∵∠ABD=∠ADB,∴AB=AD.
∵C点与A点关于直线BD对称,AC与BD交于点O,
∴AO⊥BD,AO=OC,∴BO=OD.
∴四边形ABCD是平行四边形.
又∵AB=AD,∴四边形ABCD是菱形.
②过点E作EF⊥AD,交AD的延长线于点F.1
∵四边形ABCD为菱形,∴BO=OD= BD=5,AB=2OE=13.
2
∴在Rt△AOB中,AO= = =12,
√AB2-BO2 √132-52
∴AC=2AO=24.
1
∵S = AC·BD=AD·EF,
菱形ABCD
2
1 120
∴ ×24×10=13EF,∴EF= .
2 13
120
∴点E到AD的距离为 .
13
24. 解析 (1)证明:∵△ABC为等边三角形,∴AC=BC,
∴ = ,∴∠ADC=∠BDC,∴DC是∠ADB的平分线.
AC BC
⏜ ⏜
(2)是.解法一:将△CBD绕C点顺时针旋转60°得△CAE,则△CBD≌△CAE.
∵∠DAC+∠DBC=180°,∠DBC=∠EAC,
∴∠EAC+∠DAC=180°,即E,A,D三点共线.
∵CE=CD,∠ADC=∠ABC=60°,
∴△EDC为等边三角形.
√3 √3
∴S =S = CD2,∴S= x2.
四边形ADBC △EDC
4 4
∵☉O的半径为2,∴BC=2√3.∴2√3<x≤4.
解法二:在CD上取一点E,使得CE=BD,连接AE.
由BD=CE,∠ABD=∠ACE,AB=AC,
得△ABD≌△ACE,∴AD=AE.
又∵∠ADC=∠ABC=60°,∴△ADE为等边三角形.
∴AD=DE,∴CD=CE+DE=BD+AD.
作AF⊥CD于F,BG⊥CD于G.
设AD=a,则BD=x-a,
√3 √3
∴AF=AD·sin 60°= a,BG=BD·sin 60°= (x-a),
2 2
∴S=S +S =1CD·(AF+BG)=1x·(√3 √3 √3 )=√3x2(2 <x≤4).
△ACD △BCD a+ x- a √3
2 2 2 2 2 4(3)作D点关于BC的对称点P,关于AC的对称点Q,
则DN=PN,DM=QM,
∴△DMN的周长=DN+MN+DM=PN+MN+QM,
当P,N,M,Q四点共线时,周长取得最小值.
∵∠PCN=∠DCN,∠DCM=∠QCM,
∴∠PCQ=2∠ACB=120°.
又∵CP=CD=CQ,∴PQ=√3PC=√3CD.
即t=√3CD,∴当CD为直径时,t最大.
∴所有t值中的最大值为4√3.
25. 解析 (1)将A(1,c-5a)代入y=ax2+bx+c,得c-5a=a+b+c,∴b=-6a.
(2)设点E的坐标为(x ,3).
E
若x<x,即B在C的左侧,则BE=x -x,CE=x-x ,
1 2 E 1 2 E
1 3 1 3
此时S= BE·|y |= (x -x),S= CE·|y |= (x-x ),
1 B E 1 2 C 2 E
2 2 2 2
3 3 3
∴ (x -x)= (x-x )+ ,∴2x =x+x+1.
E 1 2 E E 1 2
2 2 2
b 6a
抛物线的对称轴为直线x=- = =3.
2a 2a
∵点B,C的纵坐标相同,∴B点和C点关于对称轴对称,
∴x
1
+x
2
=6,∴x
E
=x
1
+x
2
+1=7,∴E(7
,3
).
2 2 2
若x>x,即C在B的左侧,则BE=x-x ,CE=x -x,
1 2 1 E E 2
3 3
此时S= (x-x ),S= (x -x),
1 1 E 2 E 2
2 2
3 3 3
∴ (x-x )= (x -x)+ ,
1 E E 2
2 2 2
∴x
E
=x
1
+x
2
-1=5,∴E(5
,3
).
2 2 2(3)∵y=ax2+bx+c=ax2-6ax+c=a(x-3)2+c-9a,
∴D(3,c-9a).
6 36
把x = +3代入y=a(x-3)2+c-9a,得y = +c-9a,
F F
a a
∴F(6 36 ).
+3, +c-9a
a a
∵F点在D点右侧,∴E(7 ).
,3
2
分别过点E,F作y轴的平行线,过点D作x轴的平行线,依次交于点H,K,则tan∠FDK=tan∠EDH,
36
3-c+9a
y - y y - y a
∴ F D= E D,即 = 7 ,
x -x x -x 6 -3
F D E D 2
a
化简得c-9a=0.
∴抛物线的解析式为y=a(x-3)2.
当1<x<6时,0≤y<9a.
