2018年广州市初中毕业生学业考试
(满分:150分 时间:120分钟)
第Ⅰ卷(选择题,共30分)
一、选择题(本大题共10小题,每小题3分,满分30分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1
1.四个数0,1,√2, 中,无理数是( )
2
1
A.√2 B.1 C. D.0
2
2.如图所示的五角星是轴对称图形,它的对称轴共有( )
A.1条 B.3条 C.5条 D.无数条
3.如图所示的几何体是由4个相同的小正方体搭成的,它的主视图是( )
4.下列计算正确的是( )
A.(a+b)2=a2+b2 B.a2+2a2=3a4
1
C.x2y÷ =x2(y≠0) D.(-2x2)3=-8x6
y
5.如图,直线AD,BE被直线BF和AC所截,则∠1的同位角和∠5的内错角分别是( )
A.∠4,∠2 B.∠2,∠6
C.∠5,∠4 D.∠2,∠4
6.甲袋中装有2个相同的小球,分别写有数字1和2,乙袋中装有2个相同的小球,分别写有数字1和2,从两个口袋中各随机取出1个小球,取出的两个小球上都写有数字2的概率是( )
1 1 1 1
A. B. C. D.
2 3 4 6
7.如图,AB是☉O的弦,OC⊥AB,交☉O于点C,连接OA,OB,BC,若∠ABC=20°,则∠AOB的度数是( )A.40° B.50° C.70° D.80°
8.《九章算术》是我国古代数学的经典著作,书中有一个问题:“今有黄金九枚,白银一十一枚,称之重适等.交易其一,金轻十三两,问金、银一枚各重几何?”意思是:甲袋中装有黄金9枚(每枚黄金质量相同),乙袋中装有白银11枚(每枚白银质量相同),称重
两袋相等.两袋互相交换1枚后,甲袋比乙袋轻了13两(袋子质量忽略不计),问黄金、白银每枚各重多少两?设每枚黄金重x两,每枚白银重y两,根据题意得( )
{ 11x=9 y {10 y+x=8x+ y
A. B.
(10 y+x)-(8x+ y)=13 9x+13=11y
{ 9x=11y { 9x=11y
C. D.
(8x+ y)-(10 y+x)=13 (10 y+x)-(8x+ y)=13
a-b
9.一次函数y=ax+b和反比例函数y= 在同一直角坐标系中的大致图象是( )
x
10.在平面直角坐标系中,一个智能机器人接到如下指令:从原点O出发,按向右,向上,向右,向下的方向依次不断移动,每次移动1 m.其行走路线如图所示,第1次移动到A,第2次移动到A,……,第n次移动到A,则△OA A 的面积是( )
1 2 n 2 2 018
1 009 1 011
A.504 m2 B. m2 C. m2 D.1 009 m2
2 2
第Ⅱ卷(非选择题,共120分)
二、填空题(本大题共6小题,每小题3分,满分18分)
11.已知二次函数y=x2,当x>0时,y随x的增大而 (填“增大”或“减小”).
12.如图,旗杆高AB=8 m,某一时刻,旗杆影子长BC=16 m,则tan C= .
1 4
13.方程 = 的解是 .
x x+6
14.如图,若菱形ABCD的顶点A,B的坐标分别为(3,0),(-2,0),点D在y轴上,则点C的坐标是 .15.如图,数轴上点A表示的数为a,化简:a+ = .
√a2-4a+4
16.如图,直线CE是▱ABCD的边AB的垂直平分线,垂足为点O,CE与DA的延长线交于点E.连接AC,BE,DO,DO与AC交于点F.则下列结论:
①四边形ACBE是菱形;
②∠ACD=∠BAE;
③AF∶BE=2∶3;
④S ∶S =2∶3.
四边形AFOE △COD
其中正确的结论有 .(填写所有正确结论的序号)
三、解答题(本大题共9小题,满分102分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17.(本小题满分9分)
{1+x>0,
解不等式组:
2x-1<3.
18.(本小题满分9分)
如图,AB与CD相交于点E,AE=CE,DE=BE.
求证:∠A=∠C.
19.(本小题满分10分)已知T= a2-9 + 6 .
a(a+3)2 a(a+3)
(1)化简T;
(2)若正方形ABCD的边长为a,且它的面积为9,求T的值.
20.(本小题满分10分)
随着移动互联网的快速发展,基于互联网的共享单车应运而生.为了解某小区居民使用共享单车的情况,某研究小组随机采访该小区的10位居民,得到这10位居民一周内使用共享单车的次数分别为17,12,15,20,17,0,7,26,17,9.
(1)这组数据的中位数是 ,众数是 ;
(2)计算这10位居民一周内使用共享单车的平均次数;
(3)若该小区有200名居民,试估计该小区居民一周内使用共享单车的总次数.
21.(本小题满分12分)
友谊商店A型号笔记本电脑的售价是a元/台.最近,该商店对A型号笔记本电脑举行促销活动,有两种优惠方案.方案一:每台按售价的九折销售;方案二:若购买不超过5台,每台按售价销售;若超过5台,超过的部分每台按售价的八折销售.某公司一次性从
友谊商店购买A型号笔记本电脑x台.
(1)当x=8时,应选择哪种方案,该公司购买费用最少?最少费用是多少元?
(2)若该公司采用方案二购买更合算,求x的取值范围.
22.(本小题满分12分)
设P(x,0)是x轴上的一个动点,它与原点的距离为y.
1
(1)求y 关于x的函数解析式,并画出这个函数的图象;
1
k
(2)若反比例函数y= 的图象与函数y 的图象相交于点A,且点A的纵坐标为2.
2 1
x
①求k的值;
②结合图象,当y>y 时,写出x的取值范围.
1 223.(本小题满分12分)
如图,在四边形ABCD中,∠B=∠C=90°,AB>CD,AD=AB+CD.
(1)利用尺规作∠ADC的平分线DE,交BC于点E,连接AE(保留作图痕迹,不写作法);
(2)在(1)的条件下,
①证明:AE⊥DE;
②若CD=2,AB=4,点M,N分别是AE,AB上的动点,求BM+MN的最小值.
24.(本小题满分14分)
已知抛物线y=x2+mx-2m-4(m>0).
(1)证明:该抛物线与x轴总有两个不同的交点;
(2)设该抛物线与x轴的两个交点分别为A,B(点A在点B的右侧),与y轴交于点C,A,B,C三点都在☉P上.
①试判断:无论m取何正数,☉P是否经过y轴上某个定点.若是,求出该定点的坐标;若不是,说明理由;
m l
②若点C关于直线x=- 的对称点为点E,点D(0,1),连接BE,BD,DE,△BDE的周长记为l,☉P的半径记为r,求 的值.
2 r25.(本小题满分14分)
如图,在四边形ABCD中,∠B=60°,∠D=30°,AB=BC.
(1)求∠A+∠C的度数;
(2)连接BD,探究AD,BD,CD三者之间的数量关系,并说明理由;
(3)若AB=1,点E在四边形ABCD内部运动,且满足AE2=BE2+CE2,求点E运动路径的长度.
2018年广州市初中毕业生学业考试
一、选择题
答案速查
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
A C B D B C D D A A
1
1.A 无理数是指无限不循环小数,其不能写成两整数之比的形式.1和0均为整数, 为分数,√2是无限不循环小数,为无理数.故选A.
2
2.C 如图所示,五角星的对称轴共有5条.
3.B 从正面看有2层,从下向上数,第1层有3个,第2层最右一列有1个,故选B.
1
4.D (a+b)2=a2+2ab+b2,A选项错误;a2+2a2=3a2,B选项错误;x2y÷ =x2y·y=x2y2(y≠0),C选项错误;D选项计算正确.故选D.
y
5.B 根据同位角的概念可知,∠1和∠2是直线AD和直线BE被直线BF所截,且在截线BF的同一侧、被截线AD和BE的同一方向的两个角,所以∠1和∠2是同位角;∠5和∠6是直线AD和直线BE被直线AC所截,且在截线AC的两侧、在两被截线的
内部的两个角,所以∠5和∠6是内错角.所以选B.
6.C 列表:
乙
袋 1 2
甲袋
1 (1,1) (1,2)
2 (2,1) (2,2)
1
共有4种等可能结果,其中两个小球都写有数字2的有1种情况,故所求概率为 .
4
7.D 根据“圆上一条弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半”可得∠AOC=2∠ABC=40°,由OC⊥AB可得 = ,∴∠AOB=2∠AOC=80°.
AC BC
⏜ ⏜
8.D 根据题意可知:①9枚黄金的质量=11枚白银的质量,所以9x=11y;②(10枚白银的质量+1枚黄金的质量)-(1枚白银的质量+8枚黄金的质量)=13两,所以(10y+x)-(8x+y)=13.9.A (1)由题图A、B可知一次函数图象经过第一、二、三象限,则a>0,b>0,当x=-1时,y=-a+b,此时y<0,所以-a+b<0,即a-b>0.所以反比例函数图象经过第一、三象限.A正确,B错误.
(2)由题图C、D可知一次函数图象经过第一、二、四象限,则a<0,b>0,当x=-1时,y=-a+b,此时y>0,所以-a+b>0,即a-b<0.所以反比例函数图象经过第二、四象限.C,D错误.故选A.
2 018-2 1
10.A 根据题图可知4个点为一个循环组,2 018÷4=504……2,A 与A 的纵坐标相等,且在循环节里的位置相同,所以线段AA = ×2=1 008,则S = ×1 008×1=504(m2),故选A.
2 018 2 2 2 018 4 △OA 2 A 2 018 2
二、填空题
11. 答案 增大
解析 二次函数y=x2的图象开口向上,对称轴为y轴,所以当x>0时,y随x的增大而增大.
1
12. 答案
2
AB 1
解析 由锐角三角函数正切的定义可知,在直角三角形中,锐角C的对边与邻边的比叫做∠C的正切,所以tan C= = .
BC 2
13. 答案 x=2
解析 方程两边同乘x(x+6),得x+6=4x,解得x=2.
检验:当x=2时,x(x+6)≠0,所以原分式方程的解是x=2.
14. 答案 (-5,4)
解析 由A,B的坐标分别为(3,0),(-2,0)可得AO=3,AB=5,由菱形ABCD四边相等可得CD=AD=AB=5,在Rt△AOD中,由勾股定理可得OD= =4,所以C(-5,4).
√AD2-AO2
15. 答案 2
解析 ∵a<2,∴a-2<0,
∴a+ =a+ =a+|a-2|=a+(2-a)=2.
√a2-4a+4 √(a-2)2
16. 答案 ①②④
解析 由直线CE是边AB的垂直平分线可得AC=CB,所以∠CAB=∠CBA,由四边形ABCD是平行四边形可得AB∥CD,AD∥BC,所以∠CAB=∠ACD,∠BAE=∠CBA,所以∠CAB=∠ACD=∠BAE,故②正确.由∠CAB=∠BAE,AO=AO,∠AOC=∠AOE可得
AF AO EO 1 AF AF 1 AF 1
△AOC≌△AOE,从而AE=AC,又AC=BC,∴AE=BC,又AE∥CB,所以四边形ACBE是平行四边形,又AC=BC,∴四边形ACBE是菱形,故①正确.由AO∥CD,可得 = = = ,∴ = = ,故③错误.设S =S,由 = ,可得S =2S,再根据
FC DC EC 2 BE AC 3
△AFO
FC 2
△CFO
△AFO∽△CFD可得S =4S,所以S =6S,S =3S=S ,所以S =4S,所以S ∶S =4S∶6S=2∶3,④正确.
△DFC △COD △COA △AOE 四边形AFOE 四边形AFOE △COD
三、解答题
17. 解析 解不等式1+x>0,得x>-1,解不等式2x-1<3,得x<2,∴不等式组的解集为-1<x<2.
{
AE=CE,
18. 证明 在△AED和△CEB中, ∠AED=∠CEB,
DE=BE,
∴△AED≌△CEB(SAS),∴∠A=∠C.
19. 解析 (1)T= a2-9 + 6
a(a+3)2 a(a+3)
(a+3)(a-3) 6 a-3 6
= + = +
a(a+3)2 a(a+3) a(a+3) a(a+3)
a+3 1
= = .
a(a+3) a
(2)∵边长为a的正方形的面积为9,∴a2=9(a>0),
1 1
∴a=3,∴T= = .
a 3
20. 解析 (1)将数据按照从小到大的顺序排列为0,7,9,12,15,17,17,17,20,26.第5、第6个数分别是15和17,所以中位数是(15+17)÷2=16,17出现了3次,出现的次数最多,所以众数是17,故答案是16,17.
(2)(17+12+15+20+17+0+7+26+17+9)÷10=14.
答:这10位居民一周内使用共享单车的平均次数是14.
(3)200×14=2 800.
答:若该小区有200名居民,则该小区居民一周内使用共享单车的总次数为2 800.
21. 解析 (1)当x=8时,方案一费用为0.9a·8=7.2a元,方案二费用为5a+0.8a(8-5)=7.4a元,∵a>0,∴7.2a<7.4a,∴方案一费用最少,最少费用是7.2a元.
(2)若x≤5,则方案一每台按售价的九折销售,方案二每台按售价销售,所以采用方案一购买合算;
若x>5,则方案一的费用为0.9ax元,
方案二的费用为5a+0.8a(x-5)=(0.8ax+a)元,
由题意得0.9ax>0.8ax+a,解得x>10,
所以若该公司采用方案二购买更合算,则x的取值范围是x>10且x为正整数.22. 解析 (1)当x≥0时,y=x,
1
{ x,x≥0,
当x<0时,y=-x,∴y =
1 1 -x,x<0,
函数图象如图所示.
(2)①若k>0,则由题意可知两图象只在第一象限有交点,当y=2时,x=2,∴A(2,2),∴k=2×2=4.
若k<0,则由题意可知两图象只在第二象限有交点,当y=2时,x=-2,∴A(-2,2),∴k=-2×2=-4.
综上所述,k=±4.
4
②当k=4时,y= ,如图,y>y 时,x的取值范围是x>2或x<0.
2 1 2
x
4
当k=-4时,y=- ,如图,y>y 时,x的取值范围是x<-2或x>0.
2 1 2
x
23. 解析 (1)如图所示.
(2)①证明:如图,延长DE、AB相交于点F.
∵∠ABC=∠C=90°,∴∠ABC+∠C=180°.∴AB∥CD.
∴∠CDE=∠F.∵DE平分∠ADC,∴∠ADE=∠CDE.∴∠ADE=∠F.∴AD=AF=AB+BF.又AD=AB+CD,∴AB+BF=AB+CD.∴BF=CD.
{∠DEC=∠FEB,
在△CED和△BEF中, ∠CDE=∠F,
CD=BF,
∴△CED≌△BEF.∴DE=EF.又AD=AF,∴AE⊥DE.
②如图,作DH⊥AB于H,作点N关于AE的对称点N',连接MN',BM,则MN=MN'.∴BM+MN=BM+MN'.由①可得AD=AF,DE=EF,∴AE平分∠DAB.
∴点N'在AD上.∴当点B,M,N'共线且BN'⊥AD时,BM+MN'有最小值,即BM+MN有最小值.在Rt△ADH中,AD=AB+CD=6,AH=AB-BH=2,由勾股定理可得,DH= = =4 .
√AD2-AH2 √32 √2
∵∠DHA=∠BN'A=90°,∠DAH=∠BAN',∴△DAH∽△BAN'.BN' AB
∴ = .
DH AD
BN' 4 8√2 8√2
∴ = .∴BN'= ,∴BM+MN的最小值为 .
4√2 6 3 3
24. 解析 (1)证明:当y=0时,x2+mx-2m-4=0,
Δ=m2-4(-2m-4)=(m+4)2,∵m>0,∴(m+4)2>0,
∴方程有两个不相等的实数根,即抛物线总与x轴有两个不同的交点.
(2)①是.如图,设圆P经过y轴上的定点M.连接MA,BC.
当y=0时,x2+mx-2m-4=0,解得x=2,x=-m-2.
1 2
∴A(2,0),B(-m-2,0).当x=0时,y=-2m-4,∴C(0,-2m-4).
∵∠BCO=∠MAO,∠BOC=∠MOA,∴△BOC∽△MOA,
MO BO |-m-2| 1 1
∴ = = = ,∴MO= AO=1.
AO CO |-2m-4| 2 2
∴圆P经过y轴上的定点(0,1).
②连接AD,因为AB为圆P的一条弦,所以圆心P在抛物线的对称轴上,
根据抛物线与圆的对称性可知,E在圆上,连接EC.
∵∠ECD=90°,∴DE为圆P的一条直径,∴DE=2r.
∵∠BED=∠OAD,∠EBD=∠DOA=90°,∴△EBD∽△AOD,
∴BD∶BE∶DE=DO∶OA∶AD=1∶2∶√5.
2√5 4√5
∵ED=2r,∴BD= r,BE= r.
5 5
10+6√5 l 10+6√5
∴l=BD+BE+DE= r,∴ = .
5 r 5
25. 解析 (1)∵在四边形ABCD中,∠B=60°,∠D=30°,
∴∠A+∠C=360°-∠B-∠D=270°.
(2)AD2+CD2=BD2.
理由:如图,将△BCD绕点B逆时针旋转60°,得△BAD',连接DD'.
∴BD=BD',CD=AD',∠DBD'=60°,∠BAD'=∠C.∴△BDD'是等边三角形.∴DD'=BD.
又∠BAD+∠C=270°,∴∠BAD'+∠BAD=270°.∴∠DAD'=90°.
∴AD2+AD'2=DD'2,即AD2+CD2=BD2.(3)如图,将△BEC绕点B逆时针旋转60°得△BE'A,连接EE'.
∴BE=BE',CE=AE',∠EBE'=60°,∠BEC=∠BE'A.
∴△BEE'是等边三角形.∴∠BE'E=60°.∵AE2=BE2+CE2,BE=EE',CE=AE',∴AE2=EE'2+AE'2.∴∠AE'E=90°.∴∠BE'A=150°.∴∠BEC=150°.∴点E在以BC为弦,劣弧BC所对的圆心角为60°的圆上.以BC为边在BC下方作等边△BCO,则O为圆心,半径BO=1.∴点
60π×1 π
E的运动路径为 (不包含点B,C),l = = .
BC
BC 180 3
⏜ ⏜
