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2014 年广州市初中毕业生学业考试
数学试题（含答案全解全析）
第Ⅰ卷(选择题,共30分)
一、选择题(本大题共10小题,每小题3分,满分30分.在每小题给出的四个选项中,只有一项
是符合题目要求的)
1.a(a≠0)的相反数是( )
1
A.-a B.a2 C.|a| D.
a
2.下列图形中,是中心对称图形的是( )
3.如图,在边长为1的小正方形组成的网格中,△ABC的三个顶点均在格点上,则tan A=( )
3 4 3 4
A. B. C. D.
5 5 4 3
4.下列运算正确的是( )
1 1 2
A.5ab-ab=4 B. + = C.a6÷a2=a4 D.(a2b)3=a5b3
a b a+b
5.已知☉O 和☉O 的半径分别为2 cm和3 cm,若OO=7 cm,则☉O 和☉O 的位置关系是(
1 2 1 2 1 2
)
A.外离 B.外切 C.内切 D.相交
x2-4
6.计算 ,结果是( )
x-2
x-4 x+2
A.x-2 B.x+2 C. D.
2 x
7.在一次科技作品制作比赛中,某小组八件作品的成绩(单位:分)分别是7,10,9,8,7,9,9,8.对这
组数据,下列说法正确的是( )
A.中位数是8 B.众数是9 C.平均数是8 D.极差是7
8.将四根长度相等的细木条首尾相接,用钉子钉成四边形ABCD,转动这个四边形,使它形状改
变.当∠B=90°时,如图①,测得AC=2.当∠B=60°时,如图②,AC=( )A.√2 B.2 C.√6 D.2√2
9.已知正比例函数y=kx(k<0)的图象上两点A(x ,y)、B(x ,y),且x0 B.y +y<0 C.y -y>0 D.y -y<0
1 2 1 2 1 2 1 2
10.如图,四边形ABCD、CEFG都是正方形,点G在线段CD上,连结BG、DE,DE和FG相交
DG GO
于 点 O. 设 AB=a,CG=b(a>b). 下 列 结 论 :①△BCG≌△DCE;②BG⊥DE;③ = ;④(a-
GC CE
b)2·S =b2·S .其中结论正确的个数是( )
△EFO △DGO
A.4个 B.3个 C.2个 D.1个
第Ⅱ卷(非选择题,共120分)
二、填空题(本大题共6小题,每小题3分,满分18分)
11.△ABC中,已知∠A=60°,∠B=80°,则∠C的外角的度数是 °.
12.已知OC是∠AOB的平分线,点P在OC上,PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分别为点D,E,PD=10,则
PE的长度为 .
1
13.代数式 有意义时,x应满足的条件为 .
|x|-1
14.一个几何体的三视图如图,根据图示的数据计算该几何体的全面积为 .(结果保留
π)
15.已知命题:“如果两个三角形全等,那么这两个三角形的面积相等.”写出它的逆命题:
,该逆命题是 命题(填“真”或“假”).
16.若关于x的方程x2+2mx+m2+3m-2=0有两个实数根x 、x,则x(x+x)+x2 的最小值为
1 2 1 2 1 2
.
三、解答题(本大题共9小题,满分102分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17.(本小题满分9分)
解不等式:5x-2≤3x,并在数轴上表示解集.18.(本小题满分9分)
如图,▱ABCD的对角线AC、BD相交于点O,EF过点O且与AB、CD分别交于点E、F,求
证:△AOE≌△COF.
19.(本小题满分10分)
已知多项式A=(x+2)2+(1-x)(2+x)-3.
(1)化简多项式A;
(2)若(x+1)2=6,求A的值.20.(本小题满分10分)
某校初三(1)班50名学生需要参加体育“五选一”自选项目测试,班上学生所报自选项目的
情况统计表如下:
自选项目 人数 频率
立定跳远 9 0.18
三级蛙跳 12 a
一分钟跳绳 8 0.16
投掷实心球 b 0.32
推铅球 5 0.10
合计 50 1
(1)求a,b的值;
(2)若将各自选项目的人数所占比例绘制成扇形统计图,求“一分钟跳绳”对应扇形的圆心角
的度数;
(3)在选报“推铅球”的学生中,有3名男生,2名女生.为了了解学生的训练效果,从这5名学
生中随机抽取两名学生进行推铅球测试,求所抽取的两名学生中至多有一名女生的概率.21.(本小题满分12分)
2k
已知一次函数y=kx-6的图象与反比例函数y=- 的图象交于A、B两点,点A的横坐标为2.
x
(1)求k的值和点A的坐标;
(2)判断点B所在象限,并说明理由.
22.(本小题满分12分)
从广州到某市,可乘坐普通列车或高铁,已知高铁的行驶路程是400千米,普通列车的行驶路
程是高铁的行驶路程的1.3倍.
(1)求普通列车的行驶路程;
(2)若高铁的平均速度(千米/时)是普通列车平均速度(千米/时)的2.5倍,且乘坐高铁所需时间比乘坐普通列车所需时间缩短3小时,求高铁的平均速度.
23.(本小题满分12分)
√5
如图,△ABC中,AB=AC=4√5,cos C= .
5
(1)动手操作:利用尺规作以AC为直径的☉O,并标出☉O与AB的交点D,与BC的交点E(保留
作图痕迹,不写作法);
(2)综合应用:在你所作的图中,
⏜ ⏜
①求证:DE=CE;
②求点D到BC的距离.24.(本小题满分14分)
已知平面直角坐标系中两定点A(-1,0)、B(4,0),抛物线y=ax2+bx-2(a≠0)过点A、B,顶点为C,
点P(m,n)(n<0)为抛物线上一点.
(1)求抛物线的解析式和顶点C的坐标;
(2)当∠APB为钝角时,求m的取值范围;
3 ( 5)
(3)若m> ,当∠APB为直角时,将该抛物线向左或向右平移t 0r +r ,∴两圆外离.故选A.
1 2 1 2 1 2 1 2
x2-4 (x+2)(x-2)
6.B = =x+2,故选B.
x-2 x-2
7.B 将这组数据按从小到大的顺序排列为 7,7,8,8,9,9,9,10.由此可得这组数据的中位数是
8+9 1 67
=8.5,众数是9,平均数是 (7×2+8×2+9×3+10×1)= ,极差是10-7=3,故选B.
2 8 8
√2
8.A ∵题图①为正方形,AC为其对角线,∴BC= AC=√2.
2
∵题图②为菱形,∠B=60°,连结AC,∴△ABC为等边三角形,∴AC=BC=√2.故选A.
9.C ∵k<0,∴y随x的增大而减小,∵x y,∴y -y>0.故选C.
1 2 1 2 1 2
评析 本题考查了正比例函数的增减性,可借助函数图象求解,属容易题.
10.B 延 长 BG 交 DE 于 P,∵ 四 边 形 ABCD 和 四 边 形 CEFG 都 是 正 方形 ,∴BC=DC,CG=CE,∠BCG=∠DCE=90°,∴△BCG≌△DCE;∵∠DCE=90°,∴∠CDE+∠CED=90°,
∵△BCG≌△DCE,∴∠CDE=∠CBG,∴∠CBG+∠CED=90°,∴∠BPE=90°,∴BG⊥DE;∵OG∥CE,∴△
DG GO DG GO (DG) 2 (a-b) 2
DGO∽△DCE,∴ = ,∴ ≠ ;易知△DGO∽△EFO,∴S ∶S = =
DC CE GC CE △DGO △EFO EF b
,∴(a-b)2·S =b2·S .∴4个结论中有3个是正确的,故选B.
△EFO △DGO
二、填空题
11.答案 140
解析 ∵∠C=180°-∠A-∠B=180°-60°-80°=40°,
∴∠C的外角的度数是180°-40°=140°.
12.答案 10
解析 ∵角平分线上的点到角两边的距离相等,∴PE=PD=10.
13.答案 x≠±1
解析 ∵分式的分母不能为0,∴|x|-1≠0,∴x≠±1.
评析 本题考查了分式的意义和绝对值的性质,属于容易题.
14.答案 24π
解析 由三视图知,该几何体为圆锥,其中底面直径为6,高为4,所以母线长为√32+42=5,所以
1
侧面积为 ×2π×3×5=15π,又底面积为9π,所以该几何体的全面积为24π.
2
评析 本题将几何体的三视图与圆锥的全面积结合起来进行考查,既考查了学生的观察能力,
又考查了运用公式的能力以及计算能力,属中等难度题.
15.答案 如果两个三角形的面积相等,那么这两个三角形全等;假
解析 一个命题的逆命题,就是将原命题的条件与结论互换,因为面积相等的两个三角形不一
定全等,所以其逆命题为假命题.
5
16.答案
4
2
解析 ∵关于x的方程x2+2mx+m2+3m-2=0有两个实数根,∴(2m)2-4(m2+3m-2)≥0,∴m≤ ,由根
3
与 系 数 的 关 系 知 x+x=-2m,x x=m2+3m-2,∴x (x+x)+x2 =(x +x)2-xx=4m2-(m2+3m-2)=3
1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2
( m- 1) 2 + 5 ,当m= 1 时,x(x+x)+x2 取得最小值,最小值为 5 .
2 4 2 1 2 1 2 4
评析 本题考查了一元二次方程根的判别式,根与系数的关系,以及二次函数的最值问题,是
一道综合性较强的试题,对考生的综合能力要求较高,属较难题.
三、解答题
17.解析 5x-2≤3x,
2x≤2,
x≤1.
解集在数轴上表示如下:
18.证明 ∵四边形ABCD为平行四边形,
∴AB∥CD,OA=OC,
∴∠EAO=∠FCO,
在△AOE和△COF中,{∠EAO=∠FCO,
AO=CO,
∠AOE=∠COF,
∴△AOE≌△COF(ASA).
19.解析 (1)A=(x+2)2+(1-x)(2+x)-3=x2+4x+4-x2+x-2x+2-3=3x+3.
(2)∵(x+1)2=6,∴x+1=±√6,∴A=3x+3=3(x+1)=±3√6.
20.解析 (1)a=0.24,b=16.
(2)360°×0.16=57.6°.
(3)男生编号为A、B、C,女生编号为D、E,
由枚举法可得AB、AC、AD、AE、BC、BD、BE、CD、CE、DE,共10种,
其中DE为女女组合,
10-1 9
∴所抽取的两名学生中至多有一名女生的概率为 = .
10 10
21.解析 (1)联立两函数解析式可得
{y=kx-6,
2k
2k 即kx-6=- .
y=- , x
x
2k
将x=2代入该方程得2k-6=- ,解之得k=2,
2
4
则两函数分别为y=2x-6,y=- .
x
将x=2代入y=2x-6得y=-2,则点A的坐标为(2,-2).
{y=2x-6,
4
(2)由 4 得2x-6=- ,∴x2-3x+2=0,
y=- x
x
解之得x=1,x=2,
1 2
∴y=-4,y=-2,即点B的坐标为(1,-4),位于第四象限.
1 2
22.解析 (1)400×1.3=520(千米).
2
(2)设高铁的平均速度为x千米/时,则普通列车的平均速度为x÷2.5= x千米/时,
5
520
400
由题意可得 +3= 2 ,
x x
5
解得x=300,
经检验,x=300是原分式方程的解.
∴高铁的平均速度是300千米/时.
答:(1)普通列车的行驶路程为520千米.
(2)高铁的平均速度是300千米/时.
23.解析 (1)如图所示即为所求.(2)①证明:如图,连结AE,
∵AC为直径,∴∠AEC=90°,
又AB=AC,∴∠BAE=∠CAE,
⏜ ⏜
∴DE = CE .
②如图,连结CD,过点D作DF⊥BC于F,
√5
∵AB=AC=4√5,cos∠ACB= ,
5
∴EC=AC·cos∠ACB=4,
∴BC=2CE=8,AE=√AC2-CE2=8.
∵AC为直径,
∴∠ADC=90°,
1
∴S = AB·CD,
△ABC 2
又∠AEC=90°,
1
∴S = AE·BC,
△ABC 2
1 1
∴ AB·CD= AE·BC.
2 2
16√5
∴CD= ,
5
12√5 8√5
∴AD=√AC2-CD2= ,∴BD=AB-AD= .
5 5
∵S =S ,
△DBC △DBC
1 1
∴ BD·CD= DF·BC,
2 2
16
∴DF= ,
5
16
∴点D到BC的距离为 .
5
24.解析 (1)∵抛物线过A,B两点,1
{ a= ,
{ a-b-2=0, 2
∴ 解得
16a+4b-2=0, 3
b=- ,
2
1 3
∴抛物线的解析式为y= x2- x-2.
2 2
1( 3) 2 25
解析式转化为顶点式为y= x- - ,
2 2 8
(3 25)
∴点C的坐标为 ,- .
2 8
(2)由题意知点P在x轴的下方,设抛物线和y轴的交点为D,则D(0,-2),连结AD,BD.当点P与
点D重合时,AD=√OA2+OD2=√5,BD=√OB2+OD2=2√5,AB=5,
故AD2+BD2=AB2,即∠ADB=90°.
由抛物线的对称性可得,点D关于抛物线对称轴的对称点E(3,-2)满足∠AEB=90°,以AB为直
径作圆,则D,E均在圆上,抛物线上点A到D及E到B之间的部分在圆内,当P在这两个范围
内运动时,满足∠APB为钝角,∴m的取值范围为-1 ,∴P的坐标为(3,-2),
2
25
将BP沿PC方向平移,使得P与C重合,B落在B'处,作y=- ,则C在这条直线上,
8
25
以y=- 这条直线为对称轴,作B'的对称点B″,连结AB″,
8
∵AB与CP为定值,则只需求AC+BP的最小值即可,
∴AC+BP=AC+B'C=AC+CB″≥AB″,
25
∴当C为AB″与直线y=- 的交点时,AC+BP最小,
8
(5 9) (5 41)
根据平移性质可得,B'的坐标为 ,- ,B″的坐标为 ,- ,
2 8 2 8
{
-k+b=0,
设直线AB″的解析式为y=kx+b(k≠0),∴ 5 41
k+b=- ,
2 841
{k=- ,
28 41 41
解得 ∴y=- x- ,
41 28 28
b=- ,
28
25 93
当y=- 时,x= ,
8 82
3 93 15
- = .
2 82 41
15
∴t= ,抛物线应该向左平移.
41
25.解析 (1)如图所示,点F在直角梯形ABCD的中位线MN上,设CF与EB交于点G,
由题意可知BF=BC=4,
∵MN为直角梯形ABCD的中位线,
1 1
∴MN⊥BC,BN= BC=2,∴BN= BF,
2 2
∴∠BFN=30°,∠FBN=60°,
又BF=BC,
∴△BFC为等边三角形,
∴FC=4,∠FCB=60°,∴∠ECG=30°,
由题意可知EB垂直平分FC,
1
∴GC= FC=2,∠EGC=90°,
2
GC 4√3 4√3
∴CE= = ,即x= .
cos∠ECG 3 3
(2)如图所示,设CF与EB交于点G.
∵∠EGC=90°,∠ECB=90°,
∴∠GEC+∠ECG=90°,∠ECG+∠GCB=90°,
∴∠GEC=∠GCB,又∠EGC=∠CGB=90°,
∴△ECG∽△CBG,
S
△EGC
(EC) 2 x2
∴ = = ,
S CB 16
△BGC
∵G为FC的中点,
∴S=2S ,S =2S ,
1 △BGC 2 △EGC
S 2S S x2
2 △EGC △EGC
∴ = = = (0
