11
2019年广东省初中学业水平考试
(满分:120分 考试时间:100分钟)
一、选择题(本大题10小题,每小题3分,共30分)在每小题列出的四个选项中,只有一个是正确的.
1.-2的绝对值是( )
1
A.2 B.-2 C. D.±2
2
2.某网店2019年母亲节这天的营业额为221 000元,将数221 000用科学记数法表示为( )
A.2.21×106 B.2.21×105
C.221×103 D.0.221×106
3.如图,由4个相同正方体组合而成的几何体,它的左视图是( )
4.下列计算正确的是( )
A.b6÷b3=b2 B.b3·b3=b9
C.a2+a2=2a2 D.(a3)3=a6
5.下列四个银行标志中,既是中心对称图形,又是轴对称图形的是( )
6.数据3、3、5、8、11的中位数是( )
A.3 B.4 C.5 D.6
7.实数a、b在数轴上的对应点的位置如图所示,下列式子成立的是( )
A.a>b B.|a|<|b|
a
C.a+b>0 D. <0
b
8.化简 的结果是( )
√42
A.-4 B.4 C.±4 D.2
9.已知x、x 是一元二次方程x2-2x=0的两个实数根,下列结论错误的是( )
1 2
A.x ≠x B. -2x=0
1 2 x2 1
1
C.x +x=2 D.x ·x=2
1 2 1 2
10.如图,正方形ABCD的边长为4,延长CB至E使EB=2,以EB为边在上方作正方形EFGB,延长FG交DC于M,连接AM、AF,H为AD的中点,连接FH分别与AB、AM交于点N、K,则下列结
论:①△ANH≌△GNF;②∠AFN=∠HFG;③FN=2NK;④S ∶S =1∶4,其中正确的结论有( )
△AFN △ADM
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
二、填空题(本大题6小题,每小题4分,共24分)(1) -1
11.计算:2 0190+ = .
3
12.如图,已知a∥b,∠1=75°,则∠2= .
13.一个多边形的内角和是1 080°,这个多边形的边数是 .
14.已知x=2y+3,则代数式4x-8y+9的值是 .
15.如图,某校教学楼AC与实验楼BD的水平间距CD=15√3 米,在实验楼顶部B点测得教学楼顶部A点的仰角是30°,底部C点的俯角是45°,则教学楼AC的高度是 米(结果保留根号).
16.图1所示的图形是一个轴对称图形,且每个角都是直角,长度如图所示,小明按图2所示的方法玩拼图游戏,两两相扣,相互间不留空隙,那么小明用9个这样的图形拼出来的图形的总长度是 (结果用含a、b的代数式表示).
图1 图2
三、解答题(一)(本大题共3小题,每小题6分,共18分)
{ x-1>2,①
17.解不等式组:
2(x+1)>4.②
( x 1 ) x2-x
18.先化简,再求值: - ÷ ,其中x=√2.
x-2 x-2 x2-4
19.如图,在△ABC中,点D是AB边上的点.
(1)请用尺规作图法,在△ABC内,求作∠ADE,使∠ADE=∠B,DE交AC于E;(不要求写作法,保留作图痕迹)AD AE
(2)在(1)的条件下,若 =2,求 的值.
BD EC
四、解答题(二)(本大题3小题,每小题7分,共21分)
20.为了解某校九年级全体男生1 000米跑步的成绩,随机抽取了部分男生进行测试,并将测试成绩分为A、B、C、D四个等级,绘制如下不完整的统计图表,根据图表信息解答下列问题.
成绩等级频数分布表
成绩等级 频数
A 24
B 10
C x
D 2
合计 y
成绩等级扇形统计图
(1)x= ,y= ,扇形图中表示C的圆心角的度数为 度;
(2)甲、乙、丙是A等级中的三名学生,学校决定从这三名学生中随机抽取两名介绍体育锻炼经验,用列表法或画树状图法,求同时抽到甲、乙两名学生的概率.
21.某校为了开展“阳光体育运动”,计划购买篮球、足球共60个,已知每个篮球的价格为70元,每个足球的价格为80元.
(1)若购买这两类的球的总金额为4 600元,求篮球、足球各买了多少个;
(2)若购买篮球的总金额不超过购买足球的总金额,求最多可购买多少个篮球.22.在如图所示的网格中,每个小正方形的边长为1,每个小正方形的顶点叫格点,△ABC的三个顶点均在格点上,以点A为圆心的 与BC相切于点D,分别交AB、AC于点E、F.
EF
⏜
(1)求△ABC三边的长;
(2)求图中由线段EB、BC、CF及 所围成的阴影部分的面积.
FE
⏜
五、解答题(三)(本大题3小题,每小题9分,共27分)
k
23.如图,一次函数y=kx+b的图象与反比例函数y= 2 的图象相交于A、B两点,其中点A的坐标为(-1,4),点B的坐标为(4,n).
1
x
k
(1)根据图象,直接写出满足kx+b> 2 的x的取值范围;
1
x
(2)求这两个函数的表达式;
(3)点P在线段AB上,且S ∶S =1∶2,求点P的坐标.
△AOP △BOP24.如图1,在△ABC中,AB=AC,☉O是△ABC的外接圆,过点C作∠BCD=∠ACB交☉O于点D,连接AD交BC于点E,延长DC至点F,使CF=AC,连接AF.
(1)求证:ED=EC;
(2)求证:AF是☉O的切线;
(3)如图2,若点G是△ACD的内心,BC·BE=25,求BG的长.
图1
图2
√3 3√3 7√3
25.如图1,在平面直角坐标系中,抛物线y= x2+ x- 与x轴交于点A、B(点A在点B右侧),点D为抛物线的顶点,点C在y轴的正半轴上,CD交x轴于点F,△CAD绕点C顺时针旋转得到△CFE,点A恰好旋转到点F,连接BE.
8 4 8
(1)求点A、B、D的坐标;
(2)求证:四边形BFCE是平行四边形;
(3)如图2,过顶点D作DD ⊥x轴于点D,点P是抛物线上一动点,过点P作PM⊥x轴,点M为垂足,使得△PAM与△DD A相似(不含全等).
1 1 1
①求出一个满足以上条件的点P的横坐标;
②直接回答这样的点P共有几个?
图1图2
112019年广东省初中学业水平考试
一、选择题
1.A 负数的绝对值是它的相反数,所以-2的绝对值是2,故选A.
2.B 科学记数法的表示形式为a×10n,其中1≤|a|<10,n为整数,∴221 000=2.21×105,故选B.
3.A 由左视图的定义可知选项A中的图形符合,故选A.
4.C 同底数幂相除,底数不变,指数相减,b6÷b3=b3,A选项错误;同底数幂相乘,底数不变,指数相加,b3·b3=b6,B选项错误;a2+a2=2a2,C选项正确;幂的乘方,底数不变,指数相乘,(a3)3=a9,D选项错误.故选C.
5.C A选项是轴对称图形,但不是中心对称图形;B选项是轴对称图形,但不是中心对称图形;
C选项既是轴对称图形,又是中心对称图形;D选项是轴对称图形,但不是中心对称图形.故选C.
6.C 数据3、3、5、8、11已按从小到大顺序排列,位于中间的数是5,所以这组数据的中位数为5,故选C.
7.D 根据a,b在数轴上的位置可知a<0、b>0.正数大于负数,所以A选项错误;由题图可知a到原点的距离大于b到原点的距离,即|a|>|b|,故B选项错误;异号两数相加,取绝对值较大加数的符号,所以a+b<0,故C选项错误;两数相除,异号得负,D选项正确,
故选D.
8.B 根据二次根式的意义可知 =4,故选B.
√42
9.D 因为x、x 是一元二次方程x2-2x=0的两个实数根,所以 -2x=0,x+x=2,xx=0,所以x≠x,故选D.
1 2 x2 1 1 2 1 2 1 2
1
10.C 因为正方形ABCD的边长为4,正方形EFGB的边长为2,H为AD的中点,所以FG=AH=2,∠HAN=∠FGN=90°,AD∥FM,所以∠AHN=∠GFN,所以△ANH≌△GNF,故①正确;因为在Rt△AFG中,AF= =2 ,而AH=2,所以∠AHF≠∠AFH,则
√22+22 √2
1 1
∠AFN≠∠HFG,故②错误;由AD∥FM,可知△AHK∽△MFK,所以HK∶FK=AH∶FM=2∶6=1∶3.因为△ANH≌△GNF,所以FN=HN,所以HF=4HK=2FN,所以HK=NK,所以FN=2NK,故③正确;易求得S = ×1×2=1,S = ×2×4=4,所以S ∶S =1∶4,故④正确.
△AFN
2
△ADM
2
△AFN △ADM
综上所述,正确的结论有3个,故选C.
二、填空题
11. 答案 4
解析 2 0190+(1) -1 =1+3=4.
3
12. 答案 105°
解析 根据两直线平行,同位角相等,可得∠1的同位角等于75°,∴∠2=180°-75°=105°.
13. 答案 8
解析 设多边形的边数为n.根据多边形内角和公式可得(n-2)×180°=1 080°,解得n=8,故多边形的边数为8.
14. 答案 21
解析 把x=2y+3代入4x-8y+9得,
4(2y+3)-8y+9=8y+12-8y+9=21.
15. 答案 (15+15√3)
解析 过B作BE⊥AC交AC于E,由题意可知AC⊥CD,BD⊥CD,所以∠ECD=∠CDB=∠BEC=90°,又因为∠EBC=45°,所以BE=EC,故四边形BECD为正方形,所以BE=CE=CD=15√3 米,在Rt△AEB中,∠AEB=90°,∠ABE=30°,所以AE=BE·tan∠ABE=15√3
√3
× =15米,所以AC=AE+EC=(15+15√3)米.
316. 答案 a+8b
解析 只有一个图形时的长度为a,当两个图形拼在一起时的长度为a+b,当三个图形拼在一起时长度为a+2b,由此可发现规律,每增加一个图形,总长度增加b,所以9个图形拼在一起时总长度为a+8b.
三、解答题(一)
17. 解析 由①,得x>3,(2分)
由②,得x>1,(4分)
∴原不等式组的解集是x>3.(6分)
x-1 x(x-1)
18. 解析 原式= ÷ (3分)
x-2 (x+2)(x-2)
x-1 (x+2)(x-2)
= ·
x-2 x(x-1)
x+2
= .(4分)
x
当x=√2时,
√2+2 √2(√2+2)
原式= = =1+√2.(6分)
√2 2
19. 解析 (1)如图所示,∠ADE为所作.(4分)
(2)∵∠ADE=∠B,
∴DE∥BC,
AE AD
∴ = ,
EC BD
AD
∵ =2,
BD
AE
∴ =2.(6分)
EC
四、解答题(二)
20. 解析 (1)4;40;36.
y=10÷25%=40,(1分)
x=40-24-10-2=4,(2分)
4
×360°=36°.(3分)
40
(2)列表如下:
甲 乙 丙
甲 (甲,乙) (甲,丙)
乙 (乙,甲) (乙,丙)
丙 (丙,甲) (丙,乙)
(6分)
共有6种结果,每种结果出现的可能性相同,其中同时抽到甲、乙的结果有2种,
2 1
∴P(同时抽到甲、乙两名学生)= = .
6 3
1
答:同时抽到甲、乙两名学生的概率是 .(7分)
3
(若用树状图法答题,相应给分)
21. 解析 (1)设购买篮球x个,购买足球y个,(1分)
{ x+ y=60,
依题意得 (2分)
70x+80 y=4 600,
{x=20,
解得 (3分)
y=40.
答:购买篮球20个,足球40个.(4分)(2)设买篮球m个,
依题意得70m≤80(60-m),(5分)
解得m≤32.(6分)
答:最多可购买32个篮球.(7分)
22. 解析 (1)由题图可知AB2=22+62=40,
∴AB=2√10.(1分)
AC2=22+62=40,
∴AC=2√10.(2分)
BC2=42+82=80,
∴BC=4√5.(3分)
(2)连接AD,由(1)知AB2+AC2=BC2,AB=AC,
∴△ABC是等腰直角三角形,∠BAC=90°.(4分)
∵以点A为圆心的 与BC相切于点D,
EF
⏜
∴AD⊥BC,
1
∴AD= BC=2√5,(5分)
2
1 1
∴S = BC·AD= ×4√5×2√5=20,
△ABC
2 2
1
又S = π(2√5)2=5π,
扇形EAF
4
∴S =20-5π.(7分)
阴影
五、解答题(三)
23. 解析 (1)x<-1或0<x<4.(2分)
k
(2)∵点A(-1,4)在y= 2 的图象上,
x
k
∴4= 2 ,(3分)
-1
解得k=-4.
2
4
∴反比例函数的表达式为y=- .(4分)
x
4
∵点B(4,n)在反比例函数y=- 的图象上,
x
4
∴n=- =-1,
4
∴点B(4,-1),
∵一次函数的图象过A、B两点,
∴{-k
1
+b=4, 解得{k
1
=-1,
4k +b=-1, b=3,
1
∴一次函数的表达式为y=-x+3.(6分)
(3)如图,
设直线y=-x+3与x轴交于点C.当y=0时,x=3,
∴点C的坐标为(3,0).
∵S =S +S ,
△AOB △AOC △BOC
1 1 15
∴S = ×3×4+ ×3×1= .(7分)
△AOB
2 2 2
∵S ∶S =1∶2,
△AOP △BOP
2 2 15
∴S = S = × =5.
△BOP △AOB
3 3 2
∵点P在线段AB上,∴可设P的坐标为(m,-m+3).
∵S =S +S ,
△POB △POC △BOC
1 1
∴S = ×3×(-m+3)+ ×3×1=5,(8分)
△BOP
2 2
2
解得m= ,
3
2 7
∴-m+3=- +3= ,
3 3
∴点P的坐标为(2 7).(9分)
,
3 3
24. 解析 (1)证明:如图.
∵AB=AC,∴∠1=∠3.
∵∠1=∠2,∴∠2=∠3.(1分)
∵∠3=∠4,∴∠2=∠4,
∴ED=EC.(2分)
(2)证明:如图,连接OA、OB、OC,
∵OB=OC,AB=AC,
∴AO垂直平分BC,
∴AO⊥BC.(3分)
由(1)知∠2=∠3,
∴AB∥DF,
∵AB=AC=CF,
∴四边形ABCF是平行四边形.(4分)
∴AF∥BC,
∴AO⊥AF,
又∵OA是☉O的半径,
∴AF是☉O的切线.(5分)
(3)如图,连接AG.
∵∠1=∠2,∠2=∠5,∴∠1=∠5,
∵G是△ADC的内心,∴∠7=∠8,
∵∠BAG=∠5+∠7,∠6=∠1+∠8,
∴∠BAG=∠6,∴AB=BG.(7分)
AB BC
∵∠3=∠3,∠1=∠5,∴△ABE∽△CBA,∴ = ,(8分)
BE AB
∴AB2=BE·BC=25,∴AB=5,∴BG=5.(9分)√3 3√3 7√3
25. 解析 (1)由y= x2+ x- ,
8 4 8
√3
得y= (x+3)2-2√3,
8
∴点D的坐标为(-3,-2√3).(1分)
√3 3√3 7√3
由y= x2+ x- =0,
8 4 8
得x=1,x=-7,
1 2
∴点A的坐标为(1,0),点B的坐标为(-7,0).(3分)
(2)证明:
∵点A恰好旋转到点F,∴AC=CF.
又∵CO⊥AF,∴AO=OF=1,
∴点F的坐标为(-1,0),AF=2.
设直线CD的表达式是y=kx+b(k≠0),∵直线CD过点D,F,
∴{ 0=-k+b, ∴{k=√3,
-2√3=-3k+b, b=√3,
∴y=√3x+√3.
∴C(0,√3).(4分)
∴AC= = =2,
√OC2+OA2 √(√3)2+12
∴AC=AF=FC=2,
∴△ACF是等边三角形,
∴∠CFA=∠ACF=∠CAF=60°,
∴∠ECF=∠ACF=60°,
∴∠CFA=∠ECF=60°,
∴EC∥AB.(5分)
过点D作DG⊥y轴于点G,则DG=3,而∠DCG=30°,
∴CD=6,
∴CE=CD=6,
而点F的坐标为(-1,0),点B的坐标为(-7,0),
∴FB=6,
∴FB=CE,
∴四边形BFCE是平行四边形.(6分)
(3)①(以下给出了三个点P横坐标的求解过程 ,考生只需写出其中一个P点的横坐标的求解过程即可)
设点P的坐标为(
m,
√3
m2+
3√3
m-
7√3),易知点P与A、B重合时均不符合要求,
8 4 8
所以m≠1,m≠-7.
Ⅰ)如图,点P在点A右侧时,m>1,若△PAM与△DD A相似,因为都是直角三角形,所以必有一锐角相等.
1
i)若∠PAM=∠DAD,则点P、A、D共线,
1
而直线AD与抛物线只有两个交点A、D,
所以这种情况不存在点P,使得△PAM与△DD A相似.
1
PM AM
ii)若∠PAM=∠ADD,则 = ,
1 AD DD
1 1
√3 3√3 7√3
m2+ m- m-1
∴ 8 4 8 = ,
2√3
45
∴m=1或m=- ,均不满足m>1.
3
∴当点P在点A右侧时,不存在点P,使得△PAM与△DD A相似.
1
(如果考生只写了这种情况,酌情给分)
Ⅱ)如图,当点P在点A和点B之间时,-7<m<1.
i)若∠PAM=∠DAD,则AD与AP重合,
1
此时不存在点P,使得△PAM与△DD A相似(不含全等).
1
PM AM
ii)若∠PAM=∠ADD,则 = ,
1 AD DD
1 1
∴-
(√3
m2+
3√3
m-
7√3)
=1-m,
8 4 8
2√3
4
5
∴m=1或m=- ,
3
5
又∵-7<m<1,∴m=- .
3
5
∴当m=- 时,△PAM与△DD A相似.(8分)
1
3
Ⅲ)如图,当点P在点B左侧时,m<-7.
PM AM
i)若∠PAM=∠DAD,则 = ,
1 DD AD
1 1
√3 3√3 7√3
m2+ m- 1-m
∴ 8 4 8 = ,
4
2√3
∴m=1或m=-11,
又∵m<-7,∴m=-11.
∴当m=-11时,△PAM与△DD A相似.(8分)
1
PM AM
ii)若∠PAM=∠ADD,则 = ,
1 AD DD
1 1
√3 3√3 7√3
m2+ m- 1-m
∴ 8 4 8 = ,
2√3
4
37
∴m=1或m=- ,
3
37
又∵m<-7,∴m=- .
3
37
∴当m=- 时,△PAM与△DD A相似.(8分)
1
3
②一共存在三个点P,使得△PAM与△DD A相似.(9分)
1
(本卷所有题参考答案只提供一种解法,其他解法只要正确,请参照本答案相应给分)
