原创（新教材）下学期高一期末备考金卷数学教师版_E015高中全科试卷_数学试题_必修2_04.期末试卷_原创（新教材）下学期高一期末备考金卷数学

3．某工厂利用随机数表对生产的50个零件进行抽样测试，先将50个零件进行编号，编号分别为01， （新教材）下学期高一期末备考金卷 02，…，50，从中抽取5个样本，下面提供随机数表的第1行到第2行： 数 学 注意事项： 若从表中第1行第9列开始向右依次读取数据，则得到的第4个样本编号是（ ） 1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴 A．10 B．09 C．71 D．20 在答题卡上的指定位置。 【答案】B 2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在 【解析】从随机数表第1行的第9列数字开始由左向右每次连续读取2个数字，删除超出范围及重复 试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和 的编号，符合条件的编号有14，05，11，09， 答题卡上的非答题区域均无效。 所以选出来的第4个个体的编号为09，故选B． 4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。 4．从1，2，3，4，5中选出三个不同的数字组成一个三位数，则这个三位数是3的倍数的概率为（ ） 第Ⅰ卷（选择题） A． B． C． D． 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是 【答案】C 符合题目要求的． 【解析】从1，2，3，4，5这5个数中，选出三个不同的数字组成一个三位数，共有 个三个位数， 1．若复数z满足 ，则z的虚部为（ ） 若这个三位数是3的倍数，则必须是由1，2，3或1，3，5或2，3，4或3，4，5组成的三位数，这一共可 A． B． C． D． 组成 ， 【答案】C 所以这个三位数是3的倍数的概率为 ，故选C． 【解析】由已知 ，虚部为 ， 5．某市有15个旅游景点，经计算，黄金周期间各个景点的旅游人数平均为20万，标准差为s，后来经 故选C． 核实，发现甲、乙两处景点统计的人数有误，甲景点实际为20万，被误统计为15万，乙景点实际为18 2．已知向量 ， ，若向量 与向量 共线，则 （ ） 万，被误统计成23万；更正后重新计算，得到标准差为s 1 ，则s与s 1 的大小关系为（ ） A．s＝s B．ss D．不能确定 1 1 1 【答案】C A． B． C． D． 【解析】由已知，两次统计所得的旅游人数总数没有变， 【答案】A 即两次统计的各景点旅游人数的平均数是相同的，设为 ， 【解析】由题意得 ， 则 ， 因为向量 与向量 共线，所以 ，解得 ， ， 故选A． 封封密密不不订订装装只只卷卷此此 号号位位座座 号号场场考考 号号证证考考准准 名名姓姓 级级班班若比较 与 的大小，只需比较 与 的大小即可， 则 ，则 ， 而 ， ， 所以 ， 故选A． 7．在如图所示的电路中，5个格子表示保险匣，格子中所示数据表示通电时保险丝被熔断的概率，则 从而 ，故选C． 当开关合上时，电路畅通的概率是（ ） 6．在 中， ， ， ，M为BC中点，O为 的内心， 且 ，则 （ ） A． B． C． D．1 【答案】A A． B． C． D． 【解析】由题知， ，根据三角形面积与周长和内心的关系求得，内切圆半径 【答案】A 【解析】当开关合上时，电路畅通即表示 至 畅通且 至 畅通， ，四边形AEOF为矩形， 至 畅通的概率 ， 至 畅通的概率 ， 所以电路畅通的概率 ，故选A． 8．如图，等边三角形 中， 为边 的中点， 于 ．将 沿 翻折至 则 ， 的位置，连接 ．那么在翻折过程中： 又 ， ①总有 成立； ②存在某个位置，使 ； 则 ， ③在线段 上，存在异于两端点的 点，使线段 的长度始终保持不变． 其中所有正确结论的编号是（ ）③存在点 ，满足 ，取 的中点 ，连接 ， 易得 ， ， 设底面三角形 的边长为 ，则 ， ， ， ∵ 平面 ，故 平面 ，∴ ，故 是直角三角形， ∴ ，故③正确， 故选B． A．①② B．①③ C．②③ D．以上选项都不对 二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目 【答案】B 要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分． 【解析】①∵ ，∴ ， ， 9．已知100个数据的75百分位数是 ，则下列说法不正确的是（ ） 又 ，∴ 平面 ，∴ ，故①正确； A．这100个数据中一定有75个数小于或等于 ②假设存在某个位置，使得 ， B．把这100个数据从小到大排列后， 是第75个数据 连接 ，则 ， ， C．把这100个数据从小到大排列后， 是第75个数据和第76个数据的平均数 故 平面 ，∴ ， D．把这100个数据从小到大排列后， 是第75个数据和第74个数据的平均数 【答案】ABD 又由（1）知 ， ，∴ 平面 ，∴ ， 【解析】因为 为整数， ∴ ，显然这是不可能的，故假设错误，故②错误； 所以第75个数据和第76个数据的平均数为第75百分位 ， 所以A、B不正确；C正确；D不正确，故选ABD． 对于C，在 中，由 ， 10．设 为复数， ．下列命题中正确的是（ ） 利用正弦定理可得 ， ， A．若 ，则 B．若 ，则 ， 或 ， C．若 ，则 D．若 ，则 或 ， 【答案】BC 是等腰三角形或直角三角形，因此是假命题，C错误； 【解析】由复数模的概念可知， 不能得到 ，例如 ， ，A错误； 对于D，由于 ， ， 由 可得 ，因为 ，所以 ，即 ，B正确； 由余弦定理可得 ，可得 ，解得 ， 因为 ， ，而 ，所以 ，所以 ， 可得 ，故正确， C正确； 故选ABD． 取 ， ，显然满足 ，但 ，D错误， 12．若点O是线段BC外一点，点P是平面上任意一点，且 (λ，μ∈R)， 故选BC． 则下列说法正确的有（ ） 11．下列命题中，正确的是（ ） A．若 且λ>0，则点P在线段BC的延长线上 A．在 中， ， B．若 且λ<0，则点P在线段BC的延长线上 B．在锐角 中，不等式 恒成立 C．若 ，则点P在△OBC外 C．在 中，若 ，则 必是等腰直角三角形 D．若 ，则点P在△OBC内 D．在 中，若 ， ，则 必是等边三角形 【答案】BC 【答案】ABD 【解析】因为 ， 【解析】对于A，由 ，可得 ，利用正弦定理可得 ，正确； 若 且λ>0，则 ， 对于B，在锐角 中， ， 故 ，即 ， ， ， 又λ>0，则点P在线段BC或其反向延长线上，A错误； 若 且λ<0，同上可得 ，而λ<0，则点P在线段BC的延长线上，B正确； ，因此不等式 恒成立，正确； 若 ， ，同上可得 ，当 时， ，根据向量加法的平行四边形法则可以看出则点P在△OBC外， 设 ， ， C正确； 则 ， 若 ，不妨令λ=0， ，则 ，很显然此时点P在线段CO的延长线上， 当且仅当 时取等号， 不在△OBC内，D错误， 故答案为1． 故选BC． 15．一个项目由15个专家评委投票表决，剔除一个最高分96，一个最低分58后所得到的平均分为 92，方差为16，那么原始得分的方差为__________． 第Ⅱ卷（非选择题） 【答案】 三、填空题：本大题共4小题，每小题5分． 【解析】剔除最高分和最低分后的 ， 13．将一枚质地均匀的骰子先后抛掷两次，若第一次朝上一面的点数为 ，第二次朝上一面的点数为 ， ，则函数 在 上为减函数的概率是_______． 则原始平均分 ， 【答案】 原始 ， 【解析】由题意，将一枚质地均匀的骰子先后抛掷两次，可得 ， ， 原始方差 ， 又由函数 在 上为减函数，则 ，即 ， 即原始方差为88． 当 取1时， 可取2，3，4，5，6； 16．已知圆锥的底面积为 ，高为 ，则这个圆锥的侧面积为________ cm2，圆锥的内切球 （与圆锥的底面和各母线均相切的球）的表面积为_________ cm2． 当 取2时， 可取4，5，6； 【答案】 ， 当 取3时， 可取6，共9种， 【解析】设圆锥底面圆的半径为 ，母线长为 ， 又因为 的取值共36种情况， 由题意可得 ，可得 ， 所以所求概率为 ，故答案为 ． 由勾股定理可得 ， 14．已知复数z满足 ，则 （其中i是虚数单位）的最小值为________． 所以圆锥的侧面积为 ， 【答案】1 【解析】 复数 满足 为虚数单位），则 ， 因为复数 在复平面上对应的点在第四象限， 所以 ，解得 ， 即实数 的取值范围 ． 作圆锥的轴截面如图所示： 、 分别与圆 相切于 两点， （2）由 ， 设圆 半径为 ，连接 ，则 ， 过点 作 ，则 ， ， 所以 ． 所以 ， 18．（12分）我国是世界上严重缺水的国家，某市为了制定合理的节水方案，对居民用水情况进行了调 所以 ，即 ，解得 ， 查，通过抽样，获得了某年100位居民每人的月均用水量(单位：吨)，将数据按照 ， ，…， 所以圆锥的内切球半径为 ， 分成9组，制成了如图所示的频率直方图． 所以圆锥的内切球的表面积为 ， 故答案为 ， ． 四、解答题：本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． （1）求直方图中 的值； （2）设该市有30万居民，估计全市居民中月均用水量不低于3吨的人数； 17．（10分）已知复数 ， ， 为虚数单位． （3）估计居民月均用水量的中位数． （1）若复数 ，在复平面上对应的点在第四象限，求实数a的取值范围； 【答案】（1） ；（2） ；（3） ． （2）若 ，求 的共轭复数． 【解析】（1）由频率直方图可知，月均用水量在 的频率为 ． 0.25 同理，在 ， ， ， ， ， 的频率分别为 ， ， ， 【答案】（1） ；（2） ． 0.06，0.04，0.02． 10.040.080.210.250.060.040.020.5a0.5a 【解析】（1）由题意，复数 ， ， 由 ，解得 a0.30 ．0.060.040.020.12  P  AB  P  AB   PAP  B  P  A  PB PA 1PB   1PA PB （2）由（1）知，100位居民月均用水量不低于3吨的频率为 ． ． 由以上样本的频率分布，可以估计30万居民中月均用水量不低于3吨的人数为  1 pq    2 3000000.1236000．  由题意可得 5 ， x  p1qq1 p （3）设中位数为 ，  12 0.040.080.150.210.250.730.5 因为前5组的频率之和为 ．  1  3  2 pq p p    0.040.080.150.210.480.5  2  4  3    而前4组的频率之和为 ， 即 17 ，解得 2 或 3 ，    pq q q  12  3  4 所以2 x2.5， 0.5x20.50.48 x2.04 3 2 由 ，解得 ， p q 由于 p q，所以 4， 3． 故可估计居民月均用水量的中位数为2.04． 19．（12分）进行垃圾分类收集可以减少垃圾处理量和处理设备，降低处理成本，减少土地资源的消耗， A  i B  i i 0 （2）设 i {甲同学答对了 道题}， i {乙同学答对了 道题}， ，1，2． 具有社会､经济､生态等多方面的效益，是关乎生态文明建设全局的大事．为了普及垃圾分类知识，某 1 3 3 1 3 3 3 9 p PA      PA    学校举行了垃圾分类知识考试，试卷中只有两道题目，已知甲同学答对每题的概率都为 ，乙同学答 由题意得， 1 4 4 4 4 8， 2 4 4 16， qp q 对每题的概率都为 ，且在考试中每人各题答题结果互不影响．已知每题甲，乙同时答对的 2 1 1 2 4 2 2 4 PB      PB    1 3 3 3 3 9 ， 2 3 3 9 ． 1 5 E  AB  A B E  概率为2 ，恰有一人答对的概率为12． 设 {甲乙二人共答对3道题}，则 1 2 2 1． p q A B AB A B （1）求 和 的值； 由于 i和 i相互独立， 1 2与 2 1相互互斥， （2）试求两人共答对3道题的概率． 3 4 9 4 5 PE PAB PA B  PA PB PA PB      3 2 5 所以 1 2 2 1 1 2 2 1 8 9 16 9 12 ， p  q 【答案】（1） 4， 3；（2）12． 5 PA p PBq 所以，甲乙二人共答对3道题的概率为12． 【解析】（1）设A{甲同学答对第一题}，B{乙同学答对第一题}，则 ， ． C  D= 20．（12分）如图所示，在三棱柱 中，侧棱AA⊥底面ABC， ，D为AC的中点， 设 {甲、乙二人均答对第一题}， {甲、乙二人中恰有一人答对第一题}， ABCABC 1 AB BC 1 1 1 C  AB D AB AB 则 ， ． ， ． AA  AB2 BC 3 1 由于二人答题互不影响，且每人各题答题结果互不影响， A B AB AB 所以 与 相互独立， 与 相互互斥， PC PAB PAPB PD P  AB AB  所以 ，21．（12分）在锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知 ， ． b3 sin AasinB2 3 AB∥ （1）求证： 1 平面BC D； （1）求角A的大小； 1 （2）求△ABC周长的取值范围． （2）求AB 与BD所成角的余弦值． 1 π 93 3 26 ( ,93 3) 【答案】（1）3 ；（2） 2 ． 【答案】（1）证明见解析；（2） 13 ． a b c 【解析】（1）证明：如图，连接BC，设BC与BC 相交于点O，连接OD．   1 1 1 【解析】（1）∵sin A sinB sinC ，∴asinBbsinA， ∵四边形BCC B 是平行四边形，∴点O为BC的中点． 1 1 1 ∵D为AC的中点，∴OD为△AB 1 C的中位线，∴OD∥AB 1 ． 3 sin A ∴sin AasinBsin Absin A4sin A2 3，∴ 2 ， ∵OD 平面BC D，AB 平面BC D， 1 1 1 ∴AB 1⊂∥平面BC 1 D． ⊄ π A （2）解：由（1）可知，∠ODB为AB 1 与BD所成的角或其补角， ABC为锐角三角形，于是 3． AB 2 2 OD 2 △ ∵AA＝AB＝2，∴ 1 ， ， 1 3 3 （2）由正弦定理 a b c ，可得 ， 3sinC ， AC 13   c 2 BD  sin A sinB sinC a  sinB 在Rt ABC中，D为AC的中点，则 2 2 ， sinB △ 同理可得 OB 2 13 ， 3 2 3 3sinC 3 2 3 3sin    2 3 π B    ， ac3 3 3 sinB sinB 在△OBD中， 3 3  3 1   2  13 2  13 2 ∴周长 3 cosB sinB 2     2  2 2  3 3 1cosB 9 OD2 BD2 OB2  2   2  26 ，  3   cosODB   sinB 2 sinB 2 2ODBD 13 13 2 2 B 2 2cos2 3 3 9 3 3 9 2      ， 26 2 B B 2 B 2 2sin cos 2tan ∴AB 1 与BD所成角的余弦值为 13 ． 2 2 2 π  四边形BCDE为菱形，CE  BD， 0 B     2  O，F 分别为BE，DE的中点，即OF∥BD， 又∵△ABC为锐角三角形， 2π π ，  0 B ∴CE OF ，  3 2 面ABE为等边三角形，且O为BE的中点，AO BE ，  π π B π π 又面ABE 面BCDE，AO面ABE，   B ( , ) 6 2 ，∴ 2 12 4 ， ABE BCDE= BE AO BCDE  面 面 ， 面 ， 1 B (1,2 3) 又CE 面BCDE，AOCE ， ∴tan (2 3,1)，∴ B ， 2 tan 2 AO  OF O AO,OF  AOF CE  AOF 又 ， 面 ， 面 ， 93 3  ∴周长的取值范围为   ,93 3 ． 又AF 面AOF ，CE  AF ． 2   ABCDE BCDE ABE 22．（12分）如图所示，在四棱锥 中，底面 为菱形，侧面 为等边三角形，且侧 面ABE垂直底面BCDE，O，F 分别为BE，DE的中点． BD CE M OF CE N （2）解：设 交 于 ， 交 于 ， 则M 为CE的中点，N 为EM 的中点， 在△ACE中，过点M 作MP∥AN 交AC 于点P，则点P即为所求． CE  AF 理由如下： （1）求证： ；  O，F 分别为BE，DE的中点， AC P BP∥ AOF P （2）在棱 上是否存在点 ，使得 平面 ？若存在，请找出点 的位置；若不存在，请说 ON∥BM ，ON 面PBM ，BM 面PBM ， ON// 面PBM ，同理AN//面PBM ， 明理由． ON AN  N ON AN  AON  P AC A ， ､ 面 ， 【答案】（1）证明见解析；（2）存在，点 在棱 上靠近点 的三等分点处． 面PBM∥面AON ，即面PBM∥面AOF ， 【解析】（1）证明：连接BD， BP面PBM ，BP∥面AOF ．  AP NM 1    MP∥AN ， AC NC 3，  故点P在棱AC 上靠近点A的三等分点处．