太原五中2023—2024学年度第二学期校一模高三数学答案_2024年5月_01按日期_23号_2024届山西省太原市第五中学高三下学期一模试题

太原五中高三校考数学题 第Ⅰ卷（选择题） 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项 中，只有一项符合题目要求． 1．已知全集为R，集合A={x x2-2x-3＜0}，B={y y  x2}，则(C B)∩A=（ ） R A{x -1＜x＜2} B{x 2＜x＜3} C {x x＜3} D{x -1＜x<0} 【答案】D．【详解】A={x -1＜x＜3}，C B={y y<0}， R ∴A∩(C B)={x -1＜x＜0} R (1i)2 2．复数Z  的共轭复数为（ ） 1i A．1i B．12i C．1i D．12i (1i)2 (2i)(1i) 【答案】C．【详解】Z  = =-1-i，∴共轭复数为-1+ i 1i 2  3 3 1 3．设0, ，条件 p:cos ，条件q:sin ，则p是q的（ ）  2  2 2 A．充分不要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件  3 3  1 【答案】A．【详解】当0, cos  sin ，  2  2 6 2 1  5 3 3 而sin 得 或 ，cos 或 ， 2 6 6 2 2 所以p是q的充分不必要条件 4．甲，乙两名同学要从A、B、C、D四个科目中每人选取三科进行学习，则两 人选取的科目不完全相同的概率为 3 3 5 3 A． B． C． D． 16 8 8 4 【答案】D．【详解】两人选取科目的不同方法共有 4×4=16 种，科目完全相同 4 3 的方法共有4×1=4 种，∴科目不完全相同方法共有12种，P 1  . 16 4 x2 y2 5．设双曲线 - =1(a、b均为正值) 的渐近线的倾斜角为，且该双曲线与 a2 b2x2 y2 椭圆 + =1 的离心率之积为1，且有相同的焦距，则sin= 4 3 3 7 3 2 A． B． C． D． 7 13 2 13 【答案】C．【详解】由题意易得，在双曲线中c=1，即a2+b2=1，又由两曲线的 c c2 a2 b2 b2 b2 b 离心率之积为1得 =2，∴  1  4，∴ 3，∴  3∴ a a2 a2 a2 a2 a  3 tan= 3，又0 ，∴sin= 2 2  6．在ABC中，BC 6，, AB4，CBA ，设点D为 AC 的中点，E在BC上， 2   且AEBD0,则BC AE （ ） A．16 B．12 C．8 D．-4 【答案】A．【详解】建立如图坐标系，则A  4，0 ，B  0，0  , c  0，6 ，D  2，3 设E  0，b ， 8   b 由题意可知AE BD，所以AEBD0.即 4，b    2,3   0.所以 3.  8  8 所以E0, ,AE 4, .所以AEBC 16.故选A.  3  3 7.已知圆锥 的母线 ，侧面积为 ，若正四面体 能在圆锥 内 任意转动，则正四面体 的最大棱长为（ ） 3 A．1 B． C． D． 3 2 【答案】B 【详解】如图，在圆锥 中，设圆锥母线长为 ，底面圆 半径为 ， 因为侧面积为 ，所以 ，即 ． 因为 ，所以 ，所以 ． 棱长为 的正四面体 如图所示， 则正方体的棱长为 ，体对角线长为 ，所以棱长为 的正四面体的外接球半径为 ． 取轴截面 ，设 内切圆的半径为 ， 则 ，解得 ， 即圆锥 的内切球半径为 ． 因为正四面体 能在圆锥 内任意转动，所以 ，即 ， 所以正四面体 的最大棱长为 ． 8．设数列a 的前n项之积为T ，满足a 2T 1（ nN*），则a （ ） n n n n 2024 4048 4047 1011 1011 A． B． C． D． 4049 4049 1013 1012 【答案】B 【详解】因为a 2T 1(nN*)， n n 1 所以a 2T 1，即a 2a 1，所以a  ， 1 1 1 1 1 3 T 所以 n 2T 1(n2,nN*)，显然T 0， T n n n1 1 1 所以   2(n 2,nN*) ， T T n n1 1 1 1 所以数列{ }是首项为  3，公差为2的等差数列， T T a n 1 1 1 所以 32(n1)2n1， T n 1 即T  1 ，所以a  T 2024  220241 4047 ． n 2n1 2024 T 1 4049 2023 220231 故选：B． 二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项 中，有多项符合题目要求的，全部选对得部分分，有选错的得0分． 9． 如图，函数 的图象与x 轴的其中两个交 点为A，B，与y轴交于点C，D 为线段BC的中点， ， ， ，则（ ） A． 的图象不关于直线 对称 B． 的最小正周期为 C． 的图像关于原点对称 D． 在 单调递减 【答案】ACD 【详解】由题可 ， ， ，则 ， 有 ， ， ， ， 把 代入上式，得 ，解得 (负值舍去)， ， ，由 ，解得 ， ， 解得 ， ， 对A， ，故 A正确； 对B： 的最小正周期为 ，故B 错误； 对C： ， 为奇函数，故C正 确； 对D：当 时， ， 在 单调递减，为奇函数，故D 正确. 故选：ACD. 10． 已知函数 的定义域为 ，且 ，都有 ， ， ， ，当 时， ， 则下列说法正确的是（ ）A．函数 的图象关于点 对称 B． C． D．函数 与函数 的图象有8个不同的公共点 【答案】ABD 【详解】由 得函数 关于 对称，A 正确； 由 得函数 关于 对称， 所以 ， ， 所以 ，即 ， 所以 ，故函数 的周期为 ， 由 知 ， ， 又 时， ，所以 ，解得 ， 所以 时， ， 所以 ，B正确； ，C错误； 画出函数 和函数 的图象，如图： ，观察图象可得函数 与函数 的图像有8个不 同的公共点，D正确. 故选：ABD. 11 、 外 接 圆 半 径 为 2 的 ABC 满 足 2sin A3cosBcosC 4,则下列选项正确的是（ ） 5 A． B C B． A 12 16 4 2 C．ABC的面积是 D．ABC的周长是 25 5【答案】AC 【详解】 即 ， , ， ， ， ， ， , ， , , 故选AC 第Ⅱ卷（非选择题） 三. 填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分． 12.化简3C1 6C2 12C3 32n1Cn  ． n n n n 【答案】 3 3n 1  2 3  【详解】3C1 6C2 12C3 32n1Cn  2C1 22C2 23C3 2nCn n n n n 2 n n n n  3  12 n C0   3 3n 1  2 n 2 c2 sinC 13. 在 ABC 中，内角A,B,C所对的边分别是a,b,c，已知  ，那么 b2c2a2 sinB3 3 A ，设边BC的中点为D，若 a 7 ，且 ABC 的面积为 ，则AD的 4 长是 ．  13 【答案】 （或60）， 3 2 sinC c 【详解】（1）在 ABC 中，由正弦定理得，  ， sinB b c2 sinC c2 c 因为  ，所以  ， b2c2a2 sinB b2c2a2 b 化简得， b2c2a2 bc ， b2c2a2 1 在ABC中，由余弦定理得，cosA  ， 2bc 2 π 又因为0 Aπ，所以A 3 1 3 3 3 由S  bcsin A bc ，得bc3， △ABC 2 4 4 由 a2 b2c22bccosA ，得 7b2c23 ，所以 b2c2 10 ．  1    又因为边BC的中点为D，所以AD ABAC ， 2  1   1 1 1 13 所以 AD  (ABAC)2  b2c22bccosA   1023  2 2 2 2 2 14.已知椭圆 x2  y2 1,O为原点，过第一象限内椭圆外一点Px,y 作椭圆的两 0 0 2 条切线，切点分别为A，B．记直线OA,OB,PA,PB的斜率分别为k ,k ,k ,k ，若 1 2 3 4 1 k 1 k 2  4 ，则 5x 3y k k 的最小值是 0 0 3 4 【答案】5 1 【详解】由于k k  0，故A,B不关于x轴对称且A,B的横纵坐标不为0， 1 2 4 所以直线AB方程斜率一定存在， x2 设直线AB的方程为ykxt，联立  y2 1得， 2  12k2 x24ktx2t220， 设Ax,y ,Bx ,y ，则x x  4kt ,xx  2t22 ， 1 1 2 2 1 2 12k2 1 2 12k2 故y y kx tkx tk2xx ktx x t2 1 2 1 2 1 2 1 2 2t22 4kt 2k2t2 k2 kt t2  ， 12k2 12k2 12k2y y 其中k  1,k  2 ， 1 x 2 x 1 2 y y 1 故 1 2  ，即4y y xx ， xx 4 1 2 1 2 1 2 8k24t2 2t22 所以  ，解得t2 4k21， 12k2 12k2 xx 又椭圆在点Ax,y 的切线方程为 1  y y1， 1 1 2 1 x x 同理可得，椭圆在点Bx ,y 的切线方程为 2  y y1， 2 2 2 2 xx x x 由于点Px ,y 为 1  y y1与 2  y y1的交点， 0 0 2 1 2 2 xx x x 故 1 0  y y 1， 2 0  y y 1， 2 1 0 2 2 0 x 所以直线AB为 0 x y y1， 2 0 因为直线AB的方程为ykxt，对照系数可得 x 1 k  0 ,t  ， 2y y 0 0 2 2  1   x  又t2 4k21，故   4 0  1，整理得x2y2 1，  y   2y  0 0 0 0 又Px ,y 在第一象限， 0 0 故点Px ,y 的轨迹为双曲线x2y2 1位于第一象限的部分， 0 0 b2x x 1 k  1  1  ，同理可得 3 a2y 2y 2k 1 1 1 b2x x 1 k  2  2  ， 4 a2y 2y 2k 2 2 2 1  1  1 则k k    1 3 4 2k  2k  4kk 1 2 1 2 又由于x2y2 1，x 0，y 0，故x  y ， 0 0 0 0 0 0 设5x 3y h，则h0， 0 0 则两式联立得16y26hy h2250， 0 0 由Δ36h264  h225  0得，h4，检验，当h4时，5x 3y 4，又x2y2 1， 0 0 0 0  5 x    0 4 解得  y  3 ，满足要求.故5x 0 3y 0 的最小值为4故 5x 0 3y 0 k 3 k 4 的最小值是5  0 4 四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算 步骤． 15． (本小题满分13分) 目前，某校采用“翻转课堂”的教学模式，及学生先自学，然后老师再讲学 生不会的内容。某一教育部门为调查在此模式下学生的物理成绩与学习物理的学 习时间的相关关系，针对本校 49 名考生进行了解，其中每周学习物理的时间不 少于12小时的有21位学生，余下的人中，在物理考试中平均成绩不足120分的 5 学生占总人数的 ，统计后得到以下表格： 7 大于等于120分 不足120分 合计 学时不少于12小时 8 21 学时不足12小时 合计 49 (Ⅰ) 请完成上面的 2×2 列联表，能否有 97.5%的把握认为“物理成绩与自 主物理的学习时间有关”？ (Ⅱ) 若将频率视为概率，从全校大于等于 120分的学生中随机抽取20人， 求这些人中周自主学习时间不少于12小时的人数的期望和方差． n(ad bc)2 附：K2= (ab)(cd)(ac)(bd) P(K2≥k ) 0.100 0.050 0.025 0.010 0.005 0.001 0 k 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 0 15. 解：(Ⅰ) 完成后的2×2列联表如下 大于等于120分 不足120分 合计 学时不少于12小时 13 8 21 学时不足12小时 8 20 28 合计 21 28 49--------------------------------3 分 49(132088)2 49 ∵K2= = ≈5.444＞5.024--------------------------------5 分 21282128 9 ∴能有97.5%的把握认为“成绩与自主学习时间有关”；--------------------6 分 (Ⅱ) 由(Ⅰ) 中的 2×2 列联表知大于等于 120分且周自主学习时间不少于 12 小 13 时的频率是 ，----------------------------------------------------------------------------7分 21 设从全校大于等于 120分的学生中随机抽取 20 人，这些人中周自主学习时 间不少于12小时的人数为随机变量Y， 13 依题意Y~B(20， )，------------------------------------------------------------------10 分 21 13 260 ∴E(Y)=20× = ， 21 21 13 13 2080 D(Y)=20× ×(1- )= ．---------------------------------------------------13 分 21 21 441 16．(本小题满分15分) 如图，在四棱锥P—ABCD 中，底面ABCD 是直角梯形，AB∥CD， ∠BAD=90º，DA=DC=2AB=2． (Ⅰ)点 E 在侧棱 PB 上，且 PD∥平面 EAC，确定E 在侧 棱PB 上的位置； (Ⅱ) 若平面 PAD⊥平面 ABCD，且 PA=PD=2 2 ， 求二 面角A—PD—B 的余弦值． 16. 解：(Ⅰ) 连接BD，设BD∩AC=F，连接EF， 则平面PDB∩平面EAC=EF， ∵PD∥平面EAC，∴PD∥EF，-------------------------------------------------3 分∵底面ABCD 是直角梯形，AB∥CD，且DC=2AB， ∴DF=2BF， ∴PE=2BE， ∴E为侧棱PB上靠近B 处的三等分点；--------------------------------------6 分 (Ⅱ) ∵平面PAD⊥平面ABCD，且PA=PD=2 2 ， z ∴PO⊥AD，∴PO⊥平面ABCD，(O为AD 中点) ∴如图所示建立空间直角坐标系， P 则依题意有 A(1，0，0)， B(1，1，0)， D(-1，0，0)，---------------8 分 E PO= PA2 AO2 = 7 ，∴P(0，0， 7 )， D C O y  F ∴DP=(1，0， 7 )， A B  x DA=(2，0，0)，  DB=(2，1，0)，-------------------------------------------------------------------------9 分     n DP 0 x  7z 0 设n =(x ，y ，z )是平面APD的一个法向量，则  1    1 1 ， 1 1 1 1 n  DA0 2x 0 1 1  取y =1得n =(0，1，0)(指向二面角内)-----------------------------------------------11分 1 1  设n =(x ，y ，z )是平面BPD的一个法向量， 2 2 2 2    n DP 0 x  7z 0  则  1    2 2 ，取z = 7 得n =(-7，14， 7 )(指向二面角外)  2 2 n DB 0 2x  y 0 1 2 2 ---------------------------------------------------------------------13 分     n n 7 ∴cos＜n ，n ＞=  1  2 = ，---------------------------------------------------14 分 1 2 n n 3 1 2 7 ∴二面角A —BD—C 的大小的余弦值为 ．----------------------------15 分 1 1 3 17． (本小题满分15分) 已知函数 的图象在 处的切线过点 .(1)求 在 上的最小值; (2)判断 在 内零点的个数,并说明理由. 17.解法一:(1) ,-------------------------------------2分 又 ,所以切线方程为 ，-----------------------------------3分 又切线过点 , 得 ,所以 ----------------------------------------------------------------4分 所以 , 当 时, ,所以 在 上单调减------------------------------6分 所以 的最小值为 ------------------------------------------------7分 (2)判断 在 零点个数,等价于判断方程 根的个数, 等价于判断方程 根的个数-------------------------------------------------8分 令 ,令 ,则 ,得 ------------------------------------------------------------------------------------10分 当 时, 在 单调递增; 当 时, 在 单调递减----------------------------12分 ,(或 ) 所以 时,方程 有2根, 所以 在 有2个零点---------------------------------------------------15分 解法二:(1) -----------------------------------------2分 所以切线方程为 ,--------------------------------------------------------3分 因此切点为 , 得 ,所以 ,---------------------------------------------------------------4分 所以 , 当 时, ,所以 在 上单调递减----------------------------6分 所以 的最小值为 -------------------------------------------------7分 (2)由(1)得 ,--------------------------------8分 令 ,则 在 上为减函数,--------9分 , 所以在 上 必有一个零点 ,使得 ------------------10分 从而当 时, ,当 时, , 所以 在 上单调递增,在 上单调递减. 又 ,所以在 上 必有一个零点 ,使得--------------------------------------12分 当 时, ,即 ,此时 单调递增; 当 时, ,即 ,此时 单调递减------------------------13分 又因为 所以 在 上有一个零点,在 上有一个零点----------------14分 综上, 在 有且只有2个零点--------------------------------------------15分 18．(本小题满分17分) 已知点 A  2,0 、B  2,0 ，且直线BP和直线AP相交于点P，且直线BP和 1 直线AP的斜率之积为 . 2 (Ⅰ)求点P的轨迹所对应的曲线F 的方程； (Ⅱ)直线 l:ykx1 与曲线F 相交于 D,E 两点，若 Q0,2是否存在实数 k ，使得 4 DEQ 的面积为 ?若存在，请求出 k 的值；若不存在，请说明理由。 3 18.解：设点P的坐标为x,y，因为点 A 的坐标是2,0， 所以直线AP的斜率 y k   x  2  -------------------------------------------------------------------------2 分 AP x2 y 同理，直线BP的斜率k   x  2  ---------------------------------------------4 分 BP x2 y y 1 x2 y2 所以   化简得点P的轨迹方程F 为  1x2 -------------6 分 x2 x2 2 4 2 ykx1 （2）设 Dx ,y ,Ex ,y 联立  ，化为： 12k2 x2 4kx20 ， 1 1 2 2 x2 2y2 44k 2 0 ，∴x x  ,xx  .--------------------------------------------------8 分 1 2 12k2 1 2 12k2   ∴ DE   1k2x x 24xx    1k2 16k2  8   1 2 1 2  12k22 12k2    2 2  1k2 4k21  12k2 1 点 Q 到直线 l 的距离 d  1k2 ∴ S  1 d DE  1  1  2 2  1k2 4k21   2 4k21 4 ，-----12 分 QAB 2 2 1k2 12k2 12k2 3 1 解得：k2  ， 4 1 解得k  . --------------------------------------14 分 2 1 因为当k  时直线 l 过点2,0， ----------------------------------------15 分 2 1 当k  时直线 l 过点2,0， ----------------------------------------16 分 2 4 因此不存在实数 k ，使得DEQ 的面积为 .----------------------------------------17 分 3 19.(本小题满分17分) 给定数列 ,若满足 且 ,对于任意的 ,都有 ,则称数列 为“指数型数列". (1)已知数列 满足 ,判断数列 是不是 “指数型数列"？若是,请给出证明,若不是,请说明理由; (2)若数列 是“指数型数列”,且 ,证明:数列 中任意三项都 不能构成等差数列. 19．（本小题满分17分） 证明：（1）由题意， 不是“指数型数列”， 由 ，----------------------2分所以数列 是等比数列， ，------------------4分 --------------6分 所以数列 不是指数型数列，---------------------------------------------------7分 （2）因为数列 是指数型数列，故对于任意的 ， 有 ，--------------------------------9分 假设数列 中存在三项 构成等差数列，不妨设 ， 则由 ，得 ，--------------------------10分 所以 ，------------------------------------12分 当 为偶数时， 是偶数，而 是奇数， 是偶 数， 故 不能成立；---------------------------14分 当 为奇数时， 是偶数，而 是偶数， 是奇 数， 故 也不能成立．-----------------------16分 所以，对任意 不能成立， 即数列 的任意三项都不能构成等差数列．-------------------------------------17分