文档内容
山西省太原市 2024 年高三年级模拟考试(三)数学试卷
(考试时间: 下午 3:00-5:00 )
注意事项:
1. 本试卷分第 I 卷 (选择题) 和第 II 卷 (非选择题) 两部分, 第 I 卷 1 至 4 页, 第
II 卷 5 至 8 页。
2. 回答第 I 卷前, 考生务必将自己的姓名、考试编号填写在答题卡上。
3. 回答第 1 卷时, 选出每小题答案后, 用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号
涂黑, 如需改动, 用橡皮擦干净后, 再选涂其他答案标号, 写在本试卷上无效。
4. 回答第 II 卷时, 将答案写在答题卡相应位置上, 写在本试卷上无效。
5. 考试结束后, 将本试卷和答题卡一并交回。
第 I 卷
一、选择题: 本题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分. 在每小题给出的四个选项中, 只
有一项是符 合题目要求的.
(1-i) 2
1. =
1+i
A. -i B. i C. -1 D. 1
2. 已知全集 U=R,A={x||x∣>1},B={x∣log x<1} ,则 (∁ A)∩B=
2 v
A. (0,1] B. [1,2) C. [-1,1] D. [-1,2)
3. 数据 1,5,4,3,6,5,2,6 的第 25 百分位数为
A. 2 B. 2.5 C. 3 D. 4.5
4. (x+ y-1) 5 的展开式中 x y2 的系数为
A. -20 B. 20 C. -30 D. 30
5. 已知 △ABC 中, A=120∘,D 是 BC 的中点,且 AD=1 ,则 △ABC 面积的最大值
A. ❑√3 B. 2❑√3 C. 1 D. 2
π
6. 已知函数 f (x)=asinx+cosx 的图象关于直线 x= 对称,则函数
6
g(x)=sinx+acosx 的 图象关于
1
学科网（北京）股份有限公司(π ) (π ) (2π )
A. 点 ,0 对称 B. 点 ,0 对称 C. 点 ,0 对称 D. 点
6 3 3
(5π )
,0 对称
6
7. 已知定义域是 R 的函数 f (x) 满足对于任意 x,y∈R 都有
2024
1
f (xy+1)=f (x)f (y)-2f (x)-2y+3 , 且 f (0)=2 ,则 ∑ =
f (k)f (k+1)
k=1
674 2025 2024 225
A. B. C. D.
2025 2026 6081 676
8. 已知点 F ,F 分别是椭圆 C 的左、右焦点, P(4,3) 是 C 上一点, △PF F 的
1 2 1 2
内切圆的圆心 为 I(m,1) ,则椭圆 C 的标准方程是
x2 y2 x2 y2 x2 y2 x2 y2
A. + =1 B. + =1 C. + =1 D. + =1
24 27 28 21 52 13 64 12
二、选择题: 本题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分. 在每小题给出的四个选项中, 有
多项符合题 目要求的. 全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分.
9. 已知曲线 C:x2+ y2cosα=1(0<α<π) ,则下列结论正确的是
A. 曲线 C 可能是直线 B. 曲线 C 可能是圆
C. 曲线 C 可能是椭圆 D. 曲线 C 可能是双曲线
10. 已知 x 是函数 f (x)=x3+mx+n(m<0) 的极值点,若 f (x )=f (x )(x ≠x ) ,则下
1 2 1 1 2
列结论 正确的是
A. f (x) 的对称中心为 (0,n) B. f (-x )>f (x )
1 1
C. 2x +x =0 D. x +x >0
1 2 1 2
11. 已知正方体 ABCD 中, E 是 A B 的中点,点 F 是线段 A C 上的动点,则下
1 1 1
列结论正确的是
A. 三棱雉 B-C EF 的体积为定值
1
B. 存在点 F ,使得 DF⊥ 平面 BC E
1
C. 不存在点 F ,使得 BC// 平面 AEF
D. 不存在点 F ,使得 AEF⊥ 平面 BC E
1
2
学科网（北京）股份有限公司山西省太原市 2024 年高三年级模拟考试(三)
数学试卷
第 II 卷(非选择题 共 90 分)
三、填空题: 本题共 3 小题, 每小题 5 分, 共 15 分.
1
12. 抛物线 y= x2 的焦点坐标为
4
13. 已知直线 l 过点 A(1,2,0) ,且直线 l 的一个方向向量为 m=(0,-1,1) ,则坐标
原点 O 到 直线 l 的距离为_______
14. 赵爽是我国古代数学家、天文学家, 大约在公元 222 年, 赵爽为《周牌算经》一
书作序时, 介绍了 “勾股圆方图”, 亦称“赵爽弦图” (以直角三角形的斜边为边
得到的正方形). 类比 “赵爽弦图”, 构造如图所示的图形, 它是由三个全等的三角
形与中间的一个小等边三角形拼成的 一个大等边三角形,且 DF=AF ,点 P 在
AB 上, BP=2AP ,点 Q 是 △DEF 内 (含边界)一点,若 ⃗PQ=λ⃗PD+⃗PA ,则 λ 的最
大值 为_____.
四、解答题: 本大题共 5 小题, 共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步
骤.
15. (本小题满分 13 分)
已知等比数列 {a } 的前 n 项和为 S ,a =1 ,且 {S +1} 也是等比数列.
n n 1 n
(1)求 {a } 的通项公式;
n
(2) 若 b =a ⋅log a (n∈N*) ,求数列 {b } 的前 n 项和 T .
n n 2 n+1 n n
16. (本小题满分 15 分)
3
学科网（北京）股份有限公司为预防季节性流感, 某市防疫部门鼓励居民接种流感疫苗. 为了进一步研究此疫苗的
预 防效果, 该防疫部门从市民中随机抽取了 1000 人进行检测, 其中接种疫苗的
700 人中有 570 人未感染流感, 未接种疫苗的 300 人中有 70 人感染流感. 医学统计
研究表明, 流感的检测结 果存在错检现象, 即未感染者其检测结果为阳性或感染者
其检测结果为阴性. 已知未感染者 其检测结果为阳性的概率为 0.01, 感染者其检测
结果为阳性的概率为 0.95 . 将上述频率近似 看成概率.
(1) 根据所给数据,完成以下列联表,并依据 α=0.10 的独立性检验,能否认为接种流
感 疫苗与预防流感有关?
疫苗 流感 合计
感染 未感染
接种
未接种
合计
(2) 已知某人流感检测结果为阳性, 求此人感染流感的概率 (精确到 0.01 ).
n(ad-bc) 2
附: χ2= ;
(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)
α 0.10 0.05 0.01
x 2.706 3.841 6.635
17. (本小题满分 15 分)
如图,四棱柱 ABCD-A B C D 的底面 ABCD 是平行四边形, A D⊥ 底面
1 1 1 1 1
ABCD . AB=A B=2AD,∠DAB=60∘ .
1
(1) 求证: 平面 BDD B ⊥ 平面 ADD A ;
1 1 1 1
(2) 求 AB ,与平面 BB D D 所成角的正弦值;
1 1
(3) 求平面 A A B B 与平面 BB D D 夹角的余弦值.
1 1 1 1
4
学科网（北京）股份有限公司18. (本小题满分 17 分)
x2 y2
已知双曲线 C: - =1(a>0,b>0) 的左、右顶点分别为 A 与 B ,点 D(3,❑√2)
a2 b2
在 C 上, 且直线 AD 与 BD 的斜率之和为 ❑√2 .
(1) 求双曲线 C 的方程;
(2)过点 P(3,0) 的直线与 C 交于 M,N 两点 (均异于点 A,B ),直线 MA 与直
线 x=1 交于点 Q , 求证: B,N,Q 三点共线.
19. (本小题满分 17 分)
x
已知函数 f (x)= +x-lnx-k(k∈R) .
ex
(1) 若 f (x)≥0 恒成立,求实数 k 的取值范围;
(2) 设 x ,x ∈(0,+∞)(x 2 .
1 2 1 2 1 2 1 2
5
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