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2024-2025 学年湖北省"荆荆宜襄·四地七校联盟"高一下期中联考
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设z =2−3i，z =5+4i，则z +z 在复平面内所对应的点位于
1 2 1 2
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
2.方程2x3+3x−6=0的根所在的区间为()．
A. [−1,0] B. [0,1] C. [1,2] D. [3,4]
3.已知 |⃗a|=6 ，
|
⃗
b|=8
，
|
⃗
a−
⃗
b|=10
，则
|
⃗
a+
⃗
b|=
A. 6 B. 8 C. 10 D. 14
3 2√5
4.已知α，β均为第二象限角，sinα= ，cosβ=− ，则tan(α−β)等于
5 5
2 2
A. − B. −2 C. D. 2
11 11
5.已知函数 在区间 上单调递减，则实数 的取值范围为( )
f(x)=ln(−x2+2ax+3) [2,3] a
A. [1,2] B. (1,+∞) C. (−∞,2] D. (1,2]
6.已知偶函数
f(x)
在
[0,+∞)
上单调递增，若
a=f
(9)，
b=f(sin2)
，c=f(log
1
5) ，则
4 3
A. a>b>c B. a>c>b C. b>a>c D. c>a>b
7.设函数
f(x)=cos2
ωx
+
√3
sinωx−
1
(ω>0)
，若函数
f(x)
在区间(
0,
π)上恰有
2
个零点，则实数
ω
2 2 2 2
的取值范围为( )
A. (11 17] B. [11 17) C. (17 23] D. [17 23)
, , , ,
3 3 3 3 3 3 3 3
8.在△ABC中，a，b，c分别是内角A，B，C所对的边，若6bccosA=−2accosB=−3abcosC，则角A
的大小为
π 2π 3π 5π
A. B. C. D.
4 3 4 6
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
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1 19.下列说法正确的是
A. 若z2+z2=0，则z=z=0
B. 复数z=(2+3i)(1−i)的虚部为1
C. 若x2+5=0，则方程在复数集中的解集为{√5i,−√5i}
D. 若复数z满足1≤|z|≤√2，则复数z对应的点所构成的图形的面积为π
10.在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，下列说法正确的是
A. 若a2+b2−c2>0，则△ABC为锐角三角形
B. 若bcos C+ccos B=b，则△ABC为等腰三角形
π
C. 若a=5，b=6，A= ，则符合条件的△ABC有两个
4
D. 若A=30°，b=18，且△ABC有且仅有一个解，则a∈[18,+∞)
11.将函数 ( π)的图象按照以下顺序进行变换： 向左平
f(x)=Asin(ωx+φ)+b, A>0,ω>0,0<|φ|< ①
2
π 1 1
移 个单位长度；②横坐标变为原来的2倍，纵坐标变为原来的 倍；③向下平移 个单位长度，可得到
6 2 2
函数g(x)=sin x的图象．则下列结论正确的是
A. 函数 的解析式为 ( π)
f(x) f(x)=2sin 2x− +1
3
B. 函数 的对称中心为(π kπ )
f(x) + ,0 (k∈Z)
6 2
C. 若 ，则 的取值范围为[ π 3π ]
f(x)≥0 x +kπ, +kπ (k∈Z)
12 4
3 √15
D. 若方程f(x)= 在(0,π)内恰有两个根x ，x (x 0 a≠1)
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2 12π
13.折扇，又称“怀袖雅物”.如图，这是折扇的平面示意图，其中OA=3，OD=1，∠AOB= ，则此
3
扇面(扇环ABCD)的面积为________．
14.在 中，点 是 的中点，点 满足 ⃗ ⃗ ，且 ⃗ ⃗ ，若记向量 在向量 上
△ABC E BC D
AD=2DC BA⋅BD=−3
⃗AE ⃗BD
的投影向量为 ，则 ⃗ 的最小值为________．
⃗n
|n|
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
1 1
已知z =m2+1+ i，z =2m−4+ i，m∈R，i为虚数单位，且z +z 是纯虚数．
1 m 2 3 1 2
(1)求实数m的值．
(2)求z z 的值．
1 2
16.(本小题15分)
已知 ⃗ ， ⃗ ，且 ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ．
|a|=4 |b|=3 (2a+b)⋅(2a−3b)=61
(1)求⃗a与⃗b的夹角θ．
若 ⃗ ⃗ 与(⃗ 1⃗)的夹角为钝角，求实数 的取值范围．
(2)
(λa−2b)
a+ b λ
3
17.(本小题15分)
{ (1) x+1
,x<0
已知函数f(x)=log (2x+1) ，g(x)= 9
2
log (4x+1),x≥0
2
(1)若f(1)=m，f(2)=n，求log 12和log 15(结果用m，n表示)．
2 3
(2)求不等式g(x)<3的解集．
(3)若∀x∈[0,2]，都有g(x)−f(x)−t>0成立，求实数t的取值范围．
18.(本小题17分)
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3 1A−C 5
在锐角△ABC中，a，b，c分别是内角A，B，C所对的边，若2cos2 +cosB= ，且
2 2
√3
S = b2．
▵ABC 4
(1)求角B的大小．
求b2−c2
的取值范围．
(2)
a2
19.(本小题17分)
π
如图，设α∈(0,π)，且α≠ ，当∠xOy=α时，定义平面坐标系为α的斜坐标系．在α的斜坐标系中，
2
⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗
任意一点P的斜坐标这样定义：设e ，e 分别为Ox，Oy正方向同向的单位向量，若向量OP=xe + ye ，
1 2 1 2
π
记向量O ⃗ P=(x,y).在α=
3
的斜坐标系中，
若向量 ⃗ ，求 ．
(1)
OP=(3,2)
|⃗OP|
⃗ ⃗ ⃗ ⃗ 1
(2)已知向量a=(x 1 ,y 1 ) ，b=(x 2 ,y 2 ) ，证明：a⋅b=x 1 x 2 + y 1 y 2 + 2 (x 1 y 2 +x 2 y 1 )．
若向量 ， 的斜坐标分别为 和 ， ，设函数 ⃗ ⃗，
(3) ⃗a ⃗b (sin2x,√3cos2x) (1,−1) x∈R f(x)=a⋅b
， (π π)
g(x)=ex+e−x ℎ(x)=lnx+f x+
8 6
①证明：ℎ(x)有且只有一个零点x ．
0
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4 1比较 ( π )与5的大小，并说明理由． 参考数据： ，
② g sin x ( e=2.71828… ln2=0.69314…)
4 0 2
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5 1参考答案
1.D
2.C
3.C
4.A
5.D
6.B
7.A
8.C
9.BCD
10.BC
11.ACD
12.(1,3)
8π
13.
3
3√5
14.
2
1 1
15.解：(1)z +z =(m2+1+ i)+(2m−4+ i)
1 2 m 3
1 1
=(m2+2m−3)+( + )i，
m 3
∵z +z 为纯虚数，
1 2
1 1
∴m2+2m−3=0且 + ≠0，
m 3
∴m=1；
1 2 1 11 8
(2)z z =(2+i)(−2− i)=2×(−2)−2i− i− i2=− − i.
1 2 3 3 3 3 3
16.解：
(1)∵|
⃗
a|=4,|
⃗
b|=3
， (2⃗a−3⃗b)⋅(2⃗a+⃗b)=61 ；
⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ；
∴4a2−3b2−4a⋅b=64−27−4a⋅b=61
∴⃗a⋅⃗b=−6；
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6 1⃗ ⃗
a⋅b 1
∴cosθ= =− ；
⃗ ⃗ 2
|a||b|
∵θ∈[0,π]；
2π
∴θ= ；
3
因为 ⃗ ⃗ 与(⃗ 1⃗)的夹角为钝角，
(2)
(λa−2b)
a+ b
3
∴(λ ⃗ a−2 ⃗ b)⋅ (⃗ a+ 1⃗ b ) =0 ，即 λ ⃗ a2+( λ −2) ⃗ a⋅ ⃗ b− 2⃗ b2<0 ，
3 3 3
λ 3
∴16λ−6( −2)−6<0，解得λ<− ，
3 7
⃗ ⃗ ⃗ 1⃗ { λ=μ
令λa−2b=μ(a+ b)，则 ，解得λ=−6，
3 μ=−6
3 3
综上所述，λ<− 且λ≠−6，故λ的取值范围为(−∞,−6)∪(−6,− )．
7 7
17.解： ，
(1)f(x)=log (2x+1)
2
， ，
∴m=f(1)=log 3 n=f(2)=log 5
2 2
∴log 12=log 3+log 4=m+2，
2 2 2
log 5 n．
log 15=log 3+log 5=1+ 2 =1+
3 3 3 log 3 m
2
(2) 当 x<0 时， ( 1 ) x+1<3 得 ( 1 ) x+1<( 1 ) − 1 2 ，
9 9 9
1 3 3
∴x+1>− ，∴x>− ，∴− 0，
即t< ℎ(x) ，∴t<0，
min
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8 1综上，t的取值范围为(−∞,0)．
A−C 5
18.解：(1)因为2cos2 +cosB= ，
2 2
5
∴cos(A−C)+1−cos(A+C)= ，
2
3
∴cosAcosC+sin AsinC−cosAcosC+sin AsinC= ，
2
3 3
∴2sin AsinC= ，∴sin AsinC= ，
2 4
√3 1
∵S = b2，而S = acsinB，
△ABC 4 △ABC 2
1 √3
∴ acsinB= b2，
2 4
由正弦定理得：
1 √3
sin AsinCsinB= sin2B.
2 4
π
∵B∈(0, )，sinB≠0，
2
√3 √3
∴sin AsinC= sinB，∴sinB= ，
2 2
π
因为△ABC为锐角三角形，∴B= ．
3
(2)由余弦定理得：b2=a2+c2−2accosB，
b2−c2 a2+c2−2accosB−c2 a2−2accosB a−2ccosB a−c，
∴ = = = =
a2 a2 a2 a a
π
sinA−sin(A+ )
又由正弦定理得：a−c sinA−sinC 3
= =
a sinA sinA
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9 11 √3 1 √3
sin A− cosA tan A−
2 2 2 2 1 √3 ，
= = = −
sin A tan A 2 2tan A
∵△ABC为锐角三角形，
π
{ 00，∴ℎ( )ℎ(1)<0，
2 2
1
∴∃x ∈( ,1)，使得 ℎ(x )=0，故 ℎ(x)在(0,2)上有1个零点．
0 2 0
π
当x∈[2,4)时，lnx≥ln2>0，sin x>0，∴ℎ(x)>0，∴ℎ(x)在[2,4)上没有零点．
4
π
当x∈[4,+∞)时，lnx≥ln4>1，sin x∈[−1,1]，∴ℎ(x)>0，∴ℎ(x)在[4,+∞)上没有零点．
4
综上，ℎ(x)在定义域内有且仅有一个零点x ．
0
π 5
②g(sin x )< .理由如下：
4 0 2
π
由①知ℎ(x )=0得−lnx =sin x ，
0 0 4 0
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11 1π 1 1
∴g(sin x )=g(−lnx )=e−lnx 0+elnx 0= +x 在x ∈( ,1)上单调递减，
4 0 0 x 0 0 2
0
1 5 π 5 π 5
所以 +x ∈(2, )，即g(sin x )∈(2, )，所以g(sin x )< ．
x 0 2 4 0 2 4 0 2
0
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12 1
