文档内容
第七章 复数
（B 能力卷）
班级______ 姓名_______ 考号______
一、单项选择题（本大题共8题，每小题5分，共计40分。每小题列出的四个
选项中只有一项是最符合题目要求的）
1．设复数 满足 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】
由已知可得 ，因此， .
故选：A.
2．已知复数 ，则下列说法正确的是（ ）
A． 的虚部为 B． 的共轭复数为
C． D． 在复平面内对应的点在第二象限
【答案】A
【详解】
由题意知， ，
对于A， 的虚部为 ，故A正确；
对于B， 的共轭复数为 ，故B错误；
对于C， ，故C错误；
对于D， 在复平面内对应的点在第四象限，故D错误.
故选：A
3．已知 （其中 为虚数单位），则 （ ）
A． B． C．2 D．4
【答案】D
【详解】由 ，可得 ，解之得
则
故选：D
4．复数 满足 ，则 （ ）
A． B． C． D． 或
【答案】B
【详解】
∵复数 满足 ，
∴ ，
∴ .
故选：B.
5．下面是关于复数 （i为虚数单位）的命题，其中真命题为（ ）
A． B．复数 在复平面内对应点在直线 上
C． 的共轭复数为 D． 的虚部为
【答案】B
【详解】
∵ ，
所以 ，A错误；
所以复数 在复平面内对应点坐标为 ，在直线 上，B正确；
所以 的共轭复数为 ，C错误；
所以 的虚部为 ，D错误．
故选：B．
6．设复数z满足 ， ，复数z所对应的点位于第一象限，则 （ ）
A． B． C． D．【答案】B
【详解】
设 ，则 ，
由复数z满足 ， ，复数z所对应的点位于第一象限，
则 ，解得 ，
∴ .
故选：B.
7．已知 为实数，且 ( 为虚数单位)，则 （ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【详解】
由题意知 ，解得 ，所以
故选：A
8．已知复数 （ 为虚数单位），若 ，则实数a的值为（
）
A． B．0 C．1 D．2
【答案】D
【详解】
由题意 ， ，
可得 ，整理得 ，所以 ，所以 ，
故选：D．
二、多项选择题（本大题共4题，每小题5分，共计20分。每小题列出的四个
选项中有多项是符合题目要求的，多选或错选不得分）
9．（多选）下列关于复数 的说法一定正确的是（ ）
A．是虚数 B．存在x使得 是纯虚数C．不是实数 D．实部和虚部均为1
E.存在x使得 小于0
【答案】BE
【分析】
利用复数的概念逐一判断即可.
【详解】
由复数 ，
A，当 时， 为实数，故A、C不正确；
B，当 时， ，故B正确；
D，由于 的取值未知，故D错误；
E，取 ，可知E正确.
故选：BE
10．若复数 ，则（ ）
A． B．z的实部与虚部之差为3
C． D．z在复平面内对应的点位于第四象限
【答案】ACD
【详解】
∵ ，
∴z的实部与虚部分别为4， ，
，A正确；
z的实部与虚部之差为5，B错误；
，C正确；
z在复平面内对应的点为 ，位于第四象限，D正确．
故选：ACD．
11．设 是复数，则下列命题中的真命题是（ ）
A．若 ，则
B．若 ，则
C．若 ，则
D．若 ，则
【答案】ABC
【详解】对于A中，由 ，可得 ，所以 ，所以 ，所以A正确；
对于B中，由 ，则 和 互为共轭复数，所以 ，所以B正确；
对于C中，设 ，
由 ，可得 ，即 ，
所以 ，所以 ，所以C正确；
对于D中，若 ，则 ，而 ，此时 ，所以D错误.
故选：ABC.
12．已知复数 ， ，则（ ）
A． B．
C． 对应的点在复平面的虚轴上 D．在复平面内，设 ， 对应的点为 ，
，则
【答案】BD
【详解】
，A错误；
，B正确；
，其在复平面上对应的点为 ，不在虚轴上，C错误；
在复平面内，设 ， 对应的点为 ，则 ，D正确.
三、填空题（每小题5分，共计20分）
13．若复数 满足 ，则 ___________.
【答案】2+i+2
【详解】
由题意， .
故答案为： .
14．已知 ，i为虚数单位，若 为实数，则 的模为________．
【答案】
【详解】
解： ，因为 为实数，所以 ，所以 ，
则 .
故答案为： .
15．若 ，则 取值范围是______
【答案】[3，7]
【详解】
根据复数的几何意义可得 表示 对应的点在以 为圆心，2为半径的圆上，
则 表示 对应的点到 的距离，设为 ，
则 到 距离为 ，
所以 ， ，
所以 取值范围是 .
故答案为： .
16．设 ，记 为不大于 的最大整数， 为不小于 的最小整数．设集合
, ，则 在复平面内对应的点的图形
面积是______
【答案】
【详解】
解：依题意由 ，所以 ，由 ，所以 ，所以
，
，所以
设 ，由 ，所以 ，所以 ，所以复数
再复平面内对应的点为在复平面内到坐标原点的距离大于等于 且小于等于 的圆环部
分，所以圆环的面积
四、解答题（解答题需写出必要的解题过程或文字说明，共70分）
17．已知 ， ， ， 是复平面上的四个点，其中 ， ，
且向量 ， 对应的复数分别为 ， ．
（1）若 ，求 ， ；
（2）若 ， 对应的点在复平面内的第二象限，求 ．
【详解】
解：（1）由题意可知 ，所以 ．
，所以 ．
又 ，
所以 所以
所以 ， ．
（2）由已知可得， ， ，所以 ，
又 ，所以 ，
解得 或 （舍），又 对应的点在第二象限，所以 ，
可得 ， ， ，可得 ．
18．已知复数 ， .
（1）求 ；
（2）若 满足 为纯虚数，求 .
【答案】（1） ．
（2）因为 为纯虚数，∴ ，∴ .
即 ， ．
19．（1）解方程： ；
（2）已知 是方程 的一个根，求实数 、 的值．
【详解】（1） ，
设 ，
，
即 ，
当 时， ；当b=0时，a=0；
即 或
（2） 是方程 的一个根，
即 ，
整理可得 ，
即 ，解得 .
20．（1）已知 ， ， ， .问以上4个复数对应的点是否在
同一个圆上？
（2）设 .
（i）求 ， ；
（ii）求 .
【详解】（1）由题意，复数 ， ， ， ，
根据复数的几何意义，可得复数对应的分别为 ，
设经过三点 的圆的方程为 ，
可得 ，解得 ，
所以圆的方程为 ，即 ，
其中点 不适合圆的方程，即点 不在圆上，
所以四点 不共圆.
（2）由 ，可得 ，
，
则 ，
又由 ，
可得 ，且 是以 为周期的循环，
所以 .
21．（1）计算： ；
（2）若复数z满足 ， ，求复数 的三角形式.
（3）利用复数证明余弦定理.
【详解】
解：（1）因为 ， ，
所以 ，
；（2）由题意知： ，所以 ， ，
∴
（3）如图，已知 是复平面内的任意三角形，角 对应的边分别为 .
证明： .
证明：如图，以 点为坐标原点， 所在直线为 轴，建立复平面内的直角坐标系，
则点 对应的复数分别为 ，
则复数 的模 ，复数 的模 ，幅角为 ，
因为 ， ，
所以 ，
所以
，
所以 ，证毕.
22．已知复数 满足 ， 是关于 的方程
的一个根，求方程的另一个根和 的值
【详解】
解：因为 ，所以 ，所以
，所以
，即 是关于 的方程的一个根，所以 ，即
，解得 ，所以方程 ，设
另一根为 ，则 ，所以 ，即方程的另一个根为 ，所以
