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东莞中学、广州二中、惠州一中、深圳实验、珠海一中、中山纪念中学
2024 届高三第四次六校联考试题标准答案及评分标准
一、单项选择题 二、多项选择题
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
A B C C A B A D ABD AB AD
1．A
解： 展开式的通项公式为 ，
则第 项的系数为： ．故选A．
2．B
解：因为 ， ，
则由等差数列的性质可知 ，
所以 ，公差 ．故选B．
3．C
解：因为 ，且 ，所以 ，即 ，
所以 ，
所以向量 在向量 上的投影向量为 ．故选：
4．C
解：
为钝角三角形．
所以在 中，“ ”是“ 为钝角三角形”的充要条件．
5．A
解：
2 2❑√3
= 16π
易知外接球球心为∆PAC外心，故外接球半径R= π 3
，故外接球表面积为S=4πR2=
．
2sin 3
3
6．B
解：
设使得血氧饱和度达到正常值，给氧时间至少还需要 小时，
由题意可得 ， ，两边同时取自然对数并整理，得
， ，
则 ，则给氧时间至少还需要 小时
7．A
解：
不妨设内切圆与三边切点分别为P，Q，R∴|AP|=|AR|，|BP|=|BQ|，|F Q|=|F R|
2 2
∵点A在双曲线上
∴|AF |-|AF |=2a
1 2
又∵|BF |=2a∴|AB|=|AF |
1 2
∴|BP|=|F R|
2
∴|BQ|=|QF |
2
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学科网（北京）股份有限公司∵点B在双曲线上
∴|BF |-|BF |=2a
2 1
∴|BF |=4a
2
1
∴|QF |= |BF |=2a
2 2 2
|IQ| ❑√3
设内切圆圆心为I，连接IQ、IF ，如图所示∵tan∠IF Q= =
2 2 |QF | 3
2
π π
∴∠QF I= 即∠BF A=
2 6 2 3
π
∴∆ABF 为等边三角形∴|AF |=6a，|AF |=4a，|F F |=2c，∠F AF =
2 1 2 1 2 1 2 3
在∆AF F 由余弦定理得：|F F |2=|AF |2+|AF |2−2|AF |∙|AF |∙cos∠F AF
1 2 1 2 1 2 1 2 1 2
即：4c2=36a2+16a2−24a2=28a2
c √28
∴e= =❑ =❑√7
a 4
8．D
解：∵f (x)=sin2xcosx+cos2xsinx−sin2x=2sinxcos2x+cos2xsinx−2sinxcosx
=sinx(2cos2x+2cos2x−1−2cosx)=sinx(4cos2x−2cosx−1)
令f (x)=0，则sinx=0 或4cos2x−2cosx−1=0
1±√5
即：sinx=0或cosx=
4
由图像可知，函数 共8个零点
另法：因为
由 ，得 ，或
所以 ，或 ，即 ，或 ，
因为
所以 ，或 共 个零点
9．ABD
解：
对于 ，对于 ，均有唯一确定 ，符合函数定义，故选项A正确
对于 ，对于 ，均有唯一确定 ，符合函数定义，故选项B正确
对于 ，取 ， ，不符合函数定义，故选项C错误
对于 ，对于 ，均有唯一确定 ，符合函数定义，故选项D正确
10．AB
解：设 ，则 ， ，
所以 ， ， ，
对于 ， ，A正确；
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学科网（北京）股份有限公司对于 ， ，所以 ，B正确
对于 ， ，
，
所以 不一定成立，C错误
对于 ， ， ，
而 不一定成立，所以 与 不一定平行，D错误；故选AB．
11．AD
x −b x −b e∙c−b
解：对于A选项，由a = ln 1 =1 得 1 =e，所以x = ，A正确．
1 x −c x −c 1 e−1
1 1
∵二次函数f (x)有两个不等式实根b，c
∴不妨设f (x)=a(x−b)(x−c)
∵f'(x)=a(2x−b−c)
∴f' (x )=a(2x −b−c)
n n
∴在横坐标为x 的点处的切线方程为：y−f (x)=a(2x −b−c)(x−x )令y=0，
n n n
则
a∙x (2x −b−c)−f(x ) ax2−abc x2−bc x −b x2−bc−b(2x −b−c) x2−2bx +b2 (x −b) 2
x =x= n n n = n = n ∵ n+1 = n n = n n = n
n+1 a(2x −b−c) a(2x −b−c) 2x −b−c x −c x2−bc−c(2x −b−c) x2−2cx +c2 (x −c) 2
n n n n+1 n n n n n
x −b x −b
∴ln n+1 =2ln n 即：a =2a
x −c x −c n+1 n
n+1 n
∴{a }为公比是2，首项为1的等比数列．
n
∴a =2n−1 故BC错．
n
1
1−
1 1 n−1 1−2n 2n 2 1
对于 D 选项，由a + =2n−1+( ) ，得S = + =2n−1+2− =2n+1− ，故 D
n a 2 n 1−2 1 2n 2n−1
n 1−
2
正确．
三、填空题：（每小题5分，共15分）
12 13 14
10 70
36 [− , ]
3 3
；
12. 36
解：依题意，甲组的中位数必为5，乙组的中位数必为6
所以甲组另外四个数，可从1,2,3,4和7,8,9,10这两组数各取2个，共有
10 70
13. [− , ]
3 3
解：连接圆心和切点，如图所示：即有∠APC=∠BPF=θ
P
F
C
A D B
E
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学科网（北京）股份有限公司π
AC=1，BF=2 ∠ACP=∠BFP= ∵|PA|sinθ=AC=1 |PB|sinθ=BF=2
2
|PA| 1
∴ = 设P(x,y) ∵2|PA|=|PB| ∴2❑√(x+2) 2+ y2=❑√(x−2) 2+ y2
|PB| 2
30 10 64
∴x2+ y2+ x+4=0 化简得：(x+ ) 2+ y2=
2 3 9
10 8
∴P的轨迹为以圆心（− ，0）， 为半径的圆． ∵P在直线4 y+3x+t=0上
3 3
10 64 |−10+t| 8 10 70
∴直线4 y+3x+t=0与(x+ ) 2+ y2= 有交点 ∴ ≤ ∴− ≤t≤
3 9 5 3 3 3
14． ；
解：设外接圆半径为 ，则 ，
由正弦定理，可知 ，
即 ，由于 是锐角，故 ，
又由题意可知 为三角形 的垂心，即 ，故 ，
所以 ；
设 ，
则 ，
由于 ，不妨假设 ，
由余弦定理知 ，
设 ， ， 为三角形的三条高，由于 ，
故 ，
则得 ，
所以 ，
同理可得 ，
所以 ，
故答案为： ；
四、解答题:本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（13分）
解：（1）设抛物线 的标准方程为
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学科网（北京）股份有限公司则
因为
所以点 在抛物线 上，且 ，解得 …………………3分
所以抛物线 的标准方程为 ． …………………4分
将点 代入椭圆 的标准方程 中
得 ，解得 …………………6分
所以椭圆 的标准方程为 . …………………7分
（2）根据对称性，可设 两点坐标分别为
联立方程组 ，消 得 …………………9分
解得 ，
因为
所以 …………………11分
所以 .…………13分
16．（15分）
（1）证明：如图，取 的中点 ，连接 ，
∵ 为正三角形， ，
∴ ． …………………1分
∵ ,
∵底面 为直角梯形，
又
…………………2分
………………………………4分
又 ………………………………5分
∴
∵
………………………………6分
(2)由（1）易知 ，
如图，以 为坐标原点 所在直线为 轴建立空间直角坐标系，…………………7分
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学科网（北京）股份有限公司则 ， ，
…………………………9分
设平面 的法向量为 ，
得 ，令 ，则 ， ， ……………11分
由 ，
……………12分
……………14分
∴ 所成角的正弦值为 ……………………………15分
（方法不唯一，若考生从几何法入手，依据实际情况酌情给分）
17.（15分）
解：（1）用事件 表示选择甲种无人运输机，用事件 表示选择乙种无人运输机，
用事件 表示“选中的无人运输机操作成功” …………………………………2分
则 …………………………………4分
为所求． …………………………………6分
（2）设方案一和方案二操作成功的次数分别为 ， ，则 ， 的所有可能取值均为0，1，2，
……………………………7分
方案一： ，
，
， ………………………10分
所以 ． ………………………………11分
方案二：
方法一：选择其中一种操作设备后，进行2次独立重复试验，
所以 ， ………………………………13分
方法二：
，
，
，
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学科网（北京）股份有限公司所以 ． ………………………………13分
所以 ，即方案一操作成功的次数的期望值大于方案二操作成功的次数的期望值．
………………………………15分
18．（17分）
（1）证明：设 ，
则 ，所以 在区间 上单调递增， ……………………………………… 2分
所以 ，即 ． ……………………………………………3分
设 ，
则 ……………………………………………4分
由 时， ，即
所以 ……………………………………………5分
设 ，则 ，
当 时， ，所以函数 在区间 上单调递增，
故在区间 上， ，即在区间 上， ，…………………………、6分
所以
所以 在区间 上单调递增
所以 ，即 ……………………………………………7分
所以 得证．
（2）由 在区间 上恒成立，即 在区间 上恒成
立，
设 ，则 在区间 上恒成立，
………………………… 8分
而
令 ，则 ，
由（1）知：在区间 上， ，
即 ，所以在区间 上函数 单调递增，………………………… 10分
①当 时， ，
故在区间 上函数 ，所以函数 在区间 上单调递增，
又 ，故 ，即函数 在区间 上恒成立． ……………………… 13
分
②当 时， ，
………… 15分
故在区间 上函数 存在零点 ，即 ，
又在区间 上函数 单调递增，故在区间 上函数 ，
所以在区间 上函数 单调递减，
由 ，所以在区间 上 ，与题设矛盾．
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学科网（北京）股份有限公司综上， 的取值范围为 ． ………………………… 17
分
（矛盾区间找点用极限说明扣1分）
19.（17分）
解：（1）集合 不具有性质 ，理由如下： ………………………1分
（i）从集合 中任取三个元素 均为奇数时， 为奇数，不满足条件③
（ii）从集合 中任取三个元素 有一个为 ，另外两个为奇数时，不妨设 ，
则有 ，即 ，不满足条件② ………………………4分
综上所述，可得集合 不具有性质
.
（2）证明：由 是偶数，得实数 是整数
当 时，由 ，得 ，即
因为 不是偶数
所以 不合题意 ………………………6分
当 时，由 ，得 ，即 ，或
因为 是偶数， 不是偶数
所以 不合题意 ………………………8分
所以集合
令 ，解得
显然
所以集合 是集合 的“期待子集”得证. ………………………10分
（3）证明：
先证充分性：
当集合 是集合 的“期待子集”时，存在三个互不相同的 ，使得 均属于
不妨设
令 ， ，
则 ，即满足条件①
因为
所以 ，即满足条件② ………………………12分
因为
所以 为偶数，即满足条件③
所以当集合 是集合 的“期待子集”时，集合 具有性质 . …………………13分
再证必要性：
当集合 具有性质 ，则存在 ，同时满足① ；② ；③ 为偶数
令 ， ， ……………………14分
则由条件①得
由条件②得
由条件③得 均为整数
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学科网（北京）股份有限公司因为
所以 ，且 均为整数
所以
因为
所以 均属于
所以当集合 具有性质 时，集合 是集合 的“期待子集” .………………………17分
综上所述，集合 是集合 的“期待子集”的充要条件是集合 具有性质 .
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