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赣州中学 2024-2025 学年高一下学期开学检测
数学试题
一、选择题：（本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的）
1．命题“ ，都有 ”的否定为（ ）
A. ，都有 B. ，使得
C. ，都有 D. ，使得
2．为庆祝中国共产党成立 周年，赣州市举办“红歌大传唱”主题活动，以传承红色革命
精神，某高中学校分别有高一、高二、高三学生 人、 人、 人，现欲采用分层随
机抽样法组建一个 人的高一、高二、高三学生红歌传唱队，则应抽取高一学生（ ）
A. 人 B. 人 C. 人 D． 人
3． rad是第（ ）象限角
A.一 B.二 C.三 D.四
4．在 三个数中，按从小到大排序，正确的是（ ）
A. B. C. D．
5．已知函数 对任意 ，都有 ( 为常数)，当 时，则
，则 （ ）
A. B. C. D.
6．函数 且 的图象如图所示，则必有（ ）
A. B.
C. D.
7．在《航拍中国》江西篇中，摄制组的飞机飞过庐山西海时，一座天然的爱心形状岛屿格
外吸引眼球.下图左边是庐山西海这座岛屿的地图，其形状如一颗爱心．右边是由此抽象出
来的一个“心形”图形，这个图形可看作由两个函数的图象构成，则“心形”在 轴上方的
图象对应的函数解析式可能为（ ）
A. B.C. D.
8．已知函数 ，若 ，且 ，则
的最小值为（ ）
A. B. C. D.
二、多选题：（本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符
合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）
9．把 表示成 的形式，则 值可以是（ ）
A. B. C. D.
10．连续抛掷一枚质地均匀的骰子两次，用数字 表示第一次抛掷骰子的点数，数字 表示
第二次抛掷骰子的点数，用 表示一次试验的结果．记事件 ，事件
，事件 ，[注：余数运算 表示整数 除以
整数 所得余数为 ．则（ ）
A. B. 与 为对立事件
C. 与 相互独立 D. 与 相互独立
11．对于函数 若存在两个常数 使得 则称函数 是“ 函
数”，则下列函数能被称为“ 函数”的是（ ）
A. B. C. D.
三、填空题：（本题共3小题，每小题5分，共15分）
12．已知扇形的半径为 ，圆心角为 ，则扇形的周长为 .
13．已知 ，则 的最小值为 ．
14．设 表示实数 中的最小值，若函数 ，函数
有六个不同的零点，则 的取值范围是 ．
四、解答题：（本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
15．（1）已知角 ，将 改写成 的形式，并指出 是第
几象限角；
（2）用弧度表示终边落在如图所示阴影部分内(不包括边界)的角的集合．16． 月 日是世界读书日，首届全民阅读大会在北京开幕.习近平总书记希望孩子们养成
阅读习惯，快速阅读，健康成长；希望全社会都参与到阅读中来，形成爱读书，读好书，善
读书的浓厚氛围.某研究机构为了解当地中学生的阅读情况，通过随机抽样调查了200位中学
生，对这些中学生每天的阅读时间（单位：分钟）进行统计，将这些学生每天阅读的时间分
成五段： （单位：分钟），得到如图所示的频率分布
直方图.
(1)求频率分布直方图中 的值，并估计这 位学生每
天阅读的平均时间（同组数据用区间的中点值代替）；
(2)现在从 和 两组中用分层抽样的方法抽
取 人，再从这 人中随机抽取 人进行交流，求这 人
每天阅读的时间所在区间不同的概率.
17．将一颗骰子先后抛掷 次，观察向上的点数，事件 ：“两数之和为 ”，事件 ：
“两数之和是 的倍数”，事件 ：“两个数均为偶数”．
（1）写出该试验的基本事件 ，并求事件 发生的概率；
（2）求事件 发生的概率；
（3）事件 与事件 至少有一个发生的概率．18．已知函数 ，其中 是自然对数的底数 ．
(1)当 时，解不等式
(2)已知函数 为偶函数，且函数 在区间 上有零点，
求正实数 的取值范围．
19．函数 .
(1)若 的定义域为 ，求实数 的取值范围；
(2)当 时， 为定义域为 的奇函数，且 时， ，
①求 的解析式
②若关于 的方程 恒有两个不同的实数根，求实数 的取值范围.赣州中学2024-2025学年高一下学期开学检测
数学参考答案
一、 选择题：
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
答案 D D B A B A C D ACD AC AB
二、 填空题：
12．6 13．20 14．
三、解答题：
15．解析：（1）因为 ，
所以角 与 的终边相同，又 ，所以角α是第二象限角．
(2) ； .
16．解析：（1）由频率分布直方图，得 ，即 ，
这200位学生每天阅读的平均时间为 （分钟）.
（2）每天阅读的时间在 和 内的人数比为 ，则分层抽样抽取的6人中，在 内
的有2人，记为 ，在 内的有4人，记为 ，
这6人中随机抽取2人的试验的样本空间为 ，共
15个样本点，
阅读的时间所在区间不同的事件 ，共8个样本点.
这2人每天阅读的时间所在区间不同的概率为 .
17．解析：（1）所有可能的基本事件为：
,
,
, 共 种.
其中“两数之和为 ”的有 共 种，故 .
（2）由（I）得“两数之和是 的倍数”的有
共 种，故概率为 .
（3）由（I） “两个数均为偶数”的有 种，“两数之和为 ”的有 共 种，
重复的有 三种，故事件 与事件 至少有一个发生的有 种，概率为 .
18．解析：（1）当 时，由函数单调性的性质可得函数 是减函数，
所以不等式 < 等价于 ，
即原不等式解集为 ；
（2）由于 是偶函数，则 ，
代入化简得 ，解得 ，又 ，
令 ，则由 ， ，
可得 ，
令 ，可得 ，则 在区间 上有零点，
可转化为 在 上有解，易知函数 在 上单调递增，
所以 ，则 ，解得 ，故 的取值范围为 ．
19．解析：（1）因 的定义域为R，故 恒成立，即 恒成立，
设 ，则 ， 在 上单调递增，
则 ，即 ，故 ，即 .
（2）①因 ，则当 时， ；
若 ，则 ， ，
又因为 为定义域为R的奇函数，所以当 时， ，
故 ；
②方程 等价于 ，
根据 解析式可知，当 时， ，
当 时， ，当 时， ，
即 ， ，故方程即为 ，
由于 在 上是单调递增函数，
故方程 等价于 ，即： ，
当 时，函数 在 单调递减，在 上单调递增，
而 ，故要使得 有两个不同的实数解，须使 ，即 ；当 时，
同理可得 .综上可得， .
