数学三模答案_2024年5月_01按日期_18号_2024届辽宁省沈阳市高三下学期教学质量监测（三）_辽宁省沈阳市2024届高三下学期教学质量监测（三）数学试题

2024 年沈阳市高中三年级教学质量监测（三） 数学 参考答案及评分标准 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分． 1.B 2.D 3.D 4.B 5.A 6.C 7.C 8.A 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分． 9. ACD 10.BCD 11.AC 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 37 12. 2 5 13. 14. 109 3 【部分题目解析】 8．因为 f(2x1)是偶函数，则 f(x)的图象关于直线x1轴对称，又因为 f(x2)是奇 函数，则 f(x)的图象关于点(2,0)中心对称，故函数 f(x)具有周期性，且周期为4，则 f(7) f(1)f(1)1．  1 11． f(x) 3sinnxcosnxcos2nxsin(2nx ) ， 6 2    7  1 对于A，当x[0, ]时，2nx [ , ]，sin(2nx )[ ,1]， f(x) 0； 2 6 6 6 6 2 min 1 对于B，函数 f(x)图象的对称中心的纵坐标应为 ； 2  n  2n  对于C，2nx [  ,  ]， 6 2 6 3 6  n  2k   2 2 6 2 14 解 ,kZ 得到n[ ,2][ ,5]，所以n1,2,5； 2n  3 3 3    2k  3 6 2  1  1 对于 D，方程等价于sin(2nx ) ，函数g(x)sin(2nx )的图象和直线y  的 6 4 6 4 交点如图 第 1 页 共 10 页 {#{QQABaYqAggAIAJBAARhCUwGCCEMQkBACCAoGBAAEoAAAyRFABAA=}#}函数g(x)的最小正周期T | AA |，设| AA |dT ，| A A | DT ，（其中D1d ） 1 3 1 2 2 3 1  1 1 2 因为0 sin ，所以由下图可知 d   D ，26d 36D  4 4 6 3 2 3   因为在区间(x ,x  )内的解的个数m[5,9]，所以区间长度 应满足： 0 0 6 6      (2D)T  (4d)T ，由T  ，则(2D)  (4d) ， 6 n n 6 n 化简得126Dn246d ，所以n[16,26]．正整数的n值有11个． 12．由(4ab)b4abb2 4，得|2ab|24a2 4abb2 422 420， 所以|2ab|2 5． 1 1 13．由题意S S S  |BD|| AD|sin120 |CD|| AD|sin60， △ABC △ABD △ACD 2 2 4 又|CD|2|BD|，| AD|1，S  3，故BD ，在△ABD中，由余弦定理解， △ABC 3 37 37 得| AB|2|BD|2 | AD|2 2|BD|| AD|cos120 ，则c ． 9 3 14．由题意得， p log y,q 2y，log y2y 2024， 2 2 设 f(x)log x2x，显然 f(x)是增函数，从而y 是方程 f(x)2024的唯一解， 2 由210 1024,211 2048，且当x[10,11]时，log x(3,4) 2 第 2 页 共 10 页 {#{QQABaYqAggAIAJBAARhCUwGCCEMQkBACCAoGBAAEoAAAyRFABAA=}#}可得 f(10)log 10210(1027,1028)， f(11)log 11211(2051,2052)， 2 2 从而y 应略小于11，需要判断 y 与10.9的大小关系，先估算210.9的近似值。 考虑函数y 2x图象上两个点A(10,1024),B(11,2048)之间的线段， 然后进行“割线放缩”， 1 210.9  y  y 2048 1024 F G 10 1 2048 100020481001948 10 f(10.9)log 10.9210.9 419482024， 2 所以n109 注1：此题借鉴了人教B版课本中《导数的几何意义》一节所提到的“以直代曲”的方法。 注2：线段AB位于y 2x图象上方的直观结论，可以用导数的知识来证明。 四、解答题：本题共6小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分13分） （1）设等差数列{a }的公差为d （d 0）， n 因为a ,a ,a 构成等比数列，所以a2 a a ，即(14d)2 (1d)(113d)， 2 5 14 5 2 14 解得d 2，或d 0（舍）， …………………………3分 则a 1(n1)22n1． …………………………5分 n （2）b2 n，且b 0，所以b  n ， …………………………7分 n n n 1 1 则   n1 n ， …………………………10分 b b n n1 n n1 S ( 21)( 3 2)( n1 n) n11 n1． n …………………………13分 16．（本小题满分15分） 设事件A为该题的正确答案是2个选项，则A为该题的正确答案是3个选项，即P(A) p， P(A)1 p． 第 3 页 共 10 页 {#{QQABaYqAggAIAJBAARhCUwGCCEMQkBACCAoGBAAEoAAAyRFABAA=}#}1 1 1 （1）由 p  得，P(A) ，P(A) ， 2 2 2 设事件B为甲同学既选出正确选项也选出错误选项，则 C1C1 2 P(B| A) 2 2  ， …………………………2分 C2 3 4 C1C1 1 P(B| A) 3 1  ， …………………………4分 C2 2 4 2 1 1 1 7 则P(B) P(B| A)P(A)P(B| A)P(A)     ； 3 2 2 2 12 …………………………6分 1 1 2 （2）由 p  得，P(A) ，P(A) ， 3 3 3 设X 表示乙同学答题得分，则X 的取值范围为{0,2,3}， C1 C1 1 1 1 2 1 则P(X 0) 2 P(A) 1 P(A)     ， C1 C1 2 3 4 3 3 4 4 C1 3 2 1 P(X 2) 3 P(A)   ， C1 4 3 2 4 C1 1 1 1 P(X 3) 2 P(A)   ， …………………………9分 C1 2 3 6 4 1 1 1 3 所以E(X)0 2 3  ． …………………………10分 3 2 6 2 设Y 表示乙同学答题得分，则Y 的取值范围为{0,4,6}， C2 C1C1 C1C1 5 1 1 2 11 则P(Y 0) 2 2 2 P(A) 3 1 P(A)     ， C2 C2 6 3 2 3 18 4 4 C2 1 2 1 P(Y 4) 3 P(A)   ， C2 2 3 3 4 C2 1 1 1 P(Y 6) 2 P(A)   ， …………………………13分 C2 6 3 18 4 11 1 1 5 所以E(Y)0 4 6  ． …………………………14分 18 3 18 3 即E(X) E(Y)，乙同学得分数学期望小于丙同学得分数学期望． …………………………15分 第 4 页 共 10 页 {#{QQABaYqAggAIAJBAARhCUwGCCEMQkBACCAoGBAAEoAAAyRFABAA=}#}17．（本小题满分15分） 1 （1）当a 0时， f(x)ex1， f(x)ex1，则 f(0)e1  ， e …………………………3分 1 1 1 而 f(0)e1  ，所以切线方程为y f(0) f(0)(x0)，即y  x ． e e e …………………………6分 （2）当x 0时，由 f(x)g(x)，得ex1alnx，即aex1lnx恒成立， …………………………7分 1 设h(x)ex1lnx（x0），则h(x)ex1 ， x 1 1 设(x)ex1 （x0），则(x)ex1 0，故h(x)在(0,)上单调递增， x x2 …………………………9分 又因为h(1)0，所以当x(0,1)时，h(x)0，h(x)单调递减， 当x(1,)时，h(x)0，h(x)单调递增， …………………………12分 则h(x)h(1)e0 01， …………………………13分 则a1，即a的取值范围为(,1] …………………………15分 18．（本小题满分17分） （1）（方法一） 过D作DH CD 于点H ，由平面ACD 平面CDD ，平面ACD 平面CDD CD ， 1 1 1 1 1 1 DH 平面CDD ，DH CD ，所以DH 平面ACD ， …………………………2分 1 1 1 又AC 平面ACD ，所以DH  AC，在四棱柱ABCDABC D 中，AA 平面 1 1 1 1 1 1 第 5 页 共 10 页 {#{QQABaYqAggAIAJBAARhCUwGCCEMQkBACCAoGBAAEoAAAyRFABAA=}#}ABCD，即DD 平面ABCD，而AC 平面ABCD，所以DD  AC， 1 1 又DH DD  D，所以AC 平面CDD ，又CD平面CDD ，所以AC CD． 1 1 1 …………………………4分 在底面四边形ABCD中，ADBC，BA AD，所以ABC 90，又AB BC，则 BAC BCA45，即CAD45，且AC  2AB，又有AC CD，则在等腰 直角ACD中，AD 2AC，即AD2AB，又AB AD6，则AB2， …………………………6分 AD4，S 4，又DD  AA  AB2， ACD 1 1 1 1 8 则V  S DD  42 ． …………………………8分 D 1 ACD 3 ACD 1 3 3 （方法二）    由四棱柱ABCDABC D 中，AA 平面ABCD，BA AD，故以AB,AD,AA 分别 1 1 1 1 1 1 为x轴、y轴、z轴正方向建立空间直角坐标系，设ABt（0t 6），则BC  AA t， 1 AD6t，则A(0,0,0)，B(t,0,0)，C(t,t,0)，D(0,6t,0)，A(0,0,t)，D (0,6t,t)， 1 1   在平面ACD 中，AC (t,t,0)，AD (0,6t,t)，设平面ACD 的一个法向量为 1 1 1     n AC txty 0 n (x,y,z)，则1  ， 1  n AD(6t)ytz 0 1  令y t，则z 6t ，xt ，即n (t,t,6t)， …………………………2分 1   在平面CDD 中，CD(t,62t,0)，DD (0,0,t)， 1 1 第 6 页 共 10 页 {#{QQABaYqAggAIAJBAARhCUwGCCEMQkBACCAoGBAAEoAAAyRFABAA=}#}    n CDtx(62t)y 0 设平面CDD 的一个法向量为n (x,y,z)，则2  ， 1 2  n DD tz 0 2 1  令x62t，则y t，z 0，即n (62t,t,0)， …………………………4分 2   因为平面ACD 平面CDD ，所以n n t(62t)t2 6t3t2 0， 1 1 1 2 又因为0t 6，所以t 2， …………………………6分 即AB BC  AA 2，AD4，又BA AD，DD 平面ABCD， 1 1 1 1 8 所以V  S DD  42 ． …………………………8分 D 1 ACD 3 ACD 1 3 3    （2）由四棱柱ABCDABC D 中，AA 平面ABCD，BA AD，故以AB,AD,AA 1 1 1 1 1 1 分别为x轴、y轴、z轴正方向建立空间直角坐标系， 设ABt（0t 6），则BC  AA t，AD 6t，则A(0,0,0)，B(t,0,0)，C(t,t,0)， 1 t  D(0,6t,0)，A(0,0,t)，D (0,6t,t)，E(t, ,0)，BD(t,6t,0)， 1 1 2 …………………………10分   t 在平面ABE中，AB (t,0,t)，AE (t, ,0)， 1 1 2   nAB txtz 0   1 设平面ABE的一个法向量为n(x,y,z)，则  t ， 1 nAE tx y 0  2  令x1，则y 2，z 1，即n(1,2,1)， …………………………12分   |t2(6t)| |t12| 3 则sin60|cosBD,n|   ， 6 t2 (6t)2 6 2t2 12t36 2 …………………………13分 第 7 页 共 10 页 {#{QQABaYqAggAIAJBAARhCUwGCCEMQkBACCAoGBAAEoAAAyRFABAA=}#}即 2|t12|3 2t2 12t36 ，整理得4t2 15t90，………………………15分 3 解得t 3，或t  ，由t 1，则t 3． …………………………17分 4 19．（本小题满分17分） （1）设A(x ,y ),B(x ,y )，设直线l: y kx4， 1 1 2 2 y kx4 与抛物线C:x2 2py联立， ，x2 2pkx8p0， x2 2py x2 x2 x x 8p，y y  1  2 16， 1 2 1 2 2p 2p OAOB，则x x  y y 0，168p0，解得： p2， …………………3分 1 2 1 2 即x x 8p 16 1 2 1 1 S 2S  |OM ||x x |2 |OF ||x | △AOB △AOF 2 1 2 2 1 32 3 x 2 x 3 x  2 332 8 6 1 2 1 x 1 32 当且仅当x2  时等号成立，故S 2S 最大值为8 6 1 3 △AOB △AOF ………………………………6分 （2）设E(x ,y )，则 3 3 x2 x2 1  3 y  y 4 4 x x k  1 3   1 3 AE x x x x 4 1 3 1 3 x x l ：y y  1 3 (xx ) AE 3 4 3 x2 4y  与抛物线联立得 x x y y  1 3 xx    3 4 3 把(1,4)代入，整理得：x x 16 x x ①， 1 3 1 3 又x x 16②， 1 2 将②代入①得x x 16(x x )160.③ ………………………………9分 2 3 2 3 第 8 页 共 10 页 {#{QQABaYqAggAIAJBAARhCUwGCCEMQkBACCAoGBAAEoAAAyRFABAA=}#}设直线BE: y k xm，与抛物线联立 2 x2 4y  整理得：x2 4k x4m0 y k xm 2  2 x x 4m，x x 4k ， ………………………………10分 2 3 2 3 2 代入③得4m64k 160,m16k 4 2 2 故，y k x16k 4，恒过定点(16,4). ………………………………12分 2 2 （3）（此问作答过程中，若没有运用祖暅原理数学思想解答，则不得分） （方法一） 图1：几何体 图2：几何体 作底面半径为4、高为4的圆柱，并将内部切割去掉之后，上下翻转得到几何体．现 做一平面，使其平行于和的底面，且被两几何体分别截得如图中阴影所示截面． 在图1的几何体中，设B(x ,y )，即AB x ，AC  y ，AD4 y ，且x2 4y ， 0 0 0 0 0 0 0 则图2的几何体中，有EJ 4 y ，由抛物线方程得r2 4(4 y )164y 16x2， 0 1 0 0 0 则图2中截面圆环面积S π(42 r2)πx2，而图1中截面圆面积S  πx2，由祖暅原理 2 1 0 1 0 1 1 可得，和的体积相等，均为圆柱体积的一半，即V  πR2h π42432π．  2 2 ………………………………17分 （方法二） 第 9 页 共 10 页 {#{QQABaYqAggAIAJBAARhCUwGCCEMQkBACCAoGBAAEoAAAyRFABAA=}#}作长方体 AB =4,C B =4π,CC =4，设曲线x2 4y(0x4)上一点为P，过P作 1 1 1 1 1 2 PQ垂直y轴交y轴于Q。则S x2， Q 在棱B B 上取一点P，过点P做平行与底面的平面PPQQ ， 1 2 1 1 1 2 1 2 x2 x2 设P(x ,y )，PB 0 ，PP  则S x2， 0 0 1 4 1 2 4 P 1 P 2 Q 1 Q 2 S  S x2， Q PPQQ 1 2 1 2 1 由祖搄原理可得V = ×4×4π×4=32π ………………………………17分 Ω 2 第 10 页 共 10 页 {#{QQABaYqAggAIAJBAARhCUwGCCEMQkBACCAoGBAAEoAAAyRFABAA=}#}