2007年上海高考数学试卷（文）（自主命题）（解析卷）_数学高考真题试卷_旧1990-2007·高考数学真题_1990-2007·高考数学真题·PDF_上海

绝密★启用前 2007年普通高等学校招生全国统一考试（上海卷） 数学试卷(文史类) （满分150分，考试时间120分钟） 考生注意 1.本场考试时间120分钟，试卷共4页，满分150分，答题纸共2页. 2.作答前，在答题纸正面填写姓名、准考证号，反面填写姓名，将核对后的条形码贴在答 题纸指定位置. 3.所有作答务必填涂或书写在答题纸上与试卷题号对应的区域，不得错位.在试卷上作答 一律不得分. 4.用2B铅笔作答选择题，用黑色字迹钢笔、水笔或圆珠笔作答非选择题. 一．填空题（本大题满分44分）本大题共有11题，只要求直接填写结果， 每个空格填对得4分，否则一律得零分． 1 1．方程3x1  的解是 ． 9 1 2．函数 f(x)  的反函数 f 1(x)  ． x1 3．直线4x y10的倾斜角 ．  π  4．函数ysecxcos x  的最小正周期T  ．  2  x2 y2 5．以双曲线  1的中心为顶点，且以该双曲线的右焦点为焦点 4 5 的抛物线方程是 ．         6．若向量a，b的夹角为60， a  b 1，则a ab  ．  C B 1 1 7．如图，在直三棱柱 ABC  A BC 中， ACB 90， A 1 1 1 1 AA  2，AC  BC 1，则异面直线 A B与 AC所成角 1 1 C B 的大小是 （结果用反三角函数值表示）． A 第1页 | 共16页8．某工程由A，B，C，D四道工序组成，完成它们需用时间依次为2，5，x，4天．四道工 序的先后顺序及相互关系是：A，B可以同时开工；A完成后，C可以开工；B，C 完成后，D可以开工．若该工程总时数为9天，则完成工序C需要的天数x最大是 ． 9．在五个数字1，2，3，4，5中，若随机取出三个数字，则剩下两个数字都是奇数的概率是 （结果用数值表示）． 10．对于非零实数a，b，以下四个命题都成立： 1 ① a  0； ② (ab)2  a2 2abb2； a ③ 若|a||b|，则a  b； ④ 若a2  ab，则a b． 那么，对于非零复数a，b，仍然成立的命题的所有序号是 ． 11．如图，A，B是直线l上的两点，且AB  2．两个半径 相等的动圆分别与l相切于A，B点，C是这两个圆的公 C 共点，则圆弧AC，CB与线段AB围成图形面积S 的 l A B 取值范围是 ． 二．选择题（本大题满分16分）本大题共有4 题，每题都给出代号为A，B，C，D 的四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，必须把正确结论的代号写在题后 的圆括号内，选对得4分，不选、选错或者选出的代号超过一个（不论是否都 写在圆括号内），一律得零分． 12．已知a，bR，且2ai, b3i（i是虚数单位）是一个实系数一元二次方程 的两个根，那么a，b的值分别是（ ） Ａ．a3，b2 Ｂ．a3，b2 Ｃ．a3，b2 Ｄ．a3，b2 13．圆x2  y2 2x10关于直线2x y30对称的圆的方程是（ ） 1 1 Ａ．(x3)2 (y2)2  Ｂ．(x3)2 (y2)2  2 2 第2页 | 共16页Ｃ．(x3)2 (y2)2  2 Ｄ．(x3)2 (y2)2  2  1 ，1≤n≤1000，    n2   14．数列 a 中，a  则数列 a 的极限值（ ） n n n2 n  ，n≥1001，  n2 2n Ａ．等于0 Ｂ．等于1 Ｃ．等于0或1 Ｄ．不存在 15．设 f(x)是定义在正整数集上的函数，且 f(x)满足：“当 f(k)≥k2成立时， 总可推出 f(k1)≥(k 1)2成立”． 那么，下列命题总成立的是（ ） Ａ．若 f(1)1成立，则 f(10)100成立 Ｂ．若 f(2) 4成立，则 f(1)≥1成立 Ｃ．若 f(3)≥9成立，则当k≥1时，均有 f(k)≥k2成立 Ｄ．若 f(4)≥25成立，则当k≥4时，均有 f(k)≥k2成立 三．解答题（本大题满分90分）本大题共有6题，解答下列各题必须写出必要的步骤． 16．（本题满分12分） 如图,在正四棱锥P ABCD中，PA 2，直线PA与平面ABCD所成的角为60， P 求正四棱锥PABCD的体积V ． D C A B 第3页 | 共16页17．（本题满分14分） π 在△ABC中，a，b，c分别是三个内角A，B，C的对边．若a  2, C  ， 4 B 2 5 cos  ，求△ABC的面积S ． 2 5 18．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分． 近年来，太阳能技术运用的步伐日益加快．2002年全球太阳电池的年生产量达到 670兆瓦，年生产量的增长率为34%． 以后四年中，年生产量的增长率逐年递增2% （如，2003年的年生产量的增长率为36%）． （1）求2006年全球太阳电池的年生产量（结果精确到0.1兆瓦）； （2）目前太阳电池产业存在的主要问题是市场安装量远小于生产量，2006年的实际 安装量为1420兆瓦．假设以后若干年内太阳电池的年生产量的增长率保持在42%，到2010 年，要使年安装量与年生产量基本持平（即年安装量不少于年生产量的95%），这四年中 太阳电池的年安装量的平均增长率至少应达到多少（结果精确到0.1%）？ 19．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分7分，第2小题满分7分． a 已知函数 f(x)  x2  (x  0，常数aR)． x （1）当a  2时，解不等式 f(x) f(x1)  2x1； （2）讨论函数 f(x)的奇偶性，并说明理由． 第4页 | 共16页20．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分6分， 第3小题满分9分． 如果有穷数列a，a，a， ，a （m为正整数）满足条件a a ，a a ，…， 1 2 3  m 1 m 2 m1 a  a ， m 1 即a a （i1，2， ，m），我们称其为“对称数列”． i mi1  例如，数列1，2，5，2，1与数列8，4，2，2，4，8都是“对称数列”．   （1）设 b 是7项的“对称数列”，其中b，b，b，b 是等差数列，且b 2，b 11． n 1 2 3 4 1 4   依次写出 b 的每一项； n   （2）设 c 是49项的“对称数列”，其中c ，c ， ，c 是首项为1， n 25 26  49   公比为2的等比数列，求 c 各项的和S ； n   （3）设 d 是100项的“对称数列”，其中d ，d ， ，d 是首项为2， n 51 52  100   公差为3的等差数列．求 d 前n项的和S (n1，2， ，100)． n n  第5页 | 共16页21．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分5分， 第3小题满分9分． x2 y2 y2 x2 我们把由半椭圆  1 (x≥0)与半椭圆  1 (x≤0)合成的曲线 a2 b2 b2 c2 称作“果圆”，其中a2 b2 c2，a 0，b c 0． 如图，设点F ，F ，F 是相应椭圆的焦点，A ，A 和B ，B 是“果圆” 0 1 2 1 2 1 2 y 与x，y轴的交点，M 是线段A A 的中点． B 1 2 2 . （1） 若△F FF 是边长为1的等边三角形， 0 1 2 F. . 2 求该“果圆”的方程； O. M x A F A 1 0 2 y2 x2 F （2）设P是“果圆”的半椭圆  1 1 b2 c2 B 1 (x≤0)上任意一点．求证：当 PM 取得 最小值时，P在点B，B 或A 处； 1 2 1 （2） 若P是“果圆”上任意一点，求 PM 取得最小值时点P的横坐标． 第6页 | 共16页绝密★启用前 2007年普通高等学校招生全国统一考试（上海卷） 数学试卷(文史类) （满分150分，考试时间120分钟） 考生注意 1.本场考试时间120分钟，试卷共4页，满分150分，答题纸共2页. 2.作答前，在答题纸正面填写姓名、准考证号，反面填写姓名，将核对后的条形码贴在答 题纸指定位置. 3.所有作答务必填涂或书写在答题纸上与试卷题号对应的区域，不得错位.在试卷上作答 一律不得分. 4.用2B铅笔作答选择题，用黑色字迹钢笔、水笔或圆珠笔作答非选择题. 一．填空题（本大题满分44分）本大题共有11题，只要求直接填写结果， 每个空格填对得4分，否则一律得零分． 1 1．方程3x1  的解是 ． 9 【答案】x  1 1 【解析】3x1  32  x12 x1 9 1 2．函数 f(x)  的反函数 f 1(x)  ． x1 x1 【答案】 （x0） x 1 y1 x1 【解析】由y   x (y 0) f 1x （x0） x1 y x 3．直线4x y10的倾斜角 ． 【答案】πarctan4  【解析】tan4,( ,) πarctan4. 2  π  4．函数ysecxcos x  的最小正周期T  ．  2  【答案】  π  1 【解析】ysecx  cos x   (sinx)tanxT .  2  cosx x2 y2 5．以双曲线  1的中心为顶点，且以该双曲线的右焦点为焦点 4 5 的抛物线方程是 ． 第7页 | 共16页【答案】y2 12x x2 y2 【解析】双曲线  1的中心为O（0,0），该双曲线的右焦点为F（3,0）， 4 5 则抛物线的顶点为（0,0），焦点为（3,0），所以p=6，所以抛物线方程是)y2 12x。         6．若向量a，b的夹角为60， a  b 1，则a ab  ．  1 【答案】 2     2   2   1 1 【解析】a ab a ab a  a  b cos601  。  2 2 C 7．如图，在直三棱柱 ABC  A BC 中， ACB 90， 1 B 1 1 1 1 A AA  2，AC  BC 1，则异面直线 A B与 AC所成角 1 1 1 的大小是 （结果用反三角函数值表示）． C B 6 A 【答案】arccos 6 【解析】 AC AC,异面直线 A B与 AC所成角为BAC ，易求 AB 6 ，  1 1 1 1 1 1 AC 1 6 6 cosBAC  1 1   BAC arccos 。 1 1 AB 6 6 1 1 6 1 8．某工程由A，B，C，D四道工序组成，完成它们需用时间依次为2，5，x，4天．四道工 序的先后顺序及相互关系是：A，B可以同时开工；A完成后，C可以开工；B，C 完成后，D可以开工．若该工程总时数为9天，则完成工序C需要的天数x最大是 ． 【答案】3 【解析】因为A完成后，C才可以开工，C完成后，D才可以开工，完成A、C、D 需用时间依次为2，x，4天，且A，B可以同时开工，该工程总时数为9天， 2x 49x 3。 max max 9．在五个数字1，2，3，4，5中，若随机取出三个数字，则剩下两个数字都是奇数的概率是 （结果用数值表示）． 【答案】0.3 第8页 | 共16页【解析】剩下两个数字都是奇数，取出的三个数为两偶一奇， C2C1 3 所以剩下两个数字都是奇数的概率是P 2 3  0.3。 C3 10 5 10．对于非零实数a，b，以下四个命题都成立： 1 ① a  0； ② (ab)2  a2 2abb2； a ③ 若|a||b|，则a  b； ④ 若a2  ab，则a b． 那么，对于非零复数a，b，仍然成立的命题的所有序号是 ． 【答案】②④ 1 1 【解析】 对于①：解方程a 0得 a i，所以非零复数 a   i 使得a 0， a a ①不成立；②显然成立；对于③：在复数集C中，|1|=|i|，则 a  b a  b ， 所以③不成立；④显然成立。则对于任意非零复数a,b，上述命题仍然成立的 所有序号是②④ 11．如图，A，B是直线l上的两点，且AB  2．两个半径 相等的动圆分别与l相切于A，B点，C是这两个圆的公 C 共点，则圆弧AC，CB与线段AB围成图形面积S 的 l A B 取值范围是 ．  π  【答案】  0，2   2  【解析】如图，当  O 1 与  O 2 外切于点C时，S 最大， O1 C O2 此时，两圆半径为1，S 等于矩形ABO O 的面积 2 1 l 减去两扇形面积， A B 1  S 212( 12)2 ， max 4 2 随着圆半径的变化，C可以向直线l靠近，  当C到直线l的距离d 0时,S 0,S(0,2 ]。 2 二．选择题（本大题满分16分）本大题共有4 题，每题都给出代号为A，B，C，D 的四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，必须把正确结论的代号写在题后 的圆括号内，选对得4分，不选、选错或者选出的代号超过一个（不论是否都 写在圆括号内），一律得零分． 12．已知a，bR，且2ai, b3i（i是虚数单位）是一个实系数一元二次方程 第9页 | 共16页的两个根，那么a，b的值分别是（ ） Ａ．a3，b2 Ｂ．a3，b2 Ｃ．a3，b2 Ｄ．a3，b2 【答案】A 【解析】 因为2 a i，bi（ i 是虚数单位）是实系数一元二次方程的两个根， 所以2 a i与bi互为共轭复数，则 a=－3，b=2。选A。 13．圆x2  y2 2x10关于直线2x y30对称的圆的方程是（ ） 1 1 Ａ．(x3)2 (y2)2  Ｂ．(x3)2 (y2)2  2 2 Ｃ．(x3)2 (y2)2  2 Ｄ．(x3)2 (y2)2  2 【答案】C 【解析】圆x2  y2 2x10(x1)2  y2 2，圆心（1，0），半径 2 ，关于直线 2x y30对称的圆半径不变，排除A、B，两圆圆心连线段的中点在直线 2x y30上，C中圆(x3)2 (y2)2  2的圆心为（－3，2），验证适合，故选 C。  1 ，1≤n≤1000，    n2   14．数列 a 中，a  则数列 a 的极限值（ ） n n n2 n  ，n≥1001，  n2 2n Ａ．等于0 Ｂ．等于1 Ｃ．等于0或1 Ｄ．不存在 【答案】B n2 1 【解析】lima lim lim 1，选B。 n n nn2 2n n 2 1 n 15．设 f(x)是定义在正整数集上的函数，且 f(x)满足：“当 f(k)≥k2成立时， 总可推出 f(k1)≥(k 1)2成立”． 那么，下列命题总成立的是（ ） Ａ．若 f(1)1成立，则 f(10)100成立 Ｂ．若 f(2) 4成立，则 f(1)≥1成立 第10页 | 共16页Ｃ．若 f(3)≥9成立，则当k≥1时，均有 f(k)≥k2成立 Ｄ．若 f(4)≥25成立，则当k≥4时，均有 f(k)≥k2成立 【答案】D 【解析】 对A，因为“原命题成立，否命题不一定成立”，所以若 f(1)1成立，则不一定 f(10)100成立；对B，因为“原命题成立，则逆否命题一定成立”，所以只能得出：若 f(2) 4成立，则 f(1)1成立，不能得出：．若 f(2) 4成立，则 f(1)≥1成立；对C ，当k=1或2时，不一定有 f k k2成立；对D， f 42516,对于任意的k  4  ，均有 f k k2成立。故选D。 三．解答题（本大题满分90分）本大题共有6题，解答下列各题必须写出必要的步骤． 16．（本题满分12分） 如图,在正四棱锥P ABCD中，PA 2，直线PA与平面ABCD所成的角为60， P 求正四棱锥PABCD的体积V ． D C 【解析】作PO 平面ABCD，垂足为O．连接AO， O是正方形ABCD的中心，PAO是直线PA与平面 A B P ABCD所成的角． PAO＝60，PA 2． PO 3． D C AO 1，AB  2， O 1 1 2 3  V  3 PO  S ABCD  3  32 3 ． A B 17．（本题满分14分） π 在△ABC中，a，b，c分别是三个内角A，B，C的对边．若a  2, C  ， 4 B 2 5 cos  ，求△ABC的面积S ． 2 5 第11页 | 共16页3 4 【解析】由题意，得cosB ， B为锐角，sinB  ， 5 5  3π  7 2 sin Asin(πBC) sin B  ，  4  10 10 1 1 10 4 8 由正弦定理得 c  ，  S  ac sinB 2   ．  7 2 2 7 5 7 18．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分． 近年来，太阳能技术运用的步伐日益加快．2002年全球太阳电池的年生产量达到 670兆瓦，年生产量的增长率为34%． 以后四年中，年生产量的增长率逐年递增2% （如，2003年的年生产量的增长率为36%）． （1）求2006年全球太阳电池的年生产量（结果精确到0.1兆瓦）； （2）目前太阳电池产业存在的主要问题是市场安装量远小于生产量，2006年的实际 安装量为1420兆瓦．假设以后若干年内太阳电池的年生产量的增长率保持在42%，到2010 年，要使年安装量与年生产量基本持平（即年安装量不少于年生产量的95%），这四年中 太阳电池的年安装量的平均增长率至少应达到多少（结果精确到0.1%）？ 【解析】（1） 由已知得2003，2004，2005，2006年太阳电池的年生产量的增长率依次为 36%，38%，40%，42%． 则2006年全球太阳电池的年生产量为 6701.361.381.401.422499.8(兆瓦)． 1420(1x)4 （2）设太阳电池的年安装量的平均增长率为x，则 ≥95%． 2499.8(142%)4 解得x≥0.615． 因此，这四年中太阳电池的年安装量的平均增长率至少应达到61.5%． 19．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分7分，第2小题满分7分． a 已知函数 f(x)  x2  (x  0，常数aR)． x （1）当a  2时，解不等式 f(x) f(x1)  2x1； （2）讨论函数 f(x)的奇偶性，并说明理由． 2 2 2 2 【解析】（1）x2  (x1)2   2x1，  0， x x1 x x1 x(x1)0． 原不等式的解为0 x 1． 第12页 | 共16页（2）当a 0时， f(x)  x2，对任意x(，0) (0，)，  f(x) (x)2  x2  f(x)，  f(x)为偶函数． a 当a  0时， f(x)x2  (a0，x0)， x 取x  1，得 f(1) f(1)20， f(1) f(1)2a0，  f(1)f(1)， f(1) f(1)，  函数 f(x)既不是奇函数，也不是偶函数． 20．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分6分， 第3小题满分9分． 如果有穷数列a，a，a， ，a （m为正整数）满足条件a a ，a a ，…， 1 2 3  m 1 m 2 m1 a  a ， m 1 即a a （i1，2， ，m），我们称其为“对称数列”． i mi1  例如，数列1，2，5，2，1与数列8，4，2，2，4，8都是“对称数列”．   （1）设 b 是7项的“对称数列”，其中b，b，b，b 是等差数列，且b 2，b 11． n 1 2 3 4 1 4   依次写出 b 的每一项； n   （2）设 c 是49项的“对称数列”，其中c ，c ， ，c 是首项为1， n 25 26  49   公比为2的等比数列，求 c 各项的和S ； n   （3）设 d 是100项的“对称数列”，其中d ，d ， ，d 是首项为2， n 51 52  100   公差为3的等差数列．求 d 前n项的和S (n1，2， ，100)． n n    【解析】（1）设数列 b 的公差为d ，则b b 3d  23d 11，解得 d 3， n 4 1    数列 b 为2，5，8，11，8，5，2． n 第13页 | 共16页（2）S c c  c  2(c c  c )c 1 2  49 25 26  49 25      2 1222  224 1  2 225 1 1 226 3 67108861．  （3）d 2，d 23(501)149． 51 100 由题意得 d，d ， ，d 是首项为149，公差为3的等差数列． 1 2  50 n(n1) 3 301 当n≤50时，S  d d  d 149n (3)   n2  n． n 1 2  n 2 2 2   当51≤n≤100时，S  d d  d  S  d d  d n 1 2  n 50 51 52  n (n50)(n51) 3 299 37752 (n50) 3  n2  n7500  2 2 2  3 301  n2  n， 1≤n≤50，   2 2 综上所述，S  n 3 299  n2  n7500，51≤n≤100．  2 2 21．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分5分， 第3小题满分9分． x2 y2 y2 x2 我们把由半椭圆  1 (x≥0)与半椭圆  1 (x≤0)合成的曲线 a2 b2 b2 c2 称作“果圆”，其中a2 b2 c2，a 0，b c 0． 如图，设点F ，F ，F 是相应椭圆的焦点，A ，A 和B ，B 是“果圆” 0 1 2 1 2 1 2 y 与x，y轴的交点，M 是线段A A 的中点． B 1 2 2 . （3） 若△F FF 是边长为1的等边三角形， 0 1 2 F. . 2 求该“果圆”的方程； O. M x A F A 1 0 2 y2 x2 F （2）设P是“果圆”的半椭圆  1 1 b2 c2 B 1 (x≤0)上任意一点．求证：当 PM 取得 最小值时，P在点B，B 或A 处； 1 2 1 第14页 | 共16页（4） 若P是“果圆”上任意一点，求 PM 取得最小值时点P的横坐标．     【解析】（1）  F (c，0)， F 0， b2 c2 ， F 0，b2 c2 ， 0 1 2 3 7  F F   b2 c2 c2 b1， FF 2 b2 c2 1，于是c2  ，a2 b2 c2  ， 0 2 1 2 4 4 4 4 所求“果圆”方程为 x2  y2 1 (x≥0)，y2  x2 1 (x≤0)． 7 3 （2）设P(x，y)，则 2  ac  b2  (ac)2 | PM |2x   y2 1 x2 (ac)x b2，c≤x≤0，  2   c2  4 b2 1 0， |PM |2的最小值只能在x 0或x  c处取到．  c2 即当 PM 取得最小值时，P在点B，B 或A 处． 1 2 1 x2 y2 （3）  |A 1 M ||MA 2 | ，且B 1 和B 2 同时位于“果圆”的半椭圆 a2  b2 1 (x≥0)和半 y2 x2 椭圆  1 (x≤0)上，所以，由（2）知，只需研究P位于“果圆”的半椭圆 b2 c2 x2 y2  1(x≥0)上的情形即可． a2 b2  ac 2 c2  a2(ac) 2 (ac)2 a2(ac)2 | PM |2x   y2   x  b2   ．  2  a2  2c2  4 4c2 a2(ac) a2(ac) 当x ≤a，即a≤2c时，|PM |2的最小值在x  时取到， 2c2 2c2 a2(ac) 此时P的横坐标是 ． 2c2 a2(ac) 当x   a，即a  2c时，由于|PM |2在x  a时是递减的，|PM |2的最小值 2c2 在x  a时取到，此时P的横坐标是a． a2(ac) 综上所述，若a≤2c，当|PM |取得最小值时，点P的横坐标是 ； 2c2 若a  2c，当|PM |取得最小值时，点P的横坐标是a或c． 第15页 | 共16页第16页 | 共16页