文档内容
2025~2026 学年度第一学期高二 12 月质量检测
数学（A 卷）
考生注意：
1.本试卷分选择题和非选择题两部分．满分150分，考试时间120分钟．
2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚．
3.考生作答时，请将答案答在答题卡上．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对
应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题
区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效．
4.本卷命题范围：人教A版选择性必修第一册．
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的．
1. 椭圆 的焦距为（ ）
A. B. C. D.
的
2. 抛物线 焦点到其准线的距离为（ ）
A. B. C. 3 D. 6
3. 若直线 和 互相垂直，则a的值是（ ）
A. 0 B. 2 C. 0或 D. 0或2
4. 已知方程 表示双曲线，则m的取值范围为（ ）
.
A B.
C. D.5. 已知 ， ，直线 相交于点P，且直线 与直线 的斜率之积为 ，则点P
的轨迹方程为（ ）
A. B.
C. D.
6. 已知平面 的一个法向量 ， 是平面 内一点， 是平面 外一点，则点
P到平面 的距离是（ ）
A. B. C. D.
7. 已知抛物线 ，点 ，过点 的直线l与C交于A，B两点，且 ，则l
的斜率为（ ）
A. B. C. D.
8. 已知圆 ，点 ，点B为直线 上的动点，过点B作圆C的切
线，切点为P，则 的最小值为（ ）
A. B. C. D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题
目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 已知椭圆 和椭圆 ，则（ ）
A. 两椭圆有相同的焦点
B. 两椭圆的离心率相等
C. 两椭圆有相同的顶点
D. 两椭圆有相同的对称轴和对称中心10. 已知点P在圆 上，点Q在圆 上，则（ ）
A. 两圆相交 B. 圆 与x轴相切
C. 的取值范围为 D. 面积的最大值为6
11. 已知点 ， 分别是双曲线 的左、右焦点， ，点P，Q分别是C左、
右支上一点，过点P作C的一条渐近线的垂线，垂足为M，则下列说法正确的是（ ）
A. C的离心率为
B. C的焦点到其渐近线的距离为1
C. 若 ，则 的面积为2
D. 若P，M都位于第二象限，且 ，P、M三点共线，则
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 已知椭圆 的左、右焦点分别为 ， ，点P为C上一点，则 ______．
13. 设 为抛物线 上任意一点，则 的最小值为______．
14. 已知正方体 的棱长为2，点P是线段AB上的动点（不含端点），则当三棱锥
的外接球的表面积最小时，AP的长为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 求满足下列条件的双曲线的标准方程．
（1）焦点在x轴上，经过点 ， ；
（2）与双曲线 有相同的渐近线，且过点 ．16. 已知抛物线 的焦点 在直线 上．
（1）求 的方程；
的
（2） 为坐标原点，过点 作直线交 于 ， 两点，求 面积 最小值．
17. 已知图1是由矩形ABCD 和以CD为直径的半圆拼接而成， ， ，将半圆面沿CD折起，
使得半圆面 平面ABCD，点P为半圆弧 （不包括端点）上一动点，如图2．
（1）证明：平面 平面BCP；
的
（2）若 ，求平面 ACP与平面BCP 夹角的大小．
18. 已知过点 的直线l与圆 相交于A，B两点．（1）求直线l的斜率的取值范围；
（2）若A是线段BP的中点，求直线l的方程；
（3）证明： 为定值．
19. 已知椭圆 的上顶点和两个焦点都在圆 上．
（1）求C的方程；
（2）若过C的右焦点F与圆E相切的直线与C交于A，B两点，求 ；
的
（3）若过C 右焦点F作两条直线与C在x轴下方分别交于M、N两点，且直线FM，FN的斜率互为相反
数，记直线MN的斜率为m，求证： ．
参考答案
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的．
1. B 2. C. 3. B. 4. C. 5. D. 6. A. 7. D.
8. A.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题
目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. BD. 10. AB. 11. ABD.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. .
13.
14. .
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. （1）依题意，设双曲线方程为 ，由该双曲线过点 ，得 ，解得 ，所以所求双曲线标准方程为 .
（2）设与双曲线 有相同的渐近线的双曲线方程为 ，
由该双曲线过点 ，得 ，
所以所求双曲线的标准方程为 ，即 .
16. （1）因为抛物线 的焦点 在 轴正半轴上，
对于直线 ，令 ，可得 ，
可知焦点 ，即 ，可得 ，
所以抛物线 的方程为 .
（2）由题意可知：直线 的斜率可能不存在，且不为0，
设直线 的方程为 ， ，
联立方程 ，消去y可得 ，
则 ，可得 ， ，
则 ，
可得 的面积 ，
当且仅当 时，等号成立，
所以 的面积最小值为8.
17. （1）证明
由题意可知： ，平面 平面ABCD，平面 平面 ， 平面
，
则 平面 ，且 平面 ，可得 ，
又因为 ， ， 平面 ，
可得 平面 ，且 平面 ，
所以平面 平面BCP.（2）取 的中点分别为 ，在半圆弧 上取点 ，使得 ，
可知 ，且 平面 ，则 平面 ，
以 为坐标原点， 分别为 轴，建立空间直角坐标系，
若 ，则 ，
可得 ，
可知平面BCP的一个法向量为 ，
因为 ，
设平面ACP的法向量为 ，则 ，
令 ，则 ，可得 ，
设平面 ACP与平面BCP的夹角为 ，
则 ，可得 ，
所以平面 ACP与平面BCP的夹角的大小为 .
18.
（1）
设直线l的方程为 ，当直线l与圆相交于A，B两点时，
得 有两组不同的解，消去 得 ，
化简得 ，可知 ，化简得 ，解得 ，
所以直线l的斜率的取值范围是 .
（2）设 ，已知 ，当A是线段BP的中点时，可得 ，
化简得 ，
由（1）可知 为方程 的两个解，
则 ，
当 时， ，
化简得 ，解得 ，
所以直线l的方程 或 .
（3）证明 设 ，已知 ，
则 ，
则 ，
由（2）可知 ，
则 ，
所以 为定值．
19. （1）对于圆 ，
令 ，可得 ，解得 或 ，可知椭圆 的上顶点为 ；
令 ，可得 ，解得 ，可知椭圆 的焦点为 ；
则 ， ，则 ，
所以椭圆C的标准方程为 .
（2）由题意可知： ，圆 的圆心为 ，直线 与椭圆C必相交，则 ，可得直线 的斜率 ，
则直线 的方程为 ，
设 ，
联立方程 ，消去y可得 ，解得 或 ，
所以 .
（3）由题意可知：直线 的斜率存在且不为0，
设直线 ，则直线 ，
联立方程 ，消去x可得 ，解得 ，
即 ，同理可得 ，
则 ， ，
可得 ，
因为 ，则 ，
所以 .
