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2025~2026 学年度第一学期南昌中学三经路校区 10 月份考试
高二数学
命题人:揭芬芳 审题人:杨平涛
一、单项选择题:本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一
项符合题目要求.
1. 直线 和直线 ，则“ ”是“ ”的（ ）
A. 必要不充分条件 B. 充分不必要条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】
【分析】由题意先求出 的充要条件，然后根据充分不必要条件的定义判断即可.
【详解】由题设 ，
解得 或
故 ， .
所以“ ”是“ ”的充分不必要条件.
故选：B.
2. 已知平面内有两点 和 ，且该平面内的点 满足 ，若点 的轨迹关于直线
对称，则 （ ）
A. 0 B. 2 C. 5 D. 7
【答案】B
【解析】
【分析】设点 的坐标为 ，根据已知求出轨迹为圆，依题意圆心在直线上即可得解.
【详解】设点 的坐标为 ，因为 ，
所以 ，即 ，
第 1页/共 15页整理得点 的轨迹方程为 ，此方程表示一个圆．
因为点 的轨迹关于直线 对称，
所以圆心 在此直线上，代入得 ．
故选：B
3. 直线 与圆 的位置关系是（ ）
A. 相离 B. 相切
C. 相交且直线过圆心 D. 相交但直线不过圆心
【答案】C
【解析】
【分析】先计算圆心到直线 距离，通过比较圆心到直线的距离 和圆半径 的大小关系，若距离等于半
径则相切，小于半径则相交，大于则相离，同时，若圆心坐标满足直线方程，则直线过圆心.
【详解】圆 的圆心为 ，
圆心 到直线的距离为： ，
所以直线 过圆心，
所以直线与圆相交且过圆心．
故选：C.
4. 已知两条平行直线 与 间的距离为 4，则 C 的值为（ ）
A. B. C. D. 或
【答案】B
【解析】
【分析】利用平行直线间的距离公式建立方程，通过解绝对值方程并结合条件 确定正确选项.
【详解】根据两平行直线的距离公式可得 ，解得 或 ，又因为 ，所
以 ．
故选：B
第 2页/共 15页5. 已知圆 的圆心为 ，且经过点 ，过点 作圆 的两条切线 PA，PB，切点分别为 A，
B，则直线 AB 的方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由题意求得其中一个切点的坐标，并求出 的斜率即可求解.
【详解】由题意，圆 的半径为 圆 的标准方程为 ．
当斜率不存在时，过点 的直线为 ，与圆 相切于点 ．
由圆的切线的性质可知， ，
直线 AB 的方程为 ，即 ．
故选：A.
6. 若圆 ，圆 的两交点分别为 A，B，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】方法一：求得相交弦方程，由圆 的圆心为 ，半径为 2 即可求解；方法二：联立两圆的
方程把 两点坐标求出来即可.
【详解】方法一 将两圆的方程作差，可得 ，即直线 AB 的方程为 ，圆 的圆心为 ，
半径为 2，
则 到直线 的距离为 ，故 ．
第 3页/共 15页方法二 联立 解得 或
所以 ．
故选：B.
7. 已知 三边所在直线方程分别为 ，
则 边上的高所在直线的方程是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】在 中， 边上的高必过点 B，联立 、 得出交点 B，设 边上的高所在直线的
斜率为 ，根据互相垂直直线斜率乘积为 解出斜率 ，求出直线所在方程.
【详解】设 边上的高所在直线的斜率为 ，则有 ，
联立 、 方程 ，得交点 ，
中 边上的高过点 ，斜率为 ，所在直线的方程为 ，
即 ．
故选：A.
8. 已知两点 ， ，过点 的直线 l 与线段 AB（含端点）有交点，则直线 l 的斜率的
取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
第 4页/共 15页【分析】求出直线 、 的斜率后即可求直线/的斜率的范围.
【详解】如图所示：
，而 ，
故直线 的取值范围为 .
故选：A.
二、多项选择题:共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合
题目要求.全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分.
9. 若直线 与曲线 有两个不同的公共点，则实数 k 的值可能是（ ）
A. B. C. D.
【答案】ABD
【解析】
【分析】分析可知曲线 C 表示圆 的上半部分，根据图形结合直线与圆的位置关系运算求解.
【详解】由 ，得 ，
可知曲线 C 表示圆 的上半部分．
且直线 过定点 ，
第 5页/共 15页当直线 过点 时， ；
当直线 与圆 相切时， ，解得 或 ．
由图可知，k 的取值范围是 ．
故选：ABD.
10. 圆 和圆 的交点为 A，B，则有（ ）
A. 公共弦 AB 所在直线的方程为
B. 公共弦 AB 所在直线的方程为
C. 公共弦 AB 的长为
D. 若 P 为圆 上一动点，则 P 到直线 AB 的距离的最大值为
【答案】AD
【解析】
【分析】两圆的方程作差可知公共弦 AB 所在直线的方程，由此可判断 AB，利用点到直线距离以及半径及
勾股定理可以计算公共弦长，从而可以判断 C，数形结合找到 P 到直线 AB 的距离最大的情况即可判断 D.
【详解】由两圆的方程作差可知公共弦 AB 所在直线的方程为 ，即 ；故 A 正确，B
错误，
由 ，
易知 ，半径 ，
则点 到直线 距离 ，
故弦长 ；故 C 正确，
当 ，并在如图所示位置时，
第 6页/共 15页P 到直线 AB 的距离最大，为 ；
故选：AD.
11. 已知圆 与直线 ，下列选项正确的是（ ）
A. 直线过定点
B. 直线与圆必相交
C. 圆截 轴所得弦长为
D. 直线被圆截得的最短弦长为
【答案】BCD
【解析】
【分析】由直线过定点判断 A，由定点在圆内判断 B，由弦长的计算判断 CD 即可.
【详解】对于 A，由直线 ，整理可得 ，
令 解得 则直线 过定点 ，所以 A 错误；
对于 B，圆 的圆心为 ，半径 ，由定点 到圆心 的距离为
，得直线与圆必相交（当直线经过圆内一点时，直线与圆必相交；当直线
经过圆上一点时，直线与圆必有公共点，即相交或相切），所以 B 正确；
对于 C，由圆心为 ，得圆心到 轴的距离为 1，所以圆截 轴所得弦长为 ，所以 C 正
确；
对于 D，当定点与圆心的连线垂直于直线 时，截得的弦是最短的，
此时最短弦对应的弦心距为 ，
所以最短弦长为 ，所以 D 正确.
故选：BCD.
第 7页/共 15页三、填空题：共 3 个小题，每小题 5 分，共 15 分.
12. 过点 且在 轴､ 轴上截距相等的直线方程为__________.
【答案】 或
【解析】
【分析】由题意，截距相等包括截距都为 0 和截距相等且不为 0 两种情况，分别用点斜式与截距式求解方
程即得.
【详解】设直线在 轴､ 轴上的截距均为 ，
① 若 ，即直线过原点，设直线方程为 ，代入 ，可得 ，
故直线方程为 ，即 ；
② 若 ，则直线方程为 ，代入 可得 ，
解得 ，故直线方程为 .
综上所述：所求直线方程为 或 .
故答案为： 或 .
13. 已知点 在圆 外，则直线 与圆 O 的位置关系是______．
【答案】相交
【解析】
【分析】由 在圆外, 得到 大于半径, 列出不等式, 再利用点到直线的距离公式表示出圆心 到直线
的距离 , 根据列出的不等式判断 与 的大小即可确定出直线与圆的位置关系.
【详解】 点 在圆 外，
圆心 到直线 的距离: ,
直线 与圆 相交.
故答案为：相交.
14. 已知圆 C 的方程为 ，若直线 上至少存在一点，使得以该点为圆心，1 为半径的
第 8页/共 15页圆与圆 C 相外切，则 k 的取值范围为__________．
【答案】
【解析】
【分析】根据题意，由圆 C 的圆心到直线 的距离不大于两半径之和求解.
【详解】解：因为直线 上至少存在一点，使得以该点为圆心，1 为半径的圆与圆 C 相外切，
所以圆 C 的圆心到直线 的距离不大于两半径之和，
即 ，化简得 ，
解得 ，
故答案为：
四、解答题：共 5 小题，共 77 分.解答应写出文字说明、证明过程或验算步骤.
15. 已知三点 ，记 的外接圆为圆 .
（1）求圆 的方程；
（2）若直线 与圆 交于 两点，求 的面积.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）设圆 一般方程为 ，将 三点代入得到方程组，求出
，即可得到圆 的方程；
（2）先求出圆心 到直线 的距离 ，再利用勾股定理求出弦长 ，即可求出 的面积.
【小问 1 详解】
设圆 的一般方程为 ，
第 9页/共 15页将 三点代入上式可得， ，
解得 ，
所以圆 的一般方程为
将其化为标准方程为 ；
【小问 2 详解】
由（1）可知，圆心 ，半径 .
则圆心 到直线 的距离为 ，
所以 ，
故 的面积为 .
16. 已知直线 .
（1）求经过点 且与直线 垂直的直线方程；
（2）求经过直线 与 的交点，且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程.
【答案】（1）
（2） 或
【解析】
【分析】（1）根据直线 的斜率可设所求直线方程为 ，代入点 即可求解；
（2）联立直线 与 的方程可得交点坐标，分截距为 0 和截距不为 0 两种情况分别求解.
【小问 1 详解】
由直线 可得斜率为 ，
所以根据垂直关系可设所求直线方程为 ，
则依题意有 ，解得 ，
第 10页/共 15页所以所求直线方程为 ，整理得 ；
【小问 2 详解】
联立 ，解得 ，即直线 与 的交点为 ，
当直线经过原点时，满足题意，设直线方程为 ，
代入 得 ，此时 ；
当直线的截距都不为 0 时，设直线方程为 ，
依题意 ，解得 ，此时直线方程为 ，
综上所述：所求直线方程为 或 .
17. 过原点 O 的直线 l 与圆 交于 A，B 两点，且点 ．
（1）过点 P 作圆 C 的切线 m，求切线 m 的方程；
（2）求弦 的中点 M 的轨迹方程．
【答案】（1） 或
（2）
【解析】
【分析】（1）根据题意，分直线斜率存在与不存在两种情况讨论，结合点到直线距离公式及相切条件求解
即可；
（2）设 ，根据圆的性质，弦的中点与圆心的连线垂直于弦，即 ，再利用向量垂直的
坐标表示即可求解．
【小问 1 详解】
由题知圆心 ，半径 ，
当直线斜率不存在时，直线方程为 ，
此时圆心到直线的距离 ，直线与圆相离，不符合题意；
第 11页/共 15页当直线斜率存在时，设切线方程为 ，即 ，
圆心到直线的距离 ，即 ，
整理得 ，解得 或 ，
所以切线 的方程为 或 ．
【小问 2 详解】
设 ，圆心 ，
因为 M 弦 的中点，所以 ，
又直线 l 过原点 O，所以 ，
，
，
整理得 ，
所以 M 的轨迹方程为 ．
18. 已知圆 ．
（1）若直线 与圆 交于 两点，
（ⅰ）求 的取值范围；
（ⅱ）证明：直线 与直线 （ 为坐标原点）的斜率之和为定值．
（2）若直线 和直线 将圆 的周长四等分，求 的值．
【答案】（1）（ⅰ） ；（ⅱ）证明见解析；
（2） ．
【解析】
【分析】（1）将直线代入圆方程消去 ，由 得 的取值范围；由韦达定理得 ；（2）设直
线 和圆 交于点 ，直线 与圆 交于点 ，则 和 为等腰直角三
第 12页/共 15页角形，利用两平行线距离公式可求 .
【小问 1 详解】
将直线 的方程代入圆的方程，可得 ．
（ⅰ）因为直线与圆有两个交点，所以 ，解得 ，即 的取值范围是
．
（ⅱ）设 ， ，由根与系数的关系得
所以 ．
即直线 的斜率之和为定值．
【小问 2 详解】
设直线 和圆 交于点 ，直线 与圆 交于点 ．
因为直线 和直线 将圆 的周长四等分，所以圆心位于两直线之间，
连接 ，则 ，
所以 为等腰直角三角形，所以圆心 到直线 的距离为 ，
同理可得圆心 到直线 的距离为 ，故直线 和直线 间的距离为 ，所以
，即 ．
第 13页/共 15页19. 已知圆 O： 及点 ．
（1）若线段 OC 的垂直平分线交圆 O 于 A，B 两点，试判断四边形 OACB 的形状，并给出证明；
（2）过点 C 的直线 l 与圆 O 交于 P，Q 两点，当△OPQ 的面积最大时，求直线 l 的方程．
【答案】（1）四边形 为菱形，证明见解析
（2） 或
【解析】
【分析】（1） 的中点为 ， 求出 的垂直平分线，代入圆 ，得 ，
由韦达定理及中点坐标公式得到 的中点为 ，再由 ，推导出四边形 OACB 为菱形．
（2）当直线 的斜率不存在时， ，当直线 的斜率存在时，设 的方程为 ，
，圆心到直线 的距离为 ，由平面几何知识得 ，推导出当且仅当
时， 取得最大值，由此能求出直线 的方程．
【小问 1 详解】
四边形 为菱形，证明如下：
的中点为 ， ，
的垂直平分线为 ，即 ，
代入圆 ，得 ，
设 ，
第 14页/共 15页则 ，
所以 的中点为 ，则四边形 为平行四边形，
又 ，所以四边形 为菱形.
【小问 2 详解】
当直线 的斜率不存在时， 的方程为 ，
则 的坐标为 ，所以 ，
当直线 的斜率存在时，设 的方程为 ， ，
则圆心 到直线 的距离为 ，
由平面几何知识得 ，
所以 ，
当且仅当 ，即 ， 取得最大值为 ，
此时由 ，解得 或 ，
此时直线 的方程为 或 .
