文档内容
华附、省实、广雅、深中 2025 届高三四校联考
数学
命题学校：深圳中学
本试卷分选择题和非选择题两部分，共4页，满分150分，考试用时120分钟.
注意事项：
1.答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的校名、姓名、考号、座位号等相关
信息填写在答题卡指定区域内，并用2B铅笔填涂相关信息.
2.选择题每小题选出答案后，用 2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用
橡皮擦干净后，再选涂其它答案；不能答在试卷上.
3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的
相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.
不按以上要求作答的答案无效.
4.考生必须保持答题卡的整洁.
第Ⅰ卷（选择题）
一.单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的.）
1. 已知集合 ， ，则 （ ）
A. B. C. D.
2. 已知复数z满足 ，则 （ ）
A. B. C. D.
3. 已知根据如下表所示的样本数据，用最小二乘法求得线性回归方程为 则b的值为（ ）
x 6 8 9 10 12
y 6 5 4 3 2
A. -0.6 B. -0.7 C. -0.8 D. -0.9
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学科网（北京）股份有限公司4. 已知向量 满足 ，则 （ ）
A. 2 B. 7 C. D.
5. 对任意的 , （ 且 ）恒成立，则实数 的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
6. 已知 是等比数列 的前n项和，则“ 依次成等差数列”是“ 依次成等差数列”
的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件
7. 已知函数 在 内单调递增，则 在 内
的零点个数最多为（ ）
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
8. 三棱锥 的所有棱长均为2 ，O是 的中心，在三棱锥 内放置一个以直线
为轴的圆柱，则圆柱的体积不能超过（ ）
A. B. C. D.
二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合
题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.）
的
9. 一个袋子中有5个大小相同 球，其中红球3个，白球2个，现从中不放回地随机摸出3个球作为样本，
用随机变量X表示样本中红球的个数，用随机变量 （ ）表示第 次抽到红球的个数，则下列结
论中正确地是（ ）
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学科网（北京）股份有限公司A. X的分布列为
B. X的方差
C.
D.
10. 已知函数 ，则下列结论中正确地是（ ）
A. 当 时，
B. 的图象关于 中心对称
.
C 若 ，则
D. 在 上单调递减
11. 已知直线 （其中 与双曲线 C： 的上支相交于 两点，
为线段 的中点.过点 斜率为 的两条直线分别与双曲线 相交于 两点.则下列结
论中正确地是（ ）
A. 点 的坐标满足.
B. 方程 表示的图形是直线 和直线
C. 直线 与直线 始终保持平行
D. 直线 恒过某个定点
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学科网（北京）股份有限公司第Ⅱ卷（非选择题）
三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.）
12. 已知函数 ，为奇函数，其中 ，则 ______
13. 已知数列{a}满足 其前2025项的和为 ，则 ______.
n
14. 绝大多数比赛都采用“ 局 胜制”的规则，但也有一些项目，比如冰壶运动，其整个比赛通常
是进行偶数局. 现有甲、乙两名同学进行一项趣味项目的比赛，两人约定比赛规则为：共进行
局，谁赢的局数大于 局，谁就获得最终胜利. 已知每局比赛中，甲获胜的概率均为
乙获胜的概率均为 . 记甲赢得整个比赛的概率为 . 若 则
______，若 则当 ______时， 最大.
四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
15. 在 中，角 的对边分别为 ，且
（1）求 ；
（2）已知 为 的中点， 于 于 ，若 求 的面积.
的
16. 已知直三棱柱 中， ， 分别为 和 中点，P为棱 上
的动点，F为棱 上一点，且 四点共面.若
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学科网（北京）股份有限公司（1）证明：平面 平面 ；
（2）设 是否存在实数λ，使得平面 与平面 所成的角的余弦值为 若存在，
求出实数λ，若不存在，请说明理由.
17. 已知抛物线 （ ）的焦点为 ，过点 的动直线 与 相交于 两点，其中点
位于第一象限.当 时，以 为直径的圆与 轴相切于点 .
（1）求抛物线 的方程；
（2）若点 在抛物线 上，且Γ在点 处的切线与直线 平行，求 面积的最小值以及此时直线
的方程.
18. 已知函数 .
（1）若函数 在其定义域上单调递减，求实数a的最小值.
（2）若函数 存在两个零点 ，设
的
（i）求实数m 取值范围；
（ii）证明： .
19. “外观数列”是一类很有趣的数列，该数列由正整数构成，后一项是对它前一项的“外观描述”.例如：
取数列第一项为1，将其外观描述为“1个1”，则第二项即为11；将第二项11描述为“2个1”，则第三
项即为21；将第三项21描述为“1个2，1个1”，则第四项即为1211；将第四项1211描述为“1个1，1
个2，2个1”，则第五项即为111221，将第五项111221描述为“3个1，2个2，1个1”，则第六项即为
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学科网（北京）股份有限公司312211，……，这样每次从左往右将连续相同的数字合并起来描述，给定首项即可依次推出数列后面的每
一项.若数列 是外观数列，将第n项 的各位数字中相同数字连续出现的最大次数记为 .例如：外观
数列 的首项为1时，
（1）若数列 是首项为12的外观数列，请直接写出 以及 .
（2）设集合 ，若外观数列 的首项 .
（i）探究 的最大值，并证明你的结论；
的
（ii）求所有 ，使得存在 有
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