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2 0 1 8 年 江 苏 省 无 锡市中考数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题所给出的四个选
项中，只有一项是正确的，请用2B铅笔把答题卡上相应的选项标号涂黑)
1．（3分）下列等式正确的是（ ）
A．（ ）2=3 B． =﹣3 C． =3 D．（﹣ ）2=﹣3
2．（3分）函数y= 中自变量x的取值范围是（ ）
A．x≠﹣4 B．x≠4C．x≤﹣4 D．x≤4
3．（3分）下列运算正确的是（ ）
A．a2+a3=a5 B．（a2）3=a5 C．a4﹣a3=a D．a4÷a3=a
4．（3分）下面每个图形都是由6个边长相同的正方形拼成的图形，其中能折叠成
正方体的是（ ）
A． B． C． D ．
5．（3分）下列图形中的五边形ABCDE都是正五边形，则这些图形中的轴对称图
形有（ ）
A．1个B．2个 C．3个 D．4个6．（3分）已知点P（a，m），Q（b，n）都在反比例函数y= 的图象上，且a＜0＜b，
则下列结论一定正确的是（ ）
A．m+n＜0 B．m+n＞0 C．m＜nD．m＞n
7．（3分）某商场为了解产品A的销售情况，在上个月的销售记录中，随机抽取了
5天A产品的销售记录，其售价x（元/件）与对应销量y（件）的全部数据如下表：
售价x 90 95 100 105 110
（元/件）
销量y（件） 110 100 80 60 50
则这5天中，A产品平均每件的售价为（ ）
A．100元 B．95元C．98元D．97.5元
8．（3分）如图，矩形ABCD中，G是BC的中点，过A、D、G三点的圆O与边AB、CD
分别交于点E、点F，给出下列说法：（1）AC与BD的交点是圆O的圆心；（2）AF与
DE的交点是圆O的圆心；（3）BC与圆O相切，其中正确说法的个数是（ ）
A．0B．1C．2D．3
9．（3分）如图，已知点E是矩形ABCD的对角线AC上的一动点，正方形EFGH的
顶点G、H都在边AD上，若AB=3，BC=4，则tan∠AFE的值（ ）
A．等于 B．等于
C．等于 D．随点E位置的变化而变化
10．（3分）如图是一个沿3×3正方形方格纸的对角线AB剪下的图形，一质点P
由A点出发，沿格点线每次向右或向上运动1个单位长度，则点P由A点运动到B点的不同路径共有（ ）
A．4条B．5条 C．6条 D．7条
二、填空题（本大题共8小题，每小题2分，共16分。不需写出解答过程，只需把
答案直接填写在答题卡上相应的位置）
11．（2分）﹣2的相反数的值等于 ．
12．（2分）今年“五一”节日期间，我市四个旅游景区共接待游客约303000多人
次，这个数据用科学记数法可记为 ．
13．（2分）方程 = 的解是 ．
14．（2分）方程组 的解是 ．
15．（2分）命题“四边相等的四边形是菱形”的逆命题是 ．
16．（2分）如图，点A、B、C都在⊙O上，OC⊥OB，点A在劣弧 上，且OA=AB，则
∠ABC= ．
17．（2分）已知△ABC中，AB=10，AC=2 ，∠B=30°，则△ABC的面积等于 ．
18．（2分）如图，已知∠XOY=60°，点A在边OX上，OA=2．过点A作AC⊥OY于点
C，以AC为一边在∠XOY内作等边三角形ABC，点P是△ABC围成的区域（包括各
边）内的一点，过点P作PD∥OY交OX于点D，作PE∥OX交OY于点E．设OD=a，
OE=b，则a+2b的取值范围是 ．三、解答题（本大题共10小题，共84分。请在答题卡指定区域内作答，解答时应
写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（8分）计算：
（1）（﹣2）2×|﹣3|﹣（ ）0
（2）（x+1）2﹣（x2﹣x）
20．（8分）（1）分解因式：3x3﹣27x
（2）解不等式组：
21．（8分）如图，平行四边形ABCD中，E、F分别是边BC、AD的中点，求证：
∠ABF=∠CDE．
22．（6分）某汽车交易市场为了解二手轿车的交易情况，将本市场去年成交的二
手轿车的全部数据，以二手轿车交易前的使用时间为标准分为A、B、C、D、E五类，
并根据这些数据由甲，乙两人分别绘制了下面的两幅统计图（图都不完整）．
请根据以上信息，解答下列问题：
（1）该汽车交易市场去年共交易二手轿车 辆．
（2）把这幅条形统计图补充完整．（画图后请标注相应的数据）（3）在扇形统计图中，D类二手轿车交易辆数所对应扇形的圆心角为 度．
23．（8分）某校组织一项公益知识竞赛，比赛规定：每个班级由2名男生、2名女
生及1名班主任老师组成代表队．但参赛时，每班只能有3名队员上场参赛，班主
任老师必须参加，另外2名队员分别在2名男生和2名女生中各随机抽出1名．
初三（1）班由甲、乙2名男生和丙、丁2名女生及1名班主任组成了代表队，求恰
好抽到由男生甲、女生丙和这位班主任一起上场参赛的概率．（请用“画树状
图”或“列表”或“列举”等方法给出分析过程）
24．（8分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB=17，CD=10，∠A=90°，cosB= ，求AD
的长．
25．（8分）一水果店是A酒店某种水果的唯一供货商，水果店根据该酒店以往每
月的需求情况，本月初专门为他们准备了2600kg的这种水果．已知水果店每售出
1kg该水果可获利润10元，未售出的部分每1kg将亏损6元，以x（单位：kg，
2000≤x≤3000）表示A酒店本月对这种水果的需求量，y（元）表示水果店销售这
批水果所获得的利润．
（1）求y关于x的函数表达式；
（2）问：当A酒店本月对这种水果的需求量如何时，该水果店销售这批水果所获
的利润不少于22000元？
26．（10分）如图，平面直角坐标系中，已知点B的坐标为（6，4）．
（1）请用直尺（不带刻度）和圆规作一条直线AC，它与x轴和y轴的正半轴分别交
于点A和点C，且使∠ABC=90°，△ABC与△AOC的面积相等．（作图不必写作法，
但要保留作图痕迹．）
（2）问：（1）中这样的直线AC是否唯一？若唯一，请说明理由；若不唯一，请在图
中画出所有这样的直线AC，并写出与之对应的函数表达式．27．（10分）如图，矩形ABCD中，AB=m，BC=n，将此矩形绕点B顺时针方向旋转θ
（0°＜θ＜90°）得到矩形A BC D ，点A 在边CD上．
1 1 1 1
（1）若m=2，n=1，求在旋转过程中，点D到点D 所经过路径的长度；
1
（2）将矩形A BC D 继续绕点B顺时针方向旋转得到矩形A BC D ，点D 在BC的
1 1 1 2 2 2 2
延长线上，设边A B与CD交于点E，若 = ﹣1，求 的值．
2
28．（10分）已知：如图，一次函数y=kx﹣1的图象经过点A（3 ，m）（m＞0），与
y轴交于点B．点C在线段AB上，且BC=2AC，过点C作x轴的垂线，垂足为点D．
若AC=CD．
（1）求这个一次函数的表达式；
（2）已知一开口向下、以直线CD为对称轴的抛物线经过点A，它的顶点为P，若过
点P且垂直于AP的直线与x轴的交点为Q（﹣ ，0），求这条抛物线的函数表
达式．2018 年江苏省无锡市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题所给出的四个选
项中，只有一项是正确的，请用2B铅笔把答题卡上相应的选项标号涂黑)
1．（3分）下列等式正确的是（ ）
A．（ ）2=3 B． =﹣3 C． =3 D．（﹣ ）2=﹣3
【分析】根据二次根式的性质把各个二次根式化简，判断即可．
【解答】解：（ ）2=3，A正确；
=3，B错误；
= =3 ，C错误；
（﹣ ）2=3，D错误；
故选：A．
【点评】本题考查的是二次根式的化简，掌握二次根式的性质： =|a|是解题的
关键．
2．（3分）函数y= 中自变量x的取值范围是（ ）
A．x≠﹣4 B．x≠4C．x≤﹣4 D．x≤4
【分析】根据分母不等于0列式计算即可得解．
【解答】解：由题意得，4﹣x≠0，
解得x≠4．
故选：B．
【点评】本题考查了函数自变量的范围，一般从三个方面考虑：（1）当函数表达式
是整式时，自变量可取全体实数；（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不
能为0；（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．3．（3分）下列运算正确的是（ ）
A．a2+a3=a5 B．（a2）3=a5 C．a4﹣a3=a D．a4÷a3=a
【分析】根据合并同类项法则，把同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母和
字母的指数不变；幂的乘方，底数不变指数相乘；同底数幂相除，底数不变指数相
减，对各选项分析判断后利用排除法求解．
【解答】解：A、a2、a3不是同类项不能合并，故A错误；
B、（a2）3=a6）x5•x5=x10，故B错误；
C、a4、a3不是同类项不能合并，故C错误；
D、a4÷a3=a，故D正确．
故选：D．
【点评】本题考查合并同类项、幂的乘方、同底数幂的除法，熟练掌握运算性质和
法则是解题的关键．
4．（3分）下面每个图形都是由6个边长相同的正方形拼成的图形，其中能折叠成
正方体的是（ ）
A． B． C． D ．
【分析】利用正方体及其表面展开图的特点解题．能组成正方体的“一，四，一”
“三，三”“二，二，二”“一，三，二”的基本形态要记牢．
【解答】解：能折叠成正方体的是故选：C．
【点评】本题主要考查展开图折叠成几何体的知识点，熟练正方体的展开图是解
题的关键．
5．（3分）下列图形中的五边形ABCDE都是正五边形，则这些图形中的轴对称图
形有（ ）
A．1个B．2个 C．3个 D．4个
【分析】直接利用轴对称图形的性质画出对称轴得出答案．
【解答】解：如图所示：直线l即为各图形的对称轴．
，
故选：D．
【点评】此题主要考查了轴对称图形，正确把握轴对称图形的定义是解题关键．
6．（3分）已知点P（a，m），Q（b，n）都在反比例函数y= 的图象上，且a＜0＜b，
则下列结论一定正确的是（ ）
A．m+n＜0 B．m+n＞0 C．m＜nD．m＞n
【分析】根据反比例函数的性质，可得答案．
【解答】解：y= 的k=﹣2＜0，图象位于二四象限，
∵a＜0，
∴P（a，m）在第二象限，∴m＞0；
∵b＞0，
∴Q（b，n）在第四象限，
∴n＜0．
∴n＜0＜m，
即m＞n，
故D正确；
故选：D．
【点评】本题考查了反比例函数的性质，利用反比例函数的性质：k＜0时，图象位
于二四象限是解题关键．
7．（3分）某商场为了解产品A的销售情况，在上个月的销售记录中，随机抽取了
5天A产品的销售记录，其售价x（元/件）与对应销量y（件）的全部数据如下表：
售价x 90 95 100 105 110
（元/件）
销量y（件） 110 100 80 60 50
则这5天中，A产品平均每件的售价为（ ）
A．100元 B．95元C．98元D．97.5元
【分析】根据加权平均数列式计算可得．
【 解 答 】 解 ： 由 表 可 知 ， 这 5 天 中 ， A 产 品 平 均 每 件 的 售 价 为
=98（元/件），
故选：C．
【点评】本题主要考查加权平均数，解题的关键是掌握加权平均数的定义及其计
算公式．
8．（3分）如图，矩形ABCD中，G是BC的中点，过A、D、G三点的圆O与边AB、CD
分别交于点E、点F，给出下列说法：（1）AC与BD的交点是圆O的圆心；（2）AF与
DE的交点是圆O的圆心；（3）BC与圆O相切，其中正确说法的个数是（ ）A．0B．1C．2D．3
【分析】连接DG、AG，作GH⊥AD于H，连接OD，如图，先确定AG=DG，则GH垂直
平分AD，则可判断点O在HG上，再根据HG⊥BC可判定BC与圆O相切；接着利
用OG=OG可判断圆心O不是AC与BD的交点；然后根据四边形AEFD为⊙O的内
接矩形可判断AF与DE的交点是圆O的圆心．
【解答】解：连接DG、AG，作GH⊥AD于H，连接OD，如图，
∵G是BC的中点，
∴AG=DG，
∴GH垂直平分AD，
∴点O在HG上，
∵AD∥BC，
∴HG⊥BC，
∴BC与圆O相切；
∵OG=OG，
∴点O不是HG的中点，
∴圆心O不是AC与BD的交点；
而四边形AEFD为⊙O的内接矩形，
∴AF与DE的交点是圆O的圆心；
∴（1）错误，（2）（3）正确．
故选：C．
【点评】本题考查了三角形内切圆与内心：三角形的内心到三角形三边的距离相等；三角形的内心与三角形顶点的连线平分这个内角．也考查了矩形的性质．
9．（3分）如图，已知点E是矩形ABCD的对角线AC上的一动点，正方形EFGH的
顶点G、H都在边AD上，若AB=3，BC=4，则tan∠AFE的值（ ）
A．等于 B．等于
C．等于 D．随点E位置的变化而变化
【分析】根据题意推知EF∥AD，由该平行线的性质推知△AEH∽△ACD，结合该相
似三角形的对应边成比例和锐角三角函数的定义解答．
【解答】解：∵EF∥AD，
∴∠AFE=∠FAG，
∴△AEH∽△ACD，
∴ = = ．
设EH=3x，AH=4x，
∴HG=GF=3x，
∴tan∠AFE=tan∠FAG= = = ．
故选：A．
【点评】考查了正方形的性质，矩形的性质以及解直角三角形，此题将求∠AFE的
正切值转化为求∠FAG的正切值来解答的．
10．（3分）如图是一个沿3×3正方形方格纸的对角线AB剪下的图形，一质点P
由A点出发，沿格点线每次向右或向上运动1个单位长度，则点P由A点运动到
B点的不同路径共有（ ）A．4条B．5条 C．6条 D．7条
【分析】将各格点分别记为1、2、3、4、5、6、7，利用树状图可得所有路径．
【解答】解：如图，将各格点分别记为1、2、3、4、5、6、7，
画树状图如下：
由树状图可知点P由A点运动到B点的不同路径共有5种，
故选：B．
【点评】本题主要考查列表法与树状图，列举法（树形图法）求概率的关键在于列
举出所有可能的结果，列表法是一种，但当一个事件涉及三个或更多元素时，为
不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用树形图．
二、填空题（本大题共8小题，每小题2分，共16分。不需写出解答过程，只需把
答案直接填写在答题卡上相应的位置）
11．（2分）﹣2的相反数的值等于 2 ．
【分析】根据相反数的定义作答．
【解答】解：﹣2的相反数的值等于 2．故答案是：2．
【点评】考查了相反数的概念：只有符号不同的两个数叫做互为相反数．
12．（2分）今年“五一”节日期间，我市四个旅游景区共接待游客约303000多人
次，这个数据用科学记数法可记为 3.03 × 1 0 5 ．
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确
定n的值是易错点，由于303000有6位整数，所以可以确定n=6﹣1=5．
【解答】解：303000=3.03×105，
故答案为：3.03×105．
【点评】此题考查科学记数法表示较大的数的方法，准确确定a与n的值是解题的
关键．
13．（2分）方程 = 的解是 x=﹣ ．
【分析】方程两边都乘以x（x+1）化分式方程为整式方程，解整式方程得出x的值，
再检验即可得出方程的解．
【解答】解：方程两边都乘以x（x+1），得：（x﹣3）（x+1）=x2，
解得：x=﹣ ，
检验：x=﹣ 时，x（x+1）= ≠0，
所以分式方程的解为x=﹣ ，
故答案为：x=﹣ ．
【点评】本题主要考查解分式方程，解题的关键是掌握解分式方程的步骤：①去分
母；②求出整式方程的解；③检验；④得出结论．
14．（2分）方程组 的解是 ．
【分析】利用加减消元法求解可得．【解答】解： ，
②﹣①，得：3y=3，
解得：y=1，
将y=1代入①，得：x﹣1=2，
解得：x=3，
所以方程组的解为 ，
故答案为： ．
【点评】此题主要考查了解二元一次方程组的方法，要熟练掌握，注意代入法和加
减法的应用．
15．（2分）命题“四边相等的四边形是菱形”的逆命题是 菱形的四条边相等 ．
【分析】把一个命题的条件和结论互换就得到它的逆命题．
【解答】解：命题“四边相等的四边形是菱形”的逆命题是菱形的四条边相等，
故答案为：菱形的四条边相等．
【点评】本题考查的是命题和定理，两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个
命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做
互逆命题．其中一个命题称为另一个命题的逆命题．
16．（2分）如图，点A、B、C都在⊙O上，OC⊥OB，点A在劣弧 上，且OA=AB，则
∠ABC= 15 ° ．
【分析】根据等边三角形的判定和性质，再利用圆周角定理解答即可．
【解答】解：∵OA=OB，OA=AB，
∴OA=OB=AB，
即△OAB是等边三角形，
∴∠AOB=60°，∵OC⊥OB，
∴∠COB=90°，
∴∠COA=90°﹣60°=30°，
∴∠ABC=15°，
故答案为：15°
【点评】本题考查的是圆周角定理，熟知在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周
角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半是解答此题的关键．
17．（2分）已知△ABC中，AB=10，AC=2 ，∠B=30°，则△ABC的面积等于 1 5
或 1 0 ．
【分析】作AD⊥BC交BC（或BC延长线）于点D，分AB、AC位于AD异侧和同侧两
种情况，先在Rt△ABD中求得AD、BD的值，再在Rt△ACD中利用勾股定理求得
CD的长，继而就两种情况分别求出BC的长，根据三角形的面积公式求解可得．
【解答】解：作AD⊥BC交BC（或BC延长线）于点D，
①如图1，当AB、AC位于AD异侧时，
在Rt△ABD中，∵∠B=30°，AB=10，
∴AD=ABsinB=5，BD=ABcosB=5 ，
在Rt△ACD中，∵AC=2 ，
∴CD= = = ，
则BC=BD+CD=6 ，
∴S = •BC•AD= ×6 ×5=15 ；
△ABC
②如图2，当AB、AC在AD的同侧时，由①知，BD=5 ，CD= ，
则BC=BD﹣CD=4 ，
∴S = •BC•AD= ×4 ×5=10 ．
△ABC
综上，△ABC的面积是15 或10 ，
故答案为15 或10 ．
【点评】本题主要考查解直角三角形，解题的关键是熟练掌握三角函数的运用、分
类讨论思想的运算及勾股定理．
18．（2分）如图，已知∠XOY=60°，点A在边OX上，OA=2．过点A作AC⊥OY于点
C，以AC为一边在∠XOY内作等边三角形ABC，点P是△ABC围成的区域（包括各
边）内的一点，过点P作PD∥OY交OX于点D，作PE∥OX交OY于点E．设OD=a，
OE=b，则a+2b的取值范围是 2 ≤ a + 2b ≤ 5 ．
【分析】作辅助线，构建30度的直角三角形，先证明四边形EODP是平行四边形，
得EP=OD=a，在Rt△HEP中，∠EPH=30°，可得EH的长，计算a+2b=2OH，确认OH
最大和最小值的位置，可得结论．
【解答】解：过P作PH⊥OY交于点H，
∵PD∥OY，PE∥OX，
∴四边形EODP是平行四边形，∠HEP=∠XOY=60°，
∴EP=OD=a，
Rt△HEP中，∠EPH=30°，∴EH= EP= a，
∴a+2b=2（ a+b）=2（EH+EO）=2OH，
当P在AC边上时，H与C重合，此时OH的最小值=OC= OA=1，即a+2b的最小值
是2；
当P在点B时，OH的最大值是：1+ = ，即（a+2b）的最大值是5，
∴2≤a+2b≤5．
【点评】本题考查了等边三角形的性质、直角三角形30度角的性质、平行四边形
的判定和性质，有难度，掌握确认a+2b的最值就是确认OH最值的范围．
三、解答题（本大题共10小题，共84分。请在答题卡指定区域内作答，解答时应
写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（8分）计算：
（1）（﹣2）2×|﹣3|﹣（ ）0
（2）（x+1）2﹣（x2﹣x）
【分析】（1）本题涉及零指数幂、乘方、绝对值3个考点．在计算时，需要针对每个
考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果．
（2）根据完全平方公式和去括号法则计算，再合并同类项即可求解．
【解答】解：（1）（﹣2）2×|﹣3|﹣（ ）0
=4×3﹣1
=12﹣1
=11；
（2）（x+1）2﹣（x2﹣x）=x2+2x+1﹣x2+x
=3x+1．
【点评】本题主要考查了实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题型．
解决此类题目的关键是熟练掌握零指数幂、乘方、绝对值、完全平方公式、去括号
法则、合并同类项等考点的运算．
20．（8分）（1）分解因式：3x3﹣27x
（2）解不等式组：
【分析】（1）先提取公因式3x，再利用平方差公式分解可得；
（2）分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集．
【解答】解：（1）原式=3x（x2﹣9）
=3x（x+3）（x﹣3）；
（2）解不等式①，得：x＞﹣2，
解不等式②，得：x≤2，
则不等式组的解集为﹣2＜x≤3．
【点评】本题考查的是因式分解和解一元一次不等式组，熟知“同大取大；同小取
小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
21．（8分）如图，平行四边形ABCD中，E、F分别是边BC、AD的中点，求证：
∠ABF=∠CDE．
【分析】根据平行四边形的性质以及全等三角形的性质即可求出答案．
【解答】解：在 ▱ABCD中，
AD=BC，∠A=∠C，
∵E、F分别是边BC、AD的中点，
∴AF=CE，在△ABF与△CDE中，
∴△ABF≌△CDE（SAS）
∴∠ABF=∠CDE
【点评】本题考查平行四边形的性质，解题的关键是熟练运用平行四边形的性质
以及全等三角形，本题属于中等题型
22．（6分）某汽车交易市场为了解二手轿车的交易情况，将本市场去年成交的二
手轿车的全部数据，以二手轿车交易前的使用时间为标准分为A、B、C、D、E五类，
并根据这些数据由甲，乙两人分别绘制了下面的两幅统计图（图都不完整）．
请根据以上信息，解答下列问题：
（1）该汽车交易市场去年共交易二手轿车 3000 辆．
（2）把这幅条形统计图补充完整．（画图后请标注相应的数据）
（3）在扇形统计图中，D类二手轿车交易辆数所对应扇形的圆心角为 5 4 度．
【分析】（1）根据B类别车辆的数量及其所占百分比可得总数量；
（2）用总数量乘以C类别的百分比求得其数量，据此即可补全条形图；
（3）用360°乘以D类车辆占总数量的比例即可得出答案．
【解答】解：（1）该汽车交易市场去年共交易二手轿车1080÷36%=3000辆，
故答案为：3000；
（2）C类别车辆人数为3000×25%=750辆，
补全条形统计图如下：（3）在扇形统计图中，D类二手轿车交易辆数所对应扇形的圆心角为360°×
=54°，
故答案为：54．
【点评】本题主要考查了条形统计图和扇形统计图，解题时注意：条形统计图能清
楚地表示出每个项目的数据，扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．
23．（8分）某校组织一项公益知识竞赛，比赛规定：每个班级由2名男生、2名女
生及1名班主任老师组成代表队．但参赛时，每班只能有3名队员上场参赛，班主
任老师必须参加，另外2名队员分别在2名男生和2名女生中各随机抽出1名．
初三（1）班由甲、乙2名男生和丙、丁2名女生及1名班主任组成了代表队，求恰
好抽到由男生甲、女生丙和这位班主任一起上场参赛的概率．（请用“画树状
图”或“列表”或“列举”等方法给出分析过程）
【分析】列表得出所有等可能的情况数，找出抽到由男生甲、女生丙和这位班主任
一起上场参赛的情况数，即可求出所求的概率．
【解答】设男同学标记为A、B；女学生标记为1、2，可能出现的所有结果列表如下：
甲 乙 丙 丁
甲 / （乙，甲） （丙，甲） （丁，甲）
乙 （甲，乙） / （丙，乙） （丁，乙）
丙 （甲，丙） （乙，丙） / （丁，丙）
丁 （甲，丁） （乙，丁） （丙，丁） /
共有 12 种可能的结果，且每种的可能性相同，其中恰好抽到由男生甲、女生丙和
这位班主任一起上场参赛的结果有2种，所以恰好抽到由男生甲、女生丙和这位班主任一起上场参赛的概率为 = ．
【点评】此题考查了列表法或树状图法求概率．用到的知识点为：概率=所求情况
数与总情况数之比．
24．（8分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB=17，CD=10，∠A=90°，cosB= ，求AD
的长．
【分析】根据圆内接四边形的对角互补得出∠C=90°，∠ABC+∠ADC=180°．作
AE⊥BC 于 E，DF⊥AE 于 F，则 CDFE 是矩形，EF=CD=10．解 Rt△AEB，得出
BE=AB•cos∠ ABE= ， AE= = ， 那 么 AF=AE﹣EF= ． 再 证 明
∠ABC+∠ADF=90°，根据互余角的互余函数相等得出 sin∠ADF=cos∠ABC= ．解
Rt△ADF，即可求出AD= =6．
【解答】解：∵四边形ABCD内接于⊙O，∠A=90°，
∴∠C=180°﹣∠A=90°，∠ABC+∠ADC=180°．
作AE⊥BC于E，DF⊥AE于F，则CDFE是矩形，EF=CD=10．
在Rt△AEB中，∵∠AEB=90°，AB=17，cos∠ABC= ，
∴BE=AB•cos∠ABE= ，
∴AE= = ，
∴AF=AE﹣EF= ﹣10= ．
∵∠ABC+∠ADC=180°，∠CDF=90°，∴∠ABC+∠ADF=90°，
∵cos∠ABC= ，
∴sin∠ADF=cos∠ABC= ．
在Rt△ADF中，∵∠AFD=90°，sin∠ADF= ，
∴AD= = =6．
【点评】本题考查了圆内接四边形的性质，矩形的判定与性质，勾股定理，解直角
三角形，求出AF= 以及sin∠ADF= 是解题的关键．
25．（8分）一水果店是A酒店某种水果的唯一供货商，水果店根据该酒店以往每
月的需求情况，本月初专门为他们准备了2600kg的这种水果．已知水果店每售出
1kg该水果可获利润10元，未售出的部分每1kg将亏损6元，以x（单位：kg，
2000≤x≤3000）表示A酒店本月对这种水果的需求量，y（元）表示水果店销售这
批水果所获得的利润．
（1）求y关于x的函数表达式；
（2）问：当A酒店本月对这种水果的需求量如何时，该水果店销售这批水果所获
的利润不少于22000元？
【分析】（1）列函数解析式时注意在获得的利润里减去未出售的亏损部分；
（2）由（1）y≥22000即可．
【解答】解：（1）由题意：
当2 000≤x≤2 600时，y=10x﹣6（2600﹣x）=16x﹣15600；
当2 600＜x≤3 000时，y=2600×10=26000（2）由题意得：
16x﹣15600≥22000
解得：x≥2350
∴当A酒店本月对这种水果的需求量小于等于3000，不少于2350kg时，该水果
店销售这批水果所获的利润不少于22000元．
【点评】本题考查一次函数和一元一次不等式，求函数关系式和列不等式时，要注
意理解题意．
26．（10分）如图，平面直角坐标系中，已知点B的坐标为（6，4）．
（1）请用直尺（不带刻度）和圆规作一条直线AC，它与x轴和y轴的正半轴分别交
于点A和点C，且使∠ABC=90°，△ABC与△AOC的面积相等．（作图不必写作法，
但要保留作图痕迹．）
（2）问：（1）中这样的直线AC是否唯一？若唯一，请说明理由；若不唯一，请在图
中画出所有这样的直线AC，并写出与之对应的函数表达式．
【分析】（1）①作线段OB的垂直平分线AC，满足条件，②作矩形OA′BC′，直线
A′C′，满足条件；
（2）分两种情形分别求解即可解决问题；
【解答】（1）解：如图△ABC即为所求；（2）解：这样的直线不唯一．
①作线段OB的垂直平分线AC，满足条件，此时直线的解析式为y=﹣ x+ ．
②作矩形OA′BC′，直线A′C′，满足条件，此时直线A′C′的解析式为y=﹣ x+4．
【点评】本题考查作图﹣复杂作图，待定系数法等知识，解题的关键是熟练掌握基
本知识，属于中考常考题型．
27．（10分）如图，矩形ABCD中，AB=m，BC=n，将此矩形绕点B顺时针方向旋转θ
（0°＜θ＜90°）得到矩形A BC D ，点A 在边CD上．
1 1 1 1
（1）若m=2，n=1，求在旋转过程中，点D到点D 所经过路径的长度；
1
（2）将矩形A BC D 继续绕点B顺时针方向旋转得到矩形A BC D ，点D 在BC的
1 1 1 2 2 2 2
延长线上，设边A B与CD交于点E，若 = ﹣1，求 的值．
2
【分析】（1）作A H⊥AB于H，连接BD，BD ，则四边形ADA H是矩形．解直角三角
1 1 1
形，求出∠ABA ，得到旋转角即可解决问题；
1
（2）由△BCE∽△BA D ，推出 = = ，可得CE= 由 = ﹣1推出 =
2 2
，推出AC= • ，推出BH=AC= = • ，可得m2﹣n2=6• ，可得1
﹣ =6• ，由此解方程即可解决问题；【解答】解：（1）作A H⊥AB于H，连接BD，BD ，则四边形ADA H是矩形．
1 1 1
∴AD=HA =n=1，
1
在Rt△A HB中，∵BA =BA=m=2，
1 1
∴BA =2HA ，
1 1
∴∠ABA =30°，
1
∴旋转角为30°，
∵BD= = ，
∴D到点D 所经过路径的长度= = π．
1
（2）∵△BCE∽△BA D ，
2 2
∴ = = ，
∴CE=
∵ = ﹣1
∴ = ，
∴AC= • ，
∴BH=AC= = • ，∴m2﹣n2=6• ，
∴m4﹣m2n2=6n4，
1﹣ =6• ，
∴ = （负根已经舍弃）．
【点评】本题考查轨迹，旋转变换、解直角三角形、弧长公式等知识，解题的关键是
理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
28．（10分）已知：如图，一次函数y=kx﹣1的图象经过点A（3 ，m）（m＞0），与
y轴交于点B．点C在线段AB上，且BC=2AC，过点C作x轴的垂线，垂足为点D．
若AC=CD．
（1）求这个一次函数的表达式；
（2）已知一开口向下、以直线CD为对称轴的抛物线经过点A，它的顶点为P，若过
点P且垂直于AP的直线与x轴的交点为Q（﹣ ，0），求这条抛物线的函数表
达式．
【分析】（1）利用三角形相似和勾股定理构造方程，求AC和m
（2）由∠APQ=90°，构造△PQD∽△APE构造方程求点P坐标可求二次函数解析式．
【解答】解：（1）过点A作AF⊥x轴，过点B作BF⊥CD于H，交AF于点F，过点C作
CE⊥AF于点E设AC=n，则CD=n
∵点B坐标为（0，﹣1）
∴CD=n+1，AF=m+1
∵CH∥AF，BC=2AC
∴
即：
整理得：
n=
Rt△AEC中，
CE2+AE2=AC2
∴5+（m﹣n）2=n2
把n= 代入
5+（m﹣ ）2=（ ）2
解得m =2，m =﹣3（舍去）
1 2
∴n=1
∴把A（3 ，2）代入y=kx﹣1得
k=
∴y= x﹣1
（2）如图，过点A作AE⊥CD于点E
设点P坐标为（2 ，n），由已知n＞0由已知，PD⊥x轴
∴△PQD∽△APE
∴
∴
解得n =5，n =﹣3（舍去）
1 2
设抛物线解析式为y=a（x﹣h）2+k
∴y=a（x﹣2 ）2+5
把A（3 ，2）代入y=a（x﹣2 ）2+5
解得a=﹣
∴抛物线解析式为：y=﹣
【点评】本题综合考查二次函数和一次函数性质．在解答过程中，应注意利用三角
形相似和勾股定理构造方程，求出未知量．
