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2015 年无锡市中考数学试题
一、选择题
1．－3的倒数是 （ ）
A．3 B．±3 C． D．－
2．函数y＝中自变量x的取值范围是 （ ）
A．x＞4 B．x≥4 C．x≤4 D．x≠4
3．今年江苏省参加高考的人数约为393 000人，这个数据用科学记数法可表示为 （ ）
A．393×103 B．3.93×103 C．3.93×105 D．3.93×106
4．方程2x－1＝3x＋2的解为 （ ）
A．x＝1 B．x＝－1 C．x＝3 D．x＝－3
5．若点A(3，－4)、B(－2，m)在同一个反比例函数的图像上，则m的值为 （ ）
A．6 B．－6 C．12 D．－12
6．下列图形中，是轴对称图形但不是中心对称图形的是 （ ）
A．等边三角形 B．平行四边形 C．矩形 D．圆
7．tan45º的值为 （ ）
A． B．1 C． D．
8．八边形的内角和为 （ ）
A．180º B．360º C．1080º D．1440º
9．如图的正方体盒子的外表面上画有3条粗黑线，将这个正方体盒子的表面展开（外表面朝上），展
开图可能是 （ ）
（第9题） A． B． C． D．
10．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90º，AC＝3，BC＝4，将边AC沿CE翻折，使点A A
落在AB上的点D处；再将边BC沿CF翻折，使点B落在CD的延长线上的 E
点B′处，两条折痕与斜边AB分别交于点E、F，则线段B′F的长为 B′
D
（ ▲ ） F
A． B． C． D． C B
（第10题）
二、填空题
11．分解因式：8－2x2＝ ．
12．化简得 ． A H D
E G
B F C
数学试卷 第1页（共6页） （第14题）13．一次函数y＝2x－6的图像与x轴的交点坐标为 ．
14．如图，已知矩形ABCD的对角线长为8cm，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点，则四边形
EFGH的周长等于 cm．
15．命题“全等三角形的面积相等”的逆命题是 命题．（填“真”或“假”）
16．某种蔬菜按品质分成三个等级销售，销售情况如下表：
等级 单价（元/千克） 销售量（千克）
A
一等 E 5.0 20
二等 4.5 40
B三等 D 4.0 C 40
（第17题）
则售出蔬菜的平均单价为 元/千克．
17．已知：如图，AD、BE分别是△ABC的中线和角平分线，AD⊥BE，AD＝BE＝6，则AC的长等于
．
18．某商场在“五一”期间举行促销活动，根据顾客按商品标价一次性购物总额，规定相应的优惠方
法：①如果不超过500元，则不予优惠；②如果超过500元，但不超过800元，则按购物总额给予
8折优惠；③如果超过800元，则其中800元给予8折优惠，超过800元的部分给予6折优惠．促
销期间，小红和她母亲分别看中一件商品，若各自单独付款，则应分别付款480元和520元；若合
并付款，则她们总共只需付款 元．
三、解答题
19．（本题满分8分）计算：
（1）(－5)0－()2＋|－3|； （2）(x＋1)2－2(x－2)．
20．（本题满分8分）
（1）解不等式：2(x－3)－2≤0； （2）解方程组：
21．（本题满分8分）已知：如图，AB∥CD，E是AB的中点，CE＝DE．
求证：（1）∠AEC＝∠BED；（2）AC＝BD． E
A B
22．（本题满分8分）已知：如图，AB为⊙O的直径，点C、D在⊙O上，且BC＝C D A
6cm，AC＝8cm，∠ABD＝45º．（1）求BD的长；（2）求图中阴影部分的面积．
D
O
C
B
数学试卷 第2页（共6页）23．（本题满分6分）某区教研部门对本区初二年级的学生进行了一次随机抽样问卷调查，其中有这
样一个问题：
老师在课堂上放手让学生提问和表达 （ ）
A．从不 B．很少 C．有时 D．常常 E．总是
答题的学生在这五个选项中只能选择一项．下面是根据学生对该问题的答卷情况绘制的两幅不
完整的统计图．
各选项选择人数的条形统计图 各选项选择人数分布的扇形统计图
人数
1500
1344
1200
总是
900
736
从不
常常
600 3%
很少
320
300 有时
96
0
从不 很少 有时 常常 总是 选项
根据以上信息，解答下列问题：
（1）该区共有 ▲ 名初二年级的学生参加了本次问卷调查；
（2）请把这幅条形统计图补充完整；
（3）在扇形统计图中，“总是”所占的百分比为 ▲ ．
24．（本题满分8分）
（1）甲、乙、丙、丁四人做传球游戏：第一次由甲将球随机传给乙、丙、丁中的某一人，从第二次起，
每一次都由持球者将球再随机传给其他三人中的某一人．求第二次传球后球回到甲手里的
概率．（请用“画树状图”或“列表”等方式给出分析过程）
（2）如果甲跟另外n（n≥2）个人做（1）中同样的游戏，那么，第三次传球后球回到甲手里的概率
是 ▲ （请直接写出结果）．
25．（本题满分8分）某工厂以80元/箱的价格购进60箱原材料，准备由甲、乙两车间全部用于生产A
产品．甲车间用每箱原材料可生产出A产品12千克，需耗水4吨；乙车间通过节能改造，用每箱
原材料可生产出的A产品比甲车间少2千克，但耗水量是甲车间的一半．已知A产品售价为30
元/千克，水价为5元/吨．如果要求这两车间生产这批产品的总耗水量不得超过200吨，那么该厂
如何分配两车间的生产任务，才能使这次生产所能获取的利润w最大？最大利润是多少？（注：
利润＝产品总售价－购买原材料成本－水费）
26．（本题满分10分）已知：平面直角坐标系中，四边形OABC的顶点分别为O(0，0)、A（5，0）、B(m，
2)、C(m－5，2)．
数学试卷 第3页（共6页）（1）问：是否存在这样的m，使得在边BC上总存在点P，使∠OPA＝90º？若存在，求出m的取值范
围；若不存在，请说明理由．
（2）当∠AOC与∠OAB的平分线的交点Q在边BC上时，求m的值．
27．（本题满分10分）一次函数y＝x的图像如图所示，它与二次函数y＝ax2－4ax＋c的图像交于A、B
两点（其中点A在点B的左侧），与这个二次函数图像的对称轴交于点C．
（1）求点C的坐标；
（2）设二次函数图像的顶点为D． y
①若点D与点C关于x轴对称，且△ACD的面积等于3，求此二次 y＝x
函数的关系式；
②若CD＝AC，且△ACD的面积等于10，求此二次函数的关系式．
O x
28．（本题满分10分）如图，C为∠AOB的边OA上一点，OC＝6，N为边OB上异于点O的一动点，P
是线段CN上一点，过点P分别作PQ∥OA交OB于点Q，PM∥OB交OA于点M．
（1）若∠AOB＝60º，OM＝4，OQ＝1，求证：CN⊥OB．
（2）当点N在边OB上运动时，四边形OMPQ始终保持为菱形．
①问：－的值是否发生变化？如果变化，求出其取值范围；如果不变，请说明理由．
②设菱形OMPQ的面积为S，△NOC的面积为S，求的取值范围．
1 2
B
N
Q P
参考答案
O A
M C
一、选择题（每小题3分，共30分）
1．D 2．B 3．C 4．D 5．A 6．A 7．B 8．C 9．D 10．B
二、填空题（每小题2分，共16分）
11．2(2＋x) (2－x) 12． 13．（3，0） 14．16 15．假
16．4.4 17． 18．838或910
三、解答题（本大题共10小题，共84分）
19．解：（1）1． （2）x2＋5．
20．解：（1）x≤4．
（2）
21．证：（1）∵AB∥CD，∴∠AEC＝∠ECD，∠BED＝∠EDC．
∵CE＝DE，∴∠ECD＝∠EDC．∴∠AEC＝∠BED．
（2）∵E是AB的中点，∴AE＝BE．
在△AEC和△BED中，∴△AEC≌△BED． ∴AC＝BD．
数学试卷 第4页（共6页）22．解：（1）∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB＝90º．
∵BC＝6cm，AC＝8cm，∴AB＝10cm．∴OB＝5cm．
连OD，∵OD＝OB，∴∠ODB＝∠ABD＝45º．∴∠BOD＝90º． ∴BD＝＝5cm．
（2）S ＝π·52－×5×5＝cm2．
阴影
23．解：（1）3200；（2）图略，“有时”的人数为704；（3）42%．
24．解：（1）画树状图： 或：列表：
第1次 第2次 甲 乙 丙 丁第2 乙次乙甲/ 乙丙 乙丁 丙 丙甲 丙乙 / 丙
甲 丁 丁 丁甲 丁乙 丁丙 /
乙 丙 第1次
丁
甲
甲 丙 乙
丁
甲
丁 乙
丙
共有9种等可能的结果，其中符合要求的结果有3种，
∴P（第2次传球后球回到甲手里）＝＝．
（2）．
25．解：设甲车间用x箱原材料生产A产品，则乙车间用(60－x)箱原材料生产A产品．
由题意得4x＋2(60－x)≤200， 解得x≤40．
w＝30[12x＋10(60－x)]－80×60－5[4x＋2(60－x)]＝50x＋12 600，
∵50＞0，∴w随x的增大而增大．∴当x＝40时，w取得最大值，为14 600元．
答：甲车间用40箱原材料生产A产品，乙车间用20箱原材料生产A产品，可使工厂所获利润
最大，最大利润为14 600元．
26．解：（1）由题意，知：BC∥OA.以OA为直径作⊙D，与直 y
线BC分别交于点E、F，则∠OEA=∠OFA=90º.
2 E G F
作DG⊥EF于G，连DE，则DE＝OD＝2.5，DG＝2，
EG＝GF，∴ EG＝ ＝1.5，
∴点E(1，2)，点F(4，2)． O D A x
∴当即1≤m≤9时，边BC上总存在这样的点P，
使∠OPA＝90º.
y
（2）∵BC=5=OA，BC∥OA，∴四边形OABC是平行四边形.
当Q在边BC上时，∠OQA =180º－∠QOA－∠QAO 2 E C F B
=180º－(∠COA+∠OAB)=90º，∴点Q只能是点E或点F．
当Q在F点时，∵OF、AF分别是∠AOC与∠OAB的平分
O D A x
线，BC∥OA，∴∠CFO＝∠FOA=∠FOC，∠BFA＝∠FAO=
∠FAB，∴CF＝OC，BF＝AB，∵OC＝AB，∴F是BC的中
点．∵F点为 (4，2)，∴此时m的值为6.5．
当Q在E点时，同理可求得此时m的值为3.5．
27．（1）y＝ax2－4ax＋c＝a(x－2)2－4a＋c．∴二次函数图像的对称轴为直线x＝2．
当x＝2时，y＝x＝，∴C(2，)．
数学试卷 第5页（共6页）（2）①∵点D与点C关于x轴对称，∴D(2，－，)，∴CD＝3.
设A(m，m) (m<2)，由S ＝3，得×3×(2－m)＝3，解得m＝0，∴A(0，0).
△ACD
由A(0，0)、 D(2，－)得 解得a＝，c＝0.
∴y＝x2－x.
②设A(m，m)(m<2)，过点A作AE⊥CD于E，则AE＝2－m，CE＝－m，
AC＝＝＝(2－m)，
∵CD＝AC，∴CD＝(2－m).
由S ＝10得×(2－m)2＝10，解得m＝－2或m＝6（舍去），∴m＝－2．
△ACD
∴A(－2，－)，CD＝5.
若a＞0，则点D在点C下方，∴D(2，－)，
由A(－2，－)、D(2，－)得 解得
∴y＝x2－x－3.
若a＜0，则点D在点C上方，∴D(2，)，
由A(－2，－)、D(2，)得 解得
∴y＝－x2＋2x＋.
28．（1）过P作PE⊥OA于E．∵PQ∥OA，PM∥OB，∴四边形OMPQ为平行四边形．
∴PM＝OQ＝1，∠PME＝∠AOB＝60º，
B
∴PE＝PM·sin60º＝，ME＝，
N
∴CE＝OC－OM－ME＝，∴tan∠PCE＝＝，
∴∠PCE＝30º，∴∠CPM＝90º， Q P
E
又∵PM∥OB，∴∠CNO＝∠CPM＝90 º，即CN⊥OB．
O A
M C
（2）①－的值不发生变化． 理由如下：
设OM＝x，ON＝y．∵四边形OMPQ为菱形，∴ OQ＝QP＝OM＝x，NQ＝y－x．
∵PQ∥OA，∴∠NQP=∠O．又∵∠QNP=∠ONC，∴△NQP∽△NOC，∴ ＝，即＝，
∴6y－6x＝xy．两边都除以6xy，得－＝，即－＝．
②过P作PE⊥OA于E，过N作NF⊥OA于F，
则S＝OM·PE，S＝OC·NF， B
1 2
∴＝．
N
∵PM∥OB，∴∠MCP=∠O．又∵∠PCM=∠NCO，
P
∴△CPM∽△CNO． Q F
∴＝＝．
O A
M E C
∴＝＝－(x－3)2＋．
∵0
