文档内容
秘密★启用前
试卷类型：A
2020 年临沂市初中学业水平考试试题
数学
注意事项：
1．本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)，共8页，满分120分，考试时间120分钟，
答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、准考证号、座号填写在试卷和答题
卡规定的位置．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
2．答题注意事项见答题卡，答在本试卷上不得分．
第Ⅰ卷(选择题 共42分)
一、选择题(本大题共14小题，每小题3分，共42分)在每小题所给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的．
1.下列温度比 低的是( )
A. B. C. D.
2.下列交通标志中，是中心对称图形的是( )
A. B. C. D.
3.如图，数轴上点A对应的数是 ，将点A沿数轴向左移动2个单位至点B，则点B对应的数是( )
A. B. C. D.
4.根据图中三视图可知该几何体是( )A. 三棱锥 B. 三棱柱 C. 四棱锥 D. 四棱柱
5.如图，在 中， ， ， ，则 ( )
A. B. C. D.
6.计算 的结果是( )
A. B. C. D.
7.设 ，则( )
A. B. C. D.
8.一元二次方程 的解是( )
A. ， B. ，
C. ， D. ，
9.从马鸣、杨豪、陆畅，江宽四人中抽调两人参加“寸草心”志愿服务队，恰好抽到马鸣和杨豪的概率是(
)
A. B. C. D.10.《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，纸书大约在一千五百年前，其中一道题，原文是：“今三人
共车，两车空；二人共车，九人步．问人与车各几何？”意思是：现有若干人和车，若每辆车乘坐3人，
则空余两辆车：若每辆车乘坐2人，则有9人步行，问人与车各多少？设有x人，y辆车，可列方程组为(
)
A. B. C. D.
11.下图是甲、乙两同学五次数学测试成绩的折线图，比较甲、乙的成绩，下列说法正确的是( )
A. 甲平均分高，成绩稳定 B. 甲平均分高，成绩不稳定
C. 乙平均分高，成绩稳定 D. 乙平均分高，成绩不稳定
12.如图，P是面积为S的 内任意一点， 的面积为 ， 的面积为 ，则( )
A. B.
C. D. 的大小与P点位置有关
13.计算 的结果为( )
A. B. C. D.14.如图，在 中， 为直径， ，点D为弦 的中点，点E为 上任意一点，则
的大小可能是( )
A. B. C. D.
第Ⅱ卷(非选择题 共78分)
注意事项：
1．第Ⅱ卷分填空题和解答题．
2．第Ⅱ卷所有题目的答案，考生须用0.5毫米黑色签字笔答在答题卡规定的区域内，在试卷
上答题不得分．
二、填空题(本大题共5小题，每小题3分，共15分)
的
15.不等式 解集是______．
16.若 ，则 ________．
17.点 和点 在直线 上，则m与n的大小关系是_________．
18.如图，在 中，D，E为边 的三等分点， ，H为 与 的交点．若
，则 ___________．
的
19.我们知道，两点之间线段最短，因此，连接两点间线段 长度叫做两点间的距离；同理，连接直线外一
点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短，因此，直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直
线的距离．类似地，连接曲线外一点与曲线上各点的所有线段中，最短线段的长度，叫做点到曲线的距离．依此定义，如图，在平面直角坐标系中，点 到以原点为圆心，以1为半径的圆的距离为_____．
三、解答题(本大题共7小题，共63分)
20.计算： ．
21.2020年是脱贫攻坚年，为实现全员脱贫目标，某村贫困户在当地政府支持帮助下，办起了养鸡场，经
过一段时间精心饲养，总量为3000只的一批鸡可以出售．现从中随机抽取50只，得到它们质量的统计数
据如下：
质量 组中值 数量(只)
1.0 6
1.2 9
1.4 a
1.6 15
1.8 8
根据以上信息，解答下列问题：
(1)表中 ______，补全频数分布直方图；的
(2)这批鸡中质量不小于 大约有多少只？
(3)这些贫因户的总收入达到54000元，就能实现全员脱贫目标．按15元 的价格售出这批鸡后，该村
贫困户能否脱贫？
的
22.如图．要想使人安全地攀上斜靠在墙面上 梯子的顶端，梯子与地面所成的角 一般要满足
，现有一架长 的梯子．
(1)使用这架梯子最高可以安全攀上多高的墙(结果保留小数点后一位)？
(2)当梯子底端距离墙面 时， 等于多少度(结果保留小数点后一位)？此时人是否能够安全使用这架
梯子？
(参考数据： ， ， ， ， ，
)
23.已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流I(单位：A)与电阻R(单位： )是反比例函数关系．当
时， ．
(1)写出I关于R的函数解析式；
(2)完成下表，并在给定的平面直角坐标系中画出这个函数的图象；
… …
… …(3)如果以此蓄电池为电源的用电器的限制电流不能超过 ．那么用电器可变电阻应控制在什么范围内？
24.已知 的半径为 ， 的半径为 ，以 为圆心，以 的长为半径画弧，再以线段 的
中点P为圆心，以 的长为半径画弧，两弧交于点A，连接 ， ， 交 于点B，过点B
作 的平行线 交 于点C．
(1)求证： 是 的切线；
(2)若 ， ， ，求阴影部分的面积．
25.已知抛物线 ．
(1)求这条抛物线的对称轴；
(2)若该抛物线的顶点在x轴上，求其解析式；(3)设点 ， 在抛物线上，若 ，求m的取值范围．
26.如图，菱形 的边长为1， ，点E是边 上任意一点(端点除外)，线段 的垂直
平分线交 ， 分别于点F，G， ， 的中点分别为M，N．
(1)求证： ；
(2)求 的最小值；
(3)当点E在 上运动时， 的大小是否变化？为什么？秘密★启用前
试卷类型：A
2020 年临沂市初中学业水平考试试题
数学
注意事项：
1．本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)，共8页，满分120分，考试时间120分钟，
答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、准考证号、座号填写在试卷和答题
卡规定的位置．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
2．答题注意事项见答题卡，答在本试卷上不得分．
第Ⅰ卷(选择题 共42分)
一、选择题(本大题共14小题，每小题3分，共42分)在每小题所给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的．
的
1.下列温度比 低 是( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
先根据正数都大于0，负数都小于0，可排除C、D，再根据两个负数，绝对值大的反而小，可得比-2小的
数是-3．
【详解】解：根据两个负数，绝对值大 的反而小可知-3＜-2，
所以比-2℃低的温度是-3℃．
故选：A．
【点睛】本题考查了有理数的大小比较，其方法如下：(1)负数＜0＜正数；(2)两个负数，绝对值大的反
而小．
2.下列交通标志中，是中心对称图形的是( )A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
根据中心对称图形的定义和交通标志的图案特点即可解答．
【详解】解：A、不是中心对称图形，故选项错误；
B、是中心对称图形，故本选项正确；
C、不是中心对称图形，故选项错误；
D、不是中心对称图形，故本选项错误．
故选：B．
【点睛】本题考查中心对称图形的概念：在同一平面内，如果把一个图形绕某一点旋转180度，旋转后的
图形能和原图形完全重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．
3.如图，数轴上点A对应的数是 ，将点A沿数轴向左移动2个单位至点B，则点B对应的数是( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
数轴上向左平移2个单位，相当于原数减2，据此解答.
【详解】解：∵将点A沿数轴向左移动2个单位至点B，
则点B对应的数为： -2= ，
故选A.
【点睛】本题考查了数轴，利用了数轴上的点右移加，左移减，在学习中要注意培养数形结合的数学思想．
4.根据图中三视图可知该几何体是( )A. 三棱锥 B. 三棱柱 C. 四棱锥 D. 四棱柱
【答案】B
【解析】
【分析】
根据主视图和左视图为长方形可得此几何体为柱体，再根据俯视图为三角形可得为三棱柱．
【详解】解：由于主视图和左视图为长方形可得此几何体为柱体，
由俯视图为三角形可得为三棱柱．
故选：B．
【点睛】此题考查了由三视图判断几何体，主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，
所得到的图形．
5.如图，在 中， ， ， ，则 ( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
先根据等腰三角形的性质得到∠B的度数，再根据平行线的性质得到∠BCD.
【详解】解：∵AB=AC，∠A=40°，
∴∠B=∠ACB=70°，
∵CD∥AB，∴∠BCD=∠B=70°，
故选D.
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质和平行线的性质，掌握等边对等角是关键，难度不大.
6.计算 的结果是( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
根据积的乘方和幂的乘方以及同底数幂的除法运算法则即可求出答案．
【详解】解：
=
= ，
故选D.
【点睛】本题考查了积的乘方和幂的乘方以及同底数幂的除法，掌握运算法则是解题的关键.
7.设 ，则( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
先估计 的范围，再得出a的范围即可.
【详解】解：∵4＜7＜9，
∴ ，
∴ ，即 ，
故选C.
【点睛】本题考查了无理数的估算，解题的关键是掌握无理数的估算方法.8.一元二次方程 的解是( )
A. ， B. ，
C. ， D. ，
【答案】B
【解析】
【分析】
得出方程各项系数，再利用公式法求解即可.
【详解】解：∵ 中，
a=1，b=-4，c=-8，
∴△=16-4×1×(-8)=48＞0，
∴方程有两个不相等的实数根
∴x= ，
即 ， ，
故选B.
【点睛】本题考查一元二次方程的解法，解题关键是熟练运用公式法，本题属于基础题型．
9.从马鸣、杨豪、陆畅，江宽四人中抽调两人参加“寸草心”志愿服务队，恰好抽到马鸣和杨豪的概率是(
)
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
列表得出所有等可能的情况数，找出所选两人恰好是马鸣和杨豪的情况数，即可求出所求的概率．
【详解】解：列表得：所有等可能的情况有12种，其中恰好抽到马鸣和杨豪的情况有2种，
恰好抽到马鸣和杨豪的概率是 ，
故选C.
【点睛】此题考查了列表法与树状图法，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
10.《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，纸书大约在一千五百年前，其中一道题，原文是：“今三人
共车，两车空；二人共车，九人步．问人与车各几何？”意思是：现有若干人和车，若每辆车乘坐3人，
则空余两辆车：若每辆车乘坐2人，则有9人步行，问人与车各多少？设有x人，y辆车，可列方程组为(
)
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
根据若每辆车乘坐3人，则空余两辆车：若每辆车乘坐2人，则有9人步行，列二元一次方程组．
【详解】解：设有x人，y辆车，
依题意得： ，故选B．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的实际应用，解决问题的关键是找出题中等量关系．
11.下图是甲、乙两同学五次数学测试成绩的折线图，比较甲、乙的成绩，下列说法正确的是( )
A. 甲平均分高，成绩稳定 B. 甲平均分高，成绩不稳定
C. 乙平均分高，成绩稳定 D. 乙平均分高，成绩不稳定
【答案】A
【解析】
【详解】略
12.如图，P是面积为S的 内任意一点， 的面积为 ， 的面积为 ，则( )
A. B.
C. D. 的大小与P点位置有关
【答案】C
【解析】
【分析】
过点P作AD的垂线PF，交AD于F，再延长FP交BC于点E，表示出S+ S ，得到 即可．
1 2
【详解】解：如图，过点P作AD的垂线PF，交AD于F，再延长FP交BC于点E，
根据平行四边形的性质可知PE⊥BC，AD=BC，∴S= AD×PF，S= BC×PE，
1 2
∴S+ S
1 2
= AD×PF+ BC×PE
= AD×(PE+PE)
= AD×EF
= S，
故选C．
【点睛】本题考查了三角形的面积和平行四边形的性质，解题的关键是作出平行四边形过点P的高．
13.计算 的结果为( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
利用异分母分式的加减法计算即可.
【详解】解：
=
==
故选A.
【点睛】本题考查了异分母分式的减法，掌握先通分，后加减的运算顺序是解题的关键.
14.如图，在 中， 为直径， ，点D为弦 的中点，点E为 上任意一点，则
的大小可能是( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
连接 OD、OE，先求出∠COD=40°，∠BOC=100°，设∠BOE=x，则∠COE=100°-x，∠DOE=100°-
x+40°；然后运用等腰三角形的性质分别求得∠OED和∠COE，最后根据线段的和差即可解答．
【详解】解：连接OD、OE
∵OC=OA
∴△OAC是等腰三角形
∵ ，点D为弦 的中点
∴∠DOC=40°，∠BOC=100°
设∠BOE=x，则∠COE=100°-x，∠DOE=100°-x+40°
∵OC=OE，∠COE=100°-x
∴∠OEC=
∵OD=OE，∠DOE=100°-x+40°=140°-x
∴∠OED=∴∠CED=∠OEC-∠OED= =20°．
故答案为B．
【点睛】本题考查了圆的性质、等腰三角形的性质等知识点，正确作出辅助线、构造等腰三角形是解答本
题的关键．
第Ⅱ卷(非选择题 共78分)
注意事项：
1．第Ⅱ卷分填空题和解答题．
2．第Ⅱ卷所有题目的答案，考生须用0.5毫米黑色签字笔答在答题卡规定的区域内，在试卷
上答题不得分．
二、填空题(本大题共5小题，每小题3分，共15分)
15.不等式 的解集是______．
【答案】x<
【解析】
【分析】
移项系数化成1即可求解．
【详解】解：移项，得：2x<-1，
系数化成1得：x< ，故答案为：x< .
【点睛】本题考查了解简单不等式的能力，解答这类题学生往往在解题时不注意移项要改变符号这一点而
出错．
16.若 ，则 ________．
【答案】-1
【解析】
【分析】
将原式变形为 ，再将 代入求值即可.
【详解】解：
=
将 代入，
原式=
=
=1-2
=-1
故答案为：-1.
【点睛】本题考查了代数式求值，其中解题的关键是利用平方差公式将原式变形为 .
17.点 和点 在直线 上，则m与n的大小关系是_________．
【答案】m＜n
【解析】
【分析】
先根据直线的解析式判断出函数的增减性，再根据两点的横坐标大小即可得出结论．
【详解】解：∵直线 中，k=2＞0，
∴此函数y随着x的增大而增大，∵ ＜2，
∴m＜n．
故答案为：m＜n．
【点睛】本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点，熟知一次函数的增减性是解答此题的关键．
18.如图，在 中，D，E为边 的三等分点， ，H为 与 的交点．若
，则 ___________．
【答案】1
【解析】
【分析】
利用平行线分线段成比例得到EF=2,再利用中位线得到DH的长即可.
【详解】解:∵D，E为边 的三等分点， ，
∴EF:DG:AC=1:2:3
∵AC=6,
∴EF=2,
由中位线定理得到,在 AEF中,DH平行且等于
△
故答案是:1
【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理的应用和中位线的性质,熟悉平行线之间的性质是解题关键.
19.我们知道，两点之间线段最短，因此，连接两点间线段的长度叫做两点间的距离；同理，连接直线外一
点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短，因此，直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直
线的距离．类似地，连接曲线外一点与曲线上各点的所有线段中，最短线段的长度，叫做点到曲线的距离．
依此定义，如图，在平面直角坐标系中，点 到以原点为圆心，以1为半径的圆的距离为_____．【答案】
【解析】
【分析】
连接OA，与圆O交于点B，根据题干中的概念得到点到圆的距离即为OB，再求出OA，结合圆O半径可
得结果.
【详解】解：根据题意可得：
点到圆的距离为：该点与圆上各点的连线中，最短的线段长度，
连接OA，与圆O交于点B，
可知：点A和圆O上点B之间的连线最短，
∵A(2，1)，
∴OA= = ，
∵圆O的半径为1，
∴AB=OA-OB= ，
∴点 到以原点为圆心，以1为半径的圆的距离为 ，
为
故答案 ： .
【点睛】本题考查了圆的新定义问题，坐标系中两点之间的距离，勾股定理，解题的关键是理解题意，利用类比思想解决问题.
三、解答题(本大题共7小题，共63分)
20.计算： ．
【答案】
【解析】
【分析】
利用二次根式的性质，二次根式的乘法，特殊角的正弦值分别化简各项，再作加减法即可.
【详解】解：
=
=
=
【点睛】本题考查了二次根式的性质，二次根式的乘法，特殊角的正弦值，解题的关键是掌握运算法则.
21.2020年是脱贫攻坚年，为实现全员脱贫目标，某村贫困户在当地政府支持帮助下，办起了养鸡场，经
过一段时间精心饲养，总量为3000只的一批鸡可以出售．现从中随机抽取50只，得到它们质量的统计数
据如下：
质量 组中值 数量(只)
1.0 61.2 9
1.4 a
1.6 15
1.8 8
根据以上信息，解答下列问题：
(1)表中 ______，补全频数分布直方图；
(2)这批鸡中质量不小于 的大约有多少只？
(3)这些贫因户的总收入达到54000元，就能实现全员脱贫目标．按15元 的价格售出这批鸡后，该村
贫困户能否脱贫？
【答案】(1)12，补全频数分布图见解析；(2)480只；(3)该村贫困户能脱贫．
【解析】
【分析】
(1)用总数量减去其它组的数量即为a的值；
(2)先求出随机抽取的50只中质量不小于 的鸡占的比值，再乘以3000即可；
(3)先求出50只鸡的平均质量，根据市场价格，利润是15元/kg，再利用每千克利润×只数×每只的平均质
量求出总利润，再进行比较即可．
【详解】(1) (只)；
频数分布图如下：
故答案为：12；
(2) (只)；(3) (千克)，
(元)，
∵64800＞54000，
∴该村贫困户能脱贫．
【点睛】本题考查由样本估计总体以及频数分布表和分布图，根据已知表格得出总体重与频数之间的关系
是解题的关键．
22.如图．要想使人安全地攀上斜靠在墙面上的梯子的顶端，梯子与地面所成的角 一般要满足
，现有一架长 的梯子．
(1)使用这架梯子最高可以安全攀上多高的墙(结果保留小数点后一位)？
(2)当梯子底端距离墙面 时， 等于多少度(结果保留小数点后一位)？此时人是否能够安全使用这架
梯子？
(参考数据： ， ， ， ， ，
)
【答案】(1)5.3m；(2)56.4°，不能
【解析】
【分析】
(1)若使AC最长，且在安全使用的范围内，则∠ABC的度数最大，即∠ABC=75°；可通过解直角三角形
求出此时AC的长．
(2)当BC=2.2m时，可在Rt BAC中，求出∠ABC的余弦值，进而可得出∠ABC的度数，然后判断这个
角度是否在安全使用的范围△内即可．
【详解】解：(1)当∠ABC=75°时，梯子能安全使用且它的顶端最高；在Rt ABC中，有sin∠ABC=
△
∴AC=AB•sin∠ABC=5.5×sin75°≈5.3；
答：安全使用这个梯子时，梯子的顶端距离地面的最大高度AC约为5.3m
(2)在Rt ABC中，有cos∠ABC= = =0.4
△
由题目给的参考数据 ，可知∠ABC=56.4°
∵56.4°＜60°，不在安全角度内；
∴这时人不能安全使用这个梯子，
答：人不能够安全使用这个梯子．
【点睛】此题考查的是解直角三角形的实际应用，熟练掌握并能灵活运用各锐角三角函数是解答此类题的
关键．
23.已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流I(单位：A)与电阻R(单位： )是反比例函数关系．当
时， ．
(1)写出I关于R的函数解析式；
(2)完成下表，并在给定的平面直角坐标系中画出这个函数的图象；
… …
… …(3)如果以此蓄电池为电源的用电器的限制电流不能超过 ．那么用电器可变电阻应控制在什么范围内？
【答案】(1) ；(2)见解析；(3)控制在3.6 以上的范围内
【解析】
【分析】
(1)先由电流I是电阻R的反比例函数，可设 ，根据当 时， 可求出这个反比例函数的
解析式；
(2)将R的值分别代入函数解析式，即可求出对应的I值，从而完成表格和函数图像；
(3)将I≤10代入函数解析式即可确定电阻的取值范围．
【详解】解：(1)解：(1)电流I是电阻R的反比例函数，设 ，
∵当 时， ，代入，得：k=4×9=36，
∴ ；
(2)填表如下：
函数图像如下：(3)∵I≤10， ，
∴ ，
∴R≥3.6，
即用电器可变电阻应控制在3.6 以上的范围内．
【点睛】本题考查了反比例函数的应用，解题的关键是正确地从中整理出函数模型，并利用函数的知识解
决实际问题．
24.已知 的半径为 ， 的半径为 ，以 为圆心，以 的长为半径画弧，再以线段 的
中点P为圆心，以 的长为半径画弧，两弧交于点A，连接 ， ， 交 于点B，过点B
作 的平行线 交 于点C．
(1)求证： 是 的切线；(2)若 ， ， ，求阴影部分的面积．
【答案】(1)见解析；(2)
【解析】
【分析】
(1)过点O 作OD⊥BC，交BC于点D，根据作图过程可得AP=O P=OP，利用等腰三角形的性质和三角
2 2 1 2
形内角和证明AO ⊥AO ，再根据BC∥AO ，证明四边形ABDO 为矩形，得到OD= ，点D在圆O 上，
2 1 2 2 2 2
可得结论；
(2)证明△AO O∽△BOC，求出OC，利用△BOC的面积减去扇形BOE的面积即可.
1 2 1 1 1 1
【详解】解：(1)由作图过程可得：
AP=O P=OP= OO，AO =AB+BO = ，
1 2 1 2 1 1
∴∠PAO=POA，∠PAO=∠PO A，AB= ，
1 1 2 2
而∠PAO+∠PO A+∠PAO+∠PO A=180°，
1 1 2 2
∴∠PAO+∠PAO=90°，即AO ⊥AO ，
1 2 2 1
∵BC∥AO ，
2
∴OB⊥BC，即BC与圆O 相切，
1 1
过点O 作OD⊥BC，交BC于点D，
2 2
可知四边形ABDO 为矩形，
2
∴AB=OD= ，而圆O 的半径为 ，
2 2
∴点D在圆O 上，
2
即BC是 的切线；(2)∵AO ∥BC，
2
∴△AO O∽△BOC，
1 2 1
∴ ，
∵ ， ， ，
即AO = =3，BO=2，
1 1
∴ ，
∴OC=4，
1
∵BO⊥BC，
1
∴cos∠BOC= ，
1
∴∠BOC=60°，
1
∴BC= ，
∴S = -
阴影
=
=
【点睛】本题考查了尺规作图的原理，切线的判定和性质，矩形的判定和性质，扇形面积，相似三角形的
判定和性质，等边对等角，知识点较多，解题的关键是根据作图过程得到相应的线段关系.
25.已知抛物线 ．
(1)求这条抛物线的对称轴；
(2)若该抛物线的顶点在x轴上，求其解析式；
(3)设点 ， 在抛物线上，若 ，求m的取值范围．【答案】(1) ；(2) 或 ；(3)当 时， ；
当 时， 或 ．
【解析】
【分析】
(1)将二次函数化为顶点式，即可得到对称轴；
(2)根据(1)中的顶点式，得到顶点坐标，令顶点纵坐标等于0，解一元二次方程，即可得到 的值，进而
得到其解析式；
(3)根据抛物线的对称性求得点Q关于对称轴的对称点，再结合二次函数的图象与性质，即可得到 的取
值范围．
【详解】(1)∵ ，
∴ ，
∴其对称轴为： ．
(2)由(1)知抛物线的顶点坐标为： ，
∵抛物线顶点在 轴上，
∴ ，
解得： 或 ，
当 时，其解析式为： ，
当 时，其解析式为： ，
综上，二次函数解析式为： 或 ．
(3)由(1)知，抛物线的对称轴为 ，∴ 关于 的对称点为 ，
当函数解析式为 时，其开口方向向上，
∵ 且 ，
∴ ；
当函数解析式为 时，其开口方向向下，
∵ 且 ，
∴ 或 ．
【点睛】本题考查了二次函数对称轴，解析式的计算，以及根据二次函数的图象性质求不等式的取值范围，
熟知相关计算是解题的关键．
26.如图，菱形 的边长为1， ，点E是边 上任意一点(端点除外)，线段 的垂直
平分线交 ， 分别于点F，G， ， 的中点分别为M，N．
(1)求证： ；
(2)求 的最小值；
(3)当点E在 上运动时， 的大小是否变化？为什么？
【答案】(1)见解析；(2) ；(3)不变，理由见解析.
【解析】
【分析】(1)连接CF，根据垂直平分线的性质和菱形的对称性得到CF=EF和CF=AF即可得证；
(2)连接AC，根据菱形对称性得到AF+CF最小值为AC，再根据中位线的性质得到MN+NG的最小值为
AC的一半，即可求解；
(3)证明△FNG为等边三角形，再结合NG=NE，最后利用外角性质得到∠CEF．
【详解】解：(1)连接CF，
∵FG垂直平分CE，
∴CF=EF，
∵四边形ABCD为菱形，
∴A和C关于对角线BD对称，
∴CF=AF，
∴AF=EF；
(2)连接AC，
∵M和N分别是AE和EF的中点，点G为CE中点，
∴MN= AF，NG= CF，即MN+NG= (AF+CF)，
当点F与菱形ABCD对角线交点O重合时，
AF+CF最小，即此时MN+NG最小，
∵菱形ABCD边长为1，∠ABC=60°，
∴△ABC为等边三角形，AC=AB=1，
即MN+NG的最小值为 ；(3)不变，理由 是：
∵∠EGF=90°，点N为EF中点，
∴GN=FN=EN，
∵AF=CF=EF，N为EF中点，
∴MN=GN=FN=EN，
∴△FNG为等边三角形，
即∠FNG=60°，
∵NG=NE，
∴∠FNG=∠NGE+∠CEF=60°，
∴∠CEF=30°，为定值．
【点睛】本题考查了菱形的性质，最短路径，等边三角形的判定和性质，中位线定理，难度一般，题中线
段较多，需要理清线段之间的关系．
