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湖北省十堰市 2021 年数学中考试题
一、选择题（本题有10个小题，每小题3分，共30分）
下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的，请把正确选项的字母填涂在答题卡中相
应的格子内．
1. 的相反数是（ ）
A. B. 2 C. D.
【答案】D
【解析】
【详解】因为- + ＝0，所以- 的相反数是 .
故选D.
2. 如图，直线 ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用平行线的性质得到 ，再利用三角形外角的性质即可求解．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∴ ，故选：A．
【点睛】本题考查平行线的性质、三角形外角的性质，掌握上述基本性质定理是解题的关键．
3. 由5个相同的小立方体搭成的几何体如图所示，则它的俯视图为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据从上面看得到的视图是俯视图，可得答案．
【详解】解：该几何体从上向下看，其俯视图是
，
故选：A．
【点睛】本题考查了简单组合体的三视图，从上面看得到的视图是俯视图．
4. 下列计算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据同底数幂相乘、积的乘方、乘法公式逐一判断即可．
【详解】解：A． ，该项计算错误；
B． ，该项计算正确；
C． ，该项计算错误；
D． ，该项计算错误；
故选：B．
【点睛】本题考查整式乘法，掌握同底数幂相乘、积的乘方、乘法公式是解题的关键．5. 某校男子足球队的年龄分布如下表
年龄 13 14 15 16 17 18
人数 2 6 8 3 2 1
则这些队员年龄的众数和中位数分别是（ ）
A. 8，15 B. 8，14 C. 15，14 D. 15，15
【答案】D
【解析】
【分析】找中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数（或两个数的平均数）为中位数，
众数是一组数据中出现次数最多的数据，注意众数可以不止一个．
【详解】解：根据图表数据，同一年龄人数最多的是15岁，共8人，所以众数是15岁；
22名队员中，按照年龄从小到大排列，第11名队员与第12名队员的年龄都是15岁，所以，中位数是（15
＋15）÷2＝15岁．
故选：D．
【点睛】本题考查了确定一组数据的中位数和众数的能力，众数是出现次数最多的数据，一组数据的众数
可能有不止一个，找中位数的时候一定要先排好顺序，然后再根据奇数和偶数个来确定中位数，如果数据
有奇数个，则正中间的数字即为所求，如果是偶数个则找中间两位数的平均数，中位数不一定是这组数据
中的数．
6. 某工厂现在平均每天比原计划多生产50台机器，现在生产400台机器所需时间比原计划生产450台机器
所需时间少1天，设现在平均每天生产x台机器，则下列方程正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】设现在每天生产x台，则原来可生产（x−50）台．根据现在生产400台机器的时间与原计划生产
450台机器的时间少1天，列出方程即可．
【详解】解：设现在每天生产x台，则原来可生产（x−50）台．
依题意得： ．
故选：B．
【点睛】此题主要考查了列分式方程应用，利用本题中“现在生产400台机器的时间与原计划生产450台
机器的时间少1天”这一个条件，列出分式方程是解题关键．的
7. 如图，小明利用一个锐角是 三角板测量操场旗杆的高度，已知他与旗杆之间的水平距离 为
， 为 （即小明的眼睛与地面的距离），那么旗杆的高度是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】先根据题意得出AD的长，在Rt△AED中利用锐角三角函数的定义求出ED的长，由CE＝CD＋
DE即可得出结论．
【详解】解：∵AB⊥BC，DE⊥BC，AD∥BC，
∴四边形ABCD是矩形，
∵BC＝15m，AB＝1.5m，
∴AD＝BC＝15m，DC＝AB＝1.5m，
在Rt△AED中，
∵∠EAD＝30°，AD＝15m，
∴ED＝AD•tan30°＝15× ＝5 ，
∴CE＝CD＋DE＝ ．
故选：D．
【点睛】本题考查的是解直角三角形在实际生活中的应用，熟知锐角三角函数的定义是解答此题的关键，
属于基本知识的考查．
8. 如图， 内接于 是 的直径，若 ，则 （ ）A. B. C. 3 D. 4
【答案】C
【解析】
【分析】首先过点O作OF⊥BC于F，由垂径定理可得BF＝CF＝ BC，然后由∠BAC＝120°，AB＝
AC，利用等边对等角与三角形内角和定理，即可求得∠C与∠BAC的度数，由BD为⊙O的直径，即可求
得∠BAD与∠D的度数，又由AD＝3，即可求得BD的长，继而求得BC的长．
【详解】解：过点O作OF⊥BC于F，
∴BF＝CF＝ BC，
∵AB＝AC，∠BAC＝120°，
∴∠C＝∠ABC＝（180°−∠BAC）÷2＝30°，
∵∠C与∠D是同弧所对的圆周角，
∴∠D＝∠C＝30°，
∵BD为⊙O的直径，
∴∠BAD＝90°，
∴∠ABD＝60°，
∴∠OBC＝∠ABD−∠ABC＝30°，
∵AD＝3，
∴BD＝AD÷cos30°＝3÷ =2 ，
∴OB＝ BD＝ ，∴BF＝OB•cos30°＝ × ＝ ，
∴BC＝3．
故选：C．
【点睛】此题考查了圆周角定理、垂径定理、等腰三角形的性质、直角三角形的性质以及特殊角的三角函
数值等知识．此题综合性较强，难度适中，解题的关键是注意数形结合思想的应用，注意准确作出辅助线．
9. 将从1开始的连续奇数按如图所示的规律排列，例如，位于第4行第3列的数为27，则位于第32行第
13列的数是（ ）
A. 2025 B. 2023 C. 2021 D. 2019
【答案】B
【解析】
【分析】根据数字的变化关系发现规律第n行，第n列的数据为：2n(n-1)+1，即可得第32行，第32列的
数据为：2×32×(32-1)+1=1985，再依次加2，到第32行，第13列的数据，即可．
【详解】解：观察数字的变化，发现规律：第n行，第n列的数据为：2n(n-1)+1，
∴第32行，第32列的数据为：2×32×(32-1)+1=1985，
根据数据的排列规律，第偶数行从右往左的数据一次增加2，
∴第32行，第13列的数据为：1985+2×(32-13)=2023，
故选：B．
【点睛】本题考查了数字的变化类，解决本题的关键是观察数字的变化寻找探究规律，利用规律解决问题．
10. 如图，反比例函数 的图象经过点 ，过A作 轴于点B，连 ，直线
，交x轴于点C，交y轴于点D，若点B关于直线 的对称点 恰好落在该反比例函数图像
上，则D点纵坐标为（ ）A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】设点B关于直线 的对称点 ，易得 求出a的值，再根据勾股定理得到两点
间的距离，即可求解．
【详解】解：∵反比例函数 图象经过点 ，
的
∴ ，
∴直线OA的解析式为 ，
∵ ，
∴设直线CD的解析式为 ，
则 ，
设点B关于直线 的对称点 ，
则 ①，
且 ，
即 ，解得 ，代入①可得 ，
故选：A．
【点睛】本题考查反比例函数的图象与性质，掌握反比例函数与一次函数的性质是解题的关键．
二、填空题（本题有6个小题，每小题3分，共18分）
11. 2021年5月11日，第七次全国人口普查结果公布，我国总人口大约为1412000000人，把数字
1412000000科学记数法表示为_________．
【答案】
【解析】
【分析】直接利用科学记数法表示数的方法即可求解．
【详解】解：1412000000用科学记数法表示为 ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查科学记数法，掌握用科学记数法表示数的方法是解题的关键．
12. 已知 ，则 _________．
【答案】36
【解析】
【分析】先把多项式因式分解，再代入求值，即可．
【详解】∵ ，
∴原式= ，
故答案是：36．
【点睛】本题主要考查代数式求值，掌握提取公因式法和公式法分解因式，是解题的关键．
13. 如图，O是矩形ABCD的对角线AC的中点，M是AD的中点，若AB=5，AD=12，则四边形ABOM的
周长为_______.
【答案】20．
【解析】【详解】∵AB＝5，AD＝12，
∴根据矩形的性质和勾股定理，得AC＝13.
∵BO为Rｔ ABC斜边上的中线
∴BO＝6.5 △
∵O是AC的中点，M是AD的中点，
∴OM是 ACD的中位线
∴OM＝2△.5
∴四边形ABOM的周长为：6.5＋2.5＋6＋5＝20
故答案为20
14. 对于任意实数a、b，定义一种运算： ，若 ，则x的值为________．
【答案】 或2
【解析】
【分析】根据新定义的运算得到 ，整理并求解一元二次方程即可．
【详解】解：根据新定义内容可得： ，
整理可得 ，
解得 ， ，
故答案为： 或2．
【点睛】本题考查新定义运算、解一元二次方程，根据题意理解新定义运算是解题的关键．
15. 如图，在边长为4的正方形 中，以 为直径的半圆交对角线 于点E，以C为圆心、
长为半径画弧交 于点F，则图中阴影部分的面积是_________．
【答案】3 -6
【解析】【分析】连接BE，可得 是等腰直角三角形，弓形BE的面积= ，再根据阴影部分的面积=弓
形BE的面积+扇形CBF的面积- 的面积，即可求解．
【详解】连接BE，
∵在正方形 中，以 为直径的半圆交对角线 于点E，
∴∠AEB=90°，即：AC⊥BE，
∵∠CAB=45°，
∴ 是等腰直角三角形，即：AE=BE，
∴弓形BE的面积= ，
∴阴影部分的面积=弓形BE的面积+扇形CBF的面积- 的面积
= + - =3 -6．
故答案是：3 -6．
【点睛】本题主要考查正方形的性质，扇形的面积公式，添加辅助线，把不规则图形进行合理的分割，是
解题的关键．
16. 如图，在 中， ，点P是平面内一个动点，且 ，Q为
的中点，在P点运动过程中，设线段 的长度为m，则m的取值范围是__________．【答案】 ≤m≤
【解析】
【分析】作AB的中点M，连接CM、QM，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半以及三角形的中
位线定理求得QM和CM的长，然后在△CQM中根据三边关系即可求解．
【详解】解：作AB的中点M，连接CM、QM．
在以 为圆心， 为半径的圆上运动，
在直角△ABC中，AB＝ ，
∵M是直角△ABC斜边AB上的中点，
∴CM＝ AB＝5．
的
∵Q是BP 中点，M是AB的中点，
∴MQ＝ AP＝ ．
∴在△CMQ中，5− ≤CQ≤ ＋5，即 ≤m≤ ．
故答案是： ≤m≤ ．
【点睛】本题考查了三角形的中位线的性质，三角形三边长关系，勾股定理、直角三角形斜边上的中线等
于斜边的一半，作圆，作AB的中点M，连接CM、QM，构造三角形，是解题的关键．三、解答题（本题有9个小题，共72分）
17. 计算： ．
【答案】1
【解析】
【分析】利用特殊角的三角函数值、负整数指数幂、绝对值的性质逐项计算，即可求解．
详解】解：原式
【
．
【点睛】本题考查实数的运算，掌握特殊角的三角函数值、负整数指数幂、绝对值的性质是解题的关键．
18. 化简： ．
【答案】
【解析】
【分析】先算分式的减法，再把除法化为乘法运算，进行约分，即可求解．
【详解】解：原式=
=
=
=
=
【点睛】本题主要考查分式的化简，掌握分式的通分和约分，是解题的关键．
19. 为庆祝中国共产党成立100周年，某校举行党史知识竞赛活动．赛后随机抽取了部分学生的成绩，按
得分划分为A、B、C、D四个等级，并绘制了如下不完整的统计表和统计图．等级 成绩（x） 人数
A 15
B a
C 18
D 7
根据图表信息，回答下列问题：
的
（1）表中 __________；扇形统计图中，C等级所占 百分比是_________；D等级对应的扇形圆心角
为________度；若全校共有1800名学生参加了此次知识竞赛活动，请估计成绩为A等级的学生共有
_______人．
（2）若95分以上的学生有4人，其中甲、乙两人来自同一班级，学校将从这4人中随机选出两人参加市
级比赛，请用列表或树状图法求甲、乙两人至少有1人被选中的概率
【答案】（1）20,30%，42°，450人；（2）
【解析】
【分析】（1）先由A等级的圆心角度数和人数，求出样本总数，作差即可得到 a的值，再根据C和D占
总人数的比例，求出百分比或圆心角度数，利用样本估计总体的方法求出全校成绩为A等级的人数；
（2）先列出表格，将所有情况列举，利用概率公式即可求解．
【详解】解：（1）总人数为 人，
∴ ，
C等级所占的百分比 ，
D等级对应的扇形圆心角 ，若全校共有1800名学生参加了此次知识竞赛活动，成绩为A等级的学生共有 人；
（2）列表如下：
甲 乙 丙 丁
甲 甲乙 甲丙 甲丁
乙 甲乙 乙丙 乙丁
丙 甲丙 乙丙 丙丁
丁 甲丁 乙丁 丙丁
共有12种情况，其中甲、乙两人至少有1人被选中的有10种，
∴P(甲、乙两人至少有1人被选中) ．
【点睛】本题考查统计与概率，能够从扇形统计图和统计表中获取相关信息是解题的关键．
20. 已知关于x的一元二次方程 有两个不相等的实数根．
（1）求实数m的取值范围；
（2）若该方程的两个根都是符号相同的整数，求整数m的值．
【答案】（1） ；（2）1
【解析】
【分析】（1）直接利用根的判别式即可求解；
（2）根据韦达定理可得 ， ，得到 ，根据两个根和m都是整
数，进行分类讨论即可求解．
【详解】解：（1）∵一元二次方程 有两个不相等的实数根，
∴ ，
解得 ；
（2）设该方程的两个根为 、 ，∵该方程的两个根都是符号相同的整数，
∴ ， ，
∴ ，
∴m的值为1或2，
当 时，方程两个根为 、 ；
当 时，方程两个根 与 不是整数；
∴m的值为1．
【点睛】本题考查一元二次方程根的判别式、韦达定理，掌握上述知识点是解题的关键．
21. 如图，已知 中，D是 的中点，过点D作 交 于点E，过点A作 交
于点F，连接 、 ．
（1）求证：四边形 是菱形；
（2）若 ，求 的长．
【答案】（1）证明见解析；（2）
【解析】
【分析】（1）通过证明 得到 ，即四边形AECF是平行四边形，再根据对角线
互相垂直的平行四边形是菱形即可得证；
（2）点A作 ，通过解直角三角形即可求解．【详解】解：（1）∵ ，
∴ ，
∵D是 的中点， ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴四边形AECF是平行四边形，
∵ ，
∴平行四边形AECF是菱形；
（2）∵AECF是菱形，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
过点A作 ，
∴ ，
∴ ．
【点睛】本题考查菱形的判定与性质、解直角三角形等内容，作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．
22. 如图，已知 是 的直径，C为 上一点， 的角平分线交 于点D，F在直线 上，且 ，垂足为E，连接 、 ．
（1）求证： 是 的切线；
（2）若 ， 的半径为3，求 的长．
【答案】（1）证明见解析；（2）
【解析】
【分析】（1）连接OD，通过等边对等角和角平分线的定义得到 ，利用平行线的性质与
判定即可得证；
（2）通过证明 求出线段DF和BF的长度，再通过证明 ，利用相似三角
形的性质即可求解．
【详解】解：（1）连接OD，
，
∵ ，
∴ ，
∵CD平分 ，
∴ ，
∴ ，∴ ，
∵
∴ ，
∴ 是 的切线；
（2）∵ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
即 ，解得 ， ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，解得 ．
【点睛】本题考查圆与相似综合，掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．
23. 某商贸公司购进某种商品的成本为20元/ ，经过市场调研发现，这种商品在未来40天的销售单价
y（元/ ）与时间x（天）之间的函数关系式为： 且x为整数，且日销量与时间x（天）之间的变化规律符合一次函数关系，如下表：
时间x（天） 1 3 6 10 …
日销量 142 138 132 124 …
填空：
（1）m与x的函数关系为___________；
（2）哪一天的销售利润最大？最大日销售利润是多少？
（3）在实际销售的前20天中，公司决定每销售 商品就捐赠n元利润（ ）给当地福利院，后发
现：在前20天中，每天扣除捐赠后的日销售利润随时间x的增大而增大，求n的取值范围．
【答案】（1） ；（2）第16天销售利润最大，最大为1568元；（3）
【解析】
【分析】（1）设 ，将 ， 代入，利用待定系数法即可求解；
（2）分别写出当 时与当 时的销售利润表达式，利用二次函数和一次函数的性质即
可求解；
（3）写出在前20天中，每天扣除捐赠后的日销售利润表达式，根据二次函数的性质可得对称轴
，求解即可．
【详解】解：（1）设 ，将 ， 代入可得：
，解得 ，
∴ ；
（2）当 时，
销售利润 ，
当 时，销售利润最大为1568元；
当 时，
销售利润 ，当 时，销售利润最大为1530元；
综上所述，第16天销售利润最大，最大为1568元；
（3）在前20天中，每天扣除捐赠后的日销售利润为：
，
∵ 时， 随x的增大而增大，
∴对称轴 ，解得 ．
【点睛】本题考查二次函数与一次函数的实际应用，掌握二次函数与一次函数的性质是解题的关键．
24. 已知等边三角形 ，过A点作 的垂线l，点P为l上一动点（不与点A重合），连接 ，把线
段 绕点C逆时针方向旋转 得到 ，连 ．
（1）如图1，直接写出线段 与 的数量关系；
（2）如图2，当点P、B在 同侧且 时，求证：直线 垂直平分线段 ；
（3）如图3，若等边三角形 的边长为4，点P、B分别位于直线 异侧，且 的面积等于
，求线段 的长度．【答案】（1）见详解；（2）见详解；（3）
【解析】
【分析】（1）根据旋转的性质以及等边三角形的性质，可得CP=CQ，∠ACP=∠BCQ，AC=BC，进而即
可得到结论；
（2）先证明 是等腰直角三角形，再求出∠CBD=45°，根据等腰三角形三线合一的性质，即可得
到结论；
（3）过点B作BE⊥l，过点Q作QF⊥l，根据 ，可得AP=BQ，∠CAP=∠CBQ=90°，
设AP=x，则BQ=x，MQ=x- ，QF=( x- )× ，再列出关于x的方程，即可求解．
【详解】（1）证明：∵线段 绕点C逆时针方向旋转 得到 ，
∴CP=CQ，∠PCQ=60°，
∵在等边三角形 中，∠ACB=60°，AC=BC，
∴∠ACP=∠BCQ，
∴ ，
∴ = ；
（2）∵ ，CA⊥l，
∴ 是等腰直角三角形，
∵ ，
∴ 是等腰直角三角形，∠CBQ=90°，
∵在等边三角形 中，AC=AB，∠BAC=∠ABC=60°，
∴AB=AP，∠BAP=90°-60°=30°，
∴∠ABP=∠APB=(180°-30°)÷2=75°，∴∠CBD=180°-75°-60°=45°，
∴PD平分∠CBQ，
∴直线 垂直平分线段 ；
（3）过点B作BE⊥l，过点Q作QF⊥l，
由（1）小题，可知： ，
∴AP=BQ，∠CAP=∠CBQ=90°，
∵∠ACB=60°，∠CAM=90°，
∴∠AMB=360°-60°-90°-90°=120°，即：∠BME=∠QMF=60°，
∵∠BAE=90°-60°=30°，AB=4，
∴BE= ，
∴BM=BE÷sin60°=2÷ = ，
设AP=x，则BQ=x，MQ=x- ，QF= MQ×sin60°=( x- )× ，
∵ 的面积等于 ，
∴ AP×QF= ，即： x×( x- )× = ，解得： 或 （不
合题意，舍去），
∴AP= ．【点睛】本题主要考查等边三角形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，解直角三角形，根据
题意画出图形，添加辅助线，构造直角三角形，是解题的关键．
25. 已知抛物线 与x轴交于点 和 ，与y轴交于点C，顶点为P，点N在
抛物线对称轴上且位于x轴下方，连 交抛物线于M，连 、 ．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，当 时，求M点的横坐标；
（3）如图2，过点P作x轴的平行线l，过M作 于D，若 ，求N点的坐标．
【答案】（1） ；（2） ；（3）
【解析】
【分析】（1）将点 和点 代入解析式，即可求解；（2）由 想到将 放到直角三角形中，即过点A作 交CM的延长线于点
E，即可知 ，再由 想到过点E作 轴，即可得到 ，
故点E的坐标可求，结合点C坐标可求直线CE解析式，点M是直线CE与抛物线交点，联立解析式即可
求解；
（3）过点M作L的垂线交于点D，故设点M的横坐标为m，则点M的纵坐标可表示，且MD的长度也可
表示，由 可得 即可结合两点间距离公式表示出MN，最后由
即可求解
【详解】解：（1）将点 和点 代入 得
，解得：
（2）点A作 交CM的延长线于点E，过 作 轴于 如下图
轴，
又即
当 时，
即
即
设直线CE的解析式为 ，并将C、E两点代入得
解得
点M是直线CE与抛物线交点
解得 （不合题意，舍去）
点M的横坐标为
（3）设过点M垂直于L的直线交x轴于点H，对称轴交x轴于点Q，M的横坐标为m
则
对称轴
P、Q、N的横坐标为 ，即当 时，
点D的纵坐标为4
即
，即 ，
不符合题意，舍去，
当 时，
解得 ，
由题意知【点睛】本题考察二次函数的综合运用、相似三角形、锐角三角函数的运用、交点坐标的求法和两点间的
距离公式，属于综合运用题，难度偏大．解题的关键是由锐角三角函数做出辅助线和设坐标的方程思想．
