056.更新1.6-1.72026周洋鑫考点全刷800题解析（课程提前用，非正式图书）_已解密_04.2026考研数学周洋鑫数学笑过_00.随课资料

2026 最新版 2026 周洋鑫考研数学 《考点全刷 800 题》 微博/b 站/小红书@考研数学周洋鑫 非正式图书，仅含前 7 节题组 A 基础通关题部分， 提供同学们上课提前使用， 正式图书将会在本月上市。2026最新版《周洋鑫考研数学考点全刷800题》 新浪微博@考研数学周洋鑫 公众号：周洋鑫 1.6数列极限计算 题组A·基础通关题 64. 【答案】应填3. 【解析】本题中含有“    ”项，可立即有理化处理，于是 6 n2 6 n 原式lim lim 3， n n5 n1 n n1 n2 n 应填3. 【小课堂】本题注意下面的错误解法：     lim n5 n  n n lim n n 0. n n 65. 【答案】应填e1. k1k 【解析】由于212k2 k1k，于是 2 n  n 1  limu  lim   n n nk1 k1k  n  1 1 1  lim    n12 23 nn1  n  1 1  1 1  =lim1          n 2 2 3 n n1  1  n 1 limn   1   lim1  en  n1 e1, n n1 应填e1. 66. 【答案】应填ln2. 【解析】方法一：由于当n时 1 1 1 1 1 1 n 212n 1 ln2，n 313n 1 ln3，n 414n 1 ln4， n n n 于是 12026最新版《周洋鑫考研数学考点全刷800题》 新浪微博@考研数学周洋鑫 公众号：周洋鑫         limn n 2n 3n 43 limn n 21 limn n 31 limn n 41 n n n n 1 1 1 limn ln2limn ln3limn ln4 n n n n n n ln2ln3ln4ln24， 应填ln24. 方法二：将本题的数列极限转化为函数极限，即  1 1 1  令x 1 t 2t 3t 4t 3 lim x2x 3x 4x 3  lim x   t0 t lim  2tln23tln34tln4  t0 ln2ln3ln4ln24， 应填ln24. 【小课堂】本题考察到等价无穷小公式：当x0时，ax 1 xlna（a  0,a 1）. 67. 【答案】应填1. 【解析】由limn 2 1，知极限中“ n 2 ”项是非零极限因子，可先计算出该部分的极限， n 于是  1  1 1  2 1 1 n3 1cos  n3·     n2  2n2  2 n 方法一：原式lim =lim lim =1， n n2 1n n  1  n n 1  1 n  1 n2 1  2 n2 应填1.  1   1 1  2 n3 1cos  n2 1n n3·    n2  2n2  方法二：原式lim =lim    n n2 1n n2 1n n  1  n 1 1  n2  1 n2 1n 1 n2 n  lim  lim 1， 2n n 2n n 应填1. 【小课堂】两个常用的极限结论：limn n 1，limn a 1（常数a0）. n n 68. 【答案】应填e2 . 22026最新版《周洋鑫考研数学考点全刷800题》 新浪微博@考研数学周洋鑫 公众号：周洋鑫  1 【解析】将本题的数列极限转化为函数极限，即 limtanx   . x 4 x 显然为“1 ”型未定式极限，于是   lim tanx     1   ex l  im  x    tan     4  1 x    1    令  x 1 t et l  im 0 tan 4 t t  1 洛 et l  im 0 sec2    4 t    e2 ， x  4 x  1 进而limtann    e2，应填e2 . n 4 n 【小课堂】注意数列极限不能直接使用洛必达法则，需利用海涅定理转化为函数极限问 题，即 “若 lim f  x  A，则lim f  n  A”. x n 69. 【答案】应填2026,2026. 【解析】方法一：由于  k  k   1  1 nk 11   nk 1  1   n    n  原式 lim  lim n n2025 n n2025  1 1 nk k  nk k  n n nk1  lim  lim  klim  c， n n2025 n n2025 nn2025 于是k12025，k c，解得k 2026,c 2026，应填2026,2026. 方法二：由二项式定理，知  n1 k   n1   k nk C1nk11 C2nk21 2 1 k k k kk 1  nk knk1 nk2 1k， 2 于是  k  k 1   nk  nk knk1 nk2L 1 k  nk (n1)k  2  knk1 lim lim  lim  c， n n2025 n n2025 n n2025 于是k12025，k c，解得k 2026,c 2026，应填2026,2026. 【小课堂】二项式定理公式：abn  an C1an1bC2an2b2 bn. n n 32026最新版《周洋鑫考研数学考点全刷800题》 新浪微博@考研数学周洋鑫 公众号：周洋鑫 70. 【答案】应填k 2. 【解析】方法一：由于  1 1  1  1 1   limnk 2n 2n1limnk 2n12n n1 1 n   n   1 1 1  limnk2n1   ln2 n n n1 nk nk ln2lim ln2lim nn  n1  nn2n 存在，则k 2，应填k 2. 方法二：利用拉格朗日中值定理.  1 1 对函数 f x2x在  ,  上利用拉格朗日中值定理，知 n1 n 1 1 1 1  2n 2n1 2ln2   ， n n1 1 1 其中  ，且当n时，0. n1 n 于是  1 1  1 1  limnk 2n 2n1limnk 2ln2    n   n n n1 nk nk ln2lim ln2lim nn  n1  nn2n 存在，则k 2，应填k 2. 1 71. 【答案】应填 . 1x 【解析】对 1x  1x2  1x4    1x2n  进行恒等变形，有  1x  1x2  1x4    1x2n    1x  1x  1x2    1x2n   1x2n1 ， 1x 1x 又当 x 1时，limx2n1 0，于是 n 1x2n1 1 原式lim  ， n 1x 1x 42026最新版《周洋鑫考研数学考点全刷800题》 新浪微博@考研数学周洋鑫 公众号：周洋鑫 1 应填 . 1x 72. 【答案】应填1. 【解析】由于 n 1 1 1 1 n    L  ， n n n1 n 2 n 3 n n n1 且 n n lim lim 1， nn n nn1  1 1 1 1  于是根据夹逼准则知，lim   L 1，应填1. nn1 n 2 n 3 n n  73. 【答案】应填1.  1 1 1  【解析】记数列u n    ，由于 n n2  n2 2 n2 n  1 1 1   1 1 1  n   u n    ， n2 n n2 n n2 n n n2  n2  n2  且  1 1 1  n2 limn   lim 1， n n2 n n2 n n2 n nn2 n  1 1 1  n2 limn   lim 1， n n2  n2  n2  nn2   1 1 1  于是根据根据夹逼准则，知limn   1，应填 1 . n n2  n2 2 n2 n 1 74. 【答案】应填 . 2 n n n 1 1 1 【解析】2n 3n 4n          ，于是 2 3 4 n n n n n 1 1 1 1 1            3  ， 2 2 3 4 2 n n n 1 1 1 1 1  n          n 3. 2 2 3 4 2 52026最新版《周洋鑫考研数学考点全刷800题》 新浪微博@考研数学周洋鑫 公众号：周洋鑫 1 1 1 1 1 又lim n 3 lim  ，所以根据夹逼准则，知limn 2n 3n 4n  ，应填 . n2 n2 2 n 2 2 【小课堂】本题考察了重要结论：lim n an bn cn maxa,b,c（a0，b0， n c0）. 利用该结论可快速解题，对于本题有： n n n 1 1 1 1 1 1 1 limn 2n 3n 4n limn         max , ,  . n n 2 3 4 2 3 4 2 75. 【答案】应填1. 【解析】由于 1 1 11  111n， 2 n 1 1 1n1   n111 n n ， 2 n 1 1 且limn n 1，于是根据夹逼准则可知limn1 L 1，应填1. n n 2 n 76. 【解析】由题意可知，1x 0nN ，利用数学归纳法，证明如下： n  当n1时，显然成立. 假设1x 0，则 k x x2 2x x 12 1， k1 k k k 知1x 0． k1 因此，1x 0nN ，即x 是一有界数列． n  n 又 x x x2 2x x x2 x x x 10， n1 n n n n n n n n 即x 是单调递减数列. n 综上所述，由数列x 单调递减且有下界，知limx 存在，不妨设limx  A． n n n n n 对x x2 2x 两边同取极限，知A A2 2A，解得A1,0.又x 单调递减，于 n1 n n n 是limx 1． n n 62026最新版《周洋鑫考研数学考点全刷800题》 新浪微博@考研数学周洋鑫 公众号：周洋鑫 【小课堂】本题也可以利用作比法确定数列的单调性，但很多考生却得到x 单调递增 n 的结果，如下： x x2 2x n1  n n  x 20， x x n n n 故x 单调递增. n x 值得注意，这是错误的！因为本题中 1x 0nN  ，所以当 n1 0 时， n  x n x x 0，于是 x 是单调递减数列. n1 n n 77. 【解析】由题意可知，0x 3nN ，利用数学归纳法，证明如下： n  当n1时，0x 3，显然成立. 1 假设0x 3，则根据均值不等式知 k x 3x  3 x k1  x k 3x k   k k  3， 2 2 即0 x 3. k1 因此，0x 3nN  . n  进而 x 3x  3 x n1  x n 3x n   n n  ，n1,2, ， 2 2 3 因此0x  ，n2,3,，即数列x 是有界的. n 2 n 又因为 x x 3x  3x 3 n1  n n  n  11， x x x x n n n n 且x n 0，所以x n1 x n ，即x n 是单调递增数列. 综上所述，由数列x 单调递增且有上界，知极限limx 存在，不妨设limx  A． n n n n n 对x  x 3x  两边同取极限，知 n1 n n limx lim x 3x  n1 n n n n 72026最新版《周洋鑫考研数学考点全刷800题》 新浪微博@考研数学周洋鑫 公众号：周洋鑫 3 3 即A A3A ，解得A 或0，又x 单调递增且有上界，所以limx  ． 2 n n n 2 【小课堂】1.本题利用到均值不等式：当a0，b0时，有 ab ab2 ab， ab  ， 2 当且仅当ab时，等号成立. 2.本题解析中可能很多读者有两个疑问： （1）在第一步中已经证明了0x 3nN ，即数列x 是有界的，为什么还 n  n 3 要继续使用均值不等式推出0x  ，n2,3,. n 2 其实这一步的操作，主要是为了进一步确定数列的单调性. 若利用 x 3 x 0x 3nN ，是无法由 n1  1得出 n1 1，进而确定出x 的单调性. n  x x x n n n n 3 x 3 而利用0x  时，恰好有 n1  11，这就做到恰到好处！ n 2 x x n n （2）由均值不等式 x 3x  3 x n1  x n 3x n   n 2 n  2 ，n1,2, ， 就可以确定出x 的有界性，为什么还要在第一步中证明0x 3nN  . n n  这是均值不等式使用的前提决定的，根据【小课堂】第1条知，均值不等式的使用 需要保证两项为正值，于是若使用x  x 3x  ，需保证x 0，3x 0，即 n1 n n n n 0x 3. n 可见，证明题的求解，思路上需严密，逻辑上环环相扣. 78. 【解析】根据题设，显然有x 0nN  . n  由于 21x  22x 1 2 x  n  n 2 2，n1,2,， n1 2x 2x 2x n n n 所以0 x 2，n2,3,，即数列x 是有界的. n n 2 2 记 f(x)2 (x0)，则 f(x) 0 (x0). 2x (2x)2 又 82026最新版《周洋鑫考研数学考点全刷800题》 新浪微博@考研数学周洋鑫 公众号：周洋鑫 2 2x2 x x 2 x  1 ， 2 1 2x 1 2x 1 1 显然当0 x  2 时，xx ，则{x }单调不减；当x  2时，x  x ，则{x }单调减少． 1 1 2 n 1 1 2 n 综上所述，根据单调有界准则，知极限limx 存在，不妨设limx  A． n n n n 对x  21x n  两边同取极限，得A 2(1 A) ，解得a 2，又x 0nN ， n1 2x 2 A n  n 所以limx  2 ． n n 92026最新版《周洋鑫考研数学考点全刷800题》 新浪微博@考研数学周洋鑫 公众号：周洋鑫 1.7函数的连续与间断 题组A·基础通关题 79. 【答案】C． 1 1 【解析】由于 limex 0，limex ，于是 x0 x0  1  1 2ex sinx 2ex sinx 20 lim f x lim   lim  lim  11， x0 x0   1 x   x0 1 x0 x 10 1ex  1ex  1  1 2ex sinx 2ex sinx lim f x lim   lim  lim 110， x0 x0   1 x   x0 1 x0 x 1ex  1ex 即lim f x不存在，且不为. x0 又 f  0  1，所以 lim f x f 0，lim f x f 0， x0 x0 即 f  x  在x0处仅左连续，但不右连续，应选C． 80. 【答案】D 【解析】由题意可知 12ax, x1  1ax, x1,   f xgx 1x， 1 x0 x1, 1 x0，    1xb, x0 xb1, x0. 因为函数在x0与x1处连续，所以 lim f(x) lim f(x) f 1，即1a2， x1 x1 lim f(x) lim f(x) f 0，即b11， x0 x0 解得a  3,b  2，应选D. 81. 【答案】B 【解析】由于 102026最新版《周洋鑫考研数学考点全刷800题》 新浪微博@考研数学周洋鑫 公众号：周洋鑫 1 1   lim f x lim x1arctan 2 lim arctan 2   ， x1 x1 x2 1 x1 x2 1  2 1 1  lim f x lim x1arctan 2 lim x1arctan 2 ， x1 x1 x2 1 x1 x2 1 2 所以x1为函数的跳跃间断点． 又因为 1 lim f xlimx1arctan 0 ， x1 x1 x2 1 则lim f x f 1，所以 f x在x1处连续，应选B． x1 82. 【答案】D 【解析】函数 f  x 的间断点为x1，x0. 因为 lnx x1 lim sinxsin1lim sin1， x1 x1 x1 x1 lnx x1 lim sinx sin1lim sin1， x11x x1 x1 所以x1是函数的跳跃间断点. 又 1 ln x ln x x lim sinxlimln x xlim lim 0， x0|x1| x0 x0 1 x0 1  x x2 所以x0为可去间断点，应选D.   1 【小课堂】注意： ln x  . x 83. 【答案】C  【解析】当0x 时，则cotx0，当n时，ncotx，进而 2  f(x)xlimarctan(ncotx) x. n 2  当 x时，则cotx0，当n时，ncotx，进而 2  f(x)xlimarctan(ncotx) x. n 2 112026最新版《周洋鑫考研数学考点全刷800题》 新浪微博@考研数学周洋鑫 公众号：周洋鑫   当x 时，则cotx0， ncotx0，所以 f   0． 2  2   x, 0 x ,  2 2     因此，当x0,时， f x0, x , 显然x 是函数 f(x)的跳跃间断  2 2      x,  x.  2 2 点，应选C. 1 84. 【答案】应填e2 . 【解析】由 f  x 在x0处连续，知lim f x  f 0  a . x0 又因为 1 lim   1tanx  x3 1   ex li  m 0x 1 3     1 1   t s a in n x x 1    x01sinx  tanxsinx tanxsinx lim lim  ex0x31sinx ex0 x3  x 1 x3  x3   x 1 x3  x3   3   6  lim ex0 x3 1 x3 x3 lim2 1 ex0 x3 e2， 1 1 所以a  e2，应填e2 . 85. 【答案】应填2. 【解析】函数 f  x 的间断点为x0，x1，x1. 因为 x x2 1 lim f(x) lim  lim x2 11， x0 x0 x (x1) x0 x x2 1 lim f(x) lim lim x2 11， x0 x0 x (x1) x0 所以x0为函数的跳跃间断点． 又因为 122026最新版《周洋鑫考研数学考点全刷800题》 新浪微博@考研数学周洋鑫 公众号：周洋鑫 x x2 1 2 x x2 1 lim f(x)lim  ，lim f(x) lim ， x1 x1 x (x1) 2 x1 x1 x (x1) 所以x1为函数的可去间断点，x1为函数的无穷间断点 应填2. 86. 【答案】应填2.． 【解析】显然函数 f  x 的间断点为x0,1,2. 令1x2 0，解得x1,1，显然除了这2个间断点外，其余间断点均为无穷间断点， 又 1 x2 2x 2 lim  lim  ， x1 sinπx x1 πcosπx π 1 x2 2x 2 lim  lim  ， x1sinπx x1πcosπx π 所以x1,1均为可去间断点，应填2.  87. 【解析】由题意可知，函数的间断点为x k，xk，其中k 0,1,2,. 2  当x  kk 0,1,2, 时， 0 2 x lim tanx， lim 0， xx 0 xx 0 tanx  所以x  kk 0,1,2, 是函数的可去间断点. 0 2 x 当x0时，lim 1，所以x0是函数的可去间断点. x0tanx 当x kk 1,2, 时， 1 x limtanx0，lim x0， lim ， xx 1 xx 1 xx 0 tanx 所以x kk 1,2, 是函数的无穷间断点. 1 【小课堂】切勿遗漏tanx本身的无定义点． 13