(304)--周周清第十六周（6.23-6.29）_01.2026考研数学有道武忠祥刘金峰全程班_01.2026考研数学武忠祥刘金峰全程班_00.书籍和讲义_{2}--资料

周周清 6.23-6.29 -by 可爱因子大橙子 可爱因子章鱼烧 𝑥 =𝑢+𝑣𝑧, 1.（数一二三）设方程组{ 在点(2,1,1)的某一个邻域内确定隐函数𝑢(𝑥,𝑦,𝑧) 𝑦 =−𝑢2+𝑣+𝑧 𝜕𝑢 ∂𝑣 ∂𝑢 与𝑣(𝑥,𝑦,𝑧)，且𝑢(2,1,1)>0，则( + + )| = (2,1,1) 𝜕𝑥 ∂𝑦 ∂𝑧 1 1 2 2 (A) (B) (C) (D) 9 3 9 3 [知识点]：偏导数的求解。 [答案]：D. [解析]：将方程组中每个方程两端求全微分，得 d𝑥 =d𝑢+𝑧d𝑣+𝑣d𝑧, { d𝑦=−2𝑢d𝑢+d𝑣+d𝑧, 由此可解出 1 d𝑢 = [ d𝑥−𝑧 d𝑦+(𝑧−𝑣)d𝑧], 2𝑢𝑧+1 1 d𝑣 = [2𝑢d𝑥+d𝑦−(2𝑢𝑣+1)d𝑧], 2𝑢𝑧+1 从而 ∂𝑢 1 ∂𝑢 𝑧−𝑣 ∂𝑣 1 = ， = ， = . ∂𝑥 2𝑢𝑧+1 ∂𝑧 2𝑢𝑧+1 ∂𝑦 2𝑢𝑧+1 在点(2,1,1)处𝑢(2,1,1)与𝑣(2,1,1)满足方程组 𝑢(2,1,1)+𝑣(2,1,1)=2, { 𝑢2(2,1,1)−𝑣(2,1,1)=0, 由此可解得满足𝑢(2,1,1)>0的函数值分别是𝑢(2,1,1)=𝑣(2,1,1)=1，代入即得 ∂𝑢 ∂𝑣 ∂𝑢 𝑧−𝑣+2 2 ( + + )| = | = ∂𝑥 ∂𝑦 ∂𝑧 2𝑢𝑧+1 3 (2,1,1) (2,1,1) 故应选(D). [易错点]：较为基础的偏导数求解问题，根据题目条件逐步计算得到结果即可。2.（数一二三）设反常积分∫ +∞ 𝑥𝑘(e−cos 𝑥 1 −e−1)d𝑥收敛，则正确的是( ). 1 (A)𝑘 >−1 (B)𝑘 <−1 (C)𝑘 >1 (D)𝑘 <1 [知识点]：反常积分的收敛性。 [答案]：D. [解析]：当𝑥 →+∞时，e−1(e−cos 𝑥 1 +1−1)与e−1(1−cos 1 )是等价无穷小，又1−cos 1 与 1 𝑥 𝑥 2𝑥2 是等价无穷小，则𝑥𝑘(e−cos 𝑥 1 −e−1)与 1 是等价无穷小. 2e𝑥2−𝑘 当𝑘 <1时，2−𝑘 >1，故∫ +∞ 𝑥𝑘(e−cos 𝑥 1 −e−1)d𝑥收敛; 1 当𝑘 ⩾1时，2−𝑘 ⩽1， 1 是阶数不高于 1 的无穷小，故∫ +∞ 𝑥𝑘(e−cos 𝑥 1 −e−1)d𝑥 2e𝑥2−𝑘 𝑥 1 发散. ∞ 1 [易错点]：牢记结论：∫ d𝑥(𝑎 >0，𝑝 为任意实数)，当𝑝⩽1时，发散；当𝑝>1时，收 𝑎 𝑥𝑝 𝑎1−𝑝 敛于 . 𝑝−13. （数一二三）下列命题中不正确的是（）。 A. 𝐴为𝑛阶正交矩阵，若|𝐴|=1，𝑛为奇数，则1必为𝐴的特征值。 1 B. 𝐴为𝑛阶正交矩阵，若λ为𝐴的特征值，则 也为𝐴的特征值。 λ C. 𝐴为𝑛阶正交矩阵，若𝐴同时也为正定阵，则𝐴 =𝐸。 D. 𝐴，B为𝑛阶正交矩阵，且|𝐴|+|B|=0，则𝐴+𝐵可能可逆。 [知识点]：正交、正定矩阵的基本定义和推论。 [答案]：D. [解析]：这是一道比较基础的正定矩阵概念问题。 正交矩阵的实数特征值只能为±1。 对于A选项，|𝐴|=1，只能有偶数个特征值−1，因为𝑛是奇数，那么至少存在一个特征 值1，正确。 1 对于B选项，若λ为𝐴的特征值，λ只能为±1， 就是λ本身，B正确。 λ 对于 C 选项，正交又正定，𝐴特征值全为 1，对于正定矩阵𝐴存在一个正交可逆矩阵𝑄， 可令𝑄−1𝐴𝑄 =𝛬，𝛬 =𝐸，于是𝐴 =𝐸。 对于 D 选项，设|𝐴|·|B|=−1，则|𝐴𝑇|·|B𝑇|=−1，|𝐴+𝐵|=−|𝐴𝑇(𝐴+𝐵)𝐵𝑇|= −|𝐴𝑇+B𝑇|=−|𝐴+𝐵|=0，故𝐴+𝐵不可逆。 [易错点]：最重要的性质就是“正交矩阵的实数特征值只能为±1”。tanx ax cosbx 4.（数一二三）设lim 1，其中a,b为参数，且b0，求a,b. x x0 atanx 1bx2 [知识点]：极限的计算，泰勒公式的应用 [解析]：答案：a 1,b2 整理原极限可得 axcosbxtanx 1bx2 axcosbxtanx 原极限lim  lim 1 x0 a(1bx2)tanxx cosbx x0 a(1bx2)tanxx x3 b2x2 根据泰勒公式，代入tanx x o(x3)以及cosbx1 o(x2)，可得 3 2  b2x2  x3 ax 1 o(x2) x o(x3)   axcosbxtanx  2  3 1lim lim x0 a(1bx2)tanxx x0  x3  a(1bx2) x o(x3) x    3  ax ab2 x3x x3 o(x3) (a1)x   ab2  1  x3o(x3) 2 3  2 3 lim lim x0 ax a x3abx3xo(x3) x0 (a1)x a ab  x3o(x3)   3 3  由于上述极限值等于1，故a10，否则上述极限等于1，进一步，当a 1时，  b2  1 x3o(x3) b2 1     2 3 2 3 1lim  x0 1  1 b x3o(x3) b   3  3 整理可得b2 2b，解得b0或b2.又因为b0，所以b2. 综上可得，a 1,b2. [易错点]：计算量比较大，需要良好的计算习惯。5n k 5.（数一二三）计算lim  ____ 3 n k1 n2 16n3k [知识点]：定积分求极限 [解析]：答案：6 1 根据定积分定义，整理原极限，提出“可爱因子” ，并注意根据定义调整上下限 n 则， 1 5n k 1 5 x 原极限lim    dx nn n 3k 0 163x k1 16 n 16t2 2t 令t  163x，则x ，dx dt 3 3 5 x 116t2  2 2 4  dx     dt   (16t2)dt 0 163x 4 3t  3 9 1 2 t3  | 2  16t  4 276 9 3  1 9 [易错点]：区别于传统意义的定积分定义，注意灵活变通。6.（数一二三）设当x0时，是x的高阶无穷小，正值函数y(x)在[1,)上有定义， x2  y2 且在任意点x处的增量y  x，y(1)1，则y(e) ____. xy [知识点]：微分定义，微分方程 [解析]：答案： 3e x2  y2 y x2  y2  由y  x可得   .由于当x0时，是x 的高阶 xy x xy x  y x2  y2 x y 无穷小，故lim 0.于是，lim    . x0 x x0 x xy y x x y y 由导数的定义可知， y  .这是一个齐次型方程，令u  ，则 y ux ， y x x du du 1 du 1 dx yux .于是，原方程化为ux  u，即x  .分离变量可得udu  . dx dx u dx u x 1 方程两端同时积分，可得 u2 lnxC. 2 1 1 1 1 由y(1)1可得，u(1)1，代入 u2 lnxC可得C  ，从而 u2 lnx ，即 2 2 2 2 y u2 2lnx1，代入u  并整理可得，y2  x2(2lnx1).进一步由y(x)0可得 x y  x 2lnx1 令xe，则y(e)e 2lne1 3e [易错点]：题型较综合，需要把定义的概念理解深刻并看出相应的微分方程的形式。7.（数一三）设X ,X , ,X 为来自总体X 的简单随机样本，总体X 的分布律为 1 1 100 100  已知利用中心极限定理可得P X 150的近似值为(10 2)，其中(x)表示标 i   i1 准正态分布的分布函数，则 p  ____ . [知识点]：中心极限定理 1 [解析]：答案： 4 分别计算EX,DX .  3p p E(X)0 1 1 p2 2p    2  2  3p p D(X) E(X2)[E(X)]2 02 1 12p22 (2p)2 3p4p2    2  2 100 由已知条件可知，n100.根据列维-林德伯格中心极限定理，X 近似服从均值为 i i1 100 X 200p i 200p，方差为100(3p4p2)的正态分布，于是 i1 近似服从N(0,1)，从而 10 3p4p2 100  X 200p 100    i 150200p   P X 150 P i1  (10 2) i  i1  10 3p4p2 10 3p4p2    150200p 1 3 由此可得， 10 2，化简得48p2 48p90.解得 p  或 .又 10 3p4p2 4 43 2 1 1 p0，故 p ，于是 p  2 3 4 [易错点]：要会合理地理解中心极限定理并灵活运用。周周清 6.23-6.29 -by 可爱因子大橙子 可爱因子章鱼烧 1.（数一二三）设方程组 在点 的某一个邻域内确定隐函数 与 = + , 2 (2,1,1) , , ，且 ，=则− + + ∂ ∂ , , 2,1,1 >0 +∂ +∂ | 2,1,1 = 1 1 2 2 (A) 9 (B)3 (C) 9 (D) 3 2.（数一二三）设反常积分 收敛，则正确的是( ). 1 +∞ −cos −1 1 e −e d (A) >−1 (B) <−1 (C) >1 (D) <1 3. （数一二三）下列命题中不正确的是（）。 A. 为 阶正交矩阵，若 ， 为奇数，则 必为 的特征值。 B. 为 阶正交矩阵，若 为 = 的 1 特征 值，则 也为 1 的特 征值。 1 C. 为 阶正交矩阵，若 λ 同 时也为正定阵，λ则 。 D. ， 为 阶正交矩阵， 且 ，则 = 可能可逆。 B + B =0 + tanx ax cosbx 4.（数一二三）设lim 1，其中a,b为参数，且b0，求a,b. x0 x atanx 1bx2 5n k 5.（数一二三）计算lim  ____ n 3 k1 n2 16n3k 6.（数一二三）设当x0时，是x的高阶无穷小，正值函数 y(x)在[1,)上有定 x2  y2 义，且在任意点x处的增量y  x， y(1)1，则 y(e) ____. xy7.（数一三）设X ,X ,,X 为来自总体X 的简单随机样本，总体X 的分布律为 1 1 100 100  已知利用中心极限定理可得P X 150的近似值为(10 2)，其中(x)表示标 i   i1 准正态分布的函数，则 p  ____.