(324)--周周清第二十六周（9.1-9.7）_01.2026考研数学有道武忠祥刘金峰全程班_01.2026考研数学武忠祥刘金峰全程班_00.书籍和讲义_{2}--资料

周周清 9.1-9.7 -by 可爱因子大橙子 可爱因子章鱼烧 1.（数一二三）设函数z(x,y)由方程lnz yzcosx2确定，则dz|  ____ . (0,0) 2.（数一二三）设函数 f (x)c x2nex2 ，且满足  f (x)dx  1 ，其中c 为仅与n有关 n n 0 n 2 n 的数.若c 1，则c ____ 0 4 3.（数一二三）设y ，y 是一阶线性非齐次微分方程 y p(x)yq(x)的两个特解，若常 1 2 数，使y y 是该方程的解，y y 是该方程对应的齐次方程的解，则____. 1 2 1 2 1 1 1 1 2 1 2 2 (A). , (B). , (C). , (D). , 2 2 2 2 3 3 3 3 4.（数一三）设随机变量序列X ,,X ,独立同分布，且满足EX  DX 1.记(x)为 1 n i i 标准正态分布的分布函数，Y  X X .已知(0.44)0.67，利用随机变量序列 Y  n n1 n n 以及中心极限定理估计，8.8 X X 8.8的概率约为____. 201 1 5.（数一二三） 0 |sin | 6.（数一二三） 设 → +函 ∞数 的=全微. 分为 ( 为常 数)，且 ， , 。 , = 2 + + 2 + , (Ⅰ)求 0,0 =−；3 ' 1,1 =3 (Ⅱ)求点 , 到曲线 上的点的距离的最大值. 7.（数一二三−）1,设−1是 矩 阵, ，=0 ，非齐次线性方程组 的3个解向量 满足 × ， = −2 ， = ， 求1方, 程2, 组3 1的+通 2解=. 1,2,3,4 2+2 3 = −2,1,5,3 2 3+3 1 = 11,5,−6,7 = 周周清 9.1-9.7 -by 可爱因子大橙子 可爱因子章鱼烧 1.（数一二三）设函数z(x,y)由方程lnz+yz+cosx=2确定，则dz| =____. (0,0) [知识点]：全微分 [解析]：答案：−e2dy 将点(0,0)代入已知方程可得，lnz(0,0)+1=2，解得z(0,0)=e. 对已知方程两端分别关于x,y求偏导数可得 1 z z 1 z z + y −sinx=0， +z+ y =0 z x x z y y 1 z 1 z 将x=0， y=0，z =e代入上述两方程，可得 =0, +e=0，解得 e x e y (0,0) (0,0) z z =0， =−e2. x y (0,0) (0,0) 因此，dz| = −e2dy (0,0) [易错点]：根据全微分的定义按部就班计算即可。2.（数一二三）设函数 f (x)=c x2ne−x2 ，且满足 + f (x)dx= 1 ，其中c 为仅与 n n 0 n 2 n n 有关 的数.若c =1，则c = ____ 0 4 [知识点]：数列递推 164 [解析]：答案： 105 记I =  + x2ne−x2dx，则 + f (x)dx=c I .当n1时， n n n n 0 0 I = + x2ne−x2 dx=− 1  + x2n−1d(e−x2 ) n 0 2 0 =− 1  x2n−1e−x2 | + −(2n−1) + x2n−2e−x2 dx  2  0 0  = 2n−1  + x2n−2e−x2 dx= 2n−1 I . 2 0 2 n−1 7 7 5 7 5 3 1 由此可得I = I =  I = =    I . （1） 4 2 3 2 2 2 2 2 2 2 0 又因为c =1，而 + c e−x2 dx= 1 ，所以I = + e−x2 dx= 1 .从而由（1）式可得 0 0 0 2 0 0 2 105 + 1 164 I = .由于 f (x)dx=c I = ，故c = . 4 324 0 4 4 4 2 4 105 [易错点]：由分部积分找到递推关系是难点，计算量也较大，注意细心。3.（数一二三）设y ，y 是一阶线性非齐次微分方程y+ p(x)y=q(x)的两个特解，若常 1 2 数，使y +y 是该方程的解，y −y 是该方程对应的齐次方程的解，则 1 2 1 2 _ _ _ _ . 1 1 1 1 2 1 2 2 (A).= ,= (B).=− ,=− (C).= ,= (D).= ,= 2 2 2 2 3 3 3 3 [知识点]：微分方程解的结构 1 1 [解析]：答案：(A).= ,= 2 2 由题意知， y+ p(x)y =q(x)，y + p(x)y =q(x) 1 1 2 2 又由题设知，y +y 也是y+ p(x)y=q(x)的解，故 1 2 (y +y )+ p(x)(y +y )=q(x) （1） 1 2 1 2 整理（1）式，得 [y+ p(x)y ]+[y + p(x)y ]=q(x) 1 1 2 2 即(+)q(x)=q(x).故+=1 又由y −y 是y+ p(x)y=0的解知 1 2 (y −y )+ p(x)(y −y )=0. （2） 1 2 1 2 整理得 [y+ p(x)y ]−[y + p(x)y ]=0 1 1 2 2 即(−)q(x)=0，故−=0 +=1, 1 1 联立 解得= ,= −=0, 2 2 [易错点]：对微分方程解的结构理解深度不够，且本题字母较多，注意细心计算。4.（数一三）设随机变量序列X , ,X , 独立同分布，且满足EX = DX =1.记 1 n i i  ( x ) 为标准正态分布的分布函数，Y = X −X .已知(0.44)0.67，利用随机变量序列 n n+1 n Y 以及中心极限定理估计，−8.8 X −X 8.8的概率约为____. n 201 1 [知识点]：中心极限定理 [解析]：答案：0.34 由于Y = X −X ，故 n n+1 n 200 X −X =(X −X )+(X −X )+ +(X −X )=Y 201 1 201 200 200 199 2 1 i i=1 又因为X , ,X , 独立同分布，所以 1 n E(Y )=E(X −X )=E(X )−E(X )=0 n n+1 n n+1 n D(Y )=D(X −X )=D(X )+D(X )=2 n n+1 n n+1 n 200 根据列维林德伯格中心极限定理，Y 近似服从均值为0，方差为400的正态分布， i i=1 200 Y i 于是 i=1 近似服从N(0,1)，从而 20  200  Y  200    i   P  X −X 8.8  = P Y 8.8= P−0.44 i=1 0.44 201 1 i 20  i=1      =(0.44)−(−0.44)=(0.44)−1−(0.44) =2(0.44)−120.67−1=0.34. [易错点]：中心极限定理需要理解到位，直接套用即可。𝑥 ∫ |sin𝑡|𝑑𝑡 5.（数一二三） 𝑙𝑖𝑚 0 = . 𝑥→+∞ 𝑥 [知识点]：积分的平均值极限 2 [解析]：答案： . 𝜋 𝜋 |sin 𝑡|以π为周期，它在每个周期上的积分相等，且∫ |sin𝑡|d𝑡 =2. 0 故当𝑛𝜋 ≤𝑥 ≤(𝑛+1)𝜋时，有 𝑛𝜋 𝑥 (𝑛+1)𝜋 2𝑛 =∫ |sin𝑡|d𝑡 ≤∫ |sin𝑡|d𝑡 ≤∫ |sin𝑡|d𝑡 ≤2(𝑛+1)， 0 0 0 从而 𝑥 2𝑛 ∫ |sin𝑡|𝑑𝑡 2(𝑛+1) ≤ 0 ≤ . (𝑛+1)𝜋 𝑥 𝑛𝜋 上式令𝑛 →∞，有 𝑥 ∫ |sin𝑡|𝑑𝑡 2 𝑙𝑖𝑚 0 = . 𝑥→+∞ 𝑥 𝜋 [易错点]：这题的关键在于把分子看作函数的积分平均值，本质上是考查积分的平均值极限， 1 𝜋 2 因为|sin 𝑡|是周期函数，极限就是它在一个周期上的平均值，即 ∫ sin𝑡d𝑡 = . 𝜋 0 𝜋6.（数一二三）设函数𝑓(𝑥,𝑦)的全微分为𝑑𝑓(𝑥,𝑦)=(2𝑎𝑥+𝑏𝑦)𝑑𝑥+(2𝑏𝑦+𝑎𝑥)𝑑𝑦(𝑎,𝑏为常 数)，且𝑓(0,0)=−3，𝑓 ′(1,1)=3。 𝑥 (Ⅰ)求 𝑓(𝑥,𝑦)； (Ⅱ)求点(−1,−1)到曲线𝑓(𝑥,𝑦)=0上的点的距离的最大值. [知识点]：多元函数全微分 [解析]：过程如下： (Ⅰ)：由已知，有𝑓′ =2𝑎𝑥+𝑏𝑦，𝑓′ =2𝑏𝑦+𝑎𝑥，则𝑓′′ =𝑏 =𝑓′′ =𝑎，即𝑎=𝑏. 𝑥 𝑦 𝑥𝑦 𝑦𝑥 由𝑓′(1,1)=3，得2𝑎+𝑏 =3，故𝑎 =𝑏 =1，从而 𝑥 d𝑓(𝑥,𝑦)=(2𝑥+𝑦)d𝑥+(2𝑦+𝑥)d𝑦 =2𝑥d𝑥+𝑦d𝑥+2𝑦d𝑦+𝑥d𝑦 =d(𝑥2+𝑦2)+d(𝑥𝑦) =d(𝑥2+𝑦2+𝑥𝑦+𝑐). 故𝑓(𝑥,𝑦)=𝑥2+𝑦2+𝑥𝑦+𝑐，由𝑓(0,0)=−3，得𝑐 =−3，故 𝑓(𝑥,𝑦)=𝑥2+𝑦2+𝑥𝑦−3 (Ⅱ)：设𝑓(𝑥,𝑦)=0上任一点为(𝑥,𝑦)，则点(−1,−1)到点(𝑥,𝑦)的距离为 𝑑 =√(𝑥+1)2+(𝑦+1)2 那么原问题转变为求(𝑥+1)2+(𝑦+1)2在条件𝑥2+𝑦2+𝑥𝑦−3=0下的最大值. 常规套路是利用拉格朗日乘数法，令𝐿 =(1+𝑥)2+(1+𝑦)2+𝜆(𝑥2+𝑦2+𝑥𝑦−3)，则 𝐿 ′=2(1+𝑥)+𝜆(2𝑥+𝑦)=0, 𝑥 {𝐿 ′=2(1+𝑦)+𝜆(2𝑦+𝑥)=0, 𝑦 𝐿 ′=𝑥2+𝑦2+𝑥𝑦−3=0. 𝜆 由一式与二式消去变量𝜆，得(𝑥−𝑦)(𝑥+𝑦−1)=0. 当𝑥 =𝑦时，代人三式，解得𝑥 =𝑦 =±1; 当𝑥+𝑦 =1时，代人三式，解得𝑥 =2，𝑦=−1或者𝑥 =−1，𝑦=2. 比较大小，d2(1,1)=8，d2(−1,−1)=0，d2(2,−1)=d2(−1,2)=9. 故所求最大值为√9=3. [易错点]：这题有一个特别需要注意的地方，就是最终要求的距离要转化为根号下二次多项 式的最值来处理. 若一开始就把含根号的距离函数硬套进拉格朗日乘子法，计算会非常复杂. 7.（数一二三）设𝐴是𝑚×𝑛矩阵，𝑟(𝐴)=𝑛−2，非齐次线性方程组𝐴𝑥 =𝑏的 3 个解向量𝛼 ,𝛼 ,𝛼 满足𝛼 +𝛼 = (1,2,3,4)𝑇，𝛼 +2𝛼 =(−2,1,5,3)𝑇，2𝛼 +3𝛼 =(11,5,−6,7)𝑇， 1 2 3 1 2 2 3 3 1 求方程组𝐴𝑥 =𝑏的通解. [知识点]：利用非齐次线性方程组解的性质，构造特解和对应齐次方程组的基础解系，结合 矩阵秩确定基础解系所含向量个数，进而得到通解。 [解析]：依题设，找出 𝐴𝑥 =0 的基础解及 𝐴𝑥 =𝑏 的一个特解. 由解的性质，知 𝐴𝛼 =𝑏，𝐴𝛼 =𝑏，故 𝐴( 𝛼1+𝛼2)=𝑏，取 1 2 2 1 1 3 T 𝜂∗ = (𝛼 +𝛼 )=( ,1, ,2) 2 1 2 2 2 为 𝐴𝑥 =𝑏 的特解. 又 𝐴(𝛼 +𝛼 )=2𝑏, 𝐴(𝛼 +2𝛼 )=3𝑏, 𝐴(2𝛼 +3𝛼 )=5𝑏, 1 2 2 3 3 1 故 𝐴[3(𝛼 +𝛼 )−2(𝛼 +2𝛼 )]=6𝑏−6𝑏 =0, 1 2 2 3 𝐴[(2𝛼 +3𝛼 )−(𝛼 +𝛼 )−(𝛼 +2𝛼 )]=5𝑏−5𝑏 =0, 3 1 1 2 2 3 所以 𝜂 =3(𝛼 +𝛼 )−2(𝛼 +2𝛼 )=(7,4,−1,6)T, 1 1 2 2 3 𝜂 =(2𝛼 +3𝛼 )−(𝛼 +𝛼 )−(𝛼 +2𝛼 )=(12,2,−14,0)T 2 3 1 1 2 2 3 为 𝐴𝑥 =0 的解，且线性无关(不成比例). 又 𝑟(𝐴)=𝑛−2，故 𝜂 ,𝜂 是 𝐴𝑥 =0 的基础解系，故 𝐴𝑥 =𝑏 的通解为 1 2 1 3 T 𝑘 (7,4,−1,6)T+𝑘 (12,2,−14,0)T+( ,1, ,2) (𝑘 ,𝑘 为任意常数). 1 2 2 2 1 2 [易错点]：构造齐次方程组解时线性运算出错，判断基础解系向量线性无关失误，或对矩阵 秩与基础解系向量个数关系把握不准，导致通解错误。