A426李林880题数一线代概率部分做题本_00.扫描内部讲义汇总（含书籍扫描版增值讲义）_李林880题_李林880数一

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第二十章大数定律与中心极限定理158 基础题158 一、选择题158 二、填空题159 三、解答题160 第二十一章数理统计的基本概念162 基础题162 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拓展题178 解答题178 第二十三章假设检验179 基础题179 一、选择题179 二、填空题179 三、解答题180 ·第3页，共180页·线性代数 第十章行列式 基础题 一、选择题 3 0 4 0   2 2 2 2 (1)设行列式D= ,则D的第4行各元素的余子式之和M +M +M +M =( ). 41 42 43 44 0 -7 0 0 5 3 -2 2 A. -28 B. 28 C. 14 D. -14 (2)设β 1 ,β 2 ,α 1 ,α 2 ,α 3 均是4维列向量,且A=β 1 ,α 1 ,α 2 ,α 3 =1,B=β 2 ,α 1 ,3α 2 ,α 3 =3,则A+B= ( ). A. 15 B. 16 C. 31 D. 32 (3)设3阶矩阵A=a ij  满足AT=kA* k>0 3×3  公众号：做题本集结地 880·数一线概做题本 ,若a =a =a =c>0,则c=( ). 11 12 13 3 3k2 3 A. B. C. 3k2 D. 3k 3 k2 ·第4页，共180页·公众号：做题本集结地 880·数一线概做题本 二、填空题 k 0 -1 1   0 k 1 -1 (1) =_____. -1 1 k 0 1 -1 0 k λ-a -1 -1   (2)若 -1 λ-a 1 =0,则λ=_____. -1 1 λ-a 1 0 0 1   0 2 0 1 (3)D = =_____. 4 0 0 3 1 1 1 1 4 ·第5页，共180页·0 1 2 0   1 0 0 2 (4)行列式D = =_____. 4 0 3 4 0 3 0 0 4 a -1 0 0   0 a -1 0 (5)行列式D = =_____. 4 0 0 a -1 4 3 2 a+1 (6)设fx  公众号：做题本集结地 880·数一线概做题本 x -2x 1 2   1 x 1 -1 = ,则x3的系数为_____. 3 2 3x 1 1 1 1 x ·第6页，共180页·公众号：做题本集结地 880·数一线概做题本 (7)设A是n阶方阵,且AAT=E,A<0,则A+E=_____. (8)设A是n阶方阵,E是n阶单位矩阵,且A2=A,A≠E,则A=_____. (9)设A,B均为n阶方阵,且A=B=A-1+B=2,则A+B-1 =_____. ·第7页，共180页·(10)设A=2,B=-2,其中A,B均为n阶方阵,则A-1B*-A*B-1 =_____. (11)设3阶方阵A=α ,α ,α 1 2 3  ,B=3α -α ,3α -2α ,2α -α -2α 1 2 2 1 3 1 2  ,且B=14,则A=_____. (12)设A=a ij  为n阶方阵,A=1,且A的每列元素之和均为kk≠0 n×n  公众号：做题本集结地 880·数一线概做题本 ,则A的代数余子式之和 A +A +⋯+A =_____. 11 12 1n ·第8页，共180页·公众号：做题本集结地 880·数一线概做题本 三、解答题 b a a ⋯ a   a b a ⋯ a (1)计算n阶行列式D = . n ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ a a a ⋯ b x -1 0 ⋯ 0 0  0 x -1 ⋯ 0 0  n (2)证明:D n = ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ =xn+a i xn-i. 0 0 0 ⋯ x -1 i=1 a a a ⋯ a x+a n n-1 n-2 2 1 2 -1 0 ⋯ 0 0 -1 2 -1 ⋯ 0 0 0 -1 2 ⋯ 0 0 (3)计算n阶行列式D = . n ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 0 0 0 ⋯ 2 -1 0 0 0 ⋯ -1 2 ·第9页，共180页·公众号：做题本集结地 880·数一线概做题本 a 0 0 ⋯ 0 b 1 n a b 0 ⋯ 0 0 1 1  0 a b ⋯ 0 0  b 1 a 2 0 ⋯ 0 0  2 2 0 b a ⋯ 0 0 (4)计算n阶行列式D n = ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ + 2 3 ,其中a i ,b i 均 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 0 0 0 ⋯ a b n-1 n-1 0 0 0 ⋯ a 0 n-1 b 0 0 ⋯ 0 a n n 0 0 0 ⋯ b a n-1 n 不为0. 综合题 一、选择题 (1)设A是3阶可逆矩阵,A-1的特征值为3,2,1,则A的代数余子式之和A 11 +A 22 +A 33 =( ). 1 1 1 A. B. C. D. 1 6 3 2 ·第10页，共180页·1 (2)设A是3阶方阵,A*是A的伴随矩阵,A= ,则 2A 2   -1 -2A*=( ). 1 1 1 1 A. B. - C. - D. 2 2 4 4 (3)设fx  1 x x2 x3   1 2 4 8 = ,则曲线y=fx 1 -1 1 -1 1 1 1 1  在(-1,2)内存在水平切线的条数为( ). A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、填空题 A 3A* (1)设A,B均为n阶方阵,A=6,B=1,C= B  2     -1 O   公众号：做题本集结地 880·数一线概做题本 ,则C=_____. ·第11页，共180页· 1 0 1 (2)设A,B均为3阶方阵,满足A2B-A-B=E,若A=  0 2 0  -2 0 1  公众号：做题本集结地 880·数一线概做题本 ,则B=_____. (3)设A是3阶方阵,且满足A-E=A+2E=2A+3E=0,则2A*-3E=_____. (4)设A是3阶方阵,α 1 ,α 2 ,α 3 线性无关,且Aα 1 =α 1 +α 2 ,Aα 2 =α 2 +α 3 ,Aα 3 =α 3 +α 1 ,则A=____ _. ·第12页，共180页·(5)设α,β,α ,α ,α 均为4维列向量,A=α,α ,α ,α 1 2 3 1 2 3  ,B=β,α ,α ,α 1 2 3  公众号：做题本集结地 880·数一线概做题本 ,且A=2,B=1,则 A-1+B-1 =_____. 0 1 0 ⋯ 0 0 0 2 ⋯ 0  (6)设n阶行列式A= ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ,则A的第k行元素的代数余子式之和A k1 +A k2 +⋯ 0 0 0 ⋯ n-1 n 0 0 ⋯ 0 +A =_____. kn 三、解答题 b-a2 -a a ⋯ -a a 1 1 2 1 n   -a a b-a2 ⋯ -a a (1)计算n阶行列式D = 2 1 2 2 n . n ⋮ ⋮ ⋮ -a a -a a ⋯ b-a2 n 1 n 2 n ·第13页，共180页·a+b a ⋯ a 1   a a+b ⋯ a (2)计算n阶行列式D n = 2 b i ≠0 ⋮ ⋮ ⋮ a a ⋯ a+b n  . a -1 0 ⋯ 0 0 0  a 1 x -1 ⋯ 0 0  a 0 x ⋯ 0 0 (3)计算n阶行列式D = 2 . n ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ a 0 0 ⋯ x -1 n-2 a 0 0 ⋯ 0 x n-1 a b 0 ⋯ 0 0 c a b ⋯ 0 0 0 c a ⋯ 0 0 (4)计算D n = a2-4bc≥0 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 0 0 0 ⋯ a b 0 0 0 ⋯ c a  公众号：做题本集结地 880·数一线概做题本 . 拓展题 ·第14页，共180页·解答题 (1)设矩阵A为3阶非零实矩阵,AT=A*,且E+A=E-A=0,计算行列式A2-A-3E. (2)设A为3阶非零实矩阵,且AT=kA*(k为非零常数). (I)证明:A是可逆矩阵; (II)求行列式A-1 + A*  公众号：做题本集结地 880·数一线概做题本 -1  . ·第15页，共180页·第十一章矩阵 基础题 一、选择题 (1)设A=a ij  a 21 a 22 +a 23 a 23  3×3 ,B=a 31 a 32 +a 33 a 33  a a +a a 11 12 13 13  0 1 0  ,P= 0 0 1  1 0 0  1 0 0  ,Q= 0 1 0  0 1 1  ,则B=( ). A. AQP B. PAQ C. QAP D. APQ (2)设A是nn≥3  阶可逆方阵,则下列结论中正确的是( ). ①A*  -1 =A-1  * ②kA  * =kn-1A* k≠0  ③A*  T =AT  * ④A*  * n-2 =A A A. ①② B. ②③ C. ③④ D. ①②③④  1 0 1  (3)设A= 2 1 0  -3 2 -5  ,则行列式 E-A  *   公众号：做题本集结地 880·数一线概做题本 -1  =( ). 1 1 1 1 A. B. - C. D. - 4 4 16 16 ·第16页，共180页· 1 1 1  0 1 0 (4)设矩阵A=   2 k 3  k-1 5 1  1 1 1  0 1 -1 与B=  2 3 k  3 5 1  等价,则( ). A. k=1 B. k≠1 C. k=-1 D. k≠-1 1 0 -1  (5)设A= 2 a 1  1 2 1  ,B是3阶矩阵,且rB  =2,rAB  =1,A*与B*分别是A与B的伴随矩阵,则下 列选项中正确的是( ). A* O A. r  A B       A O =3 B. r  O B*       A* B =3 C. r  O A       A B* =3 D. r  O B       =3 二、填空题 (1)设α=1,2,3  T 1 1 ,β=1, , 2 3  公众号：做题本集结地 880·数一线概做题本 T ,A=αβT,则An=_____. ·第17页，共180页·(2)设α=2,-1,3  T ,β=1,2,0  T ,A=αβT,E是3阶单位矩阵,则A+E  n =_____. 1 0 1  (3)设A= 0 2 0  1 0 1  ,则An=_____. 0 -1 0  (4)设B= 1 0 0  0 0 1  公众号：做题本集结地 880·数一线概做题本 ,A=P-1BP,则A4-2B2=_____. ·第18页，共180页·(5)设A是n阶方阵,且A=2,将A的第i行与第j行互换得到B,则行列式B-1B*BT =_____. (6)若An=O,n为正整数,则E-A  -1 =_____. (7)若An=E,n为正整数,则A*  公众号：做题本集结地 880·数一线概做题本 n =_____. ·第19页，共180页·(8)设方阵A满足A2-3A-2E=O,则A-1=_____. x  (9)设存在3阶矩阵A,对任意的x,y,z有A y  z  z  = x  y  ,则A=_____. (10)设α=k,0,⋯,0,k  T k≠0  公众号：做题本集结地 880·数一线概做题本 1 ,且A=E-ααT,A-1=E+ ααT,则k=_____. k ·第20页，共180页·三、解答题 2 -1 3  (1)设A= a 1 b  4 c 6  ,且BA=O,B是3阶方阵,rB  >1,求An. (2)设α,β是n维列向量,且αTβ=2,证明:A=E+αβT可逆,并求A-1. 1 1 1 (3)设A-1=  1 2 1  1 1 3  ,求A*  公众号：做题本集结地 880·数一线概做题本 -1 . ·第21页，共180页·1 0 0  (4)设A= 2 3 0  0 4 5  ,B=E+A  -1 E-A  ,求 E+B  2   -1 . (5)已知方阵A,B,A+B  均可逆,求A-1+B-1  公众号：做题本集结地 880·数一线概做题本 -1 (6)设AB=BA,A可逆,证明:A-1B=BA-1. ·第22页，共180页·(7)设A为2n+1阶正交矩阵,且A=1,证明:A-E不可逆. (8)设n阶方阵A,B,满足A2=E,B2=E,且A+B=0,证明:A+B不可逆.  1 0 1  (9)设A= 0 2 0  -1 0 1  公众号：做题本集结地 880·数一线概做题本 ,AB+E=A2+B,求B. ·第23页，共180页·1  0 0  3  1 (10)设A= 0 0  4  1 0 0  7  ,A-1BA=6A+BA,求B. 0 1 0  (11)设A= 1 0 0  0 0 1  1 0 0  ,B= 0 0 1  0 1 0  1 -4 3  ,C= 2 0 -1  1 -2 0  ,满足AXB=C,求矩阵X. 1 2 (12)设矩阵A满足A 0 1  2 1 = 3 2  公众号：做题本集结地 880·数一线概做题本 A,求矩阵A. ·第24页，共180页·综合题 一、选择题 1 2 k  (1)设A= 1 k+1 1  k 2 1  ,B是3阶非零矩阵,且AB=O,则( ). A. 当k=1时,rB  =1 B. 当k=-3时,rB  =1 C. 当k=1时,rB  =2 D. 当k=-3时,rB  =2 a b b  (2)设A= b a b  b b a  a,b均不为0  ,且rA*  =1,则必有( ). A. a=b B. a=b或a+2b≠0 C. a+2b=0 D. a≠b且a+2b≠0 a 11 a 12 a 13  (3)设A=a 21 a 22 a 23  a a a 31 32 33  0 0 1  ,P= 0 1 0  1 0 0  公众号：做题本集结地 880·数一线概做题本 ,且PnAPm=A,则正整数n,m可以为( ). A. n=m=4 B. n=5,m=4 C. n=4,m=5 D. n=m=5 ·第25页，共180页·O A (4)设A,B均为n阶矩阵,E为n阶单位矩阵,矩阵 B E  A B , O E  A AB , E B  的秩分别为r ,r ,r ,则 1 2 3 下列选项中正确的是( ). A. r ≥r ≥r B. r ≥r ≥r C. r ≥r ≥r D. r ≥r ≥r 2 1 3 3 1 2 1 2 3 3 2 1 (5)下列选项中命题正确的是( ). ①若A,B,C均为n阶矩阵,且ABC=E,则BCA=CAB； ②若A,B均为n阶不可逆矩阵,则A+B必不可逆； ③若A,B均为n阶不可逆矩阵,则AB必不可逆； ④若n阶矩阵A,B满足AB  2 =E,则BA  2 =E. A. ①②③ B. ①③④ C. ②③④ D. ①②④ 二、填空题 A O (1)设A,B是n阶方阵,A=2,B=3,A*,B*分别是A,B的伴随矩阵,C= O B  公众号：做题本集结地 880·数一线概做题本 ,则C的伴随矩阵 C*=_____. ·第26页，共180页·(2)设A是n阶可逆矩阵,A的每行元素之和均为k,则A-1的每行元素之和均为_____.  1 -1 -1 -1  -1 1 -1 -1 (3)设A=  -1 -1 1 -1  -1 -1 -1 1  ,则An n≥1  =_____. 0 1 0 0  0 0 1 0 (4)设A=  0 0 0 1  0 0 0 0  ,则E+A  公众号：做题本集结地 880·数一线概做题本 -1 =_____. ·第27页，共180页·0 2 3  (5)设矩阵A= 2 2 a  2 3 4  ,3阶矩阵B≠E,且满足AB=A-B+E,其中E为单位矩阵,若r(A+B) =3,则常数a=_____. 三、解答题 0 0 0 1  0 0 0 2 (1)设A=  0 0 0 3  3 2 1 0  ,求An n≥1  . -1 1 1 -1  1 -1 -1 1 (2)设A=   1 -1 -1 1  -1 1 1 -1  ,证明:A2+4A=O,并求E+A  公众号：做题本集结地 880·数一线概做题本 -1 . ·第28页，共180页· 1 1 2  (3)设A= 0 -2 -4  -1 -1 -1  ,证明:A可逆,并将A表示为初等矩阵的乘积. 1 0 0  (4)设A= 0 -2 0  0 0 1  ,且A*BA=2BA-8E,求B.  1 0 1  (5)设矩阵X满足 2 1 -1  -1 -1 2   0 1  X= 2 0  -2 1  公众号：做题本集结地 880·数一线概做题本 ,求X. 拓展题 ·第29页，共180页·解答题 3 2 2  (1)设A= 0 1 1  0 0 3  1 0 0  ,B= 0 0 0  0 0 -1  ,若矩阵X满足AX+2B=BA+2X,求X2. A C (2)设分块矩阵P= O B  公众号：做题本集结地 880·数一线概做题本 为正交矩阵,A,B分别是m阶和n阶方阵,证明:A与B是正交矩阵. ·第30页，共180页·公众号：做题本集结地 880·数一线概做题本 第十二章向量 基础题 一、选择题 (1)若α ,α ,α 线性相关,α ,α ,α 线性无关,则( ). 1 2 3 2 3 4 A. α 可由α ,α 线性表示 B. α 可由α ,α ,α 线性表示 1 2 3 4 1 2 3 C. α 可由α ,α 线性表示 D. α 可由α ,α 线性表示 4 1 3 4 1 2 (2)向量组α ,α ,⋯,α 线性无关等价于( ). 1 2 n A. 存在一组不全为0的数,使其线性组合不为0 B. 存在一个向量不能由其他向量线性表示 C. 任何一个向量均不能由其他向量线性表示 D. 其中任意两个向量线性无关 (3)设向量组α ,α ,α ,α 线性无关,则下列向量组线性无关的是( ). 1 2 3 4 A. α +α ,α +α ,α +α ,α +α B. α +α ,α +α ,α +α ,α -α 1 2 2 3 3 4 4 1 1 2 2 3 3 4 4 1 C. α +α ,α -α ,α +α ,α -α D. α -α ,α -α ,α -α ,α -α 1 2 2 3 3 4 4 1 1 2 2 3 3 4 4 1 ·第31页，共180页·(4)设向量组I  β 1 ,β 2 ,⋯,β t ,II  α ,α ,⋯,α ,则下列命题: 1 2 s ①若向量组(I)可由(II)线性表示,且s1 D. k=n ·第47页，共180页·λx +x +λ2x =0,  1 2 3  (4)设方程组 x +λx +x =0, 的系数矩阵为A,若存在3阶矩阵B≠O,使得AB=O,则必有( ).  1 2 3   x +x +λx =0 1 2 3 A. λ=-2且B=0 B. λ=-2且B≠0 C. λ=1且B=0 D. λ=1且B≠0 (5)设矩阵A ,B ,则( ). m×n n×m A. 当m>n时,AB必可逆 B. 当m>n时,必有AB=0 C. 当n>m时,必有rAB  公众号：做题本集结地 880·数一线概做题本 m时,ABx=0必有唯一解 (6)设矩阵A ,B 满足AB=E,其中E是单位矩阵,α与β为非零列向量,则下列选项中正确的 m×n n×m 是( ). A. 方程组AX=α有唯一解,方程组BX=β有唯一解 B. 方程组AX=α有无穷多解,方程组BX=β有无穷多解 C. 方程组AX=0仅有零解,方程组BX=β有解 D. 方程组AX=α有解,方程组BX=0仅有零解 ·第48页，共180页·二、填空题 x +2x +x =3, 1 2 3 (1)设方程组 2x 1 +k+4     x -5x =6,,有无穷多解,则k=_____.  2 3   -x -2x +kx =-3 1 2 3 1 2 1  (2)设A= 2 3 a+2  1 a -2  ,β 1 =1,3,4  T ,β 2 =0,1,2  公众号：做题本集结地 880·数一线概做题本 T ,若方程组Ax=β 有解,且Ax=β 无解,则a= 1 2 _____. 三、解答题   2x 1 -x 2 +4x 3 -3x 4 =-4, x +x -x =-3, 1 3 4 (1)求方程组 的通解.  3x +x +x =1,  1 2 3  7x +7x -3x =3 1 3 4 ·第49页，共180页·公众号：做题本集结地 880·数一线概做题本   2x 1 +λx 2 -x 3 =1,  (2)设方程组 λx -x +x =2, 问λ为何值时,方程组无解、有唯一解、有无穷多解?当有无  1 2 3   4x +5x -5x =-1, 1 2 3 穷多解时,求其通解. x +x =0, x -x +x =0,  1 2  1 2 3 (3)设有方程组①  与②  求: x -x =0 x -x +x =0. 2 4 2 3 4 (I)方程组①与②的基础解系; (II)方程组①与②的非零公共解. ·第50页，共180页·x +x =0,  1 2 (4)设有方程组(I) (II)Ax=0,其中(II)的基础解系为 x -x =0, 2 4 α 1 =-1,2,2,1  T ,α 2 =0,-1,-1,0  公众号：做题本集结地 880·数一线概做题本 T , 求方程组(I)与(II)的非零公共解.   x 1 -x 4 =-2,   x 1 +ax 2 -x 3 -x 4 =-5   (5)设有方程组① x -x =-4, ② bx -x -2x =-11,  2 4  2 3 4    -4x -x +6x =21,  x -2x =-c+1. 2 3 4 3 4 (I)求方程组①的通解; (II)当a,b,c为何值时,方程组①与②同解. ·第51页，共180页·(6)设n阶矩阵A满足A=0,A ij 为A的元素a ij 对应的代数余子式,且A 11 ≠0,求方程组A*x=0的 基础解系和通解. (7)已知4×3矩阵A=α ,α ,α 1 2 3  ,非齐次线性方程组Ax=β的通解为1,2,-1  T +k(1,-2,3) T ,k为 任意常数,令B=α ,α ,α ,β+α 1 2 3 3  ,求方程组By=α -α 的通解. 1 2 综合题 一、选择题 (1)设Px,y i i i  x 1 y 1 1  ,i=1,2,3为平面上三个不同的点,又A=x 2 y 2 1  x y 1 3 3  ,则三点P,P,P 在同一条直线 1 2 3 上的充分必要条件是( ). A. rA  =1 B. rA  公众号：做题本集结地 880·数一线概做题本 =2 C. A=0 D. A≠0 ·第52页，共180页·(2)设y=fx  是连续函数,点Px,y i i i  i=1,2,3  为曲线y=fx  上三个不同点,矩阵A= x 1 y 1 1  x 2 y 2 1  x y 1 3 3  ,则( ). A. rA  =1 B. rA  =3 C. rA  =2或rA  =3 D. rA  =1或rA  =2 (3)设三个平面的方程为x=y+bz,y=az+x,z=bx+ay,则这三个平面经过同一直线的充分必要条 件是( ). A. a2+b2=1 B. a2-b2=0 C. a+b=0 D. a+b=1 (4)设A是m×n矩阵,则非齐次线性方程组Ax=b有无穷多解的充分必要条件是( ). A. rA∣b  公众号：做题本集结地 880·数一线概做题本 0,则 下列选项中正确的是( ). A. 方程组ABX=α有无穷多解 B. 方程组ABX=α无解 C. 方程组AX=α有唯一解 D. 方程组AX=α无解 二、填空题 (1)设α ,α ,α ,β均为三维列向量,A=β-α -2α -3α ,α ,α ,α 1 2 3 1 2 3 1 2 3  ,则方程组Ax=β的一个特解为_ ____. (2)设A=a ij  3×3 为实矩阵,且A ij =a iji,j=1,2,3  ,其中A ij 为a ij 的代数余子式,a 33 =1,A=1,则 x 1  方程组Ax 2  x 3  0  = 0  1  公众号：做题本集结地 880·数一线概做题本 的解为_____. ·第55页，共180页·3 (3)设A是2阶矩阵,线性方程组AX: 2  的通解为k-2,1  T +3,-4  T .若β=5,-10  T ,则βTAβ= _____. 三、解答题 (1)设A是m×n矩阵,rA  =n-2,非齐次线性方程组Ax=b的3个解向量α ,α ,α 满足α +α = 1 2 3 1 2 1,2,3,4  T ,α 2 +2α 3 =-2,1,5,3  T ,2α 3 +3α 1 =11,5,-6,7  公众号：做题本集结地 880·数一线概做题本 T ,求方程组Ax=b的通解. ·第56页，共180页·(2)设A=α ,α ,α ,α 1 2 3 4  是4阶矩阵,非齐次线性方程组Ax=β的通解为1,2,2,1  T T +k(1,-2,4,0) , k为任意常数,记B=α ,α ,α ,β-α 3 2 1 4  . (I)证明:rB  =2; (II)求方程组Bx=α -α 的通解. 1 2 (3)设A为3×4矩阵,rA  =1,若向量组α 1 =1,2,0,2  T ,α 2 =-1,-1,1,a  T ,α 3 =1,-1,a,5  T ,α = 4 2,a,-3,-5  公众号：做题本集结地 880·数一线概做题本 T与方程组Ax=0的基础解系等价,求Ax=0的通解. ·第57页，共180页·  l 1 :ax+2by+3c=0,  (4)已知平面上三条不同直线的方程分别为 l :bx+2cy+3a=0, 证明:这三条直线交于一点的充分必  2   l :cx+2ay+3b=0, 3 要条件为a+b+c=0. (5)设A是3阶方阵,A=a ij  ,且a =A ,i,j=1,2,3,其中A 为a 的代数余子式,a ≠0,b= 3×3 ij ij ij ij 33 a ,a ,a 13 23 33  公众号：做题本集结地 880·数一线概做题本 T ,求非齐次线性方程组Ax=b的解. (6)设A是m×n矩阵,b为m维列向量,证明:线性方程组ATAx=ATb必有解. ·第58页，共180页·a-3 -1 2  (7)设A= -1 a-3 2   -1 -1 a  ,且rE-A  =1. (I)求a的值; (II)若非零列向量α,β满足A-E  α=β,A2-E  α=2β,求α,β. -1 0 1 (8)设A= -1 1 a  -1 1  ,B= -1 1   b 2  公众号：做题本集结地 880·数一线概做题本 . (I)若方程组AX=0的解均是BTX=0的解,但这两个方程组不同解,求a,b的值； (II)若方程组AX=0与BTX=0有非零公共解,求a,b的值,并求全部非零公共解. ·第59页，共180页·2 0 0 2  (9)设A= 1 1 0 3  0 1 3 5  1 0 1 2  ,B= 0 2 0 4  0 -1 a-1 a-3  2  ,α= 2  1   1  ,β= 2  -1  . (I)证明:方程组AX=α的解均是方程组BX=β的解; (II)若方程组AX=α与方程组BX=β不同解,求a的值. a 1 1  (10)设矩阵A= 0 a-1 0  1 1 a  b  不可逆,β= 1  1  公众号：做题本集结地 880·数一线概做题本 .已知方程组ATX=0的解均是βTX=0的解. (I)求a,b的值; (II)求可逆矩阵P,使得P-1AP=Λ. ·第60页，共180页·拓展题 解答题 设A是5×4矩阵,rA  =2,已知α ,α ,α 是非齐次线性方程组Ax=b的三个解向量,且α +α = 1 2 3 1 2 4,6,-8,4  T ,α 3 =1,2,-1,1  T ,又0,1,-3,0  公众号：做题本集结地 880·数一线概做题本 T是Ax=0的解,求Ax=b的通解. ·第61页，共180页·第十四章相似矩阵 基础题 一、选择题 1 (1)设λ=2是矩阵A的一个特征值,且A≠0,则 A2 3  -1 有一个特征值为( ). 4 3 1 1 A. B. C. D. 3 4 2 4 (2)设4阶实对称矩阵A的特征值为0,1,2,3,则rA  =( ). A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 (3)设C=diag1,2,2  2 0 0  ,A= 0 2 1  0 0 1  2 1 0  ,B= 0 2 0  0 0 1  公众号：做题本集结地 880·数一线概做题本 ,则( ). A. A与C相似,B与C不相似 B. A与C相似,B与C相似 C. A与C不相似,B与C相似 D. A与C不相似,B与C不相似 ·第62页，共180页·(4)下列矩阵中,不能相似于对角矩阵的是( ).  1 -1 3  A. A= -1 2 0   3 0 6  1 0 0  B. B= 0 2 0  5 0 3  0 0 0  C. C= 0 0 0  1 2 3  1 2 0  D. D= 0 0 3  0 0 0  公众号：做题本集结地 880·数一线概做题本 (5)设矩阵A与B相似,则必有( ). A. 矩阵λE-A与λE-B相等 B. A,B同时可逆或不可逆 C. A和B有相同的特征向量 D. A和B均与同一个对角矩阵相似 (6)设A为3阶方阵,A的三个特征值为1,1,2,α ,α ,α 分别为对应的三个特征向量,则( ). 1 2 3 A. α ,α ,α 必为2E-A的特征向量 1 2 3 B. α +α 必为2E-A的特征向量 1 3 C. α -α 必为2E-A的特征向量 1 2 D. α ,α 必为2E-A的特征向量,α 不是2E-A的特征向量 1 2 3 ·第63页，共180页·(7)设3阶实矩阵A有三重特征值1,fx  =xE-A-A-1 ,其中E是3阶单位矩阵,x∈R,则至少存 在一点x 0 ∈0,1  ,使得y=fx  在点 x ,fx 0 0    处的切线( ). A. 平行于直线y=1 B. 垂直于直线y=1 C. 平行于直线y=x D. 垂直于直线y=x 二、填空题 1 2 2  (1)已知A= 2 1 2  2 2 1  -1 0 0  与B= 0 5 0   0 0 a  公众号：做题本集结地 880·数一线概做题本 相似,则a=_____. (2)设方阵A满足A2+2A+E=O,则A有特征值_____. ·第64页，共180页·(3)设3阶矩阵A的特征值为0,1,2,B=A3-2A2,则rB  =_____. 三、解答题 1 2 2  (1)设A= 2 1 2  2 2 1  公众号：做题本集结地 880·数一线概做题本 .求: (I)A的全部特征值和特征向量; (II)可逆矩阵P,使得P-1AP=Λ； (III)正交矩阵Q,使Q-1AQ=Λ. ·第65页，共180页·(2)判别下列矩阵A与B是否相似.若相似,求可逆矩阵P,使得P-1AP=B. 1 1 1  (I)A= 1 1 1  1 1 1  3 0 0  ,B= 0 0 0  0 0 0  ; 2 0 0  (II)A= 0 0 1  0 1 0  1 0 0  ,B= 0 -1 0  0 -6 2  .  2 -1 2  (3)设矩阵A= 5 a 3  -1 b -2  有特征向量α=1,1,-1  公众号：做题本集结地 880·数一线概做题本 T . (I)试确定参数a,b及α对应的特征值λ； (II)问A能否相似于对角矩阵,说明理由. ·第66页，共180页· 1 -1 1  (4)设A= x 4 y  -3 -3 5  公众号：做题本集结地 880·数一线概做题本 ,A∼Λ,且λ=2是A的二重特征值,求x,y的值及可逆矩阵P,使得P-1AP =Λ. (5)设A是3阶矩阵,α ,α ,α 是线性无关的3维列向量,且Aα =α +α +α ,Aα =2α +α ,Aα = 1 2 3 1 1 2 3 2 2 3 3 2α +3α .求: 2 3 (I)A的全部特征值; (II)可逆矩阵P及Λ,使得P-1AP=Λ,并计算A-2E. ·第67页，共180页·1 2 3  (6)设A是3阶实对称矩阵,A∼B,B= 2 4 6  3 6 9  ,A的二重特征值对应的特征向量为α 1 =1,1,0  T , α 2 =0,2,1  T .求: (I)A的特征值与特征向量; (II)可逆矩阵P,使得P-1AP=Λ. 1 a -1  (7)已知A∼B,A= 1 5 1  4 12 6  b  ,B= b  c  ,求a,b,c的值. (8)(I)设A是n阶实对称矩阵,且A2=A,rA  =rr1  k 是n维正交单位实列向量组,A=ααT,E是n阶单位矩阵,则行列式 i i i=1 A+E  *  =_____. 三、解答题 (1)已知A=α ,α ,α 1 2 3  是3阶可逆矩阵,B是3阶矩阵,且BA=α ,-4α ,-α 1 3 2  公众号：做题本集结地 880·数一线概做题本 .求: (I)B的全部特征值； (II)可逆矩阵P和对角矩阵Λ,使得P-1BP=Λ. ·第73页，共180页·(2)设A是nn≥2  阶矩阵,α ,α ,⋯,α 是n维列向量,且Aα =α ,Aα =α ,⋯,Aα =α ,Aα =0, 1 2 n 1 2 2 3 n-1 n n α ≠0. n (I)证明:α ,α ,⋯,α 线性无关; 1 2 n (II)求可逆矩阵P及三角矩阵B,使得P-1AP=B. (3)设A是3阶矩阵,α ,α ,α 是3维列向量,且α ≠0,Aα =kα ,Aα =α +kα ,Aα =α +kα . 1 2 3 1 1 1 2 1 2 3 2 3 (I)证明:α ,α ,α 是R3的一组基; 1 2 3 (II)若Aα 1 ,Aα 2 ,Aα 3 线性相关,求rA  及trA  公众号：做题本集结地 880·数一线概做题本 . ·第74页，共180页·(4)设A 有三个不同的特征值λ ,λ ,λ ,它们对应的特征向量分别为α ,α ,α ,令β=α +α +α . 3×3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 (I)证明:β,Aβ,A2β线性无关; (II)若A3β=Aβ,求rA-E  . (5)设α=a 1 ,a 2 ,⋯,a n  T ,β=b 1 ,b 2 ,⋯,b n  公众号：做题本集结地 880·数一线概做题本 T 均为非零列向量,A=αβT. (I)求A的全部特征值; (II)问αTβ满足什么条件时,A可以相似于对角矩阵Λ,并求可逆矩阵P,使P-1AP=Λ. ·第75页，共180页·(6)设nn≥2  a 1 1 ⋯ 1  1 a 1 ⋯ 1  阶矩阵A=1 1 a ⋯ 1  ⋮ ⋮ ⋮ ⋮  1 1 1 ⋯ a  .求: (I)可逆矩阵P及对角矩阵Λ,使得P-1AP=Λ； (II)rA*  . (7)设A是2阶矩阵,α是非零向量,且α不是A的特征向量. (I)证明:α,Aα线性无关; (II)记P=α,Aα  公众号：做题本集结地 880·数一线概做题本 ,若A2α-2Aα=8α,证明:A相似于对角矩阵,并求P-1AP. ·第76页，共180页·(8)设α,β为3维单位列向量,且αTβ=0,记A=αβT+βαT. (I)证明:A相似于对角矩阵; (II)若存在3维列向量γ≠0,使得Aγ=0,记P= γ,2α+β   ,β-α  ,求P-1AP. 1 a 12 a 13  (9)设A=1 a 22 a 23  1 a a 32 33  1 2a 12 2a 13  可逆,B是3阶实对称矩阵,且满足BA=1 2a 22 2a 23  1 2a 2a 32 33  公众号：做题本集结地 880·数一线概做题本 .求: (I)B的特征值和对应的特征向量; (II)正交矩阵Q,使得QTBQ=Λ. ·第77页，共180页·(10)设向量组I  α =-a,0,1 1  T ,α 2 =1-a,a,1-a  T ,α 3 =1,0,-a  T ,(II)β 1 =-1,0,a  T ,β = 2 -1,1,a  T ,β 3 =1,-1,-a  T a≠0  ,向量组(I)与(II)等价. (I)求a的值; (II)记A=α ,α ,α 1 2 3  ,问当a为何值时,存在正交矩阵Q,使得Q-1AQ=Λ？并求Q及Λ. a 0 1  (11)设A= 0 -a 0  1 0 a  -1 1 0  ,B= 1 -1 0   0 0 -a  1  ,β= 1  a  公众号：做题本集结地 880·数一线概做题本 ,a≠0.若方程组AX=β有无穷多解. (I)求a的值,并求方程组AX=β的全部解； (II)当a为何值时,存在正交矩阵Q,使得Q-1AQ=B?并求正交矩阵Q. ·第78页，共180页·公众号：做题本集结地 880·数一线概做题本 (12)设A,B均是n阶矩阵. (I)证明:AB与BA有相同的特征值; (II)若AB=BA,且A有n个不同的特征值,证明:B相似于对角矩阵. (13)设A是n阶实对称矩阵,α ,α ,⋯,α 是A的n个单位正交特征向量,对应的特征值为λ ,λ ,⋯, 1 2 n 1 2  λ ,证明:A=λ α αT+λ α αT+⋯+λ α αT. n 1 1 1 2 2 2 n n n ·第79页，共180页·(14)设向量β=b,1,1  T可由α 1 =a,0,1  T ,α 2 =1,a-1,1  T ,α 3 =1,0,a  T线性表示,且表示法不唯 一.记A=α ,α ,α 1 2 3  .求: (I)a,b的值,并写出β由α ,α ,α 表示的线性表达式； 1 2 3 (II)一个可逆矩阵P,使得P-1AP=Λ(Λ为对角矩阵). 2 1 0  (15)设A= 1 2 0  0 0 1   a b c  与B= 0 1 0  -1 -2 4  相似. (I)求a,b,c的值; (II)求可逆矩阵P,使得P-1AP=B； (III)记A的伴随矩阵为A*,求方程组3E-A*  公众号：做题本集结地 880·数一线概做题本 X=0的通解. ·第80页，共180页· 1 -1 0  (16)设B= 1 0 k  -1 1 1-k  不可逆,且满足AB=B,B* AT+E  =O,其中A是3阶矩阵,E是 3阶单位矩阵,B*是B的伴随矩阵. (I)求rB*  ； (II)证明:A相似于对角矩阵,并求A2. 拓展题 解答题 (1)设A是3阶实对称矩阵,存在可逆矩阵P,使得P-1AP=diag1,2,-1  ,且α 1 =1,k+1,2  T ,α = 2 k-1,-k,1  T分别为A的特征值λ =1,λ =2对应的特征向量,A*的特征值λ 对应的特征向量β= 1 2 0 2,-5k,2k+1  T .求: (I)λ 与k的值; 0 (II)矩阵A-1  公众号：做题本集结地 880·数一线概做题本 * . ·第81页，共180页· k -2 2  (2)设A= -3 3 -1  -15 8 -6  1 0 2  ,B= 0 2 0  0 4 -1  ,且A∼B,求k的值及可逆矩阵P,使得P-1AP=B. (3)设数列a n  ,b n  a 满足 n b n  1 2 = -1 4  a n-1  b n-1  n=1,2,⋯  公众号：做题本集结地 880·数一线概做题本 ∞ 1 ,a =1,b =-1,求级数 的 0 0 a -b n=0 n n 和. ·第82页，共180页·第十五章二次型 基础题 一、选择题 (1)二次型fx ,x ,x 1 2 3  =x -x 1 2  2 +x -x 2 3  2 +x -x 3 1  2 的标准形为( ). 3 3 A. f=y2+y2+y2 B. f=2y2+ y2 C. f=y2+y2-y2 D. f=2y2+ y2+y2 1 2 3 1 2 2 1 2 3 1 2 2 3 1  (2)设A= 2  3  2  与B= 3  1  合同,则合同变换矩阵P=( ). 1 0 0  A. 0 0 1  1 0 0  0 0 1  B. 1 0 0  0 1 0  0 1 0  C. 1 0 0  0 0 1  0 0 1  D. 1 0 0  0 0 1  公众号：做题本集结地 880·数一线概做题本 (3)设A是n阶方阵,将A的第i列与第j列互换,再交换第i行与第j行得到B,则( ). A. A与B等价、相似且合同 B. A与B相似、合同但不等价 C. A与B相似但不合同 D. A与B等价但不相似 ·第83页，共180页·(4)二次型fx ,x ,x 1 2 3  公众号：做题本集结地 880·数一线概做题本 =x2+4x2+4x2-4x x +4x x -8x x 的规范形为( ). 1 2 3 1 2 1 3 2 3 A. f=z2 B. f=z2-z2 C. f=z2+z2+z2 D. f=z2+z2-z2 1 1 2 1 2 3 1 2 3 (5)设A,B,Λ均为n阶实方阵,则下列命题中正确的是( ). A. 若A是实对称矩阵,则存在唯一可逆矩阵P,使得P-1AP=Λ B. 若A是实对称矩阵,则存在唯一正交矩阵Q,使得Q-1AQ=Λ C. 若B是实对称矩阵,则存在唯一实对称矩阵A,使得A2=B D. 若B是正定矩阵,则存在唯一正定矩阵A,使得A2=B (6)设E是n阶单位矩阵,则n阶实对称矩阵A正定的充分必要条件是( ). A. 存在n阶矩阵C,使得A=CTC B. 二次型XTAX的负惯性指数为0 C. 存在可逆矩阵P,使得P-1AP=E D. A的伴随矩阵A*与E合同 ·第84页，共180页·1 2 0  (7)设A= 2 0 2  0 2 -1  ,若存在可逆矩阵C,使得CTAC=Λ,则C可能为( ). 1 -1 -1  1 1 A. 0 2 2  0 0 1  1 2 0  B. 0 2 -1  0 0 1  1 2 0  C. 0 1 2  0 0 1  1 1 1  1 1 D. 0 2 2  0 0 1  (8)设二次型fx ,x ,x 1 2 3  =x2+x2+x2-4x x -4x x -4x x ,则fx ,x ,x 1 2 3 1 2 1 3 2 3 1 2 3  =1在空间直角坐标系 下表示的二次曲面为( ). A. 椭球面 B. 柱面 C. 单叶双曲面 D. 双叶双曲面 (9)若二次曲面x2+k+2  公众号：做题本集结地 880·数一线概做题本 y2+kz2+2xy=5表示一个椭球面,则( ). A. k>0 B. k<0 C. k>-1 D. k<-1 ·第85页，共180页·二、填空题 (1)已知二次型fx ,x ,x 1 2 3  =x2+4x2+4x2+2ax x -2x x +4x x 正定,则a的取值范围为____ 1 2 3 1 2 1 3 2 3 _. (2)设二次型fx ,x ,x 1 2 3  =XTAXAT=A  在正交变换下的标准形为-2y2+8y2,且E+B=AB,其 1 2 中B为3阶矩阵,则迹trB-1+2E  =_____. 三、解答题 (1)设二次型fx ,x ,x 1 2 3  公众号：做题本集结地 880·数一线概做题本 =2x2+5x2+5x2+4x x -4x x -8x x . 1 2 3 1 2 1 3 2 3 (I)求一个正交变换x=Qy,将f化为标准形； (II)利用配方法,将f化为标准形. ·第86页，共180页·(2)已知二次型f=2x2 1 +3x2 2 +3x2 3 +2ax 2 x 3a>0  公众号：做题本集结地 880·数一线概做题本 ,经过正交变换化成标准形y2+2y2+5y2,求参数 1 2 3 a及所用的正交变换. (3)证明:n阶矩阵A正定的充分必要条件是存在可逆矩阵P,使得A=PTP. ·第87页，共180页·2 0 1  (4)设A= 0 2 -1  1 -1 a-1  0 0 0  与B= 0 b 0  0 0 3  合同. (I)求a的值及b的取值范围； (II)若存在正交矩阵Q,使得QTAQ=B,求b及Q. (5)设二次型fx ,x ,x 1 2 3  =x +x 1 2  2 +x -x 2 3  2 +x +ax 1 3  2 (I)求fx ,x ,x 1 2 3  =0的解; (II)当fx ,x ,x 1 2 3  =0有非零解时,求正交变换X=QY将fx ,x ,x 1 2 3  化为标准形; (III)求fx ,x ,x 1 2 3  公众号：做题本集结地 880·数一线概做题本 的规范形. ·第88页，共180页·(6)设3阶实对称矩阵A=α ,α ,α 1 2 3  有二重特征值1,且α +2α -α =0,A*是A的伴随矩阵. 1 2 3 (I)求正交变换X=QY将二次型fx ,x ,x 1 2 3  =XTAX化为标准形； (II)求方程组A*X=0的通解. (7)设A是3阶实对称矩阵,α=-1,1,1  T满足A-2E  α=0,且rA  =1. (I)求方程组AX=0的通解； (II)求A； (III)若X=x ,x ,x 1 2 3  公众号：做题本集结地 880·数一线概做题本 T ,求方程XTAX=0的全部解. ·第89页，共180页·综合题 一、选择题 (1)二次型fx ,x ,x 1 2 3  =x x +x x 的正、负惯性指数分别为( ). 1 2 2 3 A. p=1,q=1 B. p=1,q=2 C. p=1,q=0 D. p=0,q=2 (2)A是n阶实对称矩阵,B是n阶矩阵,则A合同于矩阵B的充分必要条件是( ). ①rA  =rB  , ②A与B的正惯性指数相等, ③A与B均正定矩阵, ④B是实对称矩阵. A. ①成立 B. ④成立 C. ①②④均成立 D. ③成立 (3)方程x-y  2 +y-z  2 +z-x  公众号：做题本集结地 880·数一线概做题本 2 =1表示的曲面是( ). A. 椭球面 B. 单叶双曲面 C. 双叶双曲面 D. 柱面 ·第90页，共180页·(4)设n元二次型fx 1 ,x 2 ,⋯,x n  =x +a x 1 1 2  2 +x +a x 2 2 3  2 +⋯+x n +a n x 1  2 ,其中a ii=1,2,⋯,n  均为实数,若二次型正定,则( ). A. 1+-1  n+1 a 1 a 2 ⋯a n ≠0 B. 1+-1  n+1 a a ⋯a =0 1 2 n C. 1--1  n+1 a 1 a 2 ⋯a n ≠0 D. 1--1  n+1 a a ⋯a =0 1 2 n 2 1 (5)设A= -1 0  1 1 ,B= 0 1  1 0 ,C= 1 1  1 0 ,D= 0 1  公众号：做题本集结地 880·数一线概做题本 ,则下列选项中正确的是( ). A. A与B相似,B与C合同 B. A与D相似,B与D合同 C. A与D合同,B与C相似 D. B与D相似,C与D合同 (6)设A是3阶实对称矩阵,且A=2,A*=A-E,其中A*是A的伴随矩阵,则二次型xTAx的规范形 为( ). A. y2+y2+y2 B. -y2-y2-y2 C. y2+y2-y2C.-y2-y2+y2 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 ·第91页，共180页·1 2 (7)设A= 2 1  1 4 ,B= 1 1  ,则下列选项中正确的是( ). A. 必存在正交矩阵Q,使得Q-1AQ=B B. 必存在可逆矩阵P,使得P-1AP=B C. 必存在可逆矩阵P,使得PTAP=B D. 必存在可逆矩阵P,使得A=PTP a a-1 (8)设实矩阵A= a-1 a-1  ,若对任意的2维非零实列向量X,都有XTAX<XTX,则a的取 值范围为( ). 1 A.  ,1 3  1 B. (-1,1) C. (-1,0] D.  ,1 3  (9)设α 1 =1,2  T ,α 2 =a,1  T ,X=x ,x 1 2  T ,若二次型fx ,x 1 2  =α ,X 1  2 +α ,X 2  2 经可逆线性变换 X=PY化为gy ,y 1 2  =by2 1 +by2 2 +2by 1 y 2b≠0  公众号：做题本集结地 880·数一线概做题本 ,则( ). 1 1 1 1 A. a= ,b>0 B. a=- ,b>0 C. a= ,b>-1 D. a=- ,b>-1 2 2 2 2 ·第92页，共180页·(10)设A是2阶实对称矩阵,若对任意的2维非零列向量X,都有XTAX<XTX,X ,X 均为2维列 1 2 X 1 向量,则二次型 X 2  T A+E O  O E-A  X 1  X 2  的规范形为( ). A. y2+y2-y2-y2 B. y2+y2+y2-y2 C. y2+y2+y2+y2 D. -y2-y2-y2-y2 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 (11)设A是3阶实矩阵,A=3,且A*=-A+4E,其中A*是A的伴随矩阵,E是3阶单位矩阵,则二次 型XT 2E-A  T 2E-A  X的规范形为( ). A. y2-y2-y2 B. y2+y2-y2 C. y2+y2+y2 D. -y2-y2-y2 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 二、填空题 (1)设A是n阶矩阵,方程组Ax=b有唯一解,则二次型xT ATA  公众号：做题本集结地 880·数一线概做题本 x的正惯性指数为_____. ·第93页，共180页·(2)设A是3阶实对称矩阵,二次型xTAx经过正交变换x=Qy后的标准形为y2+y2-y2,A*是A的伴 1 2 3 随矩阵,则二次型xTA*x的规范形为_____. (3)设3阶实对称矩阵A的特征值为2,3,4,A*是A的伴随矩阵.若对任意3维实列向量X,都有 XTA*X-XTAX≤aXTX,则a的最小取值为_____. 三、解答题 (1)设二次型fx ,x ,x 1 2 3  =xTAx=x2+ax2+x2+2x x -2ax x -2x x 的正负惯性指数都是1.求: 1 2 3 1 2 1 3 2 3 (I)a的值; (II)可逆线性变换x=By,将fx ,x ,x 1 2 3  公众号：做题本集结地 880·数一线概做题本 化为标准形. ·第94页，共180页·(2)设3阶实对称矩阵A=a ij  3 3×3 有特征值λ 1 =λ 2 =2,且a ii =1,α=1,0,-2 i=1  T是方程组A*x= 4α的解向量.求: (I)矩阵A; (II)正交变换x=Qy,将二次型fx ,x ,x 1 2 3  =xTAx化为标准形. (3)设n阶实对称矩阵A只有两个不同的特征值λ =1和λ ,且A属于λ =1的特征向量仅有k(1, 1 2 1 0,⋯,0,1  T k≠0  公众号：做题本集结地 880·数一线概做题本 . (I)求矩阵A; (II)当λ 满足什么条件时,A是正定矩阵. 2 ·第95页，共180页·(4)设二次型fx ,x ,x 1 2 3  =ax2-ax2+ax2+2x x 与gy ,y ,y 1 2 3 1 3 1 2 3  =-y2-y2+a2y2+2y y 的秩相等 1 2 3 1 2 a≠0  .问: (I)当a为何值时,存在可逆(非正交)线性变换x=Py,可将fx ,x ,x 1 2 3  化为gy ,y ,y 1 2 3  ,并求一个 可逆矩阵P; (II)当a为何值时,存在正交变换x=Qy,将fx ,x ,x 1 2 3  化为gy ,y ,y 1 2 3  ,说明理由. (5)设二次型fx ,x ,x 1 2 3  =xTAx=ax2 1 +ax2 2 +a-1  x2+2x x -2x x (a为常数,AT=A). 3 1 3 2 3 (I)求一个正交变换x=Qy将fx ,x ,x 1 2 3  化为标准形； (II)设x=x ,x ,x 1 2 3  T ,求方程xT aE-A  公众号：做题本集结地 880·数一线概做题本 2 x=0的全部解. ·第96页，共180页·(6)设二次型xTAx=ax2+x2+x2 1 2 3  +2x x +2bx x +2x x ,在正交变换x=Qy下的标准形为y2+ 1 2 1 3 2 3 1 y2+4y2,其中AT=A. 2 3 (I)求a,b的值及正交矩阵Q； (II)若正定矩阵B满足B2=A+A*,其中A*是A的伴随矩阵,求B. (7)设A是3阶矩阵,方程组AX=b的通解为k 1-1,1,0  T +k 22,0,1  T +1,1,-2  T .其中b= 6,6,-12  T ,k ,k 为任意常数. 1 2 (I)求A； (II)若A的列向量组的极大线性无关组为α,求一个3维行向量β,使得A2=αβ； (III)记X=x ,x ,x 1 2 3  公众号：做题本集结地 880·数一线概做题本 T ,求方程XTAX=0的全部解. ·第97页，共180页·(8)设二次型fx ,x ,x 1 2 3  =XTAXAT=A  经过正交变换X=QY化为标准形2y2-y2-y2,又A*α= 1 2 3 α,其中α=1,1,-1  T ,A*是A的伴随矩阵. (I)求正交矩阵Q及实对称矩阵A； (II)若正定矩阵B满足B2=A+2E,求B. (9)已知二次型fx ,x ,x 1 2 3  =x2+2x2+ax2+2x x 经过可逆线性变换X=PY化为y2+y2. 1 2 3 1 3 1 3 (I)求a的值及可逆矩阵P； (II)设X=x ,x ,x 1 2 3  T ,当XTX=1时,求fx ,x ,x 1 2 3  公众号：做题本集结地 880·数一线概做题本 的最大值,并求满足x =x >0的最大值点. 1 2 ·第98页，共180页· a 0  (10)设A= -1 a  -1 0  -1 0 a ,B= -1 1 a  ,已知方程组ABX=0与BX=0同解. (I)求a的取值范围; (II)当AB为实对称矩阵时,求正交变换X=QY,将二次型fx ,x ,x 1 2 3  =XTABX化为标准形. 拓展题 一、选择题 设3阶实矩阵A的特征向量为α 1 =-1,1,0  T ,α 2 =1,1,1  T ,α 3 =-1,-1,2  公众号：做题本集结地 880·数一线概做题本 T ,则A必为( ). A. 可逆矩阵 B. 正交矩阵 C. 对称矩阵 D. 正定矩阵 ·第99页，共180页·二、解答题 (1)设二次型fx 1 ,x 2 ,⋯,x n  =nx2 1 +nx2 2 +⋯+nx2 n -x 1 +x 2 +⋯+x n  2 .求: (I)二次型fx 1 ,x 2 ,⋯,x n  =xTAx的秩； (II)可逆矩阵P,使得P-1AP=Λ,并求二次型的正惯性指数. (2)设A为3阶实对称矩阵,二次型fx ,x ,x 1 2 3  =xTAx在正交变换x=Qy下的标准形为-y2+2y2+ 1 2 1 1 1 ay2,其中Q的第1列为 , , 3 3 3 3  公众号：做题本集结地 880·数一线概做题本 T ,且A=-4.求: (I)a的值; (II)正交矩阵Q. ·第100页，共180页·(3)设二次型fx ,x ,x 1 2 3  =xTAxAT=A  经正交变换x=Qy化为by2+c2y2,其中Q= 2 3 1 0 a 1  0 c 0 2  b 0 1  ．b>0,c>0  求: (I)a,b,c的值及矩阵A； (II)可逆矩阵P,使得A+E=PTP. 1 1  a - -  2 2  1 1 (4)设A= - a -  2 2  1 1 - - a  2 2  b 0 0  与B= 0 b 0  0 0 0  b≠0  合同. (I)求a的值; (II)若存在正交矩阵Q,使得QTAQ=B,求b的值及Q; (III)对于(II)中的Q,若QT A+A*  公众号：做题本集结地 880·数一线概做题本 Q=Λ,其中A*是A的伴随矩阵,求对角矩阵Λ. ·第101页，共180页·概率论与数理统计 第十六章随机事件及其概率 基础题 一、选择题 (1)设当事件A与B同时发生时,事件C必发生,则( ). A. PC  =PAB  B. PC  =PA∪B  C. PC  ≤PA  +PB  -1 D. PC  ≥PA  +PB  -1 (2)对任意两个事件A和B,若PAB  =0,则( ). A. PA  PB  =0 B. PA-B  =PA   C. AB=⌀ D. AB=⌀ (3)设PA  >0,PB  >0,PA∣B  =PA  ,则下列选项中不正确的是( ). A. A与B互不相容 B. A与B相容 C. PB∣A  =PB    D. PA∣B   =PA  公众号：做题本集结地 880·数一线概做题本 ·第102页，共180页·(4)设A,B,C是三个相互独立的随机事件,且00,则下列选项中正确的是( ). A. PA  PA∣B  D. PA  ≥PA∣B  公众号：做题本集结地 880·数一线概做题本 ·第103页，共180页·(7)设A,B是两个随机事件,且00,PB∣A   =PB∣A  ,则下列选项中正确的是( ). A. PA∣B   =PA∣B  B. PA∣B   ≠PA∣B  C. PAB  =PA  PB  D. PAB  ≠PA  PB  二、填空题 (1)设PA∣B  =PB∣A  1 = ,PA 2  1 = ,则PA∪B 3  =_____. (2)设事件A,B,C满足PA  =PB  =PC  1 = ,PAB 4  =PBC  =0,PAC  公众号：做题本集结地 880·数一线概做题本 1 = ,则A,B,C三个事 8 件中至少出现一个的概率为_____. ·第104页，共180页·(3)设PA  =0.1,PB∣A   =0.9,PB∣A  =0.2,则PA∣B  =_____.  (4)设A,B为随机事件,且PA  =0.3,PB  =0.4,PA-B   =0.5,则PB∣A∪B  公众号：做题本集结地 880·数一线概做题本 =_____. 2 (5)在区间(0,1)内任取两个数x,y,则xy≤ 的概率为_____. 9 ·第105页，共180页·(6)某人向同一目标独立重复射击,每次射击命中目标的概率为p00,  D. Fx 0, x≤0  x = ft -∞  +∞ dt,且 ft -∞  公众号：做题本集结地 880·数一线概做题本 dt=1 ·第113页，共180页·(4)设X是随机变量,对任意实数x,P{X=x}=0的充分必要条件是( ). A. X的概率密度fx  是连续函数 B. X的分布函数Fx  是连续函数 C. X为离散型随机变量 D. X是非离散型随机变量 (5)设X∼Nμ,42  ,Y∼Nμ,52  ,记p =P{X≤μ-4},p =P{Y≥μ+5},则( ). 1 2 A. 对任意实数μ,有p >p B. 对任意实数μ,p

0  的指数分布,则P{X>16∣X>8}=_____. (2)设X∼N2,σ2  公众号：做题本集结地 880·数一线概做题本 且P{00}=_____. ·第115页，共180页·(3)设X∼Nμ,σ2  ,fx  为X的概率密度,当x=1时,fx  1 取得最大值 ,则P{X<3}= 2 2π _____(用标准正态分布函数Φx  表示). (4)设自动机床在任何时长为t的时间间隔内发生故障的次数X服从参数为λt的泊松分布,Y表示相 继两次故障之间的时间间隔,则当t>0时,P{Y>t}=_____. (5)设随机变量X服从Nμ,σ2  ,A={X>μ},B={X>σ},C={X>μ+σ}.若PA  =PB  公众号：做题本集结地 880·数一线概做题本 ,则事件 A,B,C至多有一个发生的概率为_____. ·第116页，共180页·三、解答题 (1)设离散型随机变量X的分布律为 1 求:(I)X的分布函数;(II)PX>  2  ;(III)P{-1≤X≤2}. (2)设连续型随机变量X的分布函数为Fx  0, x≤-a,   x = k +k arcsin , -a0.求:  1 2 a   1, x>a, (I)常数k ,k 的值; 1 2 (II)X的概率密度; a (III)P X< 2  公众号：做题本集结地 880·数一线概做题本 X -1 1 2 p 0.2 0.3 0.5 . ·第117页，共180页·(3)设随机变量X服从参数为λ的指数分布,对X进行三次独立重复观察,至少有一次观测值大于3 26 的概率为 ,求λ的值. 27 (4)设随机变量X的概率密度为fx  公众号：做题本集结地 880·数一线概做题本 3x2, 0p >p B. p >p >p C. p >p >p D. p >p >p 3 1 2 1 3 2 1 2 3 2 1 3 (3)设随机变量X的概率密度为fx  ,若当-∞0,x ,y 0 0  为其分布函数曲线y=Fx  的拐点,则x =_____,y 0 0 =_____. (2)设随机变量X∼Nμ,σ2  ,其中σ>0,Fx  为X的分布函数,则Fμ-xσ  +Fμ+xσ  公众号：做题本集结地 880·数一线概做题本 =_____. (3)设随机变量X服从泊松分布,且P{X=1}=P{X=2},则P{X>1}=_____. ·第121页，共180页·∞ 3 (4)在伯努利试验中,设事件发生的概率p= ,X表示首次发生所需试验次数,n为正整数,则P 4 n=1 {X=2n}=_____. a (5)设离散型随机变量X的分布律为P{X=k}= e-2,k=0,1,2,⋯,则常数a=_____. k! (6)设X∼N0,σ2  公众号：做题本集结地 880·数一线概做题本 ,X在区间(a,b)内取值的概率最大,其中a>0,则σ2=_____. ·第122页，共180页·(7)设随机变量X服从参数为1的指数分布,k为大于零的常数,则P{X≤k+1∣X>k}=_____. (8)设随机变量X服从参数为λλ>0  的指数分布.Y=   X, X≤1, 则P  Y≤ 1 -X, X>1, 4  公众号：做题本集结地 880·数一线概做题本 =_____. 三、解答题 (1)设随机变量X服从λ=2的指数分布,求Y=1-e-2X的分布函数和概率密度. ·第123页，共180页·(2)设连续型随机变量X的概率密度为fx  ,求Y=sinX的分布函数和概率密度. (3)设随机变量X的概率密度为fx   1 x2  e2 , x≤0, =  2π 求Y=X2的分布函数和概率密度(可用   e-2x, x>0, φx  和Φx  公众号：做题本集结地 880·数一线概做题本 表示). ·第124页，共180页·第十八章多维随机变量及其分布 基础题 一、选择题 (1)设二维随机变量(X,Y)的分布函数为Fx,y  ,则PX>x ,Y>y  0 0  =( ). A. 1+Fx ,y 0 0  -Fx ,+∞ 0  -F+∞,y 0  B. Fx ,y 0 0  -1+Fx ,+∞ 0  +F+∞,y 0  C. 1-Fx ,+∞ 0  -F+∞,y 0  D. 1-Fx ,y 0 0  (2)设两个相互独立的随机变量X与Y分别服从N0,1  与N1,1  ,则( ). 1 1 A. P{X+Y≤1}= B. P{X+Y≤0}= 2 2 1 1 C. P{X-Y≤1}= D. P{X-Y≤0}= 2 2 (3)设随机变量X 与X 同分布,Y 与Y 同分布,则( ). 1 2 1 2 A. X +Y 与X +Y 同分布 B. X -Y 与X -Y 同分布 1 1 2 2 1 1 2 2 C. X ,Y 1 1  与X ,Y 2 2  公众号：做题本集结地 880·数一线概做题本 同分布 D. kX 与kX 同分布,kY 与kY 同分布(常数k≠0) 1 2 1 2 ·第125页，共180页·二、填空题 (1)设二维随机变量(X,Y)的分布律为 且事件{X=0}与{X+Y=1}相互独立,则a=_____,b=_____. (2)设X与Y相互独立且均服从参数为λ的指数分布,则Z=min{X,Y}的分布函数F Zz  =_____. (3)设随机变量X,Y均服从区间为0,4  公众号：做题本集结地 880·数一线概做题本 X 0 1 Y 0 1/4 a 1 b 1/4 9 的均匀分布,P{max{X,Y}≤3}= ,则P{min{X,Y}>3} 16 =_____. ·第126页，共180页·三、解答题 (1)设二维随机变量(X,Y)的联合分布律为 (I)求P{min{X,Y}≥0}; (II)问X与Y是否相互独立?说明理由. (2)设随机变量(X,Y)的概率密度为fx,y  1, 0 ∣Y>0  2  公众号：做题本集结地 880·数一线概做题本 Y 0 1 X -1 3/16 9/16 1 1/16 3/16 . ·第127页，共180页·(3)设二维随机变量(X,Y)的概率密度为fx,y  ke -4x+3y =   , x>0,y>0,  求: 0, 其他. (I)常数k的值,并判别X与Y是否相互独立,说明理由; (II)Z=X+Y的概率密度f Zz  . (4)设随机变量X与Y相互独立,其概率密度分别为f Xx  -λ x λ e 1 , x>0, = 1 ,f Yy 0, x≤0,  公众号：做题本集结地 880·数一线概做题本 = -λ y   λ 2 e 2 , y>0, 其中λ 1 >0,λ 2 >0为常数.令Z=   1, X≤Y, 求Z的分布律和分布函数. 0, y≤0, 0, X>Y, ·第128页，共180页·(5)设二维随机变量(X,Y)的概率密度为fx,y  -y xe , 02, X = x2 求Z= 的分 Y 0, 其他, 布函数和概率密度. ·第129页，共180页·(7)设随机变量X和Y相互独立,X在区间(0,1)内服从均匀分布,Y的概率密度为f Yy  公众号：做题本集结地 880·数一线概做题本 = y  1 e - 2, y>0,  2 0, y≤0. (I)求(X,Y)的联合概率密度; (II)设X和Y满足关于k的二次方程,k2+2Xk+Y=0,求k有实根的概率. 1 1 (8)设X与Y相互独立,X服从参数为 的指数分布,Y服从参数为 的指数分布,求Z=X+Y的概 2 3 率密度. ·第130页，共180页·(9)设(X,Y)服从区域G= x,y   ∣0≤x≤2,0≤y≤1  上的均匀分布,求Z=XY的分布函数与概率密 度． (10)设二维随机变量(X,Y)的概率密度为fx,y  1 = 1+xy k  -1 x2+y2 e 2  k>0,x,y   ∈R2  . (I)求k的值,并判别X与Y是否相互独立； (II)若Z服从区间-π,π  公众号：做题本集结地 880·数一线概做题本 上的均匀分布,且X与Z相互独立,求U=X+Z的概率密度. ·第131页，共180页·(11)设随机变量X与Y相互独立,X服从p=0.6的0-1分布,Y的分布函数为F Yy  = -y 1-e , y≥0,   记Z=X-Y.求: 0, y<0, 1 (I)PZ≤- ∣X=0  2  ; (II)Z的分布函数. 综合题 一、选择题 (1)设随机变量X与Y独立同分布,均服从P{X=k}=p1-p  公众号：做题本集结地 880·数一线概做题本 k-1 ,k=1,2,⋯,0EX-Y    =( ). 1 A. 1-Φ 2  B. 1-Φ 2  2 C. 1-Φ π  2 D. 1-Φ π  公众号：做题本集结地 880·数一线概做题本 ·第133页，共180页·(5)设随机变量X与Y相互独立,X∼N0,1  1 3 .Y的概率分布为P{Y=0}= ,P{Y=1}= ,记Z= 4 4 XY,则对于Z的分布函数Fz  有( ). A. limFz z→0-  3 = ,limFz 8 z→0+  5 = B. limFz 8 z→0-  =limFz z→0+  1 = 2 C. limFz z→0-  1 = ,limFz 4 z→0+  3 = D. limFz 4 z→0-  3 = ,limFz 4 z→0+  5 = 8 二、填空题 1 (1)设随机变量X与Y相互独立,X服从二项分布B4, 2  ,Y服从λ=1的泊松分布,则概率P{1< max{X,Y}≤3}=_____. (2)设随机变量X与Y均服从N0,σ2  公众号：做题本集结地 880·数一线概做题本 1 ,且P{X≤1,Y≤-1}= ,则P{X>1,Y>-1}=_____. 4 ·第134页，共180页·(3)设D= x,y   ∣0≤x≤a,0≤y≤a  ,向D上均匀地投掷随机点,(X,Y)表示随机点的坐标,0Y, 0, X≤2Y, = 求U,V 1, X>2Y,  公众号：做题本集结地 880·数一线概做题本   的联合分布律,并判别U与V是否相互独立. ·第135页，共180页·(3)设随机变量X和Y都在a,b  上服从均匀分布,且X与Y相互独立.求: (I)Z =max{X,Y}和Z =min{X,Y}的概率密度； 1 2 (II)Z ,Z 1 2  的联合概率密度. (4)设随机变量X与Y均服从N2,σ2  σ>0  1 ,且X与Y相互独立,若P{X≤-1}= ,求 3 P maxX,Y  ≤2,minX,Y   ≤-1  公众号：做题本集结地 880·数一线概做题本 . ·第136页，共180页·(5)设二维随机变量(X,Y)服从D= x,y   ∣y≥0,x2+y2≤1   0, X<0,  上的均匀分布,令U= 1, 0≤X1 i    .求: (I)k的值及PX <0,X <1  1 2  ； (II)Y,Y 1 2  公众号：做题本集结地 880·数一线概做题本 的概率分布. ·第137页，共180页·(7)设随机变量X与Y相互独立,其中X的概率密度为fx  x, 0≤x<1,  = 2-x, 1≤x<2,Y服从参数为2的指    0, 其他, 数分布.Fx  为X的分布函数,记Z=FX  +Y. (I)求FX  的分布函数与概率密度; (II)求Z的概率密度f Zz  . 拓展题 解答题 (1)设随机变量X与Y相互独立,X的概率密度为f Xx  1, 0≤x≤1,  = 0, 其他, Y 的分布函数为F Yy  ,令Z 1   Y, X≤ 2 , =  1 求Z的分布函数F Zz X, X> ,  2  公众号：做题本集结地 880·数一线概做题本 . ·第138页，共180页·(2)设二维随机变量(X,Y)的概率密度为fx,y  λ2e-λx, 00 0, 其他  公众号：做题本集结地 880·数一线概做题本   . (I)证明:Y服从参数为λ的指数分布; (II)问X与Y是否相互独立?并说明理由. ·第139页，共180页·第十九章随机变量的数字特征 基础题 一、选择题 (1)设随机变量X服从参数为2的指数分布,则Y=2X+e-2X的期望EY=( ). 3 2 3 4 A. B. C. D. 2 3 4 3 (2)设随机变量X∼Bn,p  ,且EX=2.4,DX=1.44,则( ). A. n=8,p=0.6 B. n=6,p=0.4 C. n=4,p=0.5 D. n=12,p=0.1 (3)设EX与EX2  均存在,则( ). A. EX2  ≥EX  2 B. EX2  <EX  2 C. EX2  EX ·第140页，共180页·(4)设(X,Y)服从二维正态分布,则U=X+Y与V=X-Y不相关的充分必要条件是( ). A. EX=EY B. EX2  =EY2  C. EX2  +EY  2 =EY2  +EX  2 D. EX2  +EX  2 =EY2  +EY  2 (5)设随机变量X与Y相互独立,且均存在非零方差,DX≠DY,则( ). A. 2X+1与2Y-1相关 B. X+Y与X-Y不相关 C. eX与Y+1相互独立 D. X+Y与Y+1相互独立 (6)设X∼N0,1  ,Y∼N1,4  公众号：做题本集结地 880·数一线概做题本 ,且ρ =1,则( ). XY A. P{Y=2X+1}=1 B. P{Y=-2X+1}=1 C. P{Y=-2X-1}=1 D. P{Y=2X-1}=1 ·第141页，共180页·(7)设随机变量X在-1,1  公众号：做题本集结地 880·数一线概做题本 上服从均匀分布,Y =arcsinX,Y =arccosX,则ρ =( ). 1 2 YY 1 2 1 3 A. 1 B. -1 C. D. 2 4 (8)设袋中有6只红球,4只白球,任意摸出一只球,记住颜色后放回袋中,共进行4次,设X表示摸到 红球的次数,则EX=( ). 2 8 12 48 A. B. C. D. 5 5 5 5 二、填空题 (1)一袋中有N个球,其中白球数目X是一个随机变量,且EX=n,从袋中任取一球,则取得的球是白 球的概率为_____. ·第142页，共180页·(2)设随机变量X的概率密度为fx  = 1 e-x2+2x-1 -∞0,y>0,  则P{X>2∣X>EX}= 0, 其他, _____. ·第144页，共180页·三、解答题 (1)设X与Y的概率分布分别为 X 0 1 Y -1 0 1 p 1/3 1/3 p 1/3 1/3 1/3 且PX2=Y2   =1.求: (I)(X,Y)的概率分布; (II)ρ . XY 1 (2)设随机变量X,Y,Z,满足EX=EY=1,EZ=-1.DX=DY=DZ=1,ρ =0,ρ = , XY XZ 2 1 ρ YZ =- 2 ,求EX+Y-2Z  ,DX+Y+Z  公众号：做题本集结地 880·数一线概做题本 . ·第145页，共180页·1 (3)设X与Y相互独立,且均服从N1, 2  ,求DX-Y  . (4)设X的概率密度为fx  = 1 e -x,-∞0 B. a<0 C. a≠0 D. a=1 ·第148页，共180页·(4)设随机变量X在 0, π  2  上服从均匀分布,U=sinX,V=cosX,则U与V的相关系数ρ 为( ). UV A. ρ =0 B. ρ =1 C. 0<ρ <1 D. -1<ρ <0 UV UV UV UV (5)设随机变量X服从参数为λλ>0  1 的泊松分布,Y服从参数为 的指数分布,则ρ =1的充分 XY λ 必要条件是( ). A. CovX+Y,X  =0 B. CovX-Y,X  =0 C. CovX+Y,Y  =0 D. CovX-Y,X+Y  公众号：做题本集结地 880·数一线概做题本 =0 (6)已知编号为1,2,3的3个袋子中各有3个白球、2个黑球,从1,2号袋子中各取出一个球放入3号 袋子中,则3号袋子中白球个数X的期望与方差分别为( ). 6 12 21 12 A. EX= ,DX= B. EX= ,DX= 5 25 5 25 21 6 12 6 C. EX= ,DX= D. EX= ,DX= 5 5 5 5 ·第149页，共180页·二、填空题 C (1)设随机变量X的概率分布为P{X=k}= k=0,1,2,⋯ k!  ,则EX2  =_____. (2)设随机变量X 1 ,X 2 ,⋯,X n 独立同分布,且有相同的概率密度,则概率P  X n >min  X 1 ,X 2 ,⋯, X n-1   =_____. (3)设随机变量X的概率密度为fx  1 = π1+x2  ,则E minX,1    公众号：做题本集结地 880·数一线概做题本 =_____. ·第150页，共180页·(4)设15000件产品中有1000件次品,从中任取150件进行检测,则检测到次品数X的期望EX=__ ___. (5)设X,Y  ∼N1,1,2,2;0  ,U=X+2Y,V=X-2Y,则ρ =_____. UV (6)设二维随机变量X,Y  ∼N1,1;2,4;0  ,则DXY  公众号：做题本集结地 880·数一线概做题本 =_____. ·第151页，共180页·三、解答题 (1)在区间(0,1)内随机取n个数X ,X ,⋯,X . 1 2 n (I)求最大数与最小数之间距离d的数学期望； 2 (II)若用Y表示n个数中大于 的个数,求EY和DY. 3 (2)设X 1 ,X 2 ,⋯,X nn>2  为独立同分布的随机变量,且均服从N0,1   ,Y=X -X(i=1,2,⋯,n),其 i i  1 n 中X = X.求: n i i=1 (I)DY ii=1,2,⋯n  公众号：做题本集结地 880·数一线概做题本 ; (II)ρ . Y 1 Yn ·第152页，共180页·1 (3)设随机试验E有三种两两不相容的结果A ,A ,A ,且三种结果发生的概率均为 ,将试验E独立 1 2 3 3 重复做2次,X表示2次试验中结果A 发生的次数,Y表示2次试验中结果A 发生的次数.求: 1 2 (I)(X,Y)的联合分布律; (II)ρ . XY (4)设随机变量X ,X ,X 相互独立,且均服从参数为λ的指数分布,记Y=minX ,X 1 2 3  1 2  ,T= maxY,X  3  .求: (I)Y的概率密度f Yy  公众号：做题本集结地 880·数一线概做题本 ; (II)期望ET. ·第153页，共180页·(5)设X 1 ,X 2 ,⋯,X n 相互独立同分布,其相同的概率密度为fx  2e -2x-θ =  , x>θ, θ为常数 0, x≤θ    , 求Z= minX  i 1≤i≤n  的数学期望. (6)设X 1 与X 2 相互独立,X i ∼Bi,p  i=1,2,01 X<  2  ; (III)求EY-X  公众号：做题本集结地 880·数一线概做题本 . ·第156页，共180页·拓展题 解答题 (1)设随机变量X 1 与X 2 相互独立,且X 1 ∼B1,p  ,X 2 ∼B2,p  ,其中0b}= 4 ,令X 1 = 1, X>a, ,X 2 = -1, X≤b,   求: 1, X>​​b. I  X ,X 1 2  的联合分布及边缘分布; (II)CovX ,X 1 2  ,DX -X 1 2  公众号：做题本集结地 880·数一线概做题本 . ·第157页，共180页·第二十章大数定律与中心极限定理 基础题 一、选择题 (1)设X 1 ,X 2 ,⋯,X n 是总体X的简单随机样本,且EXk  =a ,k=1,2,3,4,根据中心极限定理,当n充 k n 1 分大时,Y n = n X i 2近似服从( ). i=1 a -a2 A. Na , 4 2 2 n  B. Na ,a -a2 2 4 2  a -a2 C. Na , 4 2 1 n  D. Na ,a2 2 2  (2)设随机变量X ,X ,⋯,X 相互独立,记Y =X +X +⋯X ,根据列维一林德伯格中心极限定理, 1 2 n n 1 2 n Y 近似服从正态分布(n充分大),则只要X ,X ,⋯,X ( ). n 1 2 n A. 服从同一离散型分布 B. 服从同一连续型分布 C. 服从同一指数分布 D. 具有相同的期望与方差 (3)设X 1 ,X 2 ,⋯,X n 是独立同分布的随机变量序列,且EX i 2  <+∞,则对任意ε有( ). n A. l n i → m ∞ P    1 n X i 2 <ε i=1  n 1 =0 B. limP X2-EX2 n→∞ n i i i=1     <ε  =0 n 1 C. limP X2-EX2 n→∞ n i i i=1     <ε  n =1 D. l n i → m ∞ P    1 n X i 2 ≥ε i=1  公众号：做题本集结地 880·数一线概做题本 =0 ·第158页，共180页·二、填空题 (1)设随机变量X i 服从二项分布Bi,0.2  ,i=1,2,⋯,10,且X ,X ,⋯,X 相互独立,则根据切比雪夫 1 2 10 10  不等式,有P6<X i <16 i=1  ≥_____. 1 (2)设X与Y满足:EX=-2,EY=2,DX=1,DY=4,ρ =- ,则根据切比雪夫不等式,有 XY 2 PX+Y≥6  ≤_____. (3)设X在区间-1,b  上服从均匀分布,由切比雪夫不等式有PX-1<ε  公众号：做题本集结地 880·数一线概做题本 2 ≥ ,则b=_____,ε 3 =_____. ·第159页，共180页·1 (4)设随机变量X ,X ,⋯,X 相互独立,且均服从B1, 1 2 n 2  .若存在常数k,使得 n k X -X 2i 2i-1 i=1 limP n→∞     ≤x n  =Φx  ,其中Φx  为N0,1  公众号：做题本集结地 880·数一线概做题本 的分布函数,则k=_____. 三、解答题 (1)设一条生产线的合格率为0.8,要使一批产品的合格率在76%与84%之间的概率不小于90%,问 这批产品至少要生产多少件? ·第160页，共180页·(2)设X 1 ,X 2 ,⋯,X n 为来自总体X的简单随机样本,X的概率密度为fx  xn  e-x, x≥0, = n! 0, x<0. (I)利用切比雪夫不等式证明:P 00,都有l n i → m ∞ P    1 n X i 2-a  <ε i=1  =1? (3)设随机变量序列X ,X ,⋯,X 独立,X 的分布律为 1 2 n i X -ia 0 ia i p 1/2i2 1-1/i2 1/2i2 n 其中i=1,2,⋯,n,利用大数定律证明:l n i → m ∞ P    1 n X i  ≥ε i=1  公众号：做题本集结地 880·数一线概做题本 =0. ·第161页，共180页·第二十一章数理统计的基本概念 基础题 一、选择题 (1)设X ,X ,X 1 2 3  为总体X∼N0,σ2  X -X 的简单随机样本,则统计量U= 1 2 服从的分布为( ). 2X  3 A. t1  B. t2  C. F1,1  D. F2,1  (2)设随机变量X,Y均服从N0,1  ,则( ). A. X+Y服从正态分布 B. X2+Y2服从χ2分布 X2 C. 服从F分布 D. X2与Y2均服从χ2分布 Y2 (3)设X ,X ,⋯,X 1 2 10  是来自总体X∼N0,1  4 1 的简单随机样本,则统计量T=  X 4 i i=1  2 + 10 1  X 6 i i=5  2 服从的分布为( ). A. N0,2  B. χ2 10  C. χ2 2  D. N0,10  公众号：做题本集结地 880·数一线概做题本 ·第162页，共180页·二、填空题 (1)从总体X∼N3.4,62  中抽取样本X 1 ,X 2 ,⋯,X n   1 n  ,X = X,若X 位于(1.4,5.4)内的概率不小 n i i=1 于0.95,则样本容量n至少应取_____.(已知Φ1.96  =0.975) (2)设总体Nμ,42  的简单随机样本为X ,X ,⋯,X 1 2 10  ,样本方差为S2,已知PS2>a   =0.1,则a≈ _____.(已知χ 0 2 .19  =14.684,上侧分位数) (3)设随机变量X∼Fn,n  1 ,且P{X>a}=0.05,则PX>  a  公众号：做题本集结地 880·数一线概做题本 =_____. ·第163页，共180页·(4)设X∼tn  ,Y∼F1,n  ,给定α0<α<0.5  ,常数k满足P{X>k}=α,则PY>k2   =_____. (5)设X 1 ,X 2 ,⋯,X nn>1  为来自总体X∼Nμ,σ2  σ>0  的简单随机样本,若PX-μ0  ,Y的分布律为P{Y=-1}=a,P{Y=1}=1- a00为未知参数,x 1 ,x 2 ,⋯,x n 0, 其他,  为 X的简单随机样本值.求: (I)θ的矩估计值; (II)θ的最大似然估计值. (4)设X 1 ,X 2 ,⋯,X n 是来自总体X的简单随机样本,X的概率密度为fx  1 -x = e θ ,-∞0.求参数θ的矩估计量θ及Eθ  公众号：做题本集结地 880·数一线概做题本 . ·第168页，共180页·(5)设总体X的概率密度为fx;θ  1  , 0≤x≤θ, = θ 其中θ>0为未知参数,X 1 ,X 2 ,⋯,X n 0, 其他,  为X的 简单随机样本.求:  (I)θ的最大似然估计量θ；   (II)Eθ和Dθ. (6)某射手进行独立重复射击,每次击中目标的概率为p>0,设他在第X次射击时首次击中目标,以 X为总体,X 1 ,X 2 ,⋯,X n  公众号：做题本集结地 880·数一线概做题本 为X的简单随机样本.求: (I)X的概率分布; (II)参数p的矩估计量和最大似然估计量. ·第169页，共180页·(7)设X ,X ,⋯,X 1 2 10  为总体X∼N0,σ2  的简单随机样本,σ>0为未知参数. (I)求σ2的最大似然估计量σ 2 ; 6 10 2 (II)若记U=X,V=X,利用最大似然估计量σ ,求相关系数ρ . i i UV i=1 i=5 (8)设总体X的概率密度为fx  1 lnx-μ e = 2πx  2   2 , x>0,  X 1 ,X 2 ,⋯,X n  0, x≤0  公众号：做题本集结地 880·数一线概做题本 为总体X的简单随机样本.  (I)求μ的最大似然估计量μ;  (II)记Y=lnX,求Y的分布函数和Eμ. ·第170页，共180页·n-1  (9)设X 1 ,X 2 ,⋯,X n 为来自总体X的简单随机样本,EX=μ,DX=σ2,若θ=k X i+1 -X i i=1   2 为σ2的 无偏估计量,求k的值． (10)设总体X的概率密度为fx;θ  3x2  , 0≤x≤θ, = θ3 θ>0为未知参数,X 1 ,X 2 ,⋯,X n 0, 其他,  为X的简单  1 n 随机样本,X = n X i ,Y n =max  X 1 ,X 2 ,⋯,X n i=1  公众号：做题本集结地 880·数一线概做题本 3n+1 4  ,证明: Y 与 X 都是θ的无偏估计量. n 3n 3 ·第171页，共180页·(11)设总体X∼B1,p  ,参数p∈  1 , 3  4 4  ,样本容量为1,求p的最大似然估计值. (12)设总体X在 θ- 1 ,θ+ 1  2 2  上服从均匀分布,θ为未知参数,X 1 ,X 2 ,⋯,X n  公众号：做题本集结地 880·数一线概做题本 为总体X的样本,求   θ的矩估计量θ 和最大似然估计量θ . 1 2 ·第172页，共180页·(13)设总体X服从参数为λ的泊松分布,X 1 ,X 2 ,⋯,X n   是总体X的样本,X 是样本均值,S2是样本方 差.  (I)对任意实数C,证明:统计量T=CX +1-C  S2是参数λ的无偏估计； (II)求概率P{X≥1}的最大似然估计量. (14)设总体X∼U0,θ  θ>0  ,X 1 ,X 2 ,⋯,X n  为X的简单随机样本,X n  =max  X 1 ,X 2 ,⋯,X n  .    n+1 (I)证明:θ =2X,θ = X 1 2 n n  公众号：做题本集结地 880·数一线概做题本 是θ的无偏估计;   (II)当n≥2时,θ 和θ 哪一个有效? 1 2 ·第173页，共180页·(15)设总体X∼Nμ,σ2  ,μ,σ2为未知参数,X 1 ,X 2 ,⋯,X n  为总体X的简单随机样本值,求μ,σ2的最 大似然估计量. (16)设随机变量X的概率密度为fx  公众号：做题本集结地 880·数一线概做题本 = 1 e -x-μ,-∞0,X 1 ,X 2 ,⋯,X n 2  为X的 简单随机样本. (I)当λ 已知时,求λ 的矩估计量和最大似然估计量; 1 2 (II)求λ ,λ 的矩估计量和最大似然估计量. 1 2 1 (18)设T是连续型随机变量,P{T≤a}=θ,P{T>b}=θ,其中θ∈0, 2  公众号：做题本集结地 880·数一线概做题本 -1, T≤a,  ,aa, -1, T≤b,  Y= 1, T>​​b. (I)求(X,Y)的概率分布及Z=X+Y的概率分布； (II)若θ为未知参数,利用总体Z的样本值-2,0,0,0,2,2,求θ的矩估计值与最大似然估计值. ·第175页，共180页·(19)设二维随机变量(X,Y)的概率密度为fx,y  x2+y2 1 - = e 2σ2 ,x,y 2πσ2  ∈R2,σ>0.记Z=X2+Y2. (I)求Z的概率密度f Zz  ； (II)若Z ,Z ,⋯,Z 为来自总体Z的简单随机样本,求σ2的最大似然估计量σ 2 ,并证明σ 2 是σ2的无 1 2 n 偏估计量. (20)设随机变量X与Y相互独立,X∼N0,σ2  σ>0  1 ,Y的分布律为P{Y=-1}=P{Y=1}= ,记Z 2 =XY,Z ,Z ,⋯,Z 为来自总体Z的简单随机样本. 1 2 n (I)求Z的概率密度f Zz  公众号：做题本集结地 880·数一线概做题本 ； (II)求σ2的最大似然估计量σΔ2; n n (III)若U=aZ,其中a ≥0,a =1,求DU的最小值. i i i i i=1 i=1 ·第176页，共180页·(21)设0.50,1.25,0.80,2.00为来自总体X的简单随机样本值,Y=lnX服从正态分布Nμ,1  ,已知 Φ1.96  =0.975.求: (I)EX; (II)μ的置信度为0.95的置信区间； (III)EX的置信度为0.95的置信区间. (22)设总体X∼U0,θ  ,θ>0,X ,X ,⋯,X 为来自总体X的简单随机样本,若θ的最大似然估计量 1 2 n  为θ.   (I)求Eθ和Dθ；  (II)证明:对任意ε>0,有limP θ-θ≥ε n→∞  =0;   (III)若以θ,aθ  a>0  公众号：做题本集结地 880·数一线概做题本 作为θ的置信区间,置信度为0.95,求a的值. ·第177页，共180页·拓展题 解答题 (1)设相互独立的随机变量X 1 ,X 2 ,⋯,X n 均服从Nμ,σ2  ,Y i =X i -μi=1,2,⋯,n  n 1 ,Y= Y. n i i=1 (I)求Y 的概率密度; 1 (II)利用一阶矩求σ的矩估计量; (III)求EY和DY. (2)设总体X的概率密度为fx;θ  2e -2x-θ =   , x>θ,  其中θθ>0 0, x≤θ,  为未知参数,X 1 ,X 2 ,⋯,X n  公众号：做题本集结地 880·数一线概做题本 为 来自总体X的简单随机样本.   (I)求θ的矩估计量θ 与最大似然估计量θ ； 1 2   (II)问θ 和θ 是否为θ的无偏估计量? 1 2         (III)将θ ,θ 修正为θ ,θ ,使θ ,θ 为θ的无偏估计,并比较θ ,θ 的有效性. 1 2 3 4 3 4 3 4 ·第178页，共180页·第二十三章假设检验 基础题 一、选择题 (1)在假设检验中,检验水平α的意义是( ). A. 原假设H 成立,经检验H 被拒绝的概率 0 0 B. 原假设H 成立,经检验H 不能被拒绝的概率 0 0 C. 原假设H 不成立,经检验H 被拒绝的概率 0 0 D. 原假设H 不成立,经检验H 不能被拒绝的概率 0 0 (2)设X 1 ,X 2 ,⋯,X n 为来自总体X∼Nμ,1   的简单随机样本,X 为样本均值,对于假设检验H :μ= 0 μ 0 ,若取拒绝域R a =  X  >μ 0 + 1.96 n  ,Φx  为N0,1  的分布函数,则该检验犯第一类错误的概率α 为( ). A. 1-Φ0.04  B. 1-Φ0.05  C. 1-Φ1.96  D. 1-Φ1  二、填空题 设总体X∼Nμ,σ2  ,X 1 ,X 2 ,⋯,X n   1 n 为X的简单随机样本,其中μ,σ2未知,X = X,Q2= n i i=1 n  X -X i i=1  公众号：做题本集结地 880·数一线概做题本 2  ,则假设H :μ=0的t检验统计量T=_____. 0 ·第179页，共180页·三、解答题  (1)设在一批圆木中随机抽取100根,测其小头直径,得到样本均值为x=11.2cm,已知标准差σ= 2.6cm,问在显著性检验水平α=0.05下,该批圆木小头平均直径能否认为是在12cm以上？(已知 Φ1.645  =0.95) (2)设某生产线生产袋装产品,正常情况下每袋1 kg,标准差不超过15g,且每袋重量服从正态分布.  现检查机器生产情况,从中任取10袋,测得其均值为x=998g,样本均方差为S=30,在显著性水平 α=0.05下,问机器生产是否正常?(已知χ 0 2 .059  公众号：做题本集结地 880·数一线概做题本 =16.919) ·第180页，共180页·