紧凑版26李林6套卷数三_00.扫描内部讲义汇总（含书籍扫描版增值讲义）_26李林《6套卷》_数三

目 录 26 李林六套卷·第一套 ....................................................................................................................... 1 26 李林六套卷·第二套 ....................................................................................................................... 5 26 李林六套卷·第三套 ....................................................................................................................... 9 26 李林六套卷·第四套 ..................................................................................................................... 13 26 李林六套卷·第五套 ..................................................................................................................... 17 26 李林六套卷·第六套 ..................................................................................................................... 2126李林六套卷·第一套 一、选择题: 第1页 1  1 0 小题,每小题 5 分,共 50 分.下列每题给出的四个选项中,只有一个选项是最 符合题目要求的. 1.曲线 y = x 1 − 1 + l n ( 1 + e − x ) 的渐近线的条数为 A.1. B.2. C.3. D.4. 2.下列函数在 x = 0 处不可导的是 A. x  xs0 i n t 2 d t . B. sin(x−sinx) . C.  x − 1 t l n t d t . D. ex . 3.设 f ( x ) f (x) 1 有一阶连续导数,且lim =1,a = f ,n=1,2, ,则   x→0 x n n A. n 1 ( 1 ) n 1 a n   = − − 收敛, n 1 a n   = 收敛. B. n 1 ( 1 ) n 1 a n   = − −  发散,a2收敛. n n=1 C. n 1 ( 1 ) n 1 a n   = − − 发散, n 1 a n   = 收敛. D. n 1 ( 1 ) n 1 a n   = − − 收敛, n 1 a 2n   = 收敛. 4.如图所示,曲线段的方程为 y = f ( x ) ,函数 f (x)在区间0,a上有连续的导数,则定积分 1 a  f (x)−xf(x)dx=   2 0 A.曲边梯形 A B O D 的面积. B.梯形 A B O D 的面积. C.曲边三角形 A C B 的面积. D.曲边三角形 A O B 的面积. 5.设 A =  1 0 0 − 0 1 2 1 2 − 0 1 2 1 2  , B =  1 2 0 − − 1 1 1 0 1 1  , C =  1 2 0 − − 1 2 0 0 0 1  ,则下列选项中正确的是 A.A与 C 合同. B.A与B相似. C.B与 C 相似. D.B与 C 合同.6.设 第2页 n 阶非零实矩阵 A 满足AT +A=O,B为 n  A E A−E O  阶矩阵,矩阵 , ,     −B B  A AB A+E O  的秩依次为    B A−E r1 , r 2 , r 3 ,则 A.r r r . B.r r r . C.r r r . D.r r r . 1 2 3 3 2 1 2 1 3 3 1 2 7.设向量组 ( I ) α 1 = ( 1 , 1 , 2 ) T , α 2 = ( 2 , 3 , 3 ) T , ( I I ) β 1 = ( 2 , 3 , 5 ) T , β 2 = ( − 1 , 0 , 1 ) T , k 为任意常数,则可由 向量组（I）线性表示,也可由向量组（II）线性表示的列向量 = A. k ( 2 , 1 , 3 ) T . B. k ( − 2 , 1 , 3 ) T . C.k(5,6,9)T . D.k(−5,6,9)T . 8.设每次试验只有两个结果A与A ,已知 P ( A ) = p ( 0  p  1 ) ,重复独立进行该实验直至A与A 都出现为止,且试验次数X 的数学期望为3,则 p = 1 A. . B. 2 1 3 . C. 1 4 . D. 2 3 . 9.设 ( X , Y )  N  1 , 0 ; 9 , 1 6 ; − 1 2  , Z = 1 3 X + 1 2 Y ,则 A.X 与Z 不相关. B.X 与Z 不相互独立. C. Y 与 Z 不相关. D. Y 与 Z 相互独立. 10.连续不间断独立地对同一目标射击,直到命中为止.设进行 n ( n  1 ) 轮射击,各轮射击的次数 依次为k ,k , ,k ,且每次击中目标的概率均为 p(0 p1) ,则 p的矩估计值与最大似然估计 1 2 n 值分别为 A. ˆp = n i= n 1 k i , ˆp = n i= 1n k i . B. ˆp = n i= 1n k i , ˆp = n i= n 1 k i . n n k k n n i i C. pˆ = ,pˆ = . D. pˆ = i=1 ,pˆ = i=1 . n n n n k k i i i=1 i=1 二、填空题:11~16小题,每小题 5分,共 30分. 11.设 x , y  R 5 ,且4x2 +4y2 −2xy− =0,则2x+ y的取值范围为_____. 8 lnf (x+1)+ex2 f (1+tanx)2− f (1+tanx)     12.设 f (x)连续,lim =1,则lim =_____. x→0 x x→0 x13.设 第3页 1 x ( a d x x 3 ) 1 3 l n 2 ( a 0 )   + + =  ,则 a = _____. 14.某商品的需求量Q对价格 P 的弹性为 − P l n 4 ，已知该商品的最大需求量为 1000，则需求量 关于价格的函数为 Q = _ _ _ _ 15.设 A 的伴随矩阵 A * =  1 1 1 0 1 1 0 0 1  ,3 阶矩阵 B 满足 A − 1 B A + B A + 2 E = O ,则行列式 B =_____。 16.设二维随机变量 ( X , Y ) 服从 D 上的均匀分布,其中 D =  ( x , y )∣ 0  x  3 , 0  y  3  ,记 U = ( X + Y ) 2 , V = ( X − Y ) 2 ,则 C o v ( U , V ) = _____. 三、解答题:17~22小题,共 70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.（本题满分10分） 设 f ( x ) 为连续函数, l i m x → 0 x f ( x ) − x l n 2 ( 1 + x ) = 1 ,当 x → 0 x 时, 2tf (x−t)dt−x2与axn(a 0) 0 为等价无穷小,求 f  ( 0 ) 及 a 与 n 的值. 18.（本题满分12分） 设 f ( x , y ) 有一阶连续的偏导数,在（1,1）的某邻域内, f ( x , y ) e x 2 y 2 2 o ( )  = + − + , 其中 ( x 1 ) 2 ( y 1 ) 2  = − + − .又 g ( x , y ) = f ( e x − y , x y ) . （I）求 d g ( x , y ) (1 ,1 ) ; （II）计算 l i m t→ 0 g ( 1 + s i n t , 1 ) − t g ( 1 , 1 − t a n t ) . 19.（本题满分12分）   设上半平面的有界区域D= (x,y) 1 x2 + ( y− x )2 2,0 y .计算 I =  D 2 x x 2 + + 1 y 2 d x d y . . 20.（本题满分12分） （公众号：风中羽小易） 设可导函数y = f (x)满足x−ln(1+x)ydx−x2 dy =0(x0), f (1)=4.   （I）证明:y = f (x)是凸函数; x 1  1 （II）若(1+x) x +  1+  a(a 0),求a的最小值.  x21.（本题满分12分） 设 第4页 A = ( α 1 , α 2 , α 3 ) 为3 阶矩阵,交换 A 的第1,2 行,再交换 A 的第2,3列得 B ,其中 B =  0 1 1 − 1 1 1 − 1 1 1  （I）求 A ； （II）记β =α ,β =α −kβ ,β =α −lβ −l β ,若β ,β ,β 两两正交,求k,l ,l ; 1 1 2 2 1 3 3 1 1 2 2 1 2 3 1 2 （III）求正交矩阵Q及上三角矩阵 T ,使得 A = Q T . 22.（本题满分12分） 设随机变量 X 的概率密度为 f ( x ) ( 1 1 x 2 ) ( x ) , Y a r c c o t X    = + −   + = ,随机变量 Z  N ( 0 , 1 ) ,且Y 与 Z 相互独立. （I）求 Y 的分布函数与概率密度; （II）求 U = Z + Y 的概率密度.26李林六套卷·第二套 一、选择题:1~10小题,每小题 5分,共 50分.下列每题给出的四个选项中,只有一个选项是符合 题目要求的. 1.设 第5页 f ( x ) ln i m l n ( e n n x n ) ( x 0 )  = → +  ,则 F ( x ) =  x 1 f ( t ) d t 在区间  1 , )  + 上 A.不连续. B.连续但不可导. C.可导但二阶不可导. D.二阶可导. 2.设 f (x)二阶可导, f (0)=0, f(0)0,F(x)= x tf (t)dt,则 0 A.x=0是F(x)的极大值点. B.x=0是F(x)的极小值点. C. ( 0 , F ( 0 ) ) 是 y = F(x)的拐点. D. ( 0 , F ( 0 ) ) 不是y = F(x)的拐点. 3.设 y = x s i n x 在  0 , n   上与 x 轴所围图形的面积为 a n ( n = 1 , 2 , ) ,则 ln i m k n 1 a 1 a k k 1  →  = + = 1 A. . B.  1 . C.. D. .  4.已知平面区域 D =  ( x , y )∣ 0  x  1 , 0  y  1  , I 1 =  D m a x  x 2 + y 2 , 1  d x d y , I 2 =  D m a x  1 − x 2 , y 2  d x d y , I 3 =  D x 2 + y 2 − 1 d x d y ,则 A. I 3  I 2  I 1 . B. I 2  I 1  I 3 . C. I 1  I 2  I 3 . D. I 2  I 3  I 1 . a a a   b b b  1 2 3 1 3 2     5.设A = b b b ,B= a a a ,则  1 2 3  1 3 2      c c c c +a c +a c +a     1 2 3 1 1 3 3 2 2 A. A = − B . B. 2 A = B . C. A = 2 B . D. A = B . 6.设 A , B 均为 n 阶矩阵, α , β 均为n维列向量.若 α 可由 A 的列向量线性表示, ( α T , β T ) 不能由 ( A T , B T ) 的行向量线性表示,则下列结论中正确的是 A.r(B,β)=r(B). B.r(B,β)=r(B)+1. C. r  A α T T B β T T  = r ( A T , B T ) + 1 . D. r  ( A , α ) , B T  = r  ( A T , B T )  A B   .7.设 第6页 A =  1 1 4 1 a 5 2 − 1 1 6  与 B =  2 0 0 0 2 0 0 1 b  相似,则 A. a = − 3 , b = 8 . B. a = 3 , b = 8 . C. a = 2 , b = 8 . D. a = − 2 , b = 8 . 8.设 A , B , C 是三个随机事件,P(ABC)=0,0 P(C)1,则正确的是 A.P(ABC)= P(A)P(B)P(C). B. P ( A  B  C ) = P ( A ) + P ( B ) + P ( C ) . C.P(AB)∣C= P ( A∣C ) +P ( B∣C ) .   D.P(AB)∣C= P(A∣C)+P(B∣C).   9.设随机变量 X 1  B ( 1 , p ) , X 2  B ( 2 , p ) ( 0  p  1 ) ,且X 与 1 X 2 相互独立,记Z = 1 2 X 1 + X 2 , Z 2 = X 1 − X 2 ,则 A. Z 1 与Z 不相关, 2 Z 1 与Z 相互独立. B. 2 Z 1 与Z 不相关,Z 与Z 不相互独立. 2 1 2 C. Z 1 与 Z 2 相关, Z 1 与 Z 2 相互独立. D. Z 1 与 Z 2 相关, Z 1 与 Z 2 不相互独立. 10.设随机变量 X 在  0 ,  ( 0 )    上服从均匀分布,其中未知, X 1 , X 2 , , X n 为总体 X 的简单随 机样本, ˆ 为的最大似然估计量,若 k ˆ 为的无偏估计量,则k = A. n n + 1 . B. n + n 1 . C. n 1 + 1 . D. 1 n . 二、填空题:11~16小题,每小题 5分,共 30分.（公众号：风中羽小易） 11.设级数 n  = 2 n ( l 1 n n ) p   1 1  发散，且(−1)n−1 −arctan 条件收敛，其中   np np  n=1 p  0 ，则 p 的取值范 围为 _ _ _ _ ． 12.设连续函数 f ( x ) 1 满足 f (tx)dt = f (x)+xsinx,且 0 f ( 0 ) = 1 ,则 f ( x ) 在区间  0 ,   上的平均值 为_____. 13.某工厂生产A,B两种产品，产量分别为x,y单位，总成本函数为C(x,y)= x2 +2xy+3y2 +2． 若当两种产品的销售价分别为 4 与 8 时，产品能全部售出，则生产这两种产品可获得的最大 利润为 _ _ _ _ ． 14.设微分方程y+ay+ y =0的每一个解y(x)在0,+)上有界,则实数a的取值范围为_____. 15.设 A 是 3 阶矩阵,α为 3 维列向量,P= ( α,Aα,A2α ) 为可逆矩阵,B=P−1AP ,且 A3α+ 2A2α=3Aα,则tr(A+B)=_____.16.设随机变量 第7页 X 与Y 相互独立, X 服从二项分布 B  4 , 1 2  , Y 服从=1的泊松分布,则 P { 1  m a x ( X , Y )  3 } = _____. 三、解答题:17~22小题,共 70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.（本题满分10分） 设 f ( x ) = ( x − l n a x ) 2 ( x  0 ) ,其中 0  a  1 .若 f ( x ) 的3个极值点为 x 1 , x 2 , x 3 ,且 x 1  x 2  x 3 . （I）求 f ( x ) 的极大值; 2 （II）证明:x +x  . 1 3 e 18.（本题满分12分） 设 f ( x , y ) 有二阶连续偏导数,且满足 d f ( x , y ) = a x y 2 d x +  1 0 x 2 y + 2 5 a y 3  d y , f ( 1 , 1 ) = 6 . （I）求 f ( x , y ) ；（II）曲线 f ( x , y ) = 1 上任一点 （ x , y ） 到原点的距离为 d ,求 d 的最小值. 19.（本题满分12分） 设曲线 ( x 2 + y 2 ) 32 = 2 2 x y , x  0 , y  0 所围区域为D.计算 I =  D ( x + 2 x y − y ) 2 d x d y . 20.（本题满分12分） 设 f ( x ) 在0,1上二阶可导,且 f  ( x )  0 . （I）证明:对于区间（0,1）内的任意不同的两点 x 1 , x 2 ,有 f x 1 ( 1 ) x 2 f ( x 1 ) ( 1 ) f ( x 2 ) ( 0 1 ) ;       + −   + −   （II）若 1 f (x)dx =0,证明:对任意x0,1,有 0 f ( x )  m a x  f ( 0 ) , f ( 1 )  . 21.（本题满分12分） 设 A =  1 − 0 1 1 − + a 1 a 2 0 a 1  ( a  0 ) , X = ( x 1 , x 2 , x 3 ) T . （I）若对X 0,有 X T ( A − k E ) X  0 ,求k的最小值； （II）求可逆线性变换 X = C Y ,将二次型 f (x ,x ,x )=XTAX化为 1 2 3 g(y ,y ,y )= y2 + y2 + y2 −2y y . 1 2 3 1 2 3 1 222.（本题满分12分） 设随机变量 第8页 X 与 Y 相互独立且服从同一分布,当 x  0 时, X 的概率密度 f ( x ) = 0 ,当 x  0 时, f ( x ) 满足方程 f  ( x ) + 2 x f ( x ) = 0 . Z = X 2 + Y 2 ,求: （I） Z 的分布函数与概率密度; （II） D ( Z ) .26李林六套卷·第三套 一、选择题:1~10小题,每小题 5分,共 50分.下列每题给出的四个选项中,只有一个选项是最符 合题目要求的. 1.设 第9页 lx i m 1 x b x 0 2 1 t 4 d t a 0  → +  + =  ,则 A. a = 6 , b = 1 3 . B. a = 1 3 , b = 6 . C. a = − 1 3 , b = − 6 . D. a = − 6 , b = − 1 3 . 2.设 f ( x ) 是定义在 R 上的偶函数,且 f ( x ) + f  ( x ) = 2 e x ,若 a  f ( x ) − e x   x 在 R 上恒成立,则 a 的取值范围为  1 A.(−,0. B. −,− . C.    e ( , 1 )  − − . D. ( , e   − − . 3.设 F ( x , y ) = x − y f ( x , y ) ,其中 f ( x , y ) 在点（0,0）处的邻域内连续,则 f ( 0 , 0 ) = 0 是 F ( x , y ) 在 点（0,0）处可微的 A.充分不必要条件. B.必要不充分条件. C.充分必要条件. D.既不充分也不必要条件. 4.设函数 u ( x , y ) 在有界闭区域 D 上连续,在 D 的内部具有 2 阶连续偏导数,且满足   2 x u 2 +   2 y u 2    2 x u 2 +   2 y u 2 ,则 A.u(x,y)的最大值和最小值都在 D 的边界上取得. B. u ( x , y ) 的最大值和最小值都在 D 的内部取得. C. u ( x , y ) 的最大值在 D 的内部取得,最小值在 D 的边界上取得. D.u(x,y)的最小值在 D 的内部取得,最大值在 D 的边界上取得. 5.设非零实矩阵A满足 A 2 = A , β 为非零向量,现有两个方程组:（I） A x = β ;（II） A T A x = A T β . 下列结论正确的是 ①若（I）有解,则 β 必是A的特征向量； ②若（I）无解,则（II）无解； ③无论（I）是否有解,（II）总有解; ④若（I）（II）同解,则A必为单位矩阵. A.①②. B.①③. C.①④. D.③④.6.设 第10页 2  = 是方阵 A 的特征值,对应的特征向量为 , 1  α = 是 A T 的特征值,对应的特征向量为 β , 则必有 A. α = 2 β . B. β = 2 α . C.α,β线性无关但不正交. D. α 与β正交. 7.若实矩阵 A 与 B 合同,则下列命题一定成立的个数为 ① A B  0 ； ②A与B等价； ③ A 的行向量组与 B 的行向量组等价； ④若 B 可相似对角化,则 A 也可相似对角化 A.1. B.2. C.3. D.4. 8.设 A 、 B 是两个随机事件, P ( A ) = 0 . 2 , P ( ∣B A ) = P ( ∣B A ) , P ( A  B ) = 0 . 6 ,则 P ( A  B ) = A.0.4. B.0.5. C.0.8. D.0.9. 9. 设 X 1 , X 2 相 互 独 立 , 且 均 服 从 参 数 为 1 2 的 0 − 1 分 布 , 记 U =−(X + X )+ X X , 1 2 1 2 V =−(X + X )− X X ,则 1 2 1 2 C o v ( U , V ) = A. 1 1 6 . B. 1 3 6 . C. 1 5 6 . D.0. 10.设总体 X N ( , 2 ) ( 0 )     ,从 X 中分别抽取容量为n ,n 的两个独立样本,其样本均值分 1 2 别为 X 1 , X 2 .若使DaX +(1−a)X 达到最小,则  1 2 a = n n n +n n +n A. 1 . B. 2 . C. 1 2 . D. 1 2 . n +n n +n n n 1 2 1 2 2 1 二、填空题:11~16小题,每小题 5分,共 30分.（公众号：风中羽小易） 11.差分方程y −2y =42t满足 t+1 t y 0 = 2 的特解 y t = _ _ _ _ 12.设可导函数 y(t)满足y(t)= y(t)+ 1 y(t)dt ,且y(0)=1,则 0 y ( 1 ) = _____. 13.设 f ( x ) 是连续函数,且 l ix m f ( x ) 1 e  → = ,若正数 a 满足 l ix m c o s a x x 2 l ix m x x 1 f ( t ) d t   →   = →  + ,则 a= _____. 1 +e−t 14.lim  dt =_____. x→0+ 1 x t ln x15.设A,B均为 3 阶矩阵, 第11页 A 的特征值为 0 , 1 2 , 1 3 ,且 B ( E − A ) = A ,其中 E 为 3 阶单位矩阵,则 t r ( A + B ) = _____. 16.设随机变量X 与Y 相互独立,X 服从区间(0,1)内的均匀分布,Y 服从参数为的指数分在则  Y  P 1 2 =______    X  三、解答题:17~22小题,共 70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.（本题满分10分） （公众号：风中羽小易） 设 f ( x , y ) 有二阶连续偏导数, d f ( x , y ) = e x − y ( y + a x y ) d x + e x − y ( x + b x y ) d y ,且 f ( 1 , 1 ) = 1 . （I）求 f (x,y)的表达式; （II）求 f ( x , y ) 的极值. 18.（本题满分12分） 设曲线 y = f ( x ) = x n + n 2 x （ n 为正整数），在其上点 ( 1 , 1 + n 2 ) 处的切线与 x 轴交于点 ( a n , 0 ) ， 求幂级数  n = 1 a n x n + 1 的收敛域与和函数． 19.（本题满分12分） 设 D =  ( x , y )∣ x 4 + y 4  1 , x  0 , y  0  ,计算I = ( x2 +xy− y2) dxdy. D 20.（本题满分12分） （公众号：风中羽小易） 设 f ( x ) 在 ( , )   − + 内 有 二 阶 连 续 的 导 数 , 且 对 x , y ( , )     − + 满 足  x2 + y2  f  = f (x) f (y), f (x)在  2    ( 0 , )  + 内严格单调递增.证明: （I）对 x , y ( , )     − + ,有 f  x + 2 y   f ( x ) + 2 f ( y ) ; （II）对 x ( , )     − + ,有 f(x)0; （III）  1 − 1 f ( x ) d x  f ( 0 ) + f ( 1 ) . 21.（本题满分12分） （公众号：风中羽小易） 设二次型 f (x ,x ,x )=2 ( x2 +x2 +x2) +2a(x x +x x +x x ),a 为正整数. 1 2 3 1 2 3 1 2 1 3 2 3 （I）求正交变换X=QY,将 f (x ,x ,x )化为标准形； 1 2 3 （II）若存在可逆矩阵P,对任意X =(x ,x ,x )T ,有 f (x ,x ,x )= PX 2,求a的值及P. 1 2 3 1 2 322.（本题满分12分） 设随机变量 第12页 X 在区间 2 , 2    −  内服从均匀分布,Y 的分布律为 P  Y = 0  = P  Y = 1  = 1 2 ,且 X 与 Y 相互独立,记 Z = s i n X . （I）求 Z 的概率密度; （II）求V =Y +Z 的概率密度.26李林六套卷·第四套 一、选择题:1~10小题,每小题 5分,共 50分.下列每题给出的四个选项中,只有一个选项是最符 合题目要求的. 1.函数 第13页 f ( x ) = x x( 2 x − 2 x − 1 ) e x 1− 2 的无穷间断点的个数为 A.0. B.1. C.2. D.3. 2.设当 x → 0 时,有 c o t x = 1 x + + a b x x 2 3 + o ( x 5 ) ,则 A. a = 2 5 , b = − 1 1 5 . B. a = − 2 5 , b = 1 1 5 . 2 1 2 1 C.a=− ,b=− . D.a= ,b= . 5 15 5 15 3.已知连续函数 f ( x ) 满足 f ( x + 2 ) − f ( x ) = s i n x ,  2 0 f ( x ) d x = 0 ,令 I 1 =  3 1 f ( x ) d x , I 2 =  4 2 f ( x ) d x , 则 A.I  I 0. B. 1 2 I 2  I 1  0 . C. I 1  0  I 2 . D. I 1  I 2  0 . 4.下列级数中条件收敛的是   1 1  A.(−1)n  + . B. n=1  n n (n+1)2  n 1 ( 1 ) n 1 n ( 1 n ) n   = −  + −  . C. n 1 ( n ( 1 1 )) n n n 2 s i n 1 n   = − + + . D. n 1 n ( l n 1 ( 1 ) n 1 n )   = − + − . 5.设 A T = ( α 1 , α 2 , , α n − 1 ) 是n(n−1)矩阵,r ( AT) =n−1,β ,β 是与 1 2 α 1 , α 2 , , α n − 1 均正交的 n 维 列向量, β 1  β 2 , k 是任意常数,则方程组 A X = 0 的通解为 A.kβ . B. 1 k β 2 . C.k(β +β ). D.k(β −β ). 1 2 1 2 6.设2阶矩阵 A =  − 1 1 1 1  , 2 维非零实列向量α=(a,b)T ,则二次型 f (x ,x ,x )= 1 2 3 A+ααT α XT  X的规范形为  αT 1 A.y2 + y2 + y2. B. 1 2 3 − y 21 − y 22 − y 23 . C. y 21 + y 22 − y 23 . D. y 21 − y 22 − y 23 .7.设 第14页 A , B , C 均为 n 阶实矩阵, A T = A ,若对任意 n 维非零列向量 X ,都有 t r ( A B X X T ) + tr ( XXTAB ) 0.矩阵  A B B B O C  ,  B O A A C  ,  A O A C B  的秩依次为r,r ,r ,则 1 2 3 A. r1  r 2  r 3 . B. r1  r 3  r 2 . C. r 3  r1 = r 2 . D. r 2  r 3 = r1 . 8.设 A 1 , A 2 , B 是随机事件,0 P(B)1,且 P  ( A 1 + A 2 )∣ B  = P ( A ∣1 B ) + P ( A ∣2 B ) ,则 A. P ( A 1 + A 2 ) = P ( A 1 ) + P ( A 2 ) . B.P(A +A )= P(A∣B)+P(A∣B). 1 2 1 2 C. P ( A 1 B + A 2 B ) = P ( A 1 B ) + P ( A 2 B ) . D. P  ( A 1 + A 2 )∣ B  = P ( A ∣1 B ) + P ( A ∣2 B ) . 9.设随机变量 X 在（0,1）内服从均匀分布,则 P  1  X ln X  e  = A. 1 e . B. 1 − 1 e . C. 1 e . D. 1 − 1 e . 10.设 X ,X , ,X 为来自总体 X 的简单随机样本, X 服从参数 1 2 n 1  = 的泊松分布, Φ ( x ) 为 N ( 0 , 1 )  n  的分布函数,则limP X n= k n→   k=1 A.Φ(0). B. Φ  1 2  . C. Φ ( 1 ) . D. Φ ( 2 ) . 二、填空题:11~16小题,每小题 5分,共 30分. 11.设 f ( x ) = ( x 2 − 4 x + 3 ) n ,则 f (n)(1)=_____. 12.已知某商品的需求函数为Q =8000−8P（ P 表示价格），若使总收益最大，则该商品的价格 P = _ _ _ _ ． 13.设二阶常系数线性非齐次微分方程 y  + a y  + b y = c e x 的一个特解为 y = e 2 x + ( 1 + x ) e x ，则该 方程的通解为____． 14.设函数 F ( u , v )  z z 可微，z = z(x,y)由方程F x+ ,y+ =0确定，则    y x x   z x + y   z y = ____．ax +3x +x =1, 1 2 3  bx +2x +x =2, 15.已知线性方程组 1 2 3 有解,其中 x +2x =3,  2 3 x +2x +3x =1  1 2 3 第15页 a , b a b 0 −1 3 2 1 −2 为常数,若 =1, 1 1 2 −3 −1 −2 −3 2 则 a 3 1 b 2 1 0 1 2 = _____. 16.设总体 X 与总体 Y 相互独立,且都服从 N ( 0 , 2 ) ( 0 ) , X 1 , X 2 , , X n    与 Y 1 , Y 2 , , Y m 分别为 来自总体X 与Y 的简单随机样本,若 T = 2 n i= m i= 1 1 X Y i 2i 服从 t n 分布,则 =_____. m 三、解答题:17~22小题,共 70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.（本题满分10分） （公众号：风中羽小易） 设 a ( a  − 1 ) 为非零常数, lx i m x 1 ( t a ) 1 1t x t 1 t 1 a d t 1  → +   + + − + +  = ,求 a 的值. 18.（本题满分12分） 设 x 2 + y 2 = 1 ( x  0 , y  0 ) 与 x + y + x y = 1 所围区域为 D . x− y+1, x+ y1,  f (x,y)=(x+ y)2  , x+ y 1.  x2 + y2 计算 I =  D f ( x , y ) d x d y . 19.（本题满分12分） 设 M ( x , y ) 是曲线 y = f ( x ) ( y  0 ) 上任一点,曲线在点 M 处的切线交 y 轴于点 P ,若 MP = PO ,其中 O 为坐标原点,且曲线过点（4,3）.求 y = f ( x ) 的表达式,并求 f (x)的极值. 20.（本题满分12分） 设 f (x)在a,b上二阶可导,M = max  f(x) .证明:对任意x(a,b),均有 xa,b f (x)− f (a) f (b)− f (a) M −  (b−x). x−a b−a 221.（本题满分12分） 设3阶实对称矩阵 第16页 A 有二重特征值 1,且 ( A − 4 E ) α = 0 ,其中 E 是单位矩阵, α = ( 1 , 1 , 1 ) T . （I）求实对称矩阵 A ； （II）记 X = ( x 1 , x 2 , x 3 ) T ,利用正交变换将二次型 f ( x 1 , x 2 , x 3 ) = A X T − X 0 化为标准形. 22.（本题满分12分） 设随机变量 X 与Y 相互独立,且服从同一分布 N , 2 2     ,其中 ( 0 )   是未知参数,记 Z = X − Y （I）若 Z 1 , Z 2 , , Z 2 n ( n  2 ) 是总体Z 的简单随机样本,求 2  的最大似然估计量 2  ; （II）记 U = n + 1 i= 1 Z i , V = 2 n i= n Z i ,利用（I）的2 ,求相关系数 . UV26李林六套卷·第五套 一、选择题: 第17页 1  1 0 小题,每小题 5分,共 50分.下列每题给出的四个选项中,只有一个选项是最符 合题目要求的. 1. f ( x ) ( x 2 x x 2 t 1 ) s x i n t 1 d t e 1x ( x  ,  )  = −  + −  − 的第一类间断点的个数为 A.0. B.1. C.2. D.3. 2.设 f ( x ) 在 x = 0 处二阶可导, f ( 0 ) = 0 ,且 l i m x → 0 f ( x ) + x f  ( x ) = 1 ,则存在 0   ,使得 A.曲线 y = f ( x ) 在 ( , )  − 内是凸的. B.曲线 y = f ( x ) 在 ( , )  − 内是凹的. C. f ( x ) 在 ( , 0 )  − 内单调递增,在 ( 0 , )  内单调递减. D. f (x)在 ( , 0 )  − 内单调递减,在 ( 0 , )  内单调递增. 3.已知函数 f ( x , y ) =  ( 0 x , 2 + y 2 ) s i n x 2 1 + y 2 , x x 2 2 + + y y 2 2  = 0 0 , , 则在点（0,0）处 f (x,y) A. 连续, x f ( x , y ) 可微. B.  f (  x x , y ) 不连续, f ( x , y ) 可微. C.  f (  x x , y ) 连续, f ( x , y ) 不可微. D.  f (  x x , y ) 不连续, f ( x , y ) 不可微. 4. 若 y 1 = x + 2 x 2 是 微 分 方 程 y+ p(x)y =q (x) 的 解 , y = x+2x2(x+1),y = 1 2 3 − x+2x2(x+1)是微分方程 y  + p ( x ) y = q 1 ( x ) + q 2 ( x ) 的两个解,则q (x)= 2 A.5x2. B. − 5 x 2 . C. 3 x . D. − 2 1 x . 5 设 A , B 为n阶矩阵, E A B BA O E A 为n阶单位矩阵,矩阵   ,   ,   的秩依次为r ,r ,r , O E  B B B O i 2 3 则 A. r 2  r1  r 3 . B. r1  r 2  r 3 . C. r 3  r 2  r1 . D. r1  r 3  r 2 .6 设 第18页 A 是3阶矩阵, b 是3 维非零列向量,则下列说法中正确的是 ①若 A x = b 有解,则  A b T T  x =  0 1  有解; AT 0 ②若Ax=b有解,则  x=   无解; bT  1 ③若  A b T T  x =  0 1  有解,则 A x = 0 有非零解; ④若  A b T T  x =  0 1  无解,则 A x = 0 只有零解. A.①③. B.①④. C.②③. D.②④. 7.设 A 是 3 阶实对称矩阵,B=(α ,α ,α )是 3 阶可逆矩阵,且AB=(α ,α −2α ,α − 2α ) ,记 1 2 3 1 2 3 3 2 X=(x ,x ,x )T ,则二次型 1 2 3 f ( x 1 , x 2 , x 3 ) = t r ( A X X T ) 的规范形为 A. y2 −y2 −y2. B. 1 2 3 y 21 + y 22 − y 23 . C. y 21 + y 22 + y 23 . D. − y 21 − y 22 − y 23 . 8.设随机变量 X 与 Y 相互独立,且服从同一分布 P  X = k  = P  Y = k  = p ( 1 − p ) k − 1 , 0  p  1 , k = 1 , 2 , , 对于给定的 m ( m  2 ) ,则 P  X = ∣k X + Y = m  = 1 A. . B. m−1 1 m 1 m−1 . C. . D. . m+1 m 1 9.设X 与X 相互独立,且均服从N ( ,2) ,X = (X + X ),则 1 2 2 1 2 A.X − X 与X − X 相互独立. B.X − X 与X − X 相关. 1 2 1 2 C.X + X 与X − X 不相互独立. D.X + X 与X − X 相关. 1 2 1 2 1 2 1 2 10.设 X 1 , X 2 , , X n 1  m  是来自总体X  N(0,1)的简单随机样本,Y = X +   m i  i=1 2 1  n  X (mn),则E(Y)与D(Y)分别为   n−m i  i=m+1 A.0,n. B.0,2. C. n , 2 n . D.2,4. 二、填空题:11~16小题,每小题 5分,共 30分.（公众号：风中羽小易）   2 1 1 11.  − dx=_____. 1xln2x (x−1)2   12.某工厂投资 2000 万元建成一条生产线，已知投产后，总成本对时间 第19页 t 的变化率为 2 2 G(t)=5+23（百万元／年），总收益对时间t的变化率为(t)=17−t3（百万元／年）．若该生 产线年可获得最大利润 L ，则L= _ _ _ _ 13. l i t→ m0 + 1 2 l  t 0 d x  x t e − ( x − y 2) d y = . _ _ _ _ 14. ln i m→  n 1 + 1 1 + + 1 21 n + + 2 + + 1 + n n 1 + 3 n = _ _ _ _ 15.设 α , β , γ 均为3维列向量, A = ( α , β , γ ) , A = 1 , B = ( α + β , β + γ , β + 2 γ ) ,则 ( A − 1 + B − 1 ) * = _____. 16.设二维随机变量（X,Y）在D = (x,y)∣0 x2,0 y 1 上服从均匀分布,Z = max(X,Y),则 D ( Z ) = _____. 三、解答题:17~22小题,共 70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.（本题满分10分） 设 y = f ( x ) 满足 ( − 2 x y + 2 y ) d x = d y , f ( 0 ) = 1 . （I）求 f ( x ) ; （II）求 y = ( x − 1 ) 2  x 0 f ( t ) d t 在区间0,1上与 x 轴所围图形的面积. 18.（本题满分12分） 设 D =  ( x , y ) x 2 + ( y − 1 ) 2  1 , ( x − 1 ) 2 + y 2  1  .计算I = ( 2x2 − y2) dxdy. D 19.（本题满分12分） 设数列  a n  满足a =2,当 0 n  1 时, a n = a nn − 1 + n − n 1 . （I）证明: ln i m a n  → 存在,并求其值; （II）求 n 0 a n x n   = 在收敛区间内的和函数 S ( x ) ,并求 a n .20.（本题满分12分） 设 第20页 f ( x ) 在  a , b  上有一阶连续导数, f ( x ) b 不恒为零,且 f (x)dx=0. a （I）证明:存在一点 ( a , b )    ,使得 f ()= f (x)dx; a （II）若 f ( a ) f ( b )  0 ,证明:存在一点 ( a , b )    ,使得 f()= f (x)dx. a 21.（本题满分12分） 设 A =  1 0 0 1 1 0 − 1 1 1  的单位特征向量为 α ,且α 的各分量非负.3 维列向量α ,α 满足 1 1 2 3 ( E − A ) α 2 = α 1 , ( E − A ) α 3 = α 2 ,其中E为3阶单位矩阵. （I）求 P = ( α 1 , α 2 , α 3 ) ,并证明 P 可逆; （II）求 P − 1 ( A + A * ) P ,其中 A * 为 A 的伴随矩阵. 22.（本题满分12分） 设某手机一个月的需求量X 是随机变量,其概率密度为 f ( x ) =  x 0 e , − x , x x   0 0 , . 记 k 个月的需 求量为 Y k ,设各个月的需求量相互独立. （I）求 Y 2 与 Y 3 的概率密度函数 f 2 ( x ) 与 f 3 ( x ) ; （II）记连续三个月中的月最大需求量为 Y ,求 Y 的概率密度函数.26李林六套卷·第六套 一、选择题:1~10小题,每小题 5分,共 50分.下列每题给出的四个选项中,只有一个选项是最符 合题目要求的. 1.设 第21页 y = f ( x ) 由  x y = = 2 t t + ( e t t , − 1 ) 确定,则 f ( x ) 在 x = 0 处 A.连续但不可导. B.可导但导函数不连续. C.可导且导函数连续. D.二阶可导. 2.设积分 I 2 0 s i n p d x x c o s q x ( p 0 , q 0 )  =    收敛,则 A. p 1且 q  1 . B. p1且 q  1 . C. p  1 且 q  1 . D. p  1 且 q  1 . 3.设可微函数 f ( x , y ) 满足  f (  x x , y ) + f ( x , y ) = 0 ,且 f ( 0 , y ) = 1 + y 2 ,则 d f (0 ,1 ) = A. d x − d y B. − 2 d x + 2 d y . C. 2 d x − 2 d y . D. 2 d x + 2 d y .  n+1− n−1 4.设级数(−1)n−1 绝对收敛, n−1 n=1 n 1 ( 1 ) n n 1 2    = − − 条件收敛, 0   ,则 A. 1 2    . B. 3 2 2    . C. 0 2    . D. 0 3 2    . 5.设 A 是 m  s 矩阵, B 是 s  n 矩阵,则方程组 A B X = 0 与 B X = 0 同解的充分必要条件是 A.r(A)= s. B. r ( A B ) = r ( B ) . C. r ( A ) = r ( B ) . D. r ( A ) = m . 6.设3阶实对称矩阵A的特征值为−1,−2,1,交换A的第2列与第3列,再将第 2列乘以 （ − 1 ） ,得 B.交换B的第 2 行与第 3 行,再将第 2 行乘以 （ − 1 ） ,得C.则二次型XTCX在正交变换 X = Q Y 下的标准形为 A. − y 21 + y 22 − 2 y 23 . B. − y 21 + y 22 + 2 y 23 . C.−y2 +2y2 −y2. D.−y2 −2y2 −y2. 1 2 3 1 2 3 1−a a A X 7.已知A =   ,X=(x ,x )T ,二次型 f (x ,x )= ,则A正定是 f (x ,x )正定的  a a 1 2 1 2 −XT 0 1 2 A.充分不必要条件. B.必要不充分条件.C.充分必要条件. D.既不充分也不必要条件. 8.设总体 第22页 X N ( , 2 ) ( 0 ) , X 1 , X 2 , , X n     为来自总体 X 的简单随机样本, X 为样本均值,若 P { X a } P { X }    −  = −  ,则a= A. n . B. n . C. n . D. ( n 1 )  − . 9.设 ( X , Y )  N ( 1 , 1 ; 2 , 2 ; 0 ) , U = X + 2 Y , V = X − 2 Y ,则 = UV 2 A.− . B. 5 − 3 5 . C. 3 5 . D. 2 5 . 10.设 X 1 , X 2 , , X 2 n 为来自总体 X  N(0,1) 的简单随机样本,记 T 1 = 2 n i= 1  X i − 2 1 n 2 n i= 1 X i  2 , T 2 = 1 2 2 n i= 1 X 2i + n i= 1 X 2 i− 1 X 2 i ,则 A. E ( T 1 ) = 2 n , D ( T 2 ) = n . B. E ( T 1 ) = n , D ( T 2 ) = 2 n − 1 . C. E ( T 2 ) = n , D ( T 1 ) = 2 ( 2 n − 1 ) . D. E ( T 2 ) = 2 n , D ( T 1 ) = 2 n − 1 . 二、填空题:11~16小题,每小题 5分,共 30分. 11.设年利率为 k ( k  0 ) ，按复利计算，若在第n(n=1,2, )年提取n2元．假设永远能如此提取， 则开始至少需存入本金（单位：元）的总数为 _ _ _ _ ． 12.设 f (x)在 0 , 2    内可导, f ( x )  0 , l i x → m 0 + f ( x ) = 1 ,且 l i m t→ 0  f ( x f + ( t s x i ) n x )  1t = e sin x − xx c o sx ,则 f ( x ) = _____. n k+1arctanx 13.lim dx=_____. n→ k x2 k=1 y f f 14.设 f (x,y)= x e−t2 dt,则x + y 的极小值为_____. x2+y2 x y 15.设3阶矩阵A满足(A+E)(A−2E)=O,且 A = 2 ,则 A − 1 + A = _____. 16.设随机变量 X ~ B  1 , 1 2  , Y ~ E ( 1 ) ，且 X 与 Y 相互独立，Z =(2X −1)Y,(Y,Z)的分布函数为 F ( y , x ) ，则F(2,−1)= _ _ _ _ ． 三、解答题:17~22小题,共 70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.（本题满分10分） 设 f (x)在x=0的邻域内有定义,对该邻域内任意两点x,y,满足 f (x+ y)= f (x)+ f (y)+1,且 第23页 f  ( 0 ) = 1 .求 l i m x → 0  f ( s x i n ) x + 1  12 x . 18.（本题满分12分） 设 y = f ( x ) 满足 ( 2 + x 2 ) y  + 2 x y = 2 , f ( 0 ) = 1 2 . （I）求 f ( x ) ； （II）对 t 取不同的值,求 f ( x ) 在区间  t , )  + 上的最大值和最小值. 19.（本题满分12分） 设 D t = { ( x , y )∣ 0  x  2 t , 0  y  t , t  0 } , f ( x , y ) 在D 上有二阶连续偏导数,求 t F(t)=  f'' (x,y)dxdy.并计算 yx D t l i t→ m0 + F ( t t ) . 20.（本题满分12分） 设 f ( x ) 有连续导数, f ( x ) 不恒为零,且  1 0 f ( x ) d x = 0 ,记 M = mx a0 x,1  f  ( x ) . （I）证明:对于  x   0 , 1  ,有 f ( x )  1 2 M ; （II）设 D =  ( x , y )∣ 0  x  1 , 0  y  x  ,证明:  D f ( y ) d x d y  1 8 M .21.（本题满分12分） a 0 1   设A= 0 −a 0 与     1 0 a   第24页 B =  − 1 1 0 − 1 1 0 a 0 0 2  ( a  0 ) 相似.试求: （I） a 的值; （II）正交矩阵 Q ,使得 Q − 1 A Q = B ； （III）一个3阶矩阵 P ,使得 A B = P 2 . 22.（本题满分12分） 设随机变量X 在区间(1,2)内服从均匀分布,在 X = x 的条件下,Y 服从参数为 x 的指数分布, 记 Z = X Y . （I）求Z 的概率密度 f Z ( z ) ; （II）问 X 与 Z 是否相关?说明理由.