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格致课堂
8.3.2 圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积
（用时45分钟）
【选题明细表】
知识点、方法 题号
圆柱、圆锥、圆台的表面积和体积 2,4,5,6,7,11,12
球的相关问题 1,3,8,9,10
基础巩固
1．若一个球的半径扩大到原来的2倍，则它的体积扩大到原来的（ ）倍
A．2 B．4 C．6 D．8
【答案】D
【解析】由球体体积公式 ，若 ，则 ，可知体积扩大
到原来的8倍.
2．若圆锥的高等于底面直径，则它的底面积与侧面积之比为
A．1∶2 B．1∶
C．1∶ D． ∶2
【答案】C
【解析】设圆锥底面半径为r，则高h＝2r，∴其母线长l＝ r．∴S ＝πrl＝ πr2，S ＝πr故选C．
侧 底
3．已知半径为2的球内有一个内接圆柱，若圆柱的高为2，则球的体积与圆柱的体积的比为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】设圆柱的底面圆半径为 ，则 ，所以圆柱的体积 .又球
的体积 ，所以球的体积与圆柱的体积的比 ，故选D.格致课堂
4．圆台的上、下底面半径和高的比为 ，母线长为10，则圆台的侧面积为( )．
A．81π B．100π C．14π D．169π
【答案】B
【解析】设圆台上底半径为r,则其下底半径为4r，高为4r，结合母线长10，可求出r=2．然后由圆台侧面
积公式得， ．
5．《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题:“今有委米依垣内角，下周八尺，
高五尺.问:积及为米几何?”其意思为:“在屋内墙角处堆放米(如图，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆为一
个圆锥的四分之一)，米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少?”已知
1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的米约有
A．14斛 B．22斛
C．36斛 D．66斛
【答案】B
【解析】设圆锥底面半径为r，则 ，所以 ，所以米堆的体积为 = ，
故堆放的米约为 ÷1.62≈22，故选B.
6．圆柱的侧面展开图是边长分别为 的矩形，则圆柱的体积为_____________．
【答案】 或
【解析】圆柱的侧面展开图是边长为2a与a的矩形,格致课堂
当母线为a时,圆柱的底面半径是 ,此时圆柱体积是 ；
当母线为2a时,圆柱的底面半径是 ,此时圆柱的体积是 ,
综上所求圆柱的体积是: 或 ，
故答案为 或 ;
7．一个圆柱和一个圆锥的轴截面分别是边长为a的正方形和正三角形，则它们的表面积之比为__________．
【答案】2：1
【解析】∵圆柱的轴截面是边长为a的正方形，
故圆柱的底面半径r= a，母线长l=a，
故圆柱的表面积S=2πr（r+l）= ，
∵圆锥的轴截面是边长为a的正三角形，
故圆锥的底面半径r= a，母线长l=a，
故圆锥的表面积S=πr（r+l）= ，
故它们的表面积之比为：2：1，
故答案为：2：1．
8．如图，有一个水平放置的无盖正方体容器，容器高 ，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当
球面恰好接触水面时测得水深为 ，若不计容器的厚度，如何求出球的体积？格致课堂
(1)求出球的半径；
(2)求球的体积.
【答案】(1)5 ；(2) .
【解析】(1)设正方体上底面所在平面截球得小圆 ，
则圆心 为正方体上底面正方形的中心，
设球的半径为 ，根据题意，球心到上底面的距离等于 ，
而圆 的半径为 ，由球的截面圆性质，得 ，
解得 ；
(2)将球的半径代入球的体积公式得 .
能力提升
9．体积为 的正方体的顶点都在同一球面上，则该球面的表面积为
A． B． C． D．
【答案】A格致课堂
【解析】因为正方体的体积为8，所以棱长为2，所以正方体的体对角线长为 ，所以正方体的外接球
的半径为 ，所以该球的表面积为 ，故选A.
10．如图，一个底面半径为 的圆柱形量杯中装有适量的水，若放入一个半径为 的实心铁球，水面高度
恰好升高 ,则 ____________．
【答案】
【解析】由题可知，小球的体积等于水面上升的的体积，因此有 ，化简可得， ；
11．一个圆锥的底面半径为2cm，高为6cm，在其内部有一个高为x cm的内接圆柱.
（1）求圆锥的侧面积；
（2）当x为何值时，圆柱的侧面积最大？并求出侧面积的最大值.
【答案】（1） （2） 时，圆柱的侧面积取得最大值，且最大值为
【解析】（1）圆锥的母线长为 ，
∴圆锥的侧面积 .
（2）该几何体的轴截面如图所示.格致课堂
设圆柱的底面半径为r cm，由题意，知 ， .
∴圆柱的侧面积 ，
∴当 时，圆柱的侧面积取得最大值，且最大值为 .
素养达成
12．如图所示，在边长为4的正三角形 中， ， 分别是 ， 的中点， 为 的中点， ，
分别是 ， 的中点，若将正三角形 绕 所在直线旋转 ，求阴影部分形成的几何体的
表面积.
【答案】
【解析】旋转体是一个圆锥挖去一个圆柱后形成的几何体.
令 ， ， ， ，则 ， ， ，
∴ ，
.格致课堂
∴所求几何体的表面积
