250226_102731-3.基础习题册线代第三章详解_01.2026考研数学有道武忠祥刘金峰全程班_01.2026考研数学武忠祥刘金峰全程班_00.书籍和讲义_00.配套书籍_2026考研数学习题册答案详解_基础

第三章 向量答案解析 3-1 基础过关 1.【答案】请参照解析 【解析】（1）令 x 1 a 1  x 2 a 2  x 3 a 3  b ，  2 1 1    2 1 1      (a ,a ,a ,b) 2 1 1   2 1 0 1 1 2 3         10 5 4 1 4 0 0 3     （a）当4且 0   时， r ( a 1 , a 2 , a 3 )  2 ，r(a ,a ,a ,b)3，所以方程组无解，即 1 2 3 向量 b 不能由向量组 A 线性表示； （b）当 4    时，r(a ,a ,a )3， 1 2 3 r ( a 1 , a 2 , a 3 , b )  3 ，所以方程组有唯一解，即向量 b 能由向量组 A 线性表示，且表示式唯一； （c）当 4    且 0   时， ( a 1 , a 2 , a 3 , b )     0 4 2   0 2 1  0 0 1 1 1 0    0 2 0 0 1 0 1 0 0 1  0 1  ，所 x  x 1 1  以x 2x 1，即 2 1  x 1  3  x x x 1 2 3    k  1 2 k  1 ，故bka (2k1)a a ，其中 1 2 3 k  R . （2） ( A , B )   0 1 2 3 3 0 1 2 2 3 0 1 2 1 1 2  0 1 1 2 4 4 1 3    1 0 0 0 0 1 0 0  3 4 0 6 1  1 0 1  5  0 2 3  4 5 0 7  所以 r ( A , B )  3  1 2 4  1 2 4     ，r(A)3，B 1 5 7  0 1 1 ，所以r(B)2         1 3 5 0 0 0     因为r(A,B)r(A)，所以向量组 B 能由向量组 A 线性表示； 又因为 r ( A , B )  r ( B ) ，所以向量组 A 不能由向量组B线性表示. 1 0 1 1 1   （3）(A,B) 0 1 1 1 3 ，所以r(A,B)2，同时也能看出r(A)2，又由     0 0 0 0 0  B   1  0 1 1 1 0  3 0 1    1 0 0 1 2 0  2 0 1  ，所以 r ( B )  2 ，故 r ( A , B )  r ( A )  r ( B )  2 ，所 以向量组 A , B 等价. 2.【答案】请参照解析 【解析】（1）方法一： ( a 1 , a 2 , a 3 )   a 1 1 1 a  1 1  a 1    1 0 0 a  1  0 1 ( 2   1 a a  ) ( a a  1 )  ①当 a  2 且 a   1 时，r(a ,a ,a )3，所以a ,a ,a 线性无关； 1 2 3 1 2 3 ①当 a  2 或 a   1 时， r ( a 1 , a 2 , a 3 )  3 ，所以a ,a ,a 线性相关. 1 2 3 方法二： a 1 , a 2 , a 3  ( a  1 ) 1 1 1 a  0  2 1 0  a 1  ( a  1 ) 2 ( a  2 ) ①当 a  2 且 a   1 时， a 1 , a 2 , a 3  0 ，所以 r ( a 1 , a 2 , a 3 )  3 ，即 a 1 , a 2 , a 3 线性无关； ①当 a  2 或 a   1 时， a 1 , a 2 , a 3  0 ，所以r(a ,a ,a )3，所以 1 2 3 a 1 , a 2 , a 3 线性相关. （2）a：不正确，例如  1 0 0  ,  0 1 0  ,  0 2 0  ； b：不正确，由题意得， 1 ( 1 1 ) 2 ( 2 2 ) m ( m m )    a  b  a  b   a  b  0 ，所以 a 1  b 1 , a 2  b 2 , , a m  b m 线性相关，例 1 0 0 1  0   0              a  0 ,a  1 ,a  0 ,b  0 ,b  1 ,b  0 . 1   2   3   1   2   3               0 0 1 0 0 1             c：不正确，命题前一部分等价于：只有当 1 ， 2 ， ， m  全为 0 时， (a b)(a b ) (a b )0，即a b,a b , ,a b 线性无关. 1 1 1 2 2 2 m m m 1 1 2 2 m m 故整个命题等价于，若a b,a b , ,a b 线性无关，则a , ,a 线性无关， 1 1 2 2 m m 1 m b, ,b 也线性无关，这个命题是不正确的，例 1 ma 1   1 0 0  , a 2   0 1 0  , a 3   0 0 0  相关， b 1   0 0 0  , b 2   0 1 0  , b 3   0 0 1  也相关 但是此时 a 1  b 1   1 0 0  , a 2  b 2   0 2 0  , a 3  b 3   0 0 1  线性无关. 1 0     d：不正确，例a  0 ,a  0 ，此时 1   2       0 0     0 1 2 2  a  a  0 ， b 1   0 0 0  , b 2   1 0 0  ， 0 1 2 2  b  b  0 ，故原命题不正确. （3）方法一：直接使用定义，因为 b 1  b 2  b 3  b 4  0 ，所以b,b ,b ,b 线性相关； 1 2 3 4 方法二： ( b 1 , b 2 , b 3 , b 4 )  ( a 1 , a 2 , a 3 , a 4 )  1 1 0 0 0 1 1 0 0 0 1 1 1 0 0 1   ( a 1 , a 2 , a 3 , a 4 ) A ，又因为 A   1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 1  1 0 1  ，所以r(A)3，所以 r ( b 1 , b 2 , b 3 , b 4 )  r ( A )  3  4 ，所以向量组 b 1 , b 2 , b 3 , b 4 线性相关. 1 1 1   0 1 1   （4）方法一：(b,b , ,b )(a ,a , ,a ) (a ,a , ,a )A，因为 1 2 r 1 2 r   1 2 r   0 0 1 rr r(A)r，所以A为可逆矩阵. 因为 a 1 , , a r 线性无关，所以r(a , ,a )r，所以 1 r r ( b 1 , b 2 , , b r )  r ( ( a 1 , a 2 , , a r ) A )  r ( a 1 , a 2 , , a r )  r ，所以b,b , ,b 线性无关. 1 2 r 方法二：令kb k b  k b 0，则 1 1 2 2 r r ka k (a a ) k (a a  a )0， 1 1 2 1 2 r 1 2 r 即(k k  k )a (k  k )a  k a 0，因为a , ,a 线性无关，所以 1 2 r 1 2 r 2 r r 1 r k k k 1 2 r    k 0 2   k r   k 0 r  0 ，可得 k 1  k 2   k r  0 ，所以 b 1 , , b r 线性无关. （5）因为向量组 A 线性无关，所以r(A)s，即 A 列满秩，所以 r ( A K )  r ( K ) ，因为 A K  B ，所以 r ( K )  r ( B ) ，所以向量组B线性无关  r ( B )  r  r ( K )  r . 3.【答案】（1） 1 , 2 , 3 , 4     是一个极大无关组， 5   2  3   ；（2） a  2 ， b  5 ； （3） 3 【解析】（1） A   1 0 0 0  1 2 0 2 2 1   1 2  2 6 2 5 1  1  1 2    1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0  1 0 1  所以 1 , 2 , 3 , 4     是一个极大无关组，易看出 5   2  3   . （2）  a 3 1 2 b 3 1 2 1 2 3 1    1 3 a 3 b 2 1 2 1 1 3 2    1 0 0 b 2 3   9 3 a 1 1   1 a 2 1 0  a  因为向量组的秩为 2  b9 1   ，故23a 1a ，即  2a 0 a  2 ， b  5 . （3）因为r(A)r(B)2，所以 a 3 可以由 a 1 ， a 2 线性表示， 方法一：由初等列变换可知： D  ( a 1 , a 2 , 2 a 3  3 a 4 )  ( a 1 , a 2 ,  3 a 4 )  ( a 1 , a 2 , a 4 ) 所以 r ( D )  r ( a 1 , a 2 , a 4 )  3 ； 方法二：不妨设 a 3  k 1 a 1  k 2 a 2 ，所以 1 0 2k  1   D(a ,a ,2a 3a )(a ,a ,2ka 2k a 3a )(a ,a ,a ) 0 1 2k CF 1 2 3 4 1 2 1 1 2 2 4 1 2 4  2   0 0 3   因为r(F)3，所以 F 为可逆矩阵，故 r ( D )  r ( C F )  r ( C )  3 .3-2 基础真题 1.【答案】（1） t  5 ；（2） t  5 ；（3） 3   1  2 2    【解析】设有数 k 1 , k 2 , k 3 ，使 k 1 1  k 2 2  k 3 3  0    ，即 k 1 ( 1 , 1 , 1 )  k 2 ( 1 , 2 , 3 )  k 3 ( 1 , 3 , t )  ( 0 , 0 , 0 ) k k k 0, 1 2 3  由此得方程组k 2k 3k 0, （*） 1 2 3  k 3k tk 0,  1 2 3 其系数行列式 D  1 1 1 1 2 3 1 3 t  t  5 . （1）当 t  5 时， D  0 ，故方程组（*）只有零解， k 1  k 2  k 3  0 . 此时，向量组 1 , 2 , 3   线性无关. （2）当 t  5 时， D  0 ，故方程组（*）有非零解，即存在不全为零的常数 k 1 , k 2 , k 3 使 k 1 1  k 2 2  k 3 3  0    ，此时，向量组 1 , 2 , 3   线性相关. （3）当 t  5 1 1 1 1 1 1 1 0 1       时，方程组（*）的系数矩阵 1 2 3  0 1 2  0 1 2             1 3 5 0 2 4 0 0 0       （*）的同解方程组为  k k 1 2   k 2 3 k  3 0  , 0 , ，令k 1，得k 1,k 2，即 3 1 2 1  2 2  3  0    ，从而 2. 3 1 2 2.【答案】（1） a   1 且 b  0 ，或 a   1 ；（2）当 a   1 时，有 1 ， ， 2 3 ， 4 的唯一的线性表示式   a 2 b  1 1  a  a b   1 1 2  a b  1 3  0  4      【解析】设 xx x x，即 1 1 2 2 3 3 4 4 x x x x 1, 1 2 3 4  x x 2x 1, 2 3 4  （*） 2x 3x (a2)x 4x b3,  1 2 3 4 3x 5x x (a8)x 5.  1 2 3 4 对方程组的增广矩阵作初等行变换 1 0 2 3 1 1 3 5 a 1   1 1 2 a 1 2 4  8 1 1 b 5  3    1 0 0 0 1 1 1 2 1  a  1 2 a 1 2 2  5 1 1 b 2  1    1 0 0 0 1 1 0 0 a 1  1  0 1 a 1 2 0  1 1 1 b 0  . （1）当 a   1 且 b  0 时，方程组（*）有无穷多解，此时能表示成 1 ， 2  ， 3 ， 4  的线性组合； 当a1时， b 取任意数时，方程组（*）有唯一解，此时β 也能表示成， 1 2  ，， 3 4  的线性组合； （2）当 a   1 时，因为方程组（*）的系数行列式不等于零，所以该方程组有唯一解，即 可由， 1 2  ， 3 ， 4  线性表示，且唯一. 易求得   a 2 b  1 1  a  a b   1 1 2  a b  1 3  0  4      3.【答案】（1） 0   且3；（2） 0   ；（3） 3    【解析】设 x 1 1  x 2 2  x 3 3     ，将分量代入，可得方程组 ( 1 x 1 x 1 ) ( 1 x 2 x 1 ( ) 1 x x 2 2 ) x x x 3 3 3 0 , , 2 .                   ① 其系数行列式为 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 ( 3 )      A       . 根据克拉默法则可知，当 0   且 3    时，方程组有唯一解，即可由 1 , 2 , 3    线性表示，且表达式唯一； 当 0   时，方程组①是齐次线性方程组，则由 A 0可知，该方程组有无穷多解， 即可由 1 , 2 , 3   线性表示，且表达式不唯一；当 3    2 1 1 0  0 0 0 6     时，(A b) 1 2 1 3  0 1 1 4 ，         1 1 2 9 1 1 2 9     显然， r ( A )  2 ， r ( A b )  3 ，故线性方程组①无解，即不能由 1 , 2 , 3   线性表示. 4.【答案】B 【解析】可由 1 , 2 , , m    线性表示，则  k 1 1  k 2 2   k m m     ，必有k 0， m 否则  k 1 1  k 2 2   k m  1 m  1     ，这与不可由向量组（I）： 1 , 2 , , m  1    线性表 示矛盾. 于是 m  1 k m (  k 1 1  k 2 2   k m  1 m  1 )      ，故 m  可由向量组（II）： 1 , 2 , , m  1     线性表示，排除（A）和（D），如果 m  可由向量组（I）： 1 , 2 , , m  1    线性表示，则此时也可由向量组（I）： 1 , 2 , , m  1    线性表示（因为 已知可由 1 , 2 , , m  1    线性表示）这与已知矛盾. 故 m  不可由向量组（I）： 1 , 2 , , m  1    线性表示，排除（C），正确选项是（B）. 5.【答案】D 【解析】因为向量组Ⅰ可由Ⅱ线性表示，它们的秩满足 r Ⅰ( )  r Ⅱ( )  s r s ，故当 时， r Ⅰ( )  r ，故Ⅰ必线性相关，于是答案选（D）. 6.【答案】A 【解析】方法一：若设 A  ( 1 , 0 ) ，B(0,1)，显然 A B  O ，但矩阵A的列向量组线 性相关，行向量组线性无关；矩阵 B 的行向量组线性相关，列向量组线性无关. 由此就可 断言选项（A）正确. 不少考生选（D），其原因就是对齐次线性方程组有非零解的条件理解不透彻. 事实上，若 设  ( 1 , 2 , , n )    A ，其中 1 , 2 , , n   是矩阵 A 的列向量组，则齐次线性方程组 A x  0 便可写成xx  x 0，所以，方程组 1 1 2 2 n n A x  0 有非零解的充要条件 是列向量组,, ,线性无关. 由已知条件ABO，有 1 2 n B  A   O ，因为A，B 都 是非零矩阵，所以A也是非零矩阵，这表明齐次方程组Bx 0有非零解，所以矩阵B 的列向量组也就是B 的行向量组线性相关.方法二：不妨设A ，B ，由ABO，有 mn ns r ( A )  r ( B )  n ，且AO，BO，则 r ( A )  1 ， r ( B )  1 ，所以有 r ( A )  n （A的列）， r ( B )  n （B 的行），故选（A）. 7.【答案】 1 2 【解析】设矩阵 A   2 2 3 4 1 1 2 3 1 a 1 2 1 a a 1  ，对 A 作初等行变换，化为阶梯形矩阵，得 A   2 2 3 4 1 1 2 3 1 a 1 2 1 a a 1    1 0 0 0 1 2 1 0 0 1 2 0 1 0  a  2 1 1 2     1 2 2 a a  1   由于向量组 ( 2 , 1 , 1 , 1 ) , ( 2 , 1 , a , a ) , ( 3 , 2 , 1 , a ) , ( 4 , 3 , 2 , 1 ) 线性相关，故 r ( A )  4 ，于是 ( a  1 ) ( 2 a  1 )  0 . 由于 a  1 ，从而 a  1 2 . 8.【答案】D 【解析】由于 1 , 2 , , s   线性相关的充分必要条件是该向量组中至少存在一个向量，它 可以用该向量组中其余 s  1 个向量线性表出，而线性无关是线性相关的反面，由此立即知 （D）正确. 9.【答案】请参照详解 【解析】设有数k ,k , ,k 满足 1 2 s k 1 1  k 2 2   k s s  0    （*） 则有 ( k 1  k s ) 1  ( k 1  k 2 ) 2   ( k s  1  k s ) s  0    k k 0, 1 s  k k 0, 由于,, ,线性无关，故有 1 2 1 2 s  k k 0.  s1 s 此方程组的系数行列式为 s 阶行列式：D s  1 1 0 0 0 1 1 0 0 0 1 0 0 0 0 1 1 0 0 1  1  (  1 ) s  1   2 0 , s ,s 为 为 奇 偶 数 数 ， . ①若 s 为奇数，则 D s  2  0 ，故方程组只有零解，即必有 k 1  k 2  k s  0 ，故向量 组,, ,线性无关； 1 2 s ②若 s 为偶数，则 D s  0 ，故方程组有非零解，即存在不全为零的 k 1 , k 2 , , k s ，使 （*）式成立，故向量组 1 , 2 , , s    线性相关. 10.【答案】请参照解析 【解析】设有数 k 1 , k 2 , k 3 ，使 k 1 1  k 2 2  k 3 3  0    ，由此得方程组  k k  1 1 k   2 k 3  2 k t  2 k  3 5 k 3  3 k 0  3 ,  0 , 0 , （*） 其系数行列式为 D  1 1 0 1 3  1 5 3 t  2 ( t  1 ) ①当t 1时，D0，方程组（*）只有零解，k k k 0，此时，向量组,, 1 2 3 1 2 3 线性无关. ② 当 t  1 时， D  0 ，方程组（*）有非零解，即存在不全为零的常数 k 1 , k 2 , k 3 ，使 k 1 1  k 2 2  k 3 3  0    ，即向量组 1 , 2 , 3   线性相关. 11.【答案】请参照解析 【解析】方法一：设  ( 1 , 2 , , n )    A ，其中 1 , 2 , , n   为 m 维列向量. 又设存在常 k  1   k 数k ,k , k ，使0kk  k (,, ,)  2 ，即 1 2 n 1 1 2 2 n n 1 2 n     k   nA  k k k 1 2 n   0 . 等式两端左边乘B ，由BA E ，得 B A  k k k 1 2 n   0 ，即 k 1  k 2   k n  0 . 因此矩阵 A 的列向量组线性无关. 方法二：由于 r ( A m  n )  r ( A B )  r ( E )  n ，且 r ( A m  n )  n ，于是 r ( A m  n )  n ，故A的 列向量组线性无关. 12.【答案】D 【解析】三条直线axbyc 0，a xb yc 0及a xb yc 0有交点的充 1 1 1 2 2 2 3 3 3 要条件是 1 x  2 y  3  0    ，即 1 ， 2  ，线性相关. 3 为保证三条直线只有一个交点，则它们在有交点的情况下，两两不能重合，即 1  k 2   （ k 为某非零常数），故 r ( 1 , 2 )  2   ，即 1 ， 2  线性无关，故应选（D）. 13.【答案】 a  1 5 , b  5 【解析】和 1 2  线性无关， 3+2，所以向量组 3 1 2 1 , 2 , 3   线性相关，且秩为2， 1 , 2  是它的一个极大线性无关组. 由于向量组 β 1 , β 2 , β 3 与,,具有相同的秩，故 1 2 3 β 1 , β 2 , β 3 线性相关，从而 0 a b 1 2 1 0. 1 1 0 由此解得 a  3 b . 又β 可由 3 1 , 2 , 3   线性表示，从而可由,线性表示，所以 1 2 1 , 2 , β 3   线性相关， 于是 1 2  3 3 0 1 b 1 0  0 . 解之得 2 b  1 0  0 ，于是得a15,b5. 14.【答案】D【解析】由题设等式，得 1 ( 1 1 ) m ( m m ) k 1 ( 1 1 ) k m ( m m )             0 .         且 1 , , m   ， k 1 , , k m 不全为零，故向量组 1  1 , , m  m , 1  1 , , m  m         线性 相关. 故答案选（D）. 15.【答案】C 【解析】判断若干向量是否线性相关（或无关），通常的方法是，若能直接观察出某一向量 为另外一些向量的线性组合，则这组向量线性相关；若无法观察出，则利用线性相（无） 关的定义来判别. 对于（A），由于 ( )()，故它们线性相关. 3 1 2 3 1 2 对于（B），由于 1  2 2  3 ( 1  2 )  ( 2  3 )        ，故线性相关. 对于（C），若令 l1 ( 1  2 2 )  l 2 ( 2 2  3 3 )  l 3 ( 3 3  1 )  ( l1  l 3 ) 1  ( 2 l1  2 l 2 ) 2  ( 3 l 2  3 l 3 ) 3  0          则根据 1 , 2 , 3   是线性无关的，故  2 2 l1 l1 l 2    l  3 2 l 2 3 l 3 0   , 0 0 , . 因上述齐次线性方程组的系数行列式 A  1 2 0 0 2 3 1 0 3  1 2  0 ， 故方程组有唯一零解，即l l l 0. 故 1 2 3 1  2 2 , 2 2  3 3 , 3 3  1      线性无关. 1 2 3 对于（D），由于 B  1 3 5 0， 1 22 5 故方程Bx0存在非零解，即向量组 ,23 22,35 5是线 1 2 3 1 2 3 1 2 3 性相关的. 16.【答案】请参照解析【解析】设存在常数 1 , 2 , n  ，使得 1 2 n k 1         0    A A ， 则有Ak1(A Ak10). 从而有Ak10，由于 1 2 n 1 k  1  0  A ，所以 1 0   . 类似可证得 2 3 k 0        ，因此向量组 , A , , A k  1   线性无关. 17.【答案】D 【解析】向量组,, 1 m ( m  n ) 线性无关，向量组 1 ,   , m   可由向量组,, 线性 1 m 表示，从而推知 1 ,   , m   必线性无关（否则 1 ,   , m   必线性相关），所以（A）是 1 ,   , m   线性无关的充分条件，但（A）不是 1 ,   , m   线性无关的必要条件.事实上， 1 ,   , m   与 1 ,   , m   是两个不相干的向量组， 1 ,   , m   线性无关， ,, 线性无 1 m 关，而mn，所以这两组之间可以毫无关系.（如果mn（不可能mn），那么由 1 ,   , m   线性无关，推知它是n维向量空间中的一组基数，故 1 ,   , m   必可由,, 1 m 线性表示，即推知（A）也是必要条件）； 至于（B），向量组 1 ,   , m   可由 1 ,   , m   线性表示，没有说怎么表示，所以 1 ,   , m   既可线性相关，也可线性无关，所以（B）既非充分条件，又非必要条件； 至于（C），实际上是将（A），（B）合并在一起的说法，但（B）既非充分又非必要， 故（C）只是充分（由（A）），并非必要； （D）是正确的，理由是，（D）的充要条件是两向量组的秩相等，而,, 的秩为 1 m m，这恰恰是 1 ,   , m   线性无关的充要条件. 实际考试中，有相当多考生答（C），其原 因大概是误认为两向量组等价的充要条件是两向量组的秩相等，这是不对的. 18.【答案】A 【解析】取k 0时，（B）和（C）都错. 而取k 0时，（D）亦错. 不妨取 k  1 ，若 1 , 2 , 3 , 1  2     线性相关，则由于 1 , 2 , 3   线性无关， 1  2   必 可由,,线性表示；又可由,,线性表示，所以 1 2 3 1 1 2 3 2  可由,,线性表 1 2 3 示，与题设矛盾. 所以（A）是正确的. 事实上，设   (k)0. 1 1 2 2 3 3 4 1 2 若 0，则由,,线性无关，必有  0，从而,,,k 4 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2线性无关； 若 0，则k 可由 4 1 2 1 , 2 , 3   线性表示，从而 可由 2 1 , 2 , 3   线性表示，与题设 矛盾. 总之 1 , 2 , 3 , k 1  2      是线性无关的. 19.【答案】B 【解析】根据向量组线性相关及线性无关的定义可知（A）的结论是正确的；根据向量组 的相关性与其秩的关系知（C）是正确的；由向量组中的部分组线性相关则整体相关的结 论可知（D）是正确的；若存在一组不全为零的数 k 1 , k 2 , , k s 使 kk  k 0，则,, ,线性相关，显然（B）的结论是不正确的. 1 1 2 2 s s 1 2 s 20.【答案】B. 【解析】四个选项均含有 1 , 2  ，可以考查后面三个向量是否与, 线性相关. 经简单的 1 2 观察计算可知 2  3 1  3   ， 2  2 1  5   可知极大线性无关组为,, ，选（B）. 1 2 4 21.【答案】请参照解析 【解析】记 A   1  1 1 1 a 2 2  2 2 a 3 3 3  3 a 4 4 4 4  a    1     a a a a 2 a 0 0 3 0 a 0 4 0 0 a   B 当 a  0 时，A的秩为1，因而 1 , 2 , 3 , 4     线性相关，此时 1 为 1 , 2 , 3 , 4     的一 个极大无关组，且 2  2 1  ， 3  3 1  ， 4  4 1  . 当 a  0 时，再对 B 作初等行变换，有 1a 2 3 4 a10 0 0 0     1 1 0 0 1 1 0 0     B  C (, ,, )  1 0 1 0  1 0 1 0 1 2 3 4      1 0 0 1  1 0 0 1 若 a   1 0 ， C 的秩为4，从而A的秩为4，故,,, 线性无关. 1 2 3 4 若 a   1 0 ， C 的秩为3，从而 A 的秩为3，故 1 , 2 , 3 , 4     线性相关. 由于 ,, 为, ,, 的一个极大线性无关组，且    ，于是 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 42 , 3 , 4   为,,, 的一个极大线性无关组，且 1 2 3 4 1   2  3  4     . 22.【答案】（Ⅰ）当 p2，该向量组线性无关，  2 1  3 p p   4 2 2  3  1 p   p 2 4      ； （2）当 p  2 时，向量组 1 , 2 , 3 , 4     线性相关，此时，向量组的秩等于3， 1 , 2 , 3    （或 1 , 3 , 4   ）为其一个极大线性无关组 【解析】对矩阵 ( 1 , 2 , 3 , 4 , )      作初等行变换   1 1 1 3    5 1 1 0 0 0 1 3   0 0 1 2 p 3 2   1 2 3  1  7 p    1 9 2 6 0 p p 4 1 6 1 0  2  4 0   2     4  3 7 8 1 0 0 0    1  2 6 4  1 0 0 0 p 3  1  4   1  2 0 0 7 3  1 0 p 1   1 2 4 2  6 p   2 4 0  4  2  2 3 2  1 4  1  3 p  （I）当 p  2 时，向量组,,, 线性无关，此时设 1 2 3 4  x 1 1  x 2 2  x 3 3  x 4 4      ， 解得 x 1  2 , x 2  3 p p   4 2 , x 3  1 , x 4  1 p   p 2 ， 3p4 1 p 即2     . 1 p2 2 3 p2 4 （II）当 p  2 时，向量组 1 , 2 , 3 , 4     线性相关，此时，向量组的秩等于3， 1 , 2 , 3    （或 1 , 3 , 4   ）为其一个极大线性无关组.3-3 拓展拔高 1.【答案】看解析 【解析】方法一：因 1 , 2 , 3   满足 1  2 2   3  0    （*） 要求向量组 1  a , 2  b , 3   线性相关，其中是任意向量，利用（*）式，取常数 k 1  1 , k 2   2 , k 3  3 , 对向量组 1  a , 2  b , 3   作线性组合，得 (a)2( b)3 2 3 (a2b)(a2b) 1 2 3 1 2 3 故当a2b时，对任意的n维向量均有 ( 1  a )  2 ( 2  b )  3 3  0      即当 a  2 b 时，对任意的n维向量，有 1  a , 2  b , 3   线性相关，故应选 （C）. 方法二：有 1  a , 2  b , 3   线性相关r a, b, 2. 对矩阵 1 2 3 ( 1  a , 2  b , 3 )    作初等行变换（不改变秩）有 ( 1  a , 2  b , 3 )   ( ( 1 1   a a , , 2 2   b b , , ( 1 a   a 2 b )  2 ) ( 2 a   b 2 b )  ( 1 ) 3  a , 2  b , )                  令  故当 a  2 b 时，r(a, b,)2，即对任意的 1 2 3 n 维向量，有 1  a , 2  b , 3   线性相关，故应选（C）. 2.【答案】请参照解析 【解析】令k k k  0，由, , 与非零向量正交及 0 1 1 n1 n1 1 n1 ( , k 0  k 1 1   k n  1 1 n  1 )  0     得 ( , )  0  ，因为为非零向量，所以 ( , )  2  0   ，于是 k 0 =0，故 k 1 1   k n  1 n  1  0   ，由 1 , , n  1   线性无关得 k  k 0，于是, , ,线性无关. 1 n1 1 n1 3.【答案】请参照解析 【解析】方法一： T 1  T 令A 2 ，因为,, ,与正交，所以Αβ = 0，即为方程组ΑX =0的 1 2 n    T   n解，而 1 , 2 , , n   线性无关，所以 r ( A )  n ，从而方程组 Α X = 0 只有零解，即   . 方法二：不妨设 ，令k k k 0，上式两边左乘T得 0 1 1 n n k 0 T  k 1 T 1   k n T n  0     因为 1 , 2 , , n   与正交，所以 k 0 T  0 2   ，即k  0，所以 0 k 0  0 ，于是 k 0  k 1 1   k n n  0    ，再由 1 , 2 , , n   线性无关，得 k 1  k 2   k n  0 ，故 1 , 2 , , n ,    线性无关，因为 n  1 个 n 维向量一定线性相关，因为矛盾，所以 . 4.【答案】看解析 【解析】由 A 1  1  得  A  E  1  0  ，由 A 2  1  2   得  A  E  2  1  ；由 A 3  2  3   得  A  E  3  2  ，令kk k 0，两边同时左乘AE 得 1 1 2 2 3 3 k 2 1  k 3 2  0   ，再在两边同时左乘 A  E ，得 k 3 1  0  ，因为 1  0  ，所以k 0. 3 代入 k 2 1  k 3 2  0   ，可知 k 2 1  0  ，得k 0，同理 2 k 1  0 ，故 1 , 2 , 3   线性无关. 5.【答案】D 【解析】由题可知 1 , 2 , , m    线性无关，则向量组中向量的个数可以小于等于维数， m  n E  ，则（A）（B）不对；仅通过初等列变换，无法保证得到 m，因此（C）不对；  O  由于 1 , 2 , , m    线性无关，因此方程组 A x  0 只有零解，故若 A B  O ，则 B  O ， 答案选（D）. 6.【答案】C 【解析】因为 1 , 2 , 3   线性无关，而,,, 线性相关，所以 可由 1 2 3 4 4 1 , 2 , 3   唯一 线性表示，又  ( 1 , 2 , 3 , 4 )     A 经过有限次初等行变换化为B(,,,)，所以 1 2 3 4 方程组 x 1 1  x 2 2  x 3 3  4    与xx x 是同解方程组，因为方程组 1 1 2 2 3 3 4 xx x 有唯一解，所以方程组 1 1 2 2 3 3 4 x 1 1  x 2 2  x 3 3  4    有唯一解，即 4 可由,,唯一线性表示，答案选（C）. 1 2 3 7.【答案】C【解析】对于向量组而言，秩相等推不出向量组等价，例如  100   010  00 与01，虽然秩    10 相等，但是这两个向量组不等价，所以（A）不正确，同样可以排除（B），两个向量组中 向量的个数可以不同，即 m 不一定等于 s ，两个矩阵不是同型矩阵，无法说明矩阵等价， 因此（D）不对. 不妨设向量组 1 , 2 , , m    的极大线性无关组为 1 , 2 , , r   ，向量组 1 , 2 , , s    的极大线性无关组为 1 , 2 , , r    ，若 1 , 2 , , m    可由 1 , 2 , , s    线性 表示，则 1 , 2 , , r   也可由 1 , 2 , , r    线性表示，若 1 , 2 , , r    不可由 ,, ,线性表示，则,, , 也不能由,, , 线性表示，所以两向量组 1 2 r 1 2 s 1 2 m 秩不等，矛盾，因此答案选（C）. 8.【答案】（1）看解析；（2）  k 1  3 k 2   k 1  0 2      【解析】 （1）因为 1 , 2 , 1 , 2    线性相关，所以存在不全为零的常数 k 1 , k 2 , l1 , l 2 使得 k 1 1  k 2 2  l1 1  l 2 2  0     ，或 k 1 1  k 2 2   l1 1  l 2 2 .     令  k 1 1  k 2 2   l1 1  l 2 2 .      因为 1 , 2  与 1 , 2   都线性无关，所以 k 1 , k 2 及 l1 , l 2 都不全 为零，所以. （2）令 k 1 1  k 2 2  l1 1  l 2 2  0     ，  ( 1 , 2 , 1 , 2 )    110  100 101 110 23 1 230 11 1 001       100 100 11 010 1 2  3  1 30 3 001 1  1  2    100 110 230 121      A k   1  1 k  3 则 l 2 k  1 ，所以k 1 3k 2 k 1 0 2 .  1     l   0  2 9.【答案】 a   1 【解析】( 1 , 2 , 3 1 , 2 , 3 )     114   100 100 104 10 010 a 1 12 2  3 112 a 2 1 2 a   1 1 a a a 10 11 10 1 3 1 1 1 1 2  02 02 2 a a a a 13 2 a  12 2 a  3  2 2  1 1  3         ∣ 若向量组（A）和向量组（B）等价，则二者可以相互表示，那么只要满足 a   1 即可. 10.【答案】请参照解析 【解析】（1）将 1 , 2 , 3 , 4     作为列向量组成矩阵 A ，将添加到 A 中组成矩阵 A ，即  ( 1 , 2 , 3 , 4 , )      A ．将A只用初等行变换化为阶梯形矩阵． A   1 1 1 2 2 a a a 3    4 7 5 4 6 8 1 0 2 a 2 3 5  3 0 1 3 b    初 初 等 等 行 行   变 变 换 换     1 0 0 0 1 0 0 0 a 2 a a a 3  0 0 3    1 1 1 2 4 2 0 0 4 2 4 2 2 a 2 2 1 0  a 2 1 1 1  1 b 0 1 1  0 1 3 b 1   1 （1）易知，当a  时， 2 r ( A )  3 ．故此时 1 , 2 , 3 , 4     的秩为 3 ，因 1 , 3 , 4   线性无 关，所以 1 , 3 , 4   是一个极大线性无关组； 当 a  1 2 时，r(A)2 ．故此时,,, 的秩为 1 2 3 4 2 ，因为, 线性无关，所以 1 3 1 , 3  是一个极大线性无关组（不惟一）. （2）当 a  1 2 时，对任意的b均有 r ( A )  2 ，r(A)3，故此时方程组（I）： x  1   x (,,,)  2 无解，即不能由,,, 线性表示； 1 2 3 4 x  1 2 3 4 3   x   4同时，当b1时，对任意的a均有r(A)r(A)，故此时方程组无解，即此时不能由 ,,, 线性表示． 1 2 3 4 （3）任意的 4 维列向量均可由 1 , 2 , 3 , 4 ,     线性表示  方程组 ( 1 , 2 , 3 , 4 , )  x x x x x 1 2 3 4 5        均有解  r ( 1 , 2 , 3 , 4 , )  r ( 1 , 2 , 3 , 4 , )           注意到矩阵(,,,,)的行数为 4，所以r(,,,,)4．若 1 2 3 4 1 2 3 4 r ( 1 , 2 , 3 , 4 , )  4      ，则必有 r ( 1 , 2 , 3 , 4 , )  r ( 1 , 2 , 3 , 4 , )  4           ．据前面 分析可知，当 a  1 2 ，且b1时 r ( 1 , 2 , 3 , 4 , )  4      ．所以当 a  1 2 ，b1时，任意 的  维非零列向量均可由 1 , 2 , 3 , 4 ,     线性表示.