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2007 年福建高考理科数学真题及答案
第Ⅰ卷（选择题 共60分）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的．
1．复数 等于（ ）
A． B． C． D．
2．数列 的前 项和为 ，若 ，则 等于（ ）
A．1 B． C． D．
3．已知集合 ，且 ，则实数 的取值范围
是（ ）
A． B． C． D．
4．对于向量 和实数 ，下列命题中真命题是（ ）
A．若 ，则 或 B．若 ，则 或
C．若 ，则 或 D．若 ，则
5．已知函数 的最小正周期为 ，则该函数的图象（ ）
A．关于点 对称 B．关于直线 对称
C．关于点 对称 D．关于直线 对称
6．以双曲线 的右焦点为圆心，且与其渐近线相切的圆的方程是（ ）
A． B．
C． D．
7．已知 为 上的减函数，则满足 的实数 的取值范围是（ ）A． B． C． D．
8．已知 为两条不同的直线， 为两个不同的平面，则下列命题中正确的是（
）
A．
B．
C．
D．
9．把 展开成关于 的多项式，其各项系数和为 ，则
等于（ ）
A． B． C． D．2
10．顶点在同一球面上的正四棱柱 中， ，则
两点间的球面距离为（ ）
A． B． C． D．
11 ． 已 知 对 任 意 实 数 ， 有 ， 且 时 ，
，则 时（ ）
A． B．
C． D．
12．如图，三行三列的方阵中有9个数 ，从中任取三个数，则至少
有两个数位于同行或同列的概率是（ ）
A． B．
C． D．
第Ⅱ卷（非选择题 共90分）
二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在答题卡的相应位置．13．已知实数 满足 则 的取值范围是________．
14．已知正方形 ，则以 为焦点，且过 两点的椭圆的离心率为______．
15．两封信随机投入 三个空邮箱，则 邮箱的信件数 的数学期望
．
16．中学数学中存在许多关系，比如“相等关系”、“平行关系”等等．如果集合 中元
素之间的一个关系“ ”满足以下三个条件：
（1）自反性：对于任意 ，都有 ；
（2）对称性：对于 ，若 ，则有 ；
（3）传递性：对于 ，若 ， ，则有 ．
则称“ ”是集合 的一个等价关系．例如：“数的相等”是等价关系，而“直线的平
行”不是等价关系（自反性不成立）．请你再列出三个等价关系：______．
三、解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17．（本小题满分12分）
在 中， ， ．
（Ⅰ）求角 的大小；
（Ⅱ）若 最大边的边长为 ，求最小边的边长．
18．（本小题满分12分）
如图，正三棱柱 的所有棱长都为
A A
， 为 中点．
1
（Ⅰ）求证： 平面 ；
C C
（Ⅱ）求二面角 的大小；
D
1
（Ⅲ）求点 到平面 的距离．
B
B
19．（本小题满分12分） 1
某分公司经销某种品牌产品，每件产品的成本为3元，并且每件产品需向总公司交 元（
）的管理费，预计当每件产品的售价为 元（ ）时，一年的销售量
为 万件．
（Ⅰ）求分公司一年的利润 （万元）与每件产品的售价 的函数关系式；
（Ⅱ）当每件产品的售价为多少元时，分公司一年的利润 最大，并求出 的最大值
．20．（本小题满分12分）如图，已知点 ， l y
直线 ， 为平面上的动点，过 作直线
F
的垂线，垂足为点 ，且 ．
1 O 1 x
（Ⅰ）求动点 的轨迹 的方程；
（Ⅱ）过点 的直线交轨迹 于 两点，交直线 于点 ，已知 ，
，求 的值；
21．（本小题满分12分）
等差数列 的前 项和为 ．
（Ⅰ）求数列 的通项 与前 项和 ；
（Ⅱ）设 ，求证：数列 中任意不同的三项都不可能成为等比数列．
22．（本小题满分14分）
已知函数
（Ⅰ）若 ，试确定函数 的单调区间；
（Ⅱ）若 ，且对于任意 ， 恒成立，试确定实数 的取值范围；
（Ⅲ）设函数 ，求证： ．参考答案
一、选择题：本大题考查基本概念和基本运算，每小题5分，满分60分．
1．D 2．B 3．C 4．B 5．A 6．A 7．C 8．D 9．D 10．B
11．B 12．D
二、填空题：本大题考查基础知识和基本运算，每小题4分，满分16分．
13． 14． 15．
16．答案不唯一，如“图形的全等”、“图形的相似”、“非零向量的共线”、“命题的
充要条件”等等．
三、解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17．本小题主要考查两角和差公式，用同角三角函数关系等解斜三角形的基本知识以及推
理和运算能力，满分12分．
解：（Ⅰ） ，
．
又 ， ．
（Ⅱ） ，
边最大，即 ．
又 ，
角 最小， 边为最小边．
由 且 ，
得 ．由 得： ．
所以，最小边 ．
18．本小题主要考查直线与平面的位置关系，二面角的大小，点到平面的距离等知识，考
查空间想象能力、逻辑思维能力和运算能力．满分12分．
A A
解法一：（Ⅰ）取 中点 ，连结 ．
1
为正三角形， ．
正三棱柱 中，平面 平面 ， F
C
C
D
O
1
B
B
1平面 ．
连结 ，在正方形 中， 分别为
的中点，
，
．
在正方形 中， ，
平面 ．
（Ⅱ）设 与 交于点 ，在平面 中，作 于 ，连结 ，由
（Ⅰ）得 平面 ．
，
为二面角 的平面角．
在 中，由等面积法可求得 ，
又 ，
．
所以二面角 的大小为 ．
（Ⅲ） 中， ， ．
在正三棱柱中， 到平面 的距离为 ．
设点 到平面 的距离为 ．
由 得 ，．
点 到平面 的距离为 ．
解法二：（Ⅰ）取 中点 ，连结 ．
为正三角形， ．
在正三棱柱 中，平面 平面 ，
平面 ．
取 中点 ，以 为原点， ， ， 的方向为 轴的正方向建立空间
直角坐标系，则 ， ， ， ， ，
， ， ．
， ，
， ． z
A A
平面 ．
1
（Ⅱ）设平面 的法向量为 ． F
C
， ． C
D
O
1
y
， ， B
B
x 1
令 得 为平面 的一个法向量．
由（Ⅰ）知 平面 ，
为平面 的法向量．
， ．二面角 的大小为 ．
（Ⅲ）由（Ⅱ）， 为平面 法向量，
．
点 到平面 的距离 ．
19．本小题考查函数、导数及其应用等知识，考查运用数学知识分析和解决实际问题的能
力，满分12分．
解：（Ⅰ）分公司一年的利润 （万元）与售价 的函数关系式为：
．
（Ⅱ）
．
令 得 或 （不合题意，舍去）．
， ．
在 两侧 的值由正变负．
所以（1）当 即 时，
．
（2）当 即 时，
，
所以
答：若 ，则当每件售价为 9 元时，分公司一年的利润 最大，最大值
（万元）；若 ，则当每件售价为 元时，分公司一年的利润 最大，最大值 （万元）．
20．本小题主要考查直线、抛物线、向量等基础知识，考查轨迹方程的求法以及研究曲线
几何特征的基本方法，考查运算能力和综合解题能力．满分14分．
解法一：（Ⅰ）设点 ，则 ，由 得：
y
，化简得 ．
P
Q
B
（Ⅱ）设直线 的方程为：
．
O F x
A
设 ， ，又 ，
M
联立方程组 ，消去 得：
， ，故
由 ， 得：
， ，整理得：
， ，
．
解法二：（Ⅰ）由 得： ，
，，
．
所以点 的轨迹 是抛物线，由题意，轨迹 的方程为： ．
（Ⅱ）由已知 ， ，得 ．
则： ．…………①
过点 分别作准线 的垂线，垂足分别为 ， ，
则有： ．…………②
由①②得： ，即 ．
21．本小题考查数列的基本知识，考查等差数列的概念、通项公式与前 项和公式，考查
等比数列的概念与性质，考查化归的数学思想方法以及推理和运算能力．满分12分
解：（Ⅰ）由已知得 ， ，
故 ．
（Ⅱ）由（Ⅰ）得 ．
假设数列 中存在三项 （ 互不相等）成等比数列，则
．
即 ．
，
．
与 矛盾．
所以数列 中任意不同的三项都不可能成等比数列．22．本小题主要考查函数的单调性、极值、导数、不等式等基本知识，考查运用导数研究
函数性质的方法，考查分类讨论、化归以及数形结合等数学思想方法，考查分析问题、解
决问题的能力．满分14分．
解：（Ⅰ）由 得 ，所以 ．
由 得 ，故 的单调递增区间是 ，
由 得 ，故 的单调递减区间是 ．
（Ⅱ）由 可知 是偶函数．
于是 对任意 成立等价于 对任意 成立．
由 得 ．
①当 时， ．
此时 在 上单调递增．
故 ，符合题意．
②当 时， ．
当 变化时 的变化情况如下表：
单调递减 极小值 单调递增
由此可得，在 上， ．
依题意， ，又 ．
综合①，②得，实数 的取值范围是 ．
（Ⅲ） ，
，
，
由 此 得 ，故 ．
