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2012浙江省高考数学（理科）试卷word版(含答案)
2012年普通高等学校招生全国统一考试
数 学
（理科）
选择题部分（共50分）
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只
有一个项是符合题目要求的。
1．设集合 ，集合 ，则
A． B． C． D．
2．已知 是虚数单位，则
A． B． C． D．
3．设 ，则“ ”是“直线 ： 与直线 ： 平
行”的
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
4．把函数 的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），然
后向左平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到的图像是
5．设 ， 是两个非零向量
A．若 ，则
B．若 ，则
C．若 ，则存在实数 ，使得
D．若存在实数 ，使得 ，则6．若从1，2，3，…，9这9个整数中同时取4个不同的数，其和为偶数，则不同的取法
共有
A．60种 B．63种 C．65种 D．66种
7．设 是公差为 （ ）的无穷等差数列 的前 项和，则下列命题错误的是
A．若 ，则数列 有最大项
B．若数列 有最大项，则
C．若数列 是递增数列，则对任意 ，均有
D．若对任意 ，均有 ，则数列 是递增数列
8．如图， ， 分别是双曲线 ： 的
左、右两焦点， 是虚轴的端点，直线 与 的两条渐近
线分别交于 ， 两点，线段 的垂直平分线与 轴交于点
．若 ，则 的离心率是
A． B． C． D．
9．设 ，
A．若 ，则 B． 若，则
C．若 ，则 D．若 ，则
10．已知矩形 ， ， ．将 沿矩形的对角线 所在的直线进
行翻折，在翻折过程中，
A．存在某个位置，使得直线 与直线 垂直
B．存在某个位置，使得直线 与直线 垂直
C．存在某个位置，使得直线 与直线 垂直
D．对任意位置，三对直线“ 与 ”，“ 与 ”，“ 与 ”均不垂
直非选择题部分（共100分）
二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分。
11．已知某三棱锥的三视图（单位： ）如图所示，则该三棱锥
的体积等于 ．
12．若某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的值是 ．
13．设公比为 的等比数列 的前 项和为 ．
若 ， ，则 ．
14．若将函数 表示为
，
其中 ， ， ，…， 为实数，则 ．
15．在 中， 是 的中点， ， ，
则 ．
16．定义：曲线 上的点到直线的距离的最小值称为曲线 到直线
的距离．已知曲线 ： 到直线 ： 的距离等于曲线
： 到直线 ： 的距离，则实数 ．
17．设 ，若 时均有 ，
则 ．
三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
18．（本题满分14分）在 中，内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ．已知
， ．
（Ⅰ）求 的值；
（Ⅱ）若 ，求 的面积．
19．（本题满分14分）已知箱中装有4个白球和5个黑球，且规定：取出一个白球得2分，
取出一个黑球得1分．现从箱中任取（无放回，且每球取道的机会均等）3个球，记随机
变量 为取出此3球所得分数之和．
（Ⅰ）求 的分布列；
（Ⅱ）求 的数学期望 ．20．（本题满分15分）如图，在四棱锥 中，底面是
边长为 的菱形， ，且 平面 ，
， ， 分别为 ， 的中点．
（Ⅰ）证明： 平面 ；
（Ⅱ）过点 作 ，垂足为点 ，求二面角
的平面角的余弦值．
21．（本题满分15分）如图，椭圆 ： 的
离心率为 ，其左焦点到点 的距离为 ，不过原点 的
直线 与 相交于 ， 两点，且线段 被直线 平分．
（Ⅰ）求椭圆 的方程；
（Ⅱ）求 面积取最大值时直线 的方程．
22．（本题满分14分）已知 ， ，函数 ．
（Ⅰ）证明：当 时，
（i）函数 的最大值为 ；
（ii） ；
（Ⅱ）若 对 恒成立，求 的取值范围．数学（理科）试题参考答案
一、选择题：本题考察基本知识和基本运算。每小题5分，满分50分。
1．B 2．D 3．A 4．A 5．C
6．D 7．C 8．B 9．A 10．B
二、填空题：本题考察基本知识和基本运算。每小题4分，满分28分。
11．1 12． 13． 14．10
15．-16 16． 17．
三、解答题：本题共小题，满分72分。
18．本题主要考查三角恒等变换、正弦定理等知识，同时考查运算求解能力。满分 14
分。
（Ⅰ）因为 ， ，得
又
所以
（Ⅱ）由 ，得
， ，
于是
．
由 及正弦定理 ，得
．
设 的面积为 ，则
．
19．本题主要考查随机事件的概率和随机变量的分布列、数学期望等概念，同时考查抽象概括、运算求解能力和应用意识。满分14分。
（Ⅰ）由题意得 取3，4，5，6，且
， ，
， ．
所以 的分布列为
3 4 5 6
（Ⅱ）由（Ⅰ）知
．
20．本题主要考察空间点、线、面位置关系，二面角等基础知识，空间向量的应用，
同时考查空间想像能力和运算求解能力。满分15分。
（Ⅰ）因为 ， 分别是 ， 的中点，所以 是 的中位线，所以
又因为 平面 ，所以
平面 ．
（Ⅱ）方法一：
连结 交 于 ，以 为原点， ， 所在直线为 ， 轴，建立空
间直角坐标系 ，如图所示
在菱形 中， ，得
， ．
又因为 平面 ，所以
．
在直角 中， ， ， ，得
， ．
由此知各点坐标如下，
， ，
， ，
， ，， ．
设 为平面 的法向量．
由 ， 知
取 ，得
设 为平面 的法向量．
由 ， 知
取 ，得
于是
．
所以二面角 的平面角的余弦值为 ．
方法二：
在菱形 中， ，得
， ，
有因为 平面 ，所以
， ， ，
所以 ．
所以 ．而 ， 分别是 ， 的中点，所以
，且 ．
取线段 的中点 ，连结 ， ，则
， ，
所以 为二面角 的平面角．
由 ， ，故
在 中， ， ，得
．
在直角 中， ，得
， ， ，
在 中， ，得
．
在等腰 中， ， ，得
．
在 中， ， ， ，得
．
所以二面角 的平面角的余弦值为 ．
21．本题主要考查椭圆的几何性质，直线与椭圆的位置关系等基础知识，同时考查解
析几何的基本思想方法和综合解体能力。满分15分。
（Ⅰ）设椭圆左焦点为 ，则由题意得，
得
所以椭圆方程为
．
（Ⅱ）设 ， ，线段 的中点为 ．
当直线 与 轴垂直时，直线 的方程为 ，与不过原点的条件不符，舍去．
故可设直线 的方程为
，
由 消去 ，整理得
， （1）
则
，
所以 线段的中点 ，
因为 在直线 上，所以
，
得
（舍去）或 ，
此时方程（1）为 ，则
，
所以，
设点 到直线 距离为 ，则
，
设 的面积为 ，则
，
其中 ，
令 ，
，
所以当且仅当 ， 取到最大值，
故当且仅当 ， 取到最大值．
综上，所求直线 方程为 ．
22．本题主要考查利用导函数研究函数的性质、线性规划等基础知识，同时考查推理
论证能力，分类讨论等综合解题能力和创新意识。满分14分。
（Ⅰ）（i）
当 时，有 ，此时 在 上单调递增
所以当 时，
（ii）由于 ，故
当 时，
当 时，
设 ，则，
于是
0 1
- 0 +
1 减 极小值 增 1
所以， ，
所以
当 时，
故
（Ⅱ）由（i）知，当 ， ，所以
若 ，则由（ii）知
所以 对任意 恒成立的充要条件是
，
即 ，或 （1）
在直角坐标系 中，（1）所表示的平面区域为如图所示的阴影部分，
其中不包括线段 ，
作一组平行直线 ，得
．
所以的取值范围是 ．
