2018四川高考数学（理科）试题及参考答案_全国卷+地方卷_2.数学_1.数学高考真题试卷_2008-2020年_地方卷_地方卷高考理科数学_四川高考理科数学

绝密★启用前 2018年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡 皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的． Ax|x1≥0 B0，1，2 A B 1．已知集合 ， ，则  0 1 1，2 0，1，2 A． B． C． D． 1i2i 2． A．3i B．3i C．3i D．3i 3．中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来，构件的凸出部分叫榫头，凹进部分叫卯眼，图中木构件右边 的小长方体是榫头．若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体，则咬合时带卯眼的木 构件的俯视图可以是 1 sin 4．若 3，则cos28 7 7 8   A．9 B．9 C． 9 D． 9  2 5 x2   5． x 的展开式中x4 的系数为 A．10 B．20 C．40 D．80 6．直线 x y20 分别与x轴， y 轴交于A，B两点，点P在圆 x22  y2 2 上，则△ABP面积的取 值范围是 2，6 4，8  2，3 2 2 2，3 2 A． B． C．  D．  yx4 x2 2 7．函数 的图像大致为 p 8．某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为 ，各成员的支付方式相互独立，设 X 为该群体的10位 成员中使用移动支付的人数，DX 2.4， PX 4PX 6 ，则 p A．0.7 B．0.6 C．0.4 D．0.3a2 b2 c2 9． △ABC的内角 A，B，C 的对边分别为a，b，c，若△ABC的面积为 4 ，则C π π π π A．2 B．3 C．4 D．6 10．设 A，B，C，D 是同一个半径为4的球的球面上四点，△ABC为等边三角形且其面积为9 3，则三棱 锥DABC体积的最大值为 A．12 3 B．18 3 C．24 3 D．54 3 x2 y2 C：  1 11．设 F 1 ，F 2是双曲线 a2 b2 （ a0，b0 ）的左、右焦点，O是坐标原点．过 F 2作C的一条渐 近线的垂线，垂足为P．若 PF 1  6 OP ，则C的离心率为 A． 5 B．2 C． 3 D． 2 alog 0.3 blog 0.3 12．设 0.2 ， 2 ，则 A．abab0 B．abab0 C．ab0ab D．ab0ab 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． a=1,2 b=2,2 c=1,λ c∥2a+b 13．已知向量 ， ， ．若 ，则________． yax1ex 0，1 14．曲线 在点 处的切线的斜率为2，则a________．  π 15．函数 f xcos  3x 6  在 0，π 的零点个数为________． 16．已知点 M1，1 和抛物线 C：y2 4x ，过C的焦点且斜率为k的直线与C交于A，B两点．若 ∠AMB90，则k ________． 三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生 都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．学科.网 （一）必考题：共60分．17．（12分） a  a 1，a 4a 等比数列 n 中， 1 5 3． a  （1）求 n 的通项公式； （2）记 S n为 a n  的前n项和．若 S m 63 ，求m． 18．（12分） 某工厂为提高生产效率，开展技术创新活动，提出了完成某项生产任务的两种新的生产方式．为 比较两种生产方式的效率，选取40名工人，将他们随机分成两组，每组20人，第一组工人用第一种 生产方式，第二组工人用第二种生产方式．根据工人完成生产任务的工作时间（单位：min）绘制了 如下茎叶图： （1）根据茎叶图判断哪种生产方式的效率更高？并说明理由； （2）求40名工人完成生产任务所需时间的中位数m，并将完成生产任务所需时间超过m和不超过m 的工人数填入下面的列联表： 超过m 不超过m 第一种生产方式 第二种生产方式 （3）根据（2）中的列联表，能否有99%的把握认为两种生产方式的效率有差异？ nad bc2 K2  abcdacbd 附： ， P  K2≥k  0.050 0.010 0.001 k 3.841 6.635 10.828 19．（12分） 如图，边长为2的正方形ABCD所在的平面与半圆弧CD所在平面垂直，M 是CD上异于C，D的点． （1）证明：平面AMD⊥平面BMC； （2）当三棱锥M ABC 体积最大时，求面MAB与面MCD所成二面角的正弦值．20．（12分） x2 y2 C：  1 M1，mm0 已知斜率为k的直线l与椭圆 4 3 交于A，B两点，线段AB的中点为 ． 1 k  （1）证明： 2 ；       FA FP FB （2）设F 为C的右焦点，P为C上一点,且FPFAFB0．证明： ， ， 成等差数列， 并求该数列的公差． 21．（12分） f x  2xax2 ln1x2x 已知函数 ． f x0 f x0 （1）若a0，证明：当1x0时， ；当x0时， ； f x （2）若x0是 的极大值点，求a． （二）选考题：共10分，请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分． 22．[选修4—4：坐标系与参数方程]（10分） xcos，    在平面直角坐标系 xOy 中，⊙O的参数方程为ysin （为参数），过点 0， 2 且倾斜角 为的直线l与⊙O交于 A，B 两点． （1）求的取值范围；学.科网 （2）求AB中点P的轨迹的参数方程． 23．[选修4—5：不等式选讲]（10分） f x 2x1 x1 设函数 ． y f x （1）画出 的图像；x∈0， f x≤axb （2）当 ， ，求ab的最小值． 参考答案： 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 C D A B C A D B C B C B 1 13. 2 14. 3 15. 3 16.2 17.(12分) {a } q a qn1 解：（1）设 n 的公比为 ，由题设得 n . q4 4q2 q0 q 2 q2 由已知得 ，解得 （舍去）， 或 . a (2)n1 a 2n1 故 n 或 n . 1(2)n S  （2）若 a n (2)n1 ，则 n 3 .由 S m 63 得 (2)m 188 ，此方程没有正整数解. a 2n1 S 2n 1 S 63 2m 64 m6 若 n ，则 n .由 m 得 ，解得 .m6 综上， . 18.（12分） 解：（1）第二种生产方式的效率更高. 理由如下： （i）由茎叶图可知：用第一种生产方式的工人中，有75%的工人完成生产任务所需时间至少80分钟， 用第二种生产方式的工人中，有75%的工人完成生产任务所需时间至多79分钟.因此第二种生产方式 的效率更高. （ii）由茎叶图可知：用第一种生产方式的工人完成生产任务所需时间的中位数为 85.5分钟，用第二 种生产方式的工人完成生产任务所需时间的中位数为73.5分钟.因此第二种生产方式的效率更高. （iii）由茎叶图可知：用第一种生产方式的工人完成生产任务平均所需时间高于 80分钟；用第二种生 产方式的工人完成生产任务平均所需时间低于80分钟，因此第二种生产方式的效率更高. （iv）由茎叶图可知：用第一种生产方式的工人完成生产任务所需时间分布在茎8上的最多，关于茎8 大致呈对称分布；用第二种生产方式的工人完成生产任务所需时间分布在茎7上的最多，关于茎7大 致呈对称分布，又用两种生产方式的工人完成生产任务所需时间分布的区间相同，故可以认为用第二 种生产方式完成生产任务所需的时间比用第一种生产方式完成生产任务所需的时间更少，因此第二种 生产方式的效率更高.学科*网 以上给出了4种理由，考生答出其中任意一种或其他合理理由均可得分. 7981 m 80 （2）由茎叶图知 2 . 列联表如下： m m 超过 不超过 第一种生产方式 15 5 第二种生产方式 5 15 40(151555)2 K2  106.635 （3）由于 20202020 ，所以有99%的把握认为两种生产方式的效率有差 异. 19.（12分） 解：（1）由题设知,平面CMD⊥平面ABCD,交线为CD.因为BC⊥CD,BC平面ABCD,所以BC⊥平面 CMD,故BC⊥DM.CD 因为M为 上异于C，D的点,且DC为直径，所以 DM⊥CM. 又 BCCM=C,所以DM⊥平面BMC. 而DM平面AMD,故平面AMD⊥平面BMC.  （2）以D为坐标原点,DA的方向为x轴正方向,建立如图所示的空间直角坐标系D−xyz. CD 当三棱锥M−ABC体积最大时，M为 的中点. D(0,0,0),A(2,0,0),B(2,2,0),C(0,2,0),M(0,1,1) 由题设得 ，    AM (2,1,1),AB(0,2,0),DA(2,0,0) n(x,y,z) 设 是平面MAB的法向量,则   nAM 0, 2x yz 0,    nAB0. 2y 0. 即 n(1,0,2) 可取 .  DA是平面MCD的法向量,因此   nDA 5 cos n,DA    |n||DA| 5 ，  2 5 sin n,DA  5 ， 2 5 所以面MAB与面MCD所成二面角的正弦值是 5 .20.（12分） x2 y2 x 2 y 2 1  1 1, 2  2 1 A(x ,y ),B(x ,y ) 解：（1）设 1 1 2 2 ，则 4 3 4 3 . y  y 1 2 k x x 两式相减，并由 1 2 得 x x y  y 1 2  1 2 k 0 4 3 . x x y  y 1 2 1, 1 2 m 2 2 由题设知 ，于是 3 k  4m .① 3 1 0m k  2 2 由题设得 ，故 . F(1,0) P(x ,y ) （2）由题意得 ，设 3 3 ，则 (x 1,y )(x 1,y )(x 1,y )(0,0) 3 3 1 1 2 2 . x 3(x x )1,y (y  y )2m0 由（1）及题设得 3 1 2 3 1 2 . 3 3  3 m P(1, ) |FP| 4 2 2 又点P在C上，所以 ，从而 ， . 于是  x2 x |FA| (x 1)2  y2  (x 1)2 3(1 1 ) 2 1 1 1 1 4 2 .  x |FB|2 2 2 同理 .   1 |FA||FB|4 (x x )3 2 1 2 所以 .      2|FP||FA||FB| |FA|,|FP|,|FB| 故 ，即 成等差数列. 设该数列的公差为d，则   1 1 2|d |||FB||FA|| |x x | (x x )24x x 2 1 2 2 1 2 1 2 .② 3 m 将 4 代入①得k 1 . 7 1 y x 7x2 14x 0 4 4 所以l的方程为 ，代入C的方程，并整理得 . 1 3 21 x x 2,x x  |d | 故 1 2 1 2 28 ，代入②解得 28 . 3 21 3 21  所以该数列的公差为 28 或 28 . 21.(12分) x f(x)ln(1x) 解：（1）当 a0 时， f(x)(2x)ln(1x)2x ， 1x . x x g(x) f(x)ln(1x) g(x) 设函数 1x ，则 (1x)2 . 1 x0 g(x)0 x0 g(x)0 x1 g(x) g(0)0 当 时， ；当 时， .故当 时， ，且仅当 x0 g(x)0 f(x)0 x0 f(x)0 时， ，从而 ，且仅当 时， . f(x) (1,) 所以 在 单调递增.学#科网 f(0)0 1 x0 f(x)0 x0 f(x)0 又 ，故当 时， ；当 时， . a0 x0 f(x)(2x)ln(1x)2x0 f(0) x0 （2）（i）若 ，由（1）知，当 时， ，这与 f(x) 是 的极大值点矛盾.f(x) 2x h(x) ln(1x) （ii）若 a0 ，设函数 2xax2 2xax2 . 1 |x|min{1, } |a| 2xax2 0 h(x) f(x) 由于当 时， ，故 与 符号相同. h(0) f(0)0 x0 f(x) x0 h(x) 又 ，故 是 的极大值点当且仅当 是 的极大值点. 1 2(2xax2)2x(12ax) x2(a2x2 4ax6a1) h(x)   1x (2xax2)2 (x1)(ax2 x2)2 . 6a1 1 0 x |x|min{1, } 如果 6a10 ，则当 4a ，且 |a| 时， h(x)0 ，故 x0 不是 h(x) 的极 大值点. 1 |x|min{1, } 6a10 a2x2 4ax6a10 x 0 x(x ,0) |a| 如果 ，则 存在根 1 ，故当 1 ，且 时， h(x)0 x0 h(x) ，所以 不是 的极大值点. x3(x24) h(x) 6a10 (x1)(x2 6x12)2 x(1,0) h(x)0 x(0,1) 如果 ，则 .则当 时， ；当 时， h(x)0 x0 h(x) x0 f(x) .所以 是 的极大值点，从而 是 的极大值点 1 a  综上， 6 . 22．[选修4—4：坐标系与参数方程]（10分） O x2  y2 1 【解析】（1） 的直角坐标方程为 ．   当 2 时，l与 O交于两点． 2  | |1  当 时，记 ，则 的方程为 ． 与 交于两点当且仅当 ， 2 tank l y kx 2 l  O 1k2    ( , ) ( , ) 解得k 1或k 1，即 4 2 或 2 4 ．   ( , ) 综上，的取值范围是 4 4 ．  xtcos, （2） 的参数方程为  (t 为参数，    ． l y  2tsin 4 4 ) t t t  A B 设 A， B， P对 应 的 参 数 分 别 为 t A ， t B ， t P ， 则 P 2 ， 且 t A ， t B 满 足 t2 2 2tsin10 ．  xt cos, P  于是 ， ．又点 的坐标 满足 t A t B 2 2sin t P  2sin P (x,y)  y  2t P sin.  2 x sin2,  2  所以点 的轨迹的参数方程是 为参数， ．  2 2   y   cos2  P   2 2 ( 4 4 ) 23．[选修4—5：不等式选讲]（10分）  1 3x,x ,  2   1 f(x)x2,  x1, 【解析】（1） 2 的图像如图所示．  3x,x1.   y  f(x)y  f(x) y 2 3 （2）由（1）知， 的图像与 轴交点的纵坐标为 ，且各部分所在直线斜率的最大值为 ， a3 b2 f(x)axb [0,) ab 5 故当且仅当 且 时， 在 成立，因此 的最小值为 ．