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2018 年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ）
一、选择题：本题共 12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选
项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（5分）设z= +2i，则|z|=（ ）
A．0 B． C．1 D．
2．（5分）已知集合A={x|x2﹣x﹣2＞0}，则 A=（ ）
R
A．{x|﹣1＜x＜2} B．{x|﹣1≤x≤2} C．{x|x＜﹣1}∪{x|x＞2}D．{x|x≤
∁
﹣1}∪{x|x≥2}
3．（5分）某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍，实现
翻番．为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区新农村
建设前后农村的经济收入构成比例，得到如下饼图：
则下面结论中不正确的是（ ）
A．新农村建设后，种植收入减少
B．新农村建设后，其他收入增加了一倍以上
C．新农村建设后，养殖收入增加了一倍
D．新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半
4．（5 分）记 S 为等差数列{a }的前 n 项和．若 3S =S +S ，a =2，则 a =
n n 3 2 4 1 5
（ ）
A．﹣12 B．﹣10 C．10 D．12
5．（5分）设函数f（x）=x3+（a﹣1）x2+ax．若f（x）为奇函数，则曲线 y=f
（x）在点（0，0）处的切线方程为（ ）
A．y=﹣2x B．y=﹣x C．y=2x D．y=x6．（5 分）在△ABC 中，AD 为 BC 边上的中线，E 为 AD 的中点，则 =
（ ）
A． ﹣ B． ﹣ C． + D． +
7．（5分）某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如图．圆柱表面上的点
M在正视图上的对应点为A，圆柱表面上的点N在左视图上的对应点为B，
则在此圆柱侧面上，从M到N的路径中，最短路径的长度为（ ）
A．2 B．2 C．3 D．2
8．（5分）设抛物线C：y2=4x的焦点为F，过点（﹣2，0）且斜率为 的直线
与C交于M，N两点，则 • =（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
9．（5分）已知函数f（x）= ，g（x）=f（x）+x+a．若g（x）存在
2个零点，则a的取值范围是（ ）
A．[﹣1，0） B．[0，+∞） C．[﹣1，+∞） D．[1，+∞）
10．（5分）如图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形．此图由三
个半圆构成，三个半圆的直径分别为直角三角形 ABC 的斜边 BC，直角边
AB，AC．△ABC的三边所围成的区域记为 I，黑色部分记为Ⅱ，其余部分记
为Ⅲ．在整个图形中随机取一点，此点取自Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ的概率分别记为 p ，
1
p ，p ，则（ ）
2 3A．p =p B．p =p C．p =p D．p =p +p
1 2 1 3 2 3 1 2 3
11．（5分）已知双曲线C： ﹣y2=1，O为坐标原点，F为C的右焦点，过F
的直线与 C的两条渐近线的交点分别为 M，N．若△OMN为直角三角形，
则|MN|=（ ）
A． B．3 C．2 D．4
12．（5分）已知正方体的棱长为1，每条棱所在直线与平面α所成的角都相等，
则α截此正方体所得截面面积的最大值为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．（5分）若x，y满足约束条件 ，则z=3x+2y的最大值为 ．
14．（5分）记S 为数列{a }的前n项和．若S =2a +1，则S = ．
n n n n 6
15．（5分）从2位女生，4位男生中选3人参加科技比赛，且至少有1位女生
入选，则不同的选法共有 种．（用数字填写答案）
16．（5分）已知函数f（x）=2sinx+sin2x，则f（x）的最小值是 ．
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 17～
21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第 22、23题为选考题，考生根
据要求作答。（一）必考题：共60分。
17．（12分）在平面四边形ABCD中，∠ADC=90°，∠A=45°，AB=2，BD=5．
（1）求cos∠ADB；（2）若DC=2 ，求BC．
18．（12分）如图，四边形ABCD为正方形，E，F分别为AD，BC的中点，以
DF为折痕把△DFC折起，使点C到达点P的位置，且PF⊥BF．
（1）证明：平面PEF⊥平面ABFD；
（2）求DP与平面ABFD所成角的正弦值．
19．（12分）设椭圆C： +y2=1的右焦点为F，过F的直线l与C交于A，B两
点，点M的坐标为（2，0）．
（1）当l与x轴垂直时，求直线AM的方程；
（2）设O为坐标原点，证明：∠OMA=∠OMB．20．（12分）某工厂的某种产品成箱包装，每箱200件，每一箱产品在交付用
户之前要对产品作检验，如检验出不合格品，则更换为合格品．检验时，先
从这箱产品中任取20件作检验，再根据检验结果决定是否对余下的所有产品
作检验．设每件产品为不合格品的概率都为p（0＜p＜1），且各件产品是否
为不合格品相互独立．
（1）记20件产品中恰有2件不合格品的概率为f（p），求f （p）的最大值点
p ．
0
（2）现对一箱产品检验了20件，结果恰有2件不合格品，以（1）中确定的p
0
作为p的值．已知每件产品的检验费用为 2元，若有不合格品进入用户手中，
则工厂要对每件不合格品支付25元的赔偿费用．
（i）若不对该箱余下的产品作检验，这一箱产品的检验费用与赔偿费用的和记
为X，求EX；
（ⅱ）以检验费用与赔偿费用和的期望值为决策依据，是否该对这箱余下的所
有产品作检验？
21．（12分）已知函数f（x）= ﹣x+alnx．（1）讨论f（x）的单调性；
（2）若f（x）存在两个极值点x ，x ，证明： ＜a﹣2．
1 2
（二）选考题：共 10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，
则按所做的第一题计分。[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）
22．（10分）在直角坐标系xOy中，曲线C 的方程为y=k|x|+2．以坐标原点为
1
极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C 的极坐标方程为ρ2+2ρcosθ﹣
2
3=0．
（1）求C 的直角坐标方程；
2
（2）若C 与C 有且仅有三个公共点，求C 的方程．
1 2 1
[选修4-5：不等式选讲]（10分）
23．已知f（x）=|x+1|﹣|ax﹣1|．
（1）当a=1时，求不等式f（x）＞1的解集；
（2）若x （0，1）时不等式f（x）＞x成立，求a的取值范围．
∈2018 年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ）
参考答案与试题解析
一、选择题：本题共 12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选
项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（5分）设z= +2i，则|z|=（ ）
A．0 B． C．1 D．
【考点】A8：复数的模．
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【专题】11：计算题；35：转化思想；49：综合法；5N：数系的扩充和复数．
【分析】利用复数的代数形式的混合运算化简后，然后求解复数的模．
【解答】解：z= +2i= +2i=﹣i+2i=i，
则|z|=1．
故选：C．
【点评】本题考查复数的代数形式的混合运算，复数的模的求法，考查计算能
力．
2．（5分）已知集合A={x|x2﹣x﹣2＞0}，则 A=（ ）
R
A．{x|﹣1＜x＜2} B．{x|﹣1≤x≤2} C．{x|x＜﹣1}∪{x|x＞2}D．{x|x≤
∁
﹣1}∪{x|x≥2}
【考点】1F：补集及其运算．
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【专题】11：计算题；35：转化思想；49：综合法；5J：集合；5T：不等式．
【分析】通过求解不等式，得到集合A，然后求解补集即可．
【解答】解：集合A={x|x2﹣x﹣2＞0}，
可得A={x|x＜﹣1或x＞2}，
则： A={x|﹣1≤x≤2}．
R
∁故选：B．
【点评】本题考查不等式的解法，补集的运算，是基本知识的考查．
3．（5分）某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍，实现
翻番．为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区新农村
建设前后农村的经济收入构成比例，得到如下饼图：
则下面结论中不正确的是（ ）
A．新农村建设后，种植收入减少
B．新农村建设后，其他收入增加了一倍以上
C．新农村建设后，养殖收入增加了一倍
D．新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半
【考点】2K：命题的真假判断与应用；CS：概率的应用．
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【专题】11：计算题；35：转化思想；49：综合法；5I：概率与统计；5L：简
易逻辑．
【分析】设建设前经济收入为a，建设后经济收入为2a．通过选项逐一分析新
农村建设前后，经济收入情况，利用数据推出结果．
【解答】解：设建设前经济收入为a，建设后经济收入为2a．
A项，种植收入37%×2a﹣60%a=14%a＞0，
故建设后，种植收入增加，故A项错误．
B项，建设后，其他收入为5%×2a=10%a，
建设前，其他收入为4%a，
故10%a÷4%a=2.5＞2，故B项正确．
C项，建设后，养殖收入为30%×2a=60%a，
建设前，养殖收入为30%a，
故60%a÷30%a=2，
故C项正确．
D项，建设后，养殖收入与第三产业收入总和为
（30%+28%）×2a=58%×2a，
经济收入为2a，
故（58%×2a）÷2a=58%＞50%，
故D项正确．
因为是选择不正确的一项，
故选：A．
【点评】本题主要考查事件与概率，概率的应用，命题的真假的判断，考查发
现问题解决问题的能力．
4．（5 分）记 S 为等差数列{a }的前 n 项和．若 3S =S +S ，a =2，则 a =
n n 3 2 4 1 5
（ ）
A．﹣12 B．﹣10 C．10 D．12
【考点】83：等差数列的性质．
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【专题】11：计算题；34：方程思想；4O：定义法；54：等差数列与等比数列．
【分析】利用等差数列的通项公式和前n项和公式列出方程，能求出a 的值．
5
【解答】解：∵S 为等差数列{a }的前n项和，3S =S +S ，a =2，
n n 3 2 4 1
∴ =a +a +d+4a + d，
1 1 1
把a =2，代入得d=﹣3
1
∴a =2+4×（﹣3）=﹣10．
5
故选：B．
【点评】本题考查等差数列的第五项的求法，考查等差数列的性质等基础知识，
考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．5．（5分）设函数f（x）=x3+（a﹣1）x2+ax．若f（x）为奇函数，则曲线 y=f
（x）在点（0，0）处的切线方程为（ ）
A．y=﹣2x B．y=﹣x C．y=2x D．y=x
【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．
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【专题】11：计算题；35：转化思想；49：综合法；53：导数的综合应用．
【分析】利用函数的奇偶性求出 a，求出函数的导数，求出切线的向量然后求
解切线方程．
【解答】解：函数f（x）=x3+（a﹣1）x2+ax，若f（x）为奇函数，
可得a=1，所以函数f（x）=x3+x，可得f′（x）=3x2+1，
曲线y=f（x）在点（0，0）处的切线的斜率为：1，
则曲线y=f（x）在点（0，0）处的切线方程为：y=x．
故选：D．
【点评】本题考查函数的奇偶性以及函数的切线方程的求法，考查计算能力．
6．（5 分）在△ABC 中，AD 为 BC 边上的中线，E 为 AD 的中点，则 =
（ ）
A． ﹣ B． ﹣ C． + D． +
【考点】9H：平面向量的基本定理．
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【专题】34：方程思想；41：向量法；5A：平面向量及应用．
【分析】运用向量的加减运算和向量中点的表示，计算可得所求向量．
【解答】解：在△ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，
= ﹣ = ﹣
= ﹣ × （ + ）
= ﹣ ，
故选：A．
【点评】本题考查向量的加减运算和向量中点表示，考查运算能力，属于基础题．
7．（5分）某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如图．圆柱表面上的点
M在正视图上的对应点为A，圆柱表面上的点N在左视图上的对应点为B，
则在此圆柱侧面上，从M到N的路径中，最短路径的长度为（ ）
A．2 B．2 C．3 D．2
【考点】L!：由三视图求面积、体积．
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【专题】11：计算题；31：数形结合；49：综合法；5F：空间位置关系与距离．
【分析】判断三视图对应的几何体的形状，利用侧面展开图，转化求解即可．
【解答】解：由题意可知几何体是圆柱，底面周长16，高为：2，
直观图以及侧面展开图如图：
圆柱表面上的点N在左视图上的对应点为 B，则在此圆柱侧面上，从 M到N的
路径中，最短路径的长度： =2 ．
故选：B．
【点评】本题考查三视图与几何体的直观图的关系，侧面展开图的应用，考查
计算能力．
8．（5分）设抛物线C：y2=4x的焦点为F，过点（﹣2，0）且斜率为 的直线与C交于M，N两点，则 • =（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
【考点】K8：抛物线的性质．
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【专题】11：计算题；35：转化思想；49：综合法；5A：平面向量及应用；
5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】求出抛物线的焦点坐标，直线方程，求出M、N的坐标，然后求解向
量的数量积即可．
【解答】解：抛物线C：y2=4x的焦点为F（1，0），过点（﹣2，0）且斜率为
的直线为：3y=2x+4，
联立直线与抛物线C：y2=4x，消去x可得：y2﹣6y+8=0，
解得y =2，y =4，不妨M（1，2），N（4，4）， ， ．
1 2
则 • =（0，2）•（3，4）=8．
故选：D．
【点评】本题考查抛物线的简单性质的应用，向量的数量积的应用，考查计算
能力．
9．（5分）已知函数f（x）= ，g（x）=f（x）+x+a．若g（x）存在
2个零点，则a的取值范围是（ ）
A．[﹣1，0） B．[0，+∞） C．[﹣1，+∞） D．[1，+∞）
【考点】5B：分段函数的应用．
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【专题】31：数形结合；4R：转化法；51：函数的性质及应用．
【分析】由g（x）=0得f（x）=﹣x﹣a，分别作出两个函数的图象，根据图象
交点个数与函数零点之间的关系进行转化求解即可．
【解答】解：由g（x）=0得f（x）=﹣x﹣a，
作出函数f（x）和y=﹣x﹣a的图象如图：当直线y=﹣x﹣a的截距﹣a≤1，即a≥﹣1时，两个函数的图象都有2个交点，
即函数g（x）存在2个零点，
故实数a的取值范围是[﹣1，+∞），
故选：C．
【点评】本题主要考查分段函数的应用，利用函数与零点之间的关系转化为两
个函数的图象的交点问题是解决本题的关键．
10．（5分）如图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形．此图由三
个半圆构成，三个半圆的直径分别为直角三角形 ABC 的斜边 BC，直角边
AB，AC．△ABC的三边所围成的区域记为 I，黑色部分记为Ⅱ，其余部分记
为Ⅲ．在整个图形中随机取一点，此点取自Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ的概率分别记为 p ，
1
p ，p ，则（ ）
2 3
A．p =p B．p =p C．p =p D．p =p +p
1 2 1 3 2 3 1 2 3
【考点】CF：几何概型．
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【专题】11：计算题；38：对应思想；4O：定义法；5I：概率与统计．【分析】如图：设BC=2r ，AB=2r ，AC=2r ，分别求出Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ所对应的面积，
1 2 3
即可得到答案．
【解答】解：如图：设BC=2r ，AB=2r ，AC=2r ，
1 2 3
∴r 2=r 2+r 2，
1 2 3
∴S = ×4r r =2r r ，S = ×πr 2﹣2r r ，
Ⅰ 2 3 2 3 Ⅲ 1 2 3
S = ×πr 2+ ×πr 2﹣S = ×πr 2+ ×πr 2﹣ ×πr 2+2r r =2r r ，
Ⅱ 3 2 Ⅲ 3 2 1 2 3 2 3
∴S =S ，
Ⅰ Ⅱ
∴P =P ，
1 2
故选：A．
【点评】本题考查了几何概型的概率问题，关键是求出对应的面积，属于基础
题．
11．（5分）已知双曲线C： ﹣y2=1，O为坐标原点，F为C的右焦点，过F
的直线与 C的两条渐近线的交点分别为 M，N．若△OMN为直角三角形，
则|MN|=（ ）
A． B．3 C．2 D．4
【考点】KC：双曲线的性质．
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【专题】11：计算题；34：方程思想；4：解题方法；5D：圆锥曲线的定义、
性质与方程．
【分析】求出双曲线的渐近线方程，求出直线方程，求出 MN的坐标，然后求
解|MN|．
【解答】解：双曲线C： ﹣y2=1的渐近线方程为：y= ，渐近线的夹角
为：60°，不妨设过F（2，0）的直线为：y= ，
则： 解得M（ ， ），解得：N（ ），
则|MN|= =3．
故选：B．
【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，考查计算能力．
12．（5分）已知正方体的棱长为1，每条棱所在直线与平面α所成的角都相等，
则α截此正方体所得截面面积的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【考点】MI：直线与平面所成的角．
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【专题】11：计算题；31：数形结合；49：综合法；5F：空间位置关系与距离；
5G：空间角．
【分析】利用正方体棱的关系，判断平面 α所成的角都相等的位置，然后求解
α截此正方体所得截面面积的最大值．
【解答】解：正方体的所有棱中，实际上是3组平行的棱，每条棱所在直线与
平面α所成的角都相等，如图：所示的正六边形平行的平面，并且正六边形
时，α截此正方体所得截面面积的最大，
此时正六边形的边长 ，
α截此正方体所得截面最大值为：6× = ．
故选：A．
【点评】本题考查直线与平面所成角的大小关系，考查空间想象能力以及计算
能力，有一定的难度．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．（5分）若x，y满足约束条件 ，则z=3x+2y的最大值为 6 ．
【考点】7C：简单线性规划．
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【专题】31：数形结合；4R：转化法；59：不等式的解法及应用．
【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义进行求解即
可．
【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：
由z=3x+2y得y=﹣ x+ z，
平移直线y=﹣ x+ z，
由图象知当直线y=﹣ x+ z经过点A（2，0）时，直线的截距最大，此时 z最
大，
最大值为z=3×2=6，
故答案为：6【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用目标函数的几何意义以及数形结
合是解决本题的关键．
14．（5分）记S 为数列{a }的前n项和．若S =2a +1，则S = ﹣ 6 3 ．
n n n n 6
【考点】8E：数列的求和；8H：数列递推式．
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【专题】11：计算题；38：对应思想；4R：转化法；54：等差数列与等比数列．
【分析】先根据数列的递推公式可得{a }是以﹣1为首项，以2为公比的等比数
n
列，再根据求和公式计算即可．
【解答】解：S 为数列{a }的前n项和，S =2a +1，①
n n n n
当n=1时，a =2a +1，解得a =﹣1，
1 1 1
当n≥2时，S =2a +1，②，
n﹣1 n﹣1
由①﹣②可得a =2a ﹣2a ，
n n n﹣1
∴a =2a ，
n n﹣1
∴{a }是以﹣1为首项，以2为公比的等比数列，
n
∴S = =﹣63，
6
故答案为：﹣63
【点评】本题考查了数列的递推公式和等比数列的求和公式，属于基础题．15．（5分）从2位女生，4位男生中选3人参加科技比赛，且至少有1位女生
入选，则不同的选法共有 1 6 种．（用数字填写答案）
【考点】D9：排列、组合及简单计数问题．
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【专题】11：计算题；38：对应思想；4O：定义法；5O：排列组合．
【分析】方法一：直接法，分类即可求出，
方法二：间接法，先求出没有限制的种数，再排除全是男生的种数．
【解答】解：方法一：直接法，1女2男，有C 1C 2=12，2女1男，有C 2C 1=4
2 4 2 4
根据分类计数原理可得，共有12+4=16种，
方法二，间接法：C 3﹣C 3=20﹣4=16种，
6 4
故答案为：16
【点评】本题考查了分类计数原理，属于基础题
16．（5分）已知函数f（x）=2sinx+sin2x，则f（x）的最小值是 ．
【考点】6E：利用导数研究函数的最值；HW：三角函数的最值．
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【专题】11：计算题；34：方程思想；49：综合法；53：导数的综合应用；
56：三角函数的求值．
【分析】由题意可得T=2π是f（x）的一个周期，问题转化为f（x）在[0，2π）
上的最小值，求导数计算极值和端点值，比较可得．
【解答】解：由题意可得T=2π是f（x）=2sinx+sin2x的一个周期，
故只需考虑f（x）=2sinx+sin2x在[0，2π）上的值域，
先来求该函数在[0，2π）上的极值点，
求导数可得f′（x）=2cosx+2cos2x
=2cosx+2（2cos2x﹣1）=2（2cosx﹣1）（cosx+1），
令f′（x）=0可解得cosx= 或cosx=﹣1，
可得此时x= ，π或 ；∴y=2sinx+sin2x的最小值只能在点x= ，π或 和边界点x=0中取到，
计算可得f（ ）= ，f（π）=0，f（ ）=﹣ ，f（0）=0，
∴函数的最小值为﹣ ，
故答案为： ．
【点评】本题考查三角函数恒等变换，涉及导数法求函数区间的最值，属中档
题．
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 17～
21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第 22、23题为选考题，考生根
据要求作答。（一）必考题：共60分。
17．（12分）在平面四边形ABCD中，∠ADC=90°，∠A=45°，AB=2，BD=5．
（1）求cos∠ADB；
（2）若DC=2 ，求BC．
【考点】HT：三角形中的几何计算．
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【专题】11：计算题；31：数形结合；49：综合法；58：解三角形．
【分析】（1）由正弦定理得 = ，求出sin∠ADB= ，由此能
求出cos∠ADB；
（2）由∠ADC=90°，得cos∠BDC=sin∠ADB= ，再由DC=2 ，利用余弦定理
能求出BC．
【解答】解：（1）∵∠ADC=90°，∠A=45°，AB=2，BD=5．
∴由正弦定理得： = ，即 = ，
∴sin∠ADB= = ，
∵AB＜BD，∴∠ADB＜∠A，∴cos∠ADB= = ．
（2）∵∠ADC=90°，∴cos∠BDC=sin∠ADB= ，
∵DC=2 ，
∴BC=
= =5．
【点评】本题考查三角函数中角的余弦值、线段长的求法，考查正弦定理、余
弦定理等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．
18．（12分）如图，四边形ABCD为正方形，E，F分别为AD，BC的中点，以
DF为折痕把△DFC折起，使点C到达点P的位置，且PF⊥BF．
（1）证明：平面PEF⊥平面ABFD；
（2）求DP与平面ABFD所成角的正弦值．
【考点】LY：平面与平面垂直；MI：直线与平面所成的角．
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【专题】11：计算题；31：数形结合；35：转化思想；49：综合法；5F：空间
位置关系与距离；5G：空间角．【分析】（1）利用正方形的性质可得BF垂直于面PEF，然后利用平面与平面垂
直的判断定理证明即可．
（2）利用等体积法可求出点P到面ABCD的距离，进而求出线面角．
【解答】（1）证明：由题意，点E、F分别是AD、BC的中点，
则 ， ，
由于四边形ABCD为正方形，所以EF⊥BC．
由于PF⊥BF，EF∩PF=F，则BF⊥平面PEF．
又因为BF 平面ABFD，所以：平面PEF⊥平面ABFD．
（2）在平面DEF中，过P作PH⊥EF于点H，连接DH，
⊂
由于EF为面ABCD和面PEF的交线，PH⊥EF，
则PH⊥面ABFD，故PH⊥DH．
在三棱锥P﹣DEF中，可以利用等体积法求PH，
因为DE∥BF且PF⊥BF，
所以PF⊥DE，
又因为△PDF≌△CDF，
所以∠FPD=∠FCD=90°，
所以PF⊥PD，
由于DE∩PD=D，则PF⊥平面PDE，
故V = ，
F﹣PDE
因为BF∥DA且BF⊥面PEF，
所以DA⊥面PEF，
所以DE⊥EP．
设正方形边长为2a，则PD=2a，DE=a
在△PDE中， ，
所以 ，
故V = ，
F﹣PDE
又因为 ，所以PH= = ，
所以在△PHD中，sin∠PDH= = ，
即∠PDH为DP与平面ABFD所成角的正弦值为： ．
【点评】本题主要考查点、直线、平面的位置关系．直线与平面所成角的求法．
几何法的应用，考查转化思想以及计算能力．
19．（12分）设椭圆C： +y2=1的右焦点为F，过F的直线l与C交于A，B两
点，点M的坐标为（2，0）．
（1）当l与x轴垂直时，求直线AM的方程；
（2）设O为坐标原点，证明：∠OMA=∠OMB．
【考点】KL：直线与椭圆的综合．
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【专题】15：综合题；38：对应思想；4R：转化法；5E：圆锥曲线中的最值与
范围问题．
【分析】（1）先得到F的坐标，再求出点A的方程，根据两点式可得直线方程，
（2）分三种情况讨论，根据直线斜率的问题，以及韦达定理，即可证明．
【解答】解：（1）c= =1，
∴F（1，0），
∵l与x轴垂直，
∴x=1，由 ，解得 或 ，
∴A（1. ），或（1，﹣ ），
∴直线AM的方程为y=﹣ x+ ，y= x﹣ ，
证明：（2）当l与x轴重合时，∠OMA=∠OMB=0°，
当l与x轴垂直时，OM为AB的垂直平分线，∴∠OMA=∠OMB，
当l与x轴不重合也不垂直时，设l的方程为y=k（x﹣1），k≠0，
A（x ，y ），B（x ，y ），则x ＜ ，x ＜ ，
1 1 2 2 1 2
直线MA，MB的斜率之和为k ，k 之和为k +k = + ，
MA MB MA MB
由y =kx ﹣k，y =kx ﹣k得k +k = ，
1 1 2 2 MA MB
将y=k（x﹣1）代入 +y2=1可得（2k2+1）x2﹣4k2x+2k2﹣2=0，
∴x +x = ，x x = ，
1 2 1 2
∴2kx x ﹣3k（x +x ）+4k= （4k3﹣4k﹣12k3+8k3+4k）=0
1 2 1 2
从而k +k =0，
MA MB
故MA，MB的倾斜角互补，
∴∠OMA=∠OMB，
综上∠OMA=∠OMB．
【点评】本题考查了直线和椭圆的位置关系，以韦达定理，考查了运算能力和
转化能力，属于中档题．
20．（12分）某工厂的某种产品成箱包装，每箱200件，每一箱产品在交付用
户之前要对产品作检验，如检验出不合格品，则更换为合格品．检验时，先从这箱产品中任取20件作检验，再根据检验结果决定是否对余下的所有产品
作检验．设每件产品为不合格品的概率都为p（0＜p＜1），且各件产品是否
为不合格品相互独立．
（1）记20件产品中恰有2件不合格品的概率为f（p），求f （p）的最大值点
p ．
0
（2）现对一箱产品检验了20件，结果恰有2件不合格品，以（1）中确定的p
0
作为p的值．已知每件产品的检验费用为 2元，若有不合格品进入用户手中，
则工厂要对每件不合格品支付25元的赔偿费用．
（i）若不对该箱余下的产品作检验，这一箱产品的检验费用与赔偿费用的和记
为X，求EX；
（ⅱ）以检验费用与赔偿费用和的期望值为决策依据，是否该对这箱余下的所
有产品作检验？
【考点】CG：离散型随机变量及其分布列；CH：离散型随机变量的期望与方差．
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【专题】11：计算题；35：转化思想；49：综合法；5I：概率与统计．
【 分 析 】 （ 1 ） 求 出 f （ p ） = ， 则
= ，利用导数
性质能求出f （p）的最大值点p =0.1．
0
（2）（i）由p=0.1，令Y表示余下的180件产品中的不合格品数，依题意知 Y
～B（180，0.1），再由X=20×2+25Y，即X=40+25Y，能求出E（X）．
（ii）如果对余下的产品作检验，由这一箱产品所需要的检验费为 400 元，E
（X）=490＞400，从而应该对余下的产品进行检验．
【解答】解：（1）记20件产品中恰有2件不合格品的概率为f（p），
则f（p）= ，
∴ = ，
令f′（p）=0，得p=0.1，当p （0，0.1）时，f′（p）＞0，
当p （0.1，1）时，f′（p）＜0，
∈
∴f （p）的最大值点p =0.1．
∈ 0
（2）（i）由（1）知p=0.1，
令Y表示余下的180件产品中的不合格品数，依题意知Y～B（180，0.1），
X=20×2+25Y，即X=40+25Y，
∴E（X）=E（40+25Y）=40+25E（Y）=40+25×180×0.1=490．
（ii）如果对余下的产品作检验，由这一箱产品所需要的检验费为400元，
∵E（X）=490＞400，
∴应该对余下的产品进行检验．
【点评】本题考查概率的求法及应用，考查离散型随机变量的数学期望的求法，
考查是否该对这箱余下的所有产品作检验的判断与求法，考查二项分布等基
础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．
21．（12分）已知函数f（x）= ﹣x+alnx．
（1）讨论f（x）的单调性；
（2）若f（x）存在两个极值点x ，x ，证明： ＜a﹣2．
1 2
【考点】6B：利用导数研究函数的单调性；6D：利用导数研究函数的极值．
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【专题】32：分类讨论；4R：转化法；53：导数的综合应用．
【分析】（1）求出函数的定义域和导数，利用函数单调性和导数之间的关系进
行求解即可．
（2）将不等式进行等价转化，构造新函数，研究函数的单调性和最值即可得到
结论．
【解答】解：（1）函数的定义域为（0，+∞），
函数的导数f′（x）=﹣ ﹣1+ =﹣ ，
设g（x）=x2﹣ax+1，当 a≤0 时，g（x）＞0 恒成立，即 f′（x）＜0 恒成立，此时函数 f（x）在
（0，+∞）上是减函数，
当a＞0时，判别式△=a2﹣4，
①当 0＜a≤2 时，△≤0，即 g（x）＞0，即 f′（x）＜0 恒成立，此时函数 f
（x）在（0，+∞）上是减函数，
②当a＞2时，x，f′（x），f（x）的变化如下表：
x （0，
（ （
， ，+∞）
）
）
f′（x） ﹣ 0 + 0 ﹣
f（x） 递减 递增 递减
综上当a≤2时，f（x）在（0，+∞）上是减函数，
当a＞2时，在（0， ），和（ ，+∞）上是减函数，
则（ ， ）上是增函数．
（2）由（1）知a＞2，0＜x ＜1＜x ，x x =1，
1 2 1 2
则f（x ）﹣f（x ）=（x ﹣x ）（1+ ）+a（lnx ﹣lnx ）=2（x ﹣x ）+a（lnx
1 2 2 1 1 2 2 1 1
﹣lnx ），
2
则 =﹣2+ ，
则问题转为证明 ＜1即可，
即证明lnx ﹣lnx ＞x ﹣x ，
1 2 1 2
则lnx ﹣ln ＞x ﹣ ，
1 1即lnx +lnx ＞x ﹣ ，
1 1 1
即证2lnx ＞x ﹣ 在（0，1）上恒成立，
1 1
设h（x）=2lnx﹣x+ ，（0＜x＜1），其中h（1）=0，
求导得h′（x）= ﹣1﹣ =﹣ =﹣ ＜0，
则h（x）在（0，1）上单调递减，
∴h（x）＞h（1），即2lnx﹣x+ ＞0，
故2lnx＞x﹣ ，
则 ＜a﹣2成立．
（2）另解：注意到f（ ）=x﹣ ﹣alnx=﹣f（x），
即f（x）+f（ ）=0，
由韦达定理得x x =1，x +x =a＞2，得0＜x ＜1＜x ，x = ，
1 2 1 2 1 2 1
可得f（x ）+f（ ）=0，即f（x ）+f（x ）=0，
2 1 2
要证 ＜a﹣2，只要证 ＜a﹣2，
即证2alnx ﹣ax + ＜0，（x ＞1），
2 2 2
构造函数h（x）=2alnx﹣ax+ ，（x＞1），h′（x）= ≤0，
∴h（x）在（1，+∞）上单调递减，
∴h（x）＜h（1）=0，∴2alnx﹣ax+ ＜0成立，即2alnx ﹣ax + ＜0，（x ＞1）成立．
2 2 2
即 ＜a﹣2成立．
【点评】本题主要考查函数的单调性的判断，以及函数与不等式的综合，求函
数的导数，利用导数的应用是解决本题的关键．综合性较强，难度较大．
（二）选考题：共 10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，
则按所做的第一题计分。[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）
22．（10分）在直角坐标系xOy中，曲线C 的方程为y=k|x|+2．以坐标原点为
1
极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C 的极坐标方程为ρ2+2ρcosθ﹣
2
3=0．
（1）求C 的直角坐标方程；
2
（2）若C 与C 有且仅有三个公共点，求C 的方程．
1 2 1
【考点】Q4：简单曲线的极坐标方程．
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【专题】35：转化思想；5S：坐标系和参数方程．
【分析】（1）直接利用转换关系，把参数方程和极坐标方程与直角坐标方程进
行转化．
（2）利用直线在坐标系中的位置，再利用点到直线的距离公式的应用求出结果．
【解答】解：（1）曲线C 的极坐标方程为ρ2+2ρcosθ﹣3=0．
2
转换为直角坐标方程为：x2+y2+2x﹣3=0，
转换为标准式为：（x+1）2+y2=4．
（2）由于曲线 C 的方程为y=k|x|+2，则：该射线关于 y轴对称，且恒过定点
1
（0，2）．
由于该射线与曲线C 的极坐标有且仅有三个公共点．
2
所以：必有一直线相切，一直线相交．
则：圆心到直线y=kx+2的距离等于半径2．
故： ，或解得：k= 或0，（0舍去）或k= 或0
经检验，直线 与曲线C 没有公共点．
2
故C 的方程为： ．
1
【点评】本体考察知识要点：参数方程和极坐标方程与直角坐标方程的转化，
直线和曲线的位置关系的应用，点到直线的距离公式的应用．
[选修4-5：不等式选讲]（10分）
23．已知f（x）=|x+1|﹣|ax﹣1|．
（1）当a=1时，求不等式f（x）＞1的解集；
（2）若x （0，1）时不等式f（x）＞x成立，求a的取值范围．
∈
【考点】R5：绝对值不等式的解法．
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【专题】15：综合题；38：对应思想；4R：转化法；5T：不等式．
【分析】（1）去绝对值，化为分段函数，即可求出不等式的解集，
（2）当x （0，1）时不等式f（x）＞x成立，转化为即|ax﹣1|＜1，即0＜ax
∈
＜2，转化为a＜ ，且a＞0，即可求出a的范围．
【解答】解：（1）当a=1时，f（x）=|x+1|﹣|x﹣1|= ，
由f（x）＞1，
∴ 或 ，
解得x＞ ，
故不等式f（x）＞1的解集为（ ，+∞），
（2）当x （0，1）时不等式f（x）＞x成立，
∈∴|x+1|﹣|ax﹣1|﹣x＞0，
即x+1﹣|ax﹣1|﹣x＞0，
即|ax﹣1|＜1，
∴﹣1＜ax﹣1＜1，
∴0＜ax＜2，
∵x （0，1），
∴a＞0，
∈
∴0＜x＜ ，
∴a＜
∵ ＞2，
∴0＜a≤2，
故a的取值范围为（0，2]．
【点评】本题考查了绝对值不等式的解法和含参数的取值范围，考查了运算能
力和转化能力，属于中档题．
